2021-2022学年下学期天津初中北师大版数学九年级期中典型试卷1（含解析）

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2021-2022学年下学期天津初中数学九年级期中典型试卷1
一．选择题（共12小题）
1．（2021春 津南区期中）计算（﹣15）﹣20的结果等于（　　）
A．35 B．﹣35 C．5 D．﹣5
2．（2020 易门县三模）2sin60°的值等于（　　）
A．1 B． C． D．
3．（2018 津南区一模）下列图形中，可以看作中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2018 津南区一模）“可燃冰”的开发成功，拉开了我国开发新能源的大门，目前发现我国南海“可燃冰”储存量达到800亿吨，将800亿用科学记数法可表示为（　　）
A．0.8×1011 B．8×1010 C．80×109 D．800×108
5．（2021 南开区一模）如图所示的几何体，它的左视图正确的是（　　）
A． B．
C． D．
6．（2021 南开区一模）估计﹣3的值在（　　）
A．1和2之间 B．﹣1和0之间 C．2和3之间 D．﹣2和﹣1之间
7．（2021 红桥区一模）方程组的解是（　　）
A． B． C． D．
8．（2021 红桥区一模）若点A（﹣4，y1），B（﹣3，y2），C（6，y3）都在反比例函数y＝﹣的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y2＜y1＜y3 B．y3＜y1＜y2 C．y1＜y2＜y3 D．y3＜y2＜y1
9．（2021 滨海新区一模）若点A（﹣5，y1），B（﹣3，y2），C（4，y3）在反比例函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y3＜y1＜y2 B．y3＜y2＜y1 C．y2＜y1＜y3 D．y1＜y2＜y3
10．（2021 商河县校级模拟）如图，平行四边形OABC的顶点O，A，C的坐标分别是（0，0），（4，0），（1，2），则顶点B的坐标是（　　）
A．（4，2） B．（5，2） C．（4，3） D．（5，3）
11．（2015 天津）如图，已知 ABCD中，AE⊥BC于点E，以点B为中心，取旋转角等于∠ABC，把△BAE顺时针旋转，得到△BA′E′，连接DA′．若∠ADC＝60°，∠ADA′＝50°，则∠DA′E′的大小为（　　）
A．130° B．150° C．160° D．170°
12．（2007 天津）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：
①abc＞0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1的实数）．
其中正确的结论有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二．填空题（共6小题）
13．（2016 天津）计算（2a）3的结果等于　 　．
14．（2021 滨海新区二模）计算（+2）2的结果等于　 　．
15．（2021 南开区一模）在一个不透明的布袋中装有红色、白色玻璃球共40个，除颜色外其他完全相同．小明通过多次摸球试验后发现，其中摸到红色球的频率稳定在15%左右，则口袋中红色球可能有　 　个．
16．（2021 南开区一模）已知一次函数y＝kx+6的图象经过点A（2，﹣2），则k的值为　 　．
17．（2021 红桥区一模）如图，在平行四边形ABCD中，AD＝2，AB＝，∠B是锐角，AE⊥BC于点E，F是AB的中点，连接DF，EF．若∠EFD＝90°，则AE的长为 　 　．
18．（2021 红桥区一模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点A，B在格点上，C是小正方形边的中点．
（Ⅰ）AB的长等于 　 　；
（Ⅱ）M是线段BC与网格线的交点，P是△ABC外接圆上的动点，点N在线段PB上，且满足PN＝2BN．当MN取得最大值时，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明） 　 　．
三．解答题（共7小题）
19．（2021 滨海新区一模）解不等式组．
请结合题意填空，完成本题的解答．
（Ⅰ）解不等式①，得　 　；
（Ⅱ）解不等式②，得　 　；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
（Ⅳ）原不等式组的解集为　 　．
