2021-2022学年下学期深圳初中北师大版数学九年级期中典型试卷1（含解析）

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2021-2022学年下学期深圳初中数学九年级期中典型试卷1
一．选择题（共10小题）
1．（2021 南山区校级模拟）下列各组数中互为相反数的是（　　）
A．﹣4和 B．4和﹣4 C．﹣4和﹣ D．和4
2．（2020 新吴区一模）下列图形中，是中心对称图形（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（2021 高要区一模）下列计算正确的是（　　）
A．a2 a3＝a6 B．（2a2）3＝6a6 C．（a2）3＝a6 D．2a﹣a＝2
4．（2020 龙华区二模）下列几何体中，主视图和左视图都相同的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（2014 南昌）某市6月份某周气温（单位：℃）为23、25、28、25、28、31、28，则这组数据的众数和中位数分别是（　　）
A．25、25 B．28、28 C．25、28 D．28、31
6．（2021 罗湖区一模）下列命题是假命题的是（　　）
A．在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等
B．在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等
C．平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦
D．同弧所对的圆周角相等
7．（2021 衢州四模）如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上．若∠ABC＝60°，则∠D的度数为（　　）
A．25° B．30° C．35° D．40°
8．（2021 龙岗区校级一模）如图，热气球探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角α为30°，看这栋楼底部C处的俯角β为60°，热气球与楼的水平距离AD为90米，则这栋楼的高度BC为（　　）
A．米 B．90米 C．120米 D．225 米
9．（2021春 龙华区月考）二次函数y＝ax2+bx+c图象如图，下列结论中：①b2＞4ac；②abc＜0；③2a+b﹣c＞0；④a﹣b+c＜0．正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．（2021春 龙华区月考）如图，在正方形ABCD中，点P为AB上一点，AQ⊥DP交BC于点Q，以AQ为边作平行四边形ABHQ，过点C作CF⊥DP于点F，点O为正方形对角线的交点，连OF，则下列结论：
①BH＝DP；
②EF＝OF；
③OF∥BE；
④若正方形的边长为2，则BE的最小值为﹣1；
其中正确的有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二．填空题（共5小题）
11．（2021 南山区校级模拟）把多项式4mx2﹣my2因式分解的结果是　 　．
12．（2021 南山区校级模拟）某商场的打折活动规定：凡在本商场购物，可转动转盘一次，并根据所转结果付账．其中不打折的概率为　 　．
13．（2021 罗湖区校级二模）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D为线段BC上﹣动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF，CF交DE于点P．若AC＝4，CD＝2，则线段CP的长　 　．
14．（2021 罗湖区校级二模）如图，在边长为4的正方形ABCD中，E，F分别为BC、CD的中点，连接AE，BF交于点G，将△BCF沿BF对折，得到△BPF，延长FP交BA延长线于点Q，则①BG＝　 　；②tan∠BQF＝　 　．
15．（2021 罗湖区一模）如图，平面直角坐标系中，O为原点，点A、B分别在y轴、x轴的正半轴上，△AOB的两条外角平分线交于点P，P在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，PA的延长线交x轴于点C，PB的延长线交y轴于点D，连接CD，OD＝3，OC＝5，则k的值为　 　．
三．解答题（共7小题）
16．（2021 深圳模拟）计算：﹣4sin45°+（﹣π）0﹣（）﹣1．
17．（2020 饶平县校级模拟）先化简，再求值：（ ）÷ ．其中x的值为一元二次方程x2+5x+6＝0的解．
18．（2021 龙岗区校级一模）据某知名网站调查，2020年网民们最关注的热点话题分别有：消费、教育、环保、反腐及其他共五类．根据调查的部分相关数据，绘制的统计图表如下：
根据所给信息解答下列问题：
（1）求调查的总人数，并补全条形统计图，并在图中标明相应数据；
（2）若2020年五峰常住人口约有20万，请你估计五峰最关注环保问题的人数约为多少万人？
（3）在这次调查中，某单位共有甲、乙、丙、丁四人最关注教育问题，现准备从这四人中随机抽取两人进行座谈，试用列表或树形图的方法求抽取的两人恰好是甲和乙的概率．
19．（2020 黔西南州）随着人们“节能环保，绿色出行”意识的增强，越来越多的人喜欢骑自行车出行，也给自行车商家带来商机．某自行车行经营的A型自行车去年销售总额为8万元．今年该型自行车每辆售价预计比去年降低200元．若该型车的销售数量与去年相同，那么今年的销售总额将比去年减少10%，求：
（1）A型自行车去年每辆售价多少元？
（2）该车行今年计划新进一批A型车和新款B型车共60辆，且B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍．已知A型车和B型车的进货价格分别为1500元和1800元，计划B型车销售价格为2400元，应如何组织进货才能使这批自行车销售获利最多？
20．（2019 淄博）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，点E在AC上，以AE为直径的⊙O经过点D．
（1）求证：①BC是⊙O的切线；
②CD2＝CE CA；
（2）若点F是劣弧AD的中点，且CE＝3，试求阴影部分的面积．
21．（2021春 南山区期中）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O与BC相交于点D，过点D作DE⊥AB交CA的延长线于点E，垂足为点F．
（1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由．
（2）若⊙O的半径R＝3，cos∠E＝，求EF的长．
22．（2021 南山区校级模拟）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点（B在A的右侧），且与直线l1：y＝x+2交于A，D两点，已知B点的坐标为（6，0）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）过点B的直线l2与线段AD交于点E，且满足＝，与抛物线交于另一点C．