20．（2021 滨海新区一模）春节期间为了表达美好的祝福，抢微信红包成为了人们最喜欢的活动之一．某中学九年级六班班长对全班学生在春节期间所抢的红包金额进行统计，并绘制成了统计图．请根据相关信息，解答下列问题：
（Ⅰ）本次抽取的学生人数为　 　，图①中m的值为　 　；
（Ⅱ）求统计的这组红包金额数据的平均数、众数和中位数．
21．（2018 红桥区一模）已知PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，连接AO并延长，交PB的延长线于点C，连接PO，交⊙O于点D．
（I）如图①，若∠AOP＝65°，求∠C的大小；
（II）如图②，连接BD，若BD∥AC，求∠C的大小．
22．（2014 广元）如图，山坡上有一棵树AB，树底部B点到山脚C点的距离BC为6米，山坡的坡角为30°．小宁在山脚的平地F处测量这棵树的高，点C到测角仪EF的水平距离CF＝1米，从E处测得树顶部A的仰角为45°，树底部B的仰角为20°，求树AB的高度．
（参考数值：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）
23．（2015 玉林）某超市对进货价为10元/千克的某种苹果的销售情况进行统计，发现每天销售量y（千克）与销售价x（元/千克）存在一次函数关系，如图所示．
（1）求y关于x的函数关系式（不要求写出x的取值范围）；
（2）应怎样确定销售价，使该品种苹果的每天销售利润最大？最大利润是多少？
24．（2019 红桥区一模）在平面直角坐标系中，O为原点，点A（4，0），点B（0，3），把△ABO绕点A顺时针旋转，得△AB′O′，点B，O旋转后的对应点为B′，O′．记旋转角为α．
（Ⅰ）如图①，若α＝90°，求BB′的长；
（Ⅱ）如图②，若α＝120°，求点O′的坐标；
（Ⅲ）记K为AB的中点，S为△KO′B′的面积，求S的取值范围（直接写出结果即可）．
25．（2021 南开区一模）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A（4，0）、B（﹣1，0）、C（0，4）三点．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）如图1，点D是在直线AC上方的抛物线的一点，DN⊥AC于点N，DM∥y轴交AC于点M，求△DMN周长的最大值及此时点D的坐标；
（3）如图2，点P为第一象限内的抛物线上的一个动点，连接OP，OP与AC相交于点Q，求的最大值．
2021-2022学年下学期天津初中数学九年级期中典型试卷1
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．（2021春 津南区期中）计算（﹣15）﹣20的结果等于（　　）
A．35 B．﹣35 C．5 D．﹣5
【考点】有理数的减法．
【专题】实数；运算能力．
【分析】根据有理数的减法的运算方法，求出计算（﹣15）﹣20的结果等于多少即可．
【解答】解：（﹣15）﹣20＝﹣35．
故选：B．
【点评】此题主要考查了有理数的减法的运算方法，要熟练掌握，解答此类问题的关键是要明确：①在进行减法运算时，首先弄清减数的符号；②将有理数转化为加法时，要同时改变两个符号：一是运算符号（减号变加号）；二是减数的性质符号（减数变相反数）．
2．（2020 易门县三模）2sin60°的值等于（　　）
A．1 B． C． D．
【考点】特殊角的三角函数值．
【分析】把sin60°的数值代入，进行乘法计算即可．
【解答】解：原式＝2×
＝．
故选：D．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，正确记忆特殊角的三角函数值是关键．
3．（2018 津南区一模）下列图形中，可以看作中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】中心对称图形．
【专题】常规题型．
【分析】根据中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、不是中心对称图形，故此选项错误；
B、是中心对称图形，故此选项正确；
C、不是中心对称图形，故此选项错误；
D、不是中心对称图形，故此选项错误．
故选：B．
【点评】此题主要考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
4．（2018 津南区一模）“可燃冰”的开发成功，拉开了我国开发新能源的大门，目前发现我国南海“可燃冰”储存量达到800亿吨，将800亿用科学记数法可表示为（　　）
A．0.8×1011 B．8×1010 C．80×109 D．800×108
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【专题】常规题型．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将800亿用科学记数法表示为：8×1010．
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
5．（2021 南开区一模）如图所示的几何体，它的左视图正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】简单组合体的三视图．
【专题】投影与视图；空间观念．
【分析】找到从几何体的左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中．
【解答】解：从几何体的左面看，底层是两个小矩形，上层是一个较大的矩形．
故选：D．
【点评】此题主要考查了简单几何体的三视图，关键是掌握左视图所看的位置．
6．（2021 南开区一模）估计﹣3的值在（　　）
A．1和2之间 B．﹣1和0之间 C．2和3之间 D．﹣2和﹣1之间
【考点】估算无理数的大小．
【专题】实数；运算能力．
【分析】先估算出的大小，进而估算出的范围．
【解答】解：∵16＜21＜25，
∴，
∴，
∴﹣3的值在1和2之间．
故选：A．
【点评】本题考查了估算无理数的大小，估算无理数大小要用逼近法．
7．（2021 红桥区一模）方程组的解是（　　）
A． B． C． D．
【考点】解二元一次方程组．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．
【解答】解：方程组，
①×2+②得：5x＝10，
解得：x＝2，
把x＝2代入①得：4+y＝3，
解得：y＝﹣1，
则方程组的解为．
故选：A．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
8．（2021 红桥区一模）若点A（﹣4，y1），B（﹣3，y2），C（6，y3）都在反比例函数y＝﹣的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y2＜y1＜y3 B．y3＜y1＜y2 C．y1＜y2＜y3 D．y3＜y2＜y1
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
【专题】反比例函数及其应用；推理能力．
【分析】先根据反比例函数中k＜0判断出函数图象所在的象限及增减性，再根据各点横坐标的特点即可得出结论．
【解答】解：∵反比例函数y＝﹣中k＝﹣12＜0，
∴函数图象的两个分式分别位于二、四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大．
∵﹣4＜﹣3＜0，
∴点A（﹣4，y1），B（﹣3，y2）位于第二象限，
∴0＜y1＜y2．
∵6＞0，
∴点C（6，y3）位于第四象限，
∴y3＜0，
∴y3＜y1＜y2．
故选：B．
【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
9．（2021 滨海新区一模）若点A（﹣5，y1），B（﹣3，y2），C（4，y3）在反比例函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y3＜y1＜y2 B．y3＜y2＜y1 C．y2＜y1＜y3 D．y1＜y2＜y3
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
【专题】反比例函数及其应用；推理能力．
【分析】根据反比例函数的性质得出函数的图象在第二、四象限，且在每个象限内，y随x的增大而增大，即可比较y1，y2，y3的大小．
【解答】解：∵反比例函数的解析式是，k＝﹣7＜0，
∴函数的图象在第二、四象限，且在每个象限内，y随x的增大而增大，
∵点A（﹣5，y1），B（﹣3，y2），C（4，y3）在反比例函数的图象上，
∴点A和B在第二象限，点C在第四象限，
∴y3＜y1＜y2，
故选：A．
【点评】本题考查了反比例函数的性质和反比例函数图象上点的坐标特征，能熟记反比例函数的性质是解此题的关键．
10．（2021 商河县校级模拟）如图，平行四边形OABC的顶点O，A，C的坐标分别是（0，0），（4，0），（1，2），则顶点B的坐标是（　　）
A．（4，2） B．（5，2） C．（4，3） D．（5，3）
【考点】平行四边形的性质；坐标与图形性质．
【专题】多边形与平行四边形；推理能力．
【分析】根据“平行四边形的对边平行且相等的性质”得到点B的纵坐标与点C的纵坐标相等，且BC＝OA即可得到结论．
【解答】解：如图，在 OABC中，O（0，0），A（4，0），
∴OA＝BC＝4，
∵BC∥AO，