①若点P为直线l2上方抛物线y＝﹣x2+bx+c上一动点，设点P的横坐标为t，当t为何值时，△PEB的面积最大；
②过E点向x轴作垂线，交x轴于点F，在抛物线上是否存在一点N，使得∠NAD＝∠FEB，若存在，求出N的坐标，若不存在，请说明理由．
2021-2022学年下学期深圳初中数学九年级期中典型试卷1
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2021 南山区校级模拟）下列各组数中互为相反数的是（　　）
A．﹣4和 B．4和﹣4 C．﹣4和﹣ D．和4
【考点】相反数．
【专题】实数；模型思想．
【分析】根据相反数的意义，只有符号不同的数为相反数．
【解答】解：A、﹣4和中的符号不同，数不同，不能互为相反数，故本选项不符合题意；
B、4是相反数是﹣4，故本选项符合题意；
C、﹣4和中的数都不同，不能互为相反数，故本选项不符合题意；
D、4和中的符号相同，数不同，不能互为相反数，故本选项不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了相反数的意义．注意掌握只有符号不同的数为相反数，0的相反数是0．
2．（2020 新吴区一模）下列图形中，是中心对称图形（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】中心对称图形．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，根据中心对称图形的概念解答．
【解答】解：根据中心对称图形的概念，属于中心对称图形的为：
；
故选：B．
【点评】此题主要考查了中心对称图形，注意在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180°，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
3．（2021 高要区一模）下列计算正确的是（　　）
A．a2 a3＝a6 B．（2a2）3＝6a6 C．（a2）3＝a6 D．2a﹣a＝2
【考点】幂的乘方与积的乘方；合并同类项；同底数幂的乘法．
【专题】整式；运算能力．
【分析】分别根据同底数幂的乘法法则，积的乘法运算法则，幂的乘方运算法则以及合并同类项法则逐一判断即可．
【解答】解：A．a2 a3＝a5，故本选项不合题意；
B．（2a2）3＝8a6，故本选项不合题意；
C．（a2）3＝a6，故本选项符合题意；
D.2a﹣a＝a，故本选项不合题意．
故选：C．
【点评】本题主要考查了合并同类项，同底数幂的乘法以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
4．（2020 龙华区二模）下列几何体中，主视图和左视图都相同的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】简单几何体的三视图．
【专题】投影与视图；几何直观．
【分析】主视图、左视图是分别从物体正面、左面看，所得到的图形．
【解答】解：圆柱的主视图、左视图都是长方形，故此选项符合题意；
立方体的主视图、左视图都是正方形，故此选项符合题意；
圆锥体的主视图左视图都是三角形，故此选项符合题意；
球的主视图、左视图都是半径相同的圆，故此选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．
5．（2014 南昌）某市6月份某周气温（单位：℃）为23、25、28、25、28、31、28，则这组数据的众数和中位数分别是（　　）
A．25、25 B．28、28 C．25、28 D．28、31
【考点】众数；中位数．
【分析】根据中位数和众数的定义求解：众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个；找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数
【解答】解：将这组数据从小到大的顺序排列23，25，25，28，28，28，31，
在这一组数据中28是出现次数最多的，故众数是28℃．
处于中间位置的那个数是28，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是28℃；
故选：B．
【点评】本题为统计题，考查中位数与众数的意义，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．
6．（2021 罗湖区一模）下列命题是假命题的是（　　）
A．在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等
B．在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等
C．平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦
D．同弧所对的圆周角相等
【考点】命题与定理．
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【分析】根据圆心角、弧、弦之间的关系、垂径定理、圆周角定理判断即可．
【解答】解：A、在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧不一定相等，本选项说法是假命题；
B、在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等，本选项说法是真命题；
C、平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，本选项说法是真命题；
D、同弧所对的圆周角相等，本选项说法是真命题；
故选：A．
【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
7．（2021 衢州四模）如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上．若∠ABC＝60°，则∠D的度数为（　　）
A．25° B．30° C．35° D．40°
【考点】圆周角定理．
【专题】与圆有关的计算；推理能力．
【分析】求出∠A＝30°，利用圆周角定理可得结论．
【解答】解：∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠ABC＝60°，
∴∠A＝90°﹣∠ABC＝30°，
∴∠D＝∠A＝30°，
故选：B．
【点评】本题考查圆周角定理，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
8．（2021 龙岗区校级一模）如图，热气球探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角α为30°，看这栋楼底部C处的俯角β为60°，热气球与楼的水平距离AD为90米，则这栋楼的高度BC为（　　）
A．米 B．90米 C．120米 D．225 米
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【专题】应用题；解直角三角形及其应用；运算能力；应用意识．