∴点B的纵坐标与点C的纵坐标相等，
∴B（5，2）；
故选：B．
【点评】本题考查了平行四边形的性质和坐标与图形性质．此题充分利用了“平行四边形的对边相互平行且相等”的性质．
11．（2015 天津）如图，已知 ABCD中，AE⊥BC于点E，以点B为中心，取旋转角等于∠ABC，把△BAE顺时针旋转，得到△BA′E′，连接DA′．若∠ADC＝60°，∠ADA′＝50°，则∠DA′E′的大小为（　　）
A．130° B．150° C．160° D．170°
【考点】旋转的性质；平行四边形的性质．
【分析】根据平行四边形对角相等、邻角互补，得∠ABC＝60°，∠DCB＝120°，再由∠A′DC＝10°，可运用三角形外角求出∠DA′B＝130°，再根据旋转的性质得到∠BA′E′＝∠BAE＝30°，从而得到答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∠ADC＝60°，
∴∠ABC＝60°，∠DCB＝120°，
∵∠ADA′＝50°，
∴∠A′DC＝10°，
∴∠DA′B＝130°，
∵AE⊥BC于点E，
∴∠BAE＝30°，
∵△BAE顺时针旋转，得到△BA′E′，
∴∠BA′E′＝∠BAE＝30°，
∴∠DA′E′＝∠DA′B+∠BA′E′＝160°．
故选：C．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形内角和定理及推论，旋转的性质，此题难度不大，关键是能综合运用以上知识点求出∠DA′B和∠BA′E′．
12．（2007 天津）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：
①abc＞0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1的实数）．
其中正确的结论有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【考点】二次函数图象与系数的关系．
【专题】压轴题；数形结合．
【分析】观察图象：开口向下得到a＜0；对称轴在y轴的右侧得到a、b异号，则b＞0；抛物线与y轴的交点在x轴的上方得到c＞0，所以abc＜0；当x＝﹣1时图象在x轴上得到y＝a﹣b+c＝0，即a+c＝b；对称轴为直线x＝1，可得x＝2时图象在x轴上方，则y＝4a+2b+c＞0；利用对称轴x＝﹣＝1得到a＝﹣b，而a﹣b+c＜0，则﹣b﹣b+c＜0，所以2c＜3b；开口向下，当x＝1，y有最大值a+b+c，得到a+b+c＞am2+bm+c，即a+b＞m（am+b）（m≠1）．
【解答】解：开口向下，a＜0；对称轴在y轴的右侧，a、b异号，则b＞0；抛物线与y轴的交点在x轴的上方，c＞0，则abc＜0，所以①不正确；
当x＝﹣1时图象在x轴上，则y＝a﹣b+c＝0，即a+c＝b，所以②不正确；
对称轴为直线x＝1，则x＝2时图象在x轴上方，则y＝4a+2b+c＞0，所以③正确；
x＝﹣＝1，则a＝﹣b，而a﹣b+c＝0，则﹣b﹣b+c＝0，2c＝3b，所以④不正确；
开口向下，当x＝1，y有最大值a+b+c；当x＝m（m≠1）时，y＝am2+bm+c，则a+b+c＞am2+bm+c，即a+b＞m（am+b）（m≠1），所以⑤正确．
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，当a＞0，开口向上，函数有最小值，a＜0，开口向下，函数有最大值；对称轴为直线x＝﹣，a与b同号，对称轴在y轴的左侧，a与b异号，对称轴在y轴的右侧；当c＞0，抛物线与y轴的交点在x轴的上方；当Δ＝b2﹣4ac＞0，抛物线与x轴有两个交点．
二．填空题（共6小题）
13．（2016 天津）计算（2a）3的结果等于　8a3　．
【考点】幂的乘方与积的乘方．
【分析】根据幂的乘方与积的乘方运算法则进行计算即可．
【解答】解：（2a）3＝8a3．
故答案为：8a3．
【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方，解答本题的关键是掌握幂的乘方与积的乘方运算法则．
14．（2021 滨海新区二模）计算（+2）2的结果等于　7+4　．
【考点】二次根式的混合运算．
【专题】计算题．
【分析】根据完全平方公式可以解答本题．
【解答】解：（+2）2
＝3+4+4
＝7+4，
故答案为：7+4．
【点评】本题考查二次根式的混合运算，解答本题的关键是明确二次根式的混合运算的计算方法．
15．（2021 南开区一模）在一个不透明的布袋中装有红色、白色玻璃球共40个，除颜色外其他完全相同．小明通过多次摸球试验后发现，其中摸到红色球的频率稳定在15%左右，则口袋中红色球可能有　6　个．
【考点】模拟实验；频数与频率．