【分析】在直角三角形ADB中和直角三角形ACD中，根据锐角三角函数中的正切可以分别求得BD和CD的长，从而可以求得BC的长，本题得以解决．
【解答】解：由题意可得，
α＝30°，β＝60°，AD＝90米，∠ADC＝∠ADB＝90°，
∴在Rt△ADB中，α＝30°，AD＝90米，
∴tanα＝，
∴BD＝30（米），
在Rt△ADC中，β＝60°，AD＝90米，
∴tanβ＝，
∴CD＝90（米），
∴BC＝BD+CD＝30+90＝120（米），
即这栋楼的高度BC是120米．
故选：C．
【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题、锐角三角函数，解答此类问题的关键是明确题意，利用锐角三角函数解答．
9．（2021春 龙华区月考）二次函数y＝ax2+bx+c图象如图，下列结论中：①b2＞4ac；②abc＜0；③2a+b﹣c＞0；④a﹣b+c＜0．正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】二次函数图象与系数的关系．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【分析】根据二次函数图象的性质逐项判断可求解．
【解答】解：（1）由图象与x轴有两个交点可判别，①正确；
（2）开口向下则a＜0，对称轴“左同右异”则b＜0，与y轴交于正半轴则c＞0，则abc＞0，②错误；
（3）由对称轴x＝﹣1可得b＝2a，则2a+b﹣c＝4a﹣c，由a＜0，c＞0可知4a﹣c＜0，③错误；
（4）当x＝﹣1时y＝a﹣b+c＞0，④错误．
故选：A．
【点评】本题主要考查二次函数的图象与性质，灵活运用二次函数的性质判定是解题的关键．
10．（2021春 龙华区月考）如图，在正方形ABCD中，点P为AB上一点，AQ⊥DP交BC于点Q，以AQ为边作平行四边形ABHQ，过点C作CF⊥DP于点F，点O为正方形对角线的交点，连OF，则下列结论：
①BH＝DP；
②EF＝OF；
③OF∥BE；
④若正方形的边长为2，则BE的最小值为﹣1；
其中正确的有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【考点】四边形综合题．
【分析】①证明△DAP≌△ABQ，得AQ＝PD；由 ABHQ得：AQ＝BH，所以BH＝PD；
②作辅助线，构建全等三角形，证明△DAE≌△CDF和△DOE≌△COF，得出△FOE是等腰直角三角形，从而得出结论；
③由图形可知：∠OEB不一定等于90°，如图2，所以OF与BE不一定平行；
④作辅助线，设BE＝x，BG＝a，如图3，当BE＝BQ时，BE最小，证明△AED≌△BGA和△AEP≌△BGQ，
得AP＝BQ、BG＝AE，分别表示出BG、GQ、AG的长，利用直角三角形相似所得关系式：BG2＝QG AG，代入列方程解出x的值即可．
【解答】解：①如图1，在正方形ABCD中，
∴AD＝AB，∠DAB＝∠ABC＝90°，
∴∠DAQ+∠QAB＝90°，
∵AQ⊥PD，
∴∠AED＝90°，
∴∠DAQ+∠ADP＝90°，
∴∠QAB＝∠ADP，
∴△DAP≌△ABQ，
∴AQ＝PD，
∵四边形ABHQ是平行四边形，
∴BH＝AQ，
∴BH＝PD；
所以此选项正确；
②如图1，连接OD、OC、OE，则OD＝OC，
∵∠ADE+∠EDC＝90°，∠DCF+∠EDC＝90°，
∴∠ADE＝∠DCF，
∵∠ADO＝∠DCO＝45°，
∴∠EDO＝∠FCO，
∵AD＝DC，∠AED＝∠DFC＝90°，
∴△DAE≌△CDF，
∴CF＝DE，
∴△DOE≌△COF，
∴OE＝OF，∠DOE＝∠COF，
∴∠DOE﹣∠DOF＝∠COF﹣∠DOF，
即：∠FOE＝∠DOC，
∵∠DOC＝90，
∴∠FOE＝90°，
∴△FOE是等腰直角三角形，
∴EF＝OF；
所以此选项正确；
③当∠OEB＝∠FOE＝90°时，OF∥BE，
但∠OEB不一定等于90°，如图2，∠OEB＜90°，
所以此选项不正确；
④如图3，当BE＝BQ时，BE最小，
过B作BG⊥AQ于Q，
则△AED≌△BGA，
∴AE＝BG，
∵∠EAP+∠AQB＝90°，∠GBQ+∠AQB＝90°，
∴∠EAP＝∠GBQ，
∵∠AEP＝∠BGQ＝90°，
∴△AEP≌△BGQ，
∴BQ＝AP，
设BE＝x，BG＝a，则BQ＝AP＝x，AE＝a，
∵PE∥BG，
∴，
∴，
∴EP＝，
∵BE＝BQ，BG⊥AQ，
∴EG＝GQ＝PE＝，
在Rt△ABG中，BG2＝QG AG，
，
解得：x＝﹣1±，
x1＝﹣1﹣（舍去），x2＝﹣1+，
∴BE＝﹣1，
即若正方形的边长为2，则BE的最小值为﹣1；
所以此选项正确；
故选：B．
【点评】本题是四边形的综合题，考查了正方形、全等三角形、等腰三角形等图形的性质，综合性较强；在几何证明中如果结论出现倍的数量关系，可以考虑证明相关三角形为等腰直角三角形即可得出结论；对于求最值问题，此类题的解题思路为：①首先弄清图形中动点的位置及运动的路径，本题动点是P，在AB上运动；②画图观察动点在哪一位置时BE值最小，③设未知数，找等量关系列方程或求出函数关系式．
二．填空题（共5小题）
11．（2021 南山区校级模拟）把多项式4mx2﹣my2因式分解的结果是　m（2x+y）（2x﹣y）　．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【专题】计算题；因式分解．
【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝m（4x2﹣y2）＝m（2x+y）（2x﹣y），
故答案为：m（2x+y）（2x﹣y）
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
12．（2021 南山区校级模拟）某商场的打折活动规定：凡在本商场购物，可转动转盘一次，并根据所转结果付账．其中不打折的概率为　　．
【考点】概率公式．
【专题】概率及其应用；运算能力．
【分析】根据概率的计算方法，可得答案．
【解答】解：其中不打折的概率为＝；
故答案为：．
【点评】本题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
13．（2021 罗湖区校级二模）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D为线段BC上﹣动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF，CF交DE于点P．若AC＝4，CD＝2，则线段CP的长　1　．
【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．
【专题】矩形 菱形 正方形；运算能力．
【分析】根据ADEF是正方形推出AD＝AF，∠DAF＝90°，证△ABD≌△ACF，推出CF＝BD，求出AD，证△FEP∽△DCP，得出比例式，代入求出即可．
【解答】解：过A作AM⊥BD于M，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，
∴∠B＝∠ACB＝45°，由勾股定理得：BC＝8，
∵CD＝2，
∴BD＝8﹣2＝6，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，AM⊥BC，