【分析】球的总数乘以红球所占球的总数的比例即为红球的个数．
【解答】解：红球个数为：40×15%＝6个．
故答案为：6．
【点评】具体数目应等于总数乘部分所占总体的比值．
16．（2021 南开区一模）已知一次函数y＝kx+6的图象经过点A（2，﹣2），则k的值为　﹣4　．
【考点】一次函数图象上点的坐标特征．
【专题】一次函数及其应用；运算能力．
【分析】把点A的坐标代入一次函数解析式求出即可．
【解答】解：把点A（2，﹣2）代入y＝kx+6，得﹣2＝2k+6，
解得k＝﹣4．
故答案为：﹣4．
【点评】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，是一道比较典型的题目．
17．（2021 红桥区一模）如图，在平行四边形ABCD中，AD＝2，AB＝，∠B是锐角，AE⊥BC于点E，F是AB的中点，连接DF，EF．若∠EFD＝90°，则AE的长为 　　．
【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；勾股定理．
【专题】多边形与平行四边形；推理能力．
【分析】延长EF交DA的延长线于Q，连接DE，设BE＝x．首先证明DQ＝DE＝x+2，利用勾股定理构建方程即可解决问题．
【解答】解：如图，延长EF交DA的延长线于Q，连接DE，设BE＝x，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DQ∥BC，
∴∠Q＝∠BEF，
∵AF＝FB，∠AFQ＝∠BFE，
∴△QFA≌△EFB（AAS），
∴AQ＝BE＝x，QF＝EF，
∵∠EFD＝90°，
∴DF⊥QE，
∴DQ＝DE＝x+2，
∵AE⊥BC，BC∥AD，
∴AE⊥AD，
∴∠AEB＝∠EAD＝90°，
∵AE2＝DE2﹣AD2＝AB2﹣BE2，
∴（x+2）2﹣4＝6﹣x2，
整理得：x2+2x﹣3＝0，
解得x＝1或﹣3（舍弃），
∴BE＝1，
∴AE＝＝＝，
故答案为：．
【点评】本题考查平行四边形的性质，线段的垂直平分线的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
18．（2021 红桥区一模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点A，B在格点上，C是小正方形边的中点．
（Ⅰ）AB的长等于 　　；
（Ⅱ）M是线段BC与网格线的交点，P是△ABC外接圆上的动点，点N在线段PB上，且满足PN＝2BN．当MN取得最大值时，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明） 　取格点T，连接BT交△ABC的外接圆于点P，连接PC．　．
【考点】作图—复杂作图；勾股定理；圆周角定理；三角形的外接圆与外心．
【专题】作图题；几何直观．
【分析】（Ⅰ）利用勾股定理求解即可．
（Ⅱ）由题意，＝＝2，推出MN∥PC，MN＝PC，推出当PC是直径时，MN的值最大．
【解答】解：（Ⅰ）AB的长等于＝＝．
故答案为：．
（Ⅱ）如图点P即为所求作．
由题意，＝＝2，
∴MN∥PC，MN＝PC，
∴当PC是直径时，MN的值最大，
取格点T（构造∠TBC＝90°），连接BT交△ABC的外接圆于点P，
故答案为：取格点T，连接BT交△ABC的外接圆于点P．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，勾股定理，三角形的外接圆与外心等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
三．解答题（共7小题）
19．（2021 滨海新区一模）解不等式组．
请结合题意填空，完成本题的解答．
（Ⅰ）解不等式①，得　x≥2　；
（Ⅱ）解不等式②，得　x＞﹣1　；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
（Ⅳ）原不等式组的解集为　x≥2　．
【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，在数轴上表示出不等式的解集，从而确定不等式组的解集．
【解答】解：（Ⅰ）解不等式①，得x≥2；
（Ⅱ）解不等式②，得x＞﹣1；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来为：
（Ⅳ）原不等式组的解集为x≥2．
故答案为：x≥2；x＞﹣1；x≥2．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
20．（2021 滨海新区一模）春节期间为了表达美好的祝福，抢微信红包成为了人们最喜欢的活动之一．某中学九年级六班班长对全班学生在春节期间所抢的红包金额进行统计，并绘制成了统计图．请根据相关信息，解答下列问题：