∴∠B＝∠BAM＝45°，
∴BM＝AM，
∵AB＝4，
∴由勾股定理得：BM＝AM＝4，
∴DM＝6﹣4＝2，
在Rt△AMD中，由勾股定理得：AD＝＝2，
∵四边形ADEF是正方形，
∴EF＝DE＝AF＝AD＝2，∠E＝90°，
∵ADEF是正方形，
∴AD＝AF，∠DAF＝90°．
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD＝∠CAF＝90°﹣∠DAC．
设CP＝x，
在△ABD和△ACF中，
，
∴△ABD≌△ACF（SAS），
∴CF＝BD＝6，∠B＝∠ACB＝∠ACF＝45°，
∴∠PCD＝90°＝∠E，
∵∠FPE＝∠DPC，
∴△FPE∽△DPC，
∴，
∴，
x2+3x﹣4＝0，
x＝﹣4（舍去）或x＝1，
即CP＝1，
故答案为：1．
【点评】本题考查了正方形性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定的应用，关键是能得出关于x的方程，题目比较好，但是有一定的难度．
14．（2021 罗湖区校级二模）如图，在边长为4的正方形ABCD中，E，F分别为BC、CD的中点，连接AE，BF交于点G，将△BCF沿BF对折，得到△BPF，延长FP交BA延长线于点Q，则①BG＝　　；②tan∠BQF＝　　．
【考点】翻折变换（折叠问题）；解直角三角形；全等三角形的判定与性质；正方形的性质．
【专题】平移、旋转与对称；运算能力．
【分析】①首先证明△ABE≌△BCF，再利用角的关系求得∠BGE＝90°，即可得到AE⊥BF；再利用等面积法求得BG的长度；
②△BCF沿BF对折，得到△BPF，利用角的关系求出QF＝QB，解出BP，QB，根据勾股定理求出PQ，再根据正弦的定义即可求解．
【解答】解：①∵E，F分别是正方形ABCD边BC，CD的中点，
∴CF＝BE，
在△ABE和△BCF中，
，
∴△ABE≌△BCF（SAS），
∴∠BAE＝∠CBF，
又∵∠BAE+∠BEA＝90°，
∴∠CBF+∠BEA＝90°，
∴∠BGE＝90°，
∴AE⊥BF；
∵△ABE≌△BCF，则AE＝BF＝＝2，
∵AE⊥BF
∴AB BE＝AE BG，故BG＝．
故答案为：．
②根据题意得，FP＝FC，∠PFB＝∠BFC，∠FPB＝90°
∵CD∥AB，
∴∠CFB＝∠ABF，
∴∠ABF＝∠PFB，
∴QF＝QB，
令PF＝k（k＞0），则PB＝2k，
在Rt△BPQ中，设QB＝x，
∴x2＝（x﹣k）2+4k2，
∴x＝，
∴PQ＝，
∴tan∠BQP＝＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了四边形的综合题，涉及正方形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质以及折叠的性质的知识点，解决的关键是明确三角形翻转后边的大小不变，找准对应边，角的关系求解．
15．（2021 罗湖区一模）如图，平面直角坐标系中，O为原点，点A、B分别在y轴、x轴的正半轴上，△AOB的两条外角平分线交于点P，P在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，PA的延长线交x轴于点C，PB的延长线交y轴于点D，连接CD，OD＝3，OC＝5，则k的值为　　．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；角平分线的性质．
【专题】反比例函数及其应用；运算能力．
【分析】作PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，PH⊥AB于H，连接OP．利用角平分线的性质得出PM＝PN，可以假设P（m，m），则k＝m2，利用勾股定理得到m2+m2＝OP2，通过证得△COP∽△POD，得到OP2＝OC OD＝5×3＝15，即可求得k的值．
【解答】解：作PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，PH⊥AB于H，连接OP．
∵△AOB的两条外角平分线交于点P，
∴PM＝PH，PN＝PH，
∴PM＝PN，
∴可以假设P（m，m），
∵P在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，
∴k＝m2，
∵∠POA＝∠POB＝∠CPD＝45°，
∴∠COP＝∠POD＝135°，
∵∠POB＝∠PCO+∠OPC＝45°，∠APO+∠OPD＝45°，
∴∠PCO＝∠OPD，
∴△COP∽△POD，
∴OP2＝OC OD＝5×3＝15，
∴OP＝，
根据勾股定理，m2+m2＝15，
∴k＝m2＝
故答案为．
【点评】本题属于考查了反比例函数的应用，相似三角形的判定和性质，勾股定理，角平分线的性质，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
三．解答题（共7小题）
16．（2021 深圳模拟）计算：﹣4sin45°+（﹣π）0﹣（）﹣1．
【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．
【专题】实数；运算能力．
【分析】直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值、二次根式的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝3﹣4×+1﹣2
＝3﹣2+1﹣2
＝﹣1．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
17．（2020 饶平县校级模拟）先化简，再求值：（ ）÷ ．其中x的值为一元二次方程x2+5x+6＝0的解．
【考点】分式的化简求值；解一元二次方程﹣因式分解法．
【专题】分式；一元二次方程及应用；运算能力．
【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后根据x2+5x+6＝0，可以得到x的值，然后将使得原分式有意义的x的值代入化简后的式子即可解答本题．
【解答】解：（ ）÷
＝[﹣]
＝
＝
＝
＝，
由方程x2+5x+6＝0可得，x1＝﹣2，x2＝﹣3，
当x＝﹣2时，原分式无意义，
∴x＝﹣3，
当x＝﹣3时，原式＝＝﹣2．
【点评】本题考查分式的化简求值、解一元二次方程，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
18．（2021 龙岗区校级一模）据某知名网站调查，2020年网民们最关注的热点话题分别有：消费、教育、环保、反腐及其他共五类．根据调查的部分相关数据，绘制的统计图表如下：
根据所给信息解答下列问题：
（1）求调查的总人数，并补全条形统计图，并在图中标明相应数据；
（2）若2020年五峰常住人口约有20万，请你估计五峰最关注环保问题的人数约为多少万人？
（3）在这次调查中，某单位共有甲、乙、丙、丁四人最关注教育问题，现准备从这四人中随机抽取两人进行座谈，试用列表或树形图的方法求抽取的两人恰好是甲和乙的概率．
【考点】列表法与树状图法；用样本估计总体；条形统计图．
【专题】概率及其应用；数据分析观念．
【分析】（1）根据消费类人数及其所占百分比求出总人数，总人数乘以教育类对应百分比求出其人数即可补全图形；
（2）总人数乘以五峰最关注环保问题的人数所占百分比即可得出答案；
（3）画树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：（1）调查的总人数是：420÷30%＝1400（万人），
关注教育的人数是：1400×25%＝350（万人）．
如图所示：
（2）最关注环保问题的人数为：20×10%＝2（万人）；
（3）画树形图得：
由树状图知，共有12种等可能结果，其中抽取的两人恰好是甲和乙的有2种结果，
所以抽取的两人恰好是甲和乙的概率为＝．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
19．（2020 黔西南州）随着人们“节能环保，绿色出行”意识的增强，越来越多的人喜欢骑自行车出行，也给自行车商家带来商机．某自行车行经营的A型自行车去年销售总额为8万元．今年该型自行车每辆售价预计比去年降低200元．若该型车的销售数量与去年相同，那么今年的销售总额将比去年减少10%，求：
（1）A型自行车去年每辆售价多少元？
（2）该车行今年计划新进一批A型车和新款B型车共60辆，且B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍．已知A型车和B型车的进货价格分别为1500元和1800元，计划B型车销售价格为2400元，应如何组织进货才能使这批自行车销售获利最多？
【考点】分式方程的应用；一元一次不等式的应用；一次函数的应用．
【分析】（1）设去年A型车每辆售价x元，则今年售价每辆为（x﹣200）元，由卖出的数量相同建立方程求出其解即可；
（2）设今年新进A型车a辆，则B型车（60﹣a）辆，获利y元，由条件表示出y与a之间的关系式，由a的取值范围就可以求出y的最大值．
【解答】解：（1）设去年A型车每辆售价x元，则今年售价每辆为（x﹣200）元，由题意，得
＝，
解得：x＝2000．
经检验，x＝2000是原方程的根．
答：去年A型车每辆售价为2000元；
（2）设今年新进A型车a辆，则B型车（60﹣a）辆，获利y元，由题意，得
y＝（2000﹣200﹣1500）a+（2400﹣1800）（60﹣a），
y＝﹣300a+36000．
∵B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍，
∴60﹣a≤2a，
∴a≥20．
∵y＝﹣300a+36000．
∴k＝﹣300＜0，
∴y随a的增大而减小．
∴a＝20时，y有最大值，
∴B型车的数量为：60﹣20＝40（辆）．
∴当新进A型车20辆，B型车40辆时，这批车获利最大．
【点评】本题考查了列分式方程解实际问题的运用，分式方程的解法的运用，一次函数的解析式的运用，解答时由销售问题的数量关系求出一次函数的解析式是关键．
20．（2019 淄博）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，点E在AC上，以AE为直径的⊙O经过点D．
（1）求证：①BC是⊙O的切线；
②CD2＝CE CA；
（2）若点F是劣弧AD的中点，且CE＝3，试求阴影部分的面积．
【考点】圆的综合题．
【专题】压轴题；数形结合；构造法；几何直观．
【分析】（1）①证明DO∥AB，即可求解；②证明CDE∽△CAD，即可求解；
（2）证明△OFD、△OFA是等边三角形，S阴影＝S扇形DFO，即可求解．
【解答】解：（1）①连接OD，
∵AD是∠BAC的平分线，∴∠DAB＝∠DAO，
∵OD＝OA，∴∠DAO＝∠ODA，
则∠DAB＝∠ODA，
∴DO∥AB，而∠B＝90°，
∴∠ODB＝90°，
∴BC是⊙O的切线；
②连接DE，
∵BC是⊙O的切线，∴∠CDE＝∠DAC，
∠C＝∠C，∴△CDE∽△CAD，
∴CD2＝CE CA；
（2）连接DE、OD、DF、OF，设圆的半径为R，
∵点F是劣弧AD的中点，∴是OF是DA中垂线，
∴DF＝AF，∴∠FDA＝∠FAD，
∵DO∥AB，∴∠ODA＝∠DAF，
∴∠ADO＝∠DAO＝∠FDA＝∠FAD，
∴AF＝DF＝OA＝OD，
∴△OFD、△OFA是等边三角形，则DF∥AC，
故S阴影＝S扇形DFO，
∴∠C＝30°，
∴OD＝OC＝（OE+EC），而OE＝OD，
∴CE＝OE＝R＝3，
S阴影＝S扇形DFO＝×π×32＝．
【点评】此题属于圆的综合题，涉及了平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质、三角函数值的知识，综合性较强，解答本题需要我们熟练各部分的内容，对学生的综合能力要求较高，一定要注意将所学知识贯穿起来．
21．（2021春 南山区期中）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O与BC相交于点D，过点D作DE⊥AB交CA的延长线于点E，垂足为点F．
（1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由．
（2）若⊙O的半径R＝3，cos∠E＝，求EF的长．
【考点】直线与圆的位置关系；解直角三角形；等腰三角形的性质；勾股定理；垂径定理；圆周角定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；与圆有关的位置关系；图形的相似；运算能力；推理能力．
【分析】（1）连接OD，证明AB∥OD，由DE⊥AB，可得结论；
（2）根据题意得到＝，即可得到＝，由AB∥OD，得到△AEF∽△OED，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）DE与⊙O相切，
理由：连接OD，
∵OD＝OC，
∴∠ODC＝∠OCD，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴∠B＝∠ODC，
∴AB∥OD，
∵DE⊥AB，
∴OD⊥DE，
∵D在⊙O上，
∴DE是⊙O的切线；
（2）∵DE⊥AB，cos∠E＝，
∴＝，
∴＝，
∵AB∥OD，
∴△AEF∽△OED，
∴＝＝，
∵OA＝OD＝R＝3，
∴＝，
∴EA＝2﹣3，
∵＝，
∴EF＝×（2﹣3）＝﹣．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，等腰三角形的性质、解直角三角形以及三角形相似的判定和性质．当题中已有垂直时，证直线为圆的切线，通常选用平行来进行证明．
22．（2021 南山区校级模拟）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点（B在A的右侧），且与直线l1：y＝x+2交于A，D两点，已知B点的坐标为（6，0）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）过点B的直线l2与线段AD交于点E，且满足＝，与抛物线交于另一点C．
①若点P为直线l2上方抛物线y＝﹣x2+bx+c上一动点，设点P的横坐标为t，当t为何值时，△PEB的面积最大；
②过E点向x轴作垂线，交x轴于点F，在抛物线上是否存在一点N，使得∠NAD＝∠FEB，若存在，求出N的坐标，若不存在，请说明理由．
【考点】二次函数综合题．
【专题】综合题；分类讨论；推理能力．
【分析】（1）先求出点A的坐标，利用交点式，即可得出结论；
（2）①先求出点E的坐标，利用面积公式得出△PEB的面积与t的关系，即可得出结论；
②当点N在直线l1下方时，求出tan∠BEF＝，过点F作FK⊥AE于K，交AN于M，过点K作KQ⊥x轴于Q，过点M作ML⊥x轴于L．判断出点K坐标，进而求出点M的坐标，求出直线AN的解析式，联立抛物线解析式求解，即可得出结论；
当点N在直线l1上方时，利用对称性求出点M'的坐标，求出直线AN'的解析式，联立抛物线解析式求解即可得出结论．
【解答】解：（1）针对于直线y＝x+2，令y＝0，则x+2＝0，
∴x＝﹣2，
∴A（﹣2，0），
∵抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（﹣2，0），B（6，0），
∴抛物线的解析式为y＝﹣（x+2）（x﹣6）＝﹣x2+4x+12；
（2）①由题意得，，
解得，或，
∴点D的坐标为（5，7），
如图1，
过点D作DH⊥x轴于H，过点E作EF⊥x轴于F，
∴H（5，0），
∴AH＝7，
∵＝，
∴，
∴F（4，0），
∴E（4，6），
∴直线l2的解析式为y＝﹣3x+18，
设P（t，﹣t2+4t+12），
过点P作PG∥y轴交l2于G，
则G（t，﹣3t+18），
∴S△PEB＝PG （xB﹣xE）＝（﹣t2+4t+12+3t﹣18）（6﹣4）＝﹣t2+7t﹣6＝﹣（t﹣）2+，
∴当t＝时，△PEB的面积最大；
②存在，理由：当点N在直线l1下方时，
∵EF⊥x轴，E（4，6），B（6，0），
∴EF＝6，BF＝2，
在Rt△BEF中，tan∠BEF＝＝，
如图2，∵直l1的解析式为y＝x+2，
∴∠BAD＝45°，
过点F作FK⊥AE于K，交AN于M，过点K作KQ⊥x轴于Q，过点M作ML⊥x轴于L．
∴∠AKF＝90°，
∴∠AFK＝45°，
∴AK＝FK，
∴KQ＝AQ＝FQ＝3，
∴K（1，3），
∵∠NAD＝∠FEB，
∴tan∠KAM＝＝，
∴＝，
∴M（2，2），
∴直线AN的解析式为y＝x+1，
联立直线AN和抛物线解析式，
解得，或，
∴N（，）；
当点N在直线l1的上方时，
点M（2，2）关于直线y＝x+2的对称点M'（0，4），
∴直线AN'的解析式为y＝2x+4，
联立直线AN'和抛物线解析式，
解得，或，
∴N'（4，12），
即存在点N，N点的坐标为（，）或（4，12）．
【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，解方程组，三角形面积的计算方法，构造出几何图形求出点M的坐标是解本题的关键．
考点卡片
1．相反数
（1）相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．
（2）相反数的意义：掌握相反数是成对出现的，不能单独存在，从数轴上看，除0外，互为相反数的两个数，它们分别在原点两旁且到原点距离相等．
（3）多重符号的化简：与“+”个数无关，有奇数个“﹣”号结果为负，有偶数个“﹣”号，结果为正．
（4）规律方法总结：求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”，如a的相反数是﹣a，m+n的相反数是﹣（m+n），这时m+n是一个整体，在整体前面添负号时，要用小括号．
2．实数的运算
（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．
（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
【规律方法】实数运算的“三个关键”
1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等．
2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．
3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．
3．合并同类项
（1）定义：把多项式中同类项合成一项，叫做合并同类项．
（2）合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变．
（3）合并同类项时要注意以下三点：
①要掌握同类项的概念，会辨别同类项，并准确地掌握判断同类项的两条标准：带有相同系数的代数项；字母和字母指数；
②明确合并同类项的含义是把多项式中的同类项合并成一项，经过合并同类项，式的项数会减少，达到化简多项式的目的；
③“合并”是指同类项的系数的相加，并把得到的结果作为新的系数，要保持同类项的字母和字母的指数不变．
4．同底数幂的乘法
（1）同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
am an＝am+n（m，n是正整数）
（2）推广：am an ap＝am+n+p（m，n，p都是正整数）
在应用同底数幂的乘法法则时，应注意：①底数必须相同，如23与25，（a2b2）3与（a2b2）4，（x﹣y）2与（x﹣y）3等；②a可以是单项式，也可以是多项式；③按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加．
（3）概括整合：同底数幂的乘法，是学习整式乘除运算的基础，是学好整式运算的关键．在运用时要抓住“同底数”这一关键点，同时注意，有的底数可能并不相同，这时可以适当变形为同底数幂．
5．幂的乘方与积的乘方
（1）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．
（am）n＝amn（m，n是正整数）
注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别．
（2）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
（ab）n＝anbn（n是正整数）
注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果．
6．提公因式法与公式法的综合运用
提公因式法与公式法的综合运用．
7．分式的化简求值
先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．
在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
【规律方法】分式化简求值时需注意的问题
1．化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤，代入求值的模式一般为“当…时，原式＝…”．
2．代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法．解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为0．
8．零指数幂
零指数幂：a0＝1（a≠0）
由am÷am＝1，am÷am＝am﹣m＝a0可推出a0＝1（a≠0）
注意：00≠1．
9．负整数指数幂
负整数指数幂：a﹣p＝1ap（a≠0，p为正整数）
注意：①a≠0；
②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算，避免出现（﹣3）﹣2＝（﹣3）×（﹣2）的错误．
③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．
④在混合运算中，始终要注意运算的顺序．
10．解一元二次方程-因式分解法
（1）因式分解法解一元二次方程的意义
因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．
11．分式方程的应用
1、列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答．
必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等．
2、要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度＝路程时间；工作量问题：工作效率＝工作量工作时间
等等．
列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力．
12．一元一次不等式的应用
（1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案．
（2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵．
（3）列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤：
①弄清题中数量关系，用字母表示未知数．
②根据题中的不等关系列出不等式．
③解不等式，求出解集．
④写出符合题意的解．
13．一次函数的应用
1、分段函数问题
分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际．
2、函数的多变量问题
解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数．
3、概括整合
（1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用．
（2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键．
14．反比例函数图象上点的坐标特征
反比例函数y＝k/x（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，
①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k；
②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称；
③在y＝k/x图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
15．二次函数图象与系数的关系
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）
①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．
当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小．
②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．
当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异）
③．常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）．
④抛物线与x轴交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
16．二次函数综合题
（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题
解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项．
（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用
将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．
（3）二次函数在实际生活中的应用题
从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义．
17．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
18．角平分线的性质
角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE
19．等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
20．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a＝，b＝及c＝．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
21．等腰直角三角形
（1）两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．
（2）等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．即：两个锐角都是45°，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径（因为等腰直角三角形的两个小角均为45°，高又垂直于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三角形，则两腰相等）；
（3）若设等腰直角三角形内切圆的半径r＝1，则外接圆的半径R＝+1，所以r：R＝1：+1．
22．正方形的性质
（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
（2）正方形的性质
①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；
②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；
③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．
④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．
23．四边形综合题
四边形综合题．
24．垂径定理
（1）垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2）垂径定理的推论
推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
25．圆周角定理
（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．
（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．
（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．
26．直线与圆的位置关系
（1）直线和圆的三种位置关系：
①相离：一条直线和圆没有公共点．
②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点．
③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线．
（2）判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．
①直线l和⊙O相交 d＜r
②直线l和⊙O相切 d＝r
③直线l和⊙O相离 d＞r．
27．圆的综合题
圆的综合题．
28．命题与定理
1、判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．
2、有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
3、定理是真命题，但真命题不一定是定理．
4、命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论．
5、命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
29．翻折变换（折叠问题）
1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换．
2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系．
首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数．
30．中心对称图形
（1）定义
把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
注意：中心对称图形和中心对称不同，中心对称是两个图形之间的关系，而中心对称图形是指一个图形自身的特点，这点应注意区分，它们性质相同，应用方法相同．
（2）常见的中心对称图形
平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．
31．特殊角的三角函数值
（1）特指30°、45°、60°角的各种三角函数值．
sin30°＝； cos30°＝；tan30°＝；
sin45°＝；cos45°＝；tan45°＝1；
sin60°＝；cos60°＝； tan60°＝；
（2）应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记．
（3）特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多．
32．解直角三角形
（1）解直角三角形的定义
在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．
（2）解直角三角形要用到的关系
①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°；
②三边之间的关系：a2+b2＝c2；
③边角之间的关系：
sinA＝＝，cosA＝＝，tanA＝＝．
（a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边）
33．解直角三角形的应用-仰角俯角问题
（1）概念：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角．
（2）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．
34．简单几何体的三视图
（1）画物体的主视图的口诀为：主、俯：长对正；主、左：高平齐；俯、左：宽相等．
（2）常见的几何体的三视图：
圆柱的三视图：
35．用样本估计总体
用样本估计总体是统计的基本思想．
1、用样本的频率分布估计总体分布：
从一个总体得到一个包含大量数据的样本，我们很难从一个个数字中直接看出样本所包含的信息．这时，我们用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布，从而去估计总体的分布情况．
2、用样本的数字特征估计总体的数字特征（主要数据有众数、中位数、平均数、标准差与方差 ）．
一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．
36．条形统计图
（1）定义：条形统计图是用线段长度表示数据，根据数量的多少画成长短不同的矩形直条，然后按顺序把这些直条排列起来．
（2）特点：从条形图可以很容易看出数据的大小，便于比较．
（3）制作条形图的一般步骤：
①根据图纸的大小，画出两条互相垂直的射线．
②在水平射线上，适当分配条形的位置，确定直条的宽度和间隔．
③在与水平射线垂直的射线上，根据数据大小的具体情况，确定单位长度表示多少．
④按照数据大小，画出长短不同的直条，并注明数量．
37．中位数
（1）中位数：
将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．
如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
（2）中位数代表了这组数据值大小的“中点”，不易受极端值影响，但不能充分利用所有数据的信息．
（3）中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的移动对中位数没有影响，中位数可能出现在所给数据中也可能不在所给的数据中出现，当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述其趋势．
38．众数
（1）一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
（2）求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．
（3）众数不易受数据中极端值的影响．众数也是数据的一种代表数，反映了一组数据的集中程度，众数可作为描述一组数据集中趋势的量．．
39．概率公式
（1）随机事件A的概率P（A）＝．
（2）P（必然事件）＝1．
（3）P（不可能事件）＝0．
40．列表法与树状图法
（1）当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时，我们常用列表的方式，列出所有可能的结果，再求出概率．
（2）列表的目的在于不重不漏地列举出所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．
（3）列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图．
（4）树形图列举法一般是选择一个元素再和其他元素分别组合，依次列出，象树的枝丫形式，最末端的枝丫个数就是总的可能的结果n．
（5）当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举．
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