（Ⅰ）本次抽取的学生人数为　40　，图①中m的值为　25　；
（Ⅱ）求统计的这组红包金额数据的平均数、众数和中位数．
【考点】众数；加权平均数；中位数．
【专题】数据的收集与整理；数据分析观念．
【分析】（1）求得直方图中各组人数的和即可求得本次抽取的学生人数，利用百分比的意义求得m；
（2）根据扇形统计图中的数据，可以计算出平均数，再根据统计图中的数据可以得到众数和中位数．
【解答】解：（Ⅰ）4+6+12+10+8＝40（人），
m＝100×＝25．
故答案是：40，25；
（Ⅱ）∵＝33，
∴这组红包金额数据的平均数为33，
∵这组数据中，30出现了12次，出现次数最多，
∴这组数据的众数为30，
∵将这组数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间位置的两个数是30，
∴，
∴这组红包金额数据的中位数为30．
【点评】本题考查条形统计图和扇形统计图、平均数、中位数、众数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
21．（2018 红桥区一模）已知PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，连接AO并延长，交PB的延长线于点C，连接PO，交⊙O于点D．
（I）如图①，若∠AOP＝65°，求∠C的大小；
（II）如图②，连接BD，若BD∥AC，求∠C的大小．
【考点】切线的性质．
【专题】几何图形．
【分析】（Ⅰ）根据切线的性质和三角形的内角和解答即可；
（Ⅱ）连接OB，设∠AOP为x，利用三角形内角和解答即可．
【解答】
解：（Ⅰ）连接BO，
∵PA、PB是⊙O的切线，
∴∠APO＝∠BPO，PA⊥AO，PB⊥OB，
∵∠AOP＝65°，
∴∠APO＝90°﹣65°＝25°，
∴∠BPO＝∠APO＝25°，
＜∠AOP＝∠BPO+∠C，
∴∠C＝∠AOP﹣∠BPO＝65°﹣25°＝40°，
（Ⅱ）连接OB，设∠AOP＝x，
∵PA、PB是⊙O的切线，
∴∠APO＝∠BPO＝x，PA⊥AO，PB⊥OB，
∴∠APO＝90°﹣∠AOP＝90°﹣x，
∠BOP＝90°﹣∠BPO＝90°﹣x，
∴∠BOC＝180°﹣∠AOP﹣∠BOP＝180°﹣2x，
∴∠OCB＝90°﹣∠BOC＝90°﹣2x，
∵OC∥BD，
∴∠DBP＝∠C＝90°﹣2x，
∴∠OBD＝2x，
∵OB＝OD，
∴∠ODB＝∠OBD＝2x，
∵∠OBD+∠ODB+∠DOB＝180°，
∴x＝30°，
∴∠C＝90°﹣2x＝30°．
【点评】本题考查了切线的性质，解本题的关键是根据切线的性质和三角形的内角和解答．
22．（2014 广元）如图，山坡上有一棵树AB，树底部B点到山脚C点的距离BC为6米，山坡的坡角为30°．小宁在山脚的平地F处测量这棵树的高，点C到测角仪EF的水平距离CF＝1米，从E处测得树顶部A的仰角为45°，树底部B的仰角为20°，求树AB的高度．
（参考数值：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题；解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
【分析】首先在直角三角形BDC中求得DC的长，然后求得DF的长，进而求得GF的长，然后在直角三角形BGE中即可求得BG的长，从而求得树高．
【解答】解：∵底部B点到山脚C点的距离BC为6米，山坡的坡角为30°．
∴在Rt△BDC中
DC＝BC cos30°＝6 ＝9米，
∵CF＝1米，
∴DF＝9+1＝10米，
∴GE＝10米，
∵∠AEG＝45°，
∴AG＝EG＝10米，
在直角三角形BGE中，
BG＝GE tan20°＝10×0.36＝3.6米，
∴AB＝AG﹣BG＝10﹣3.6＝6.4米，
答：树高约为6.4米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，要求学生借助俯角构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．
23．（2015 玉林）某超市对进货价为10元/千克的某种苹果的销售情况进行统计，发现每天销售量y（千克）与销售价x（元/千克）存在一次函数关系，如图所示．
（1）求y关于x的函数关系式（不要求写出x的取值范围）；
（2）应怎样确定销售价，使该品种苹果的每天销售利润最大？最大利润是多少？
【考点】二次函数的应用．
【分析】（1）由图象过点（20，20）和（30，0），利用待定系数法求直线解析式；
（2）每天利润＝每千克的利润×销售量．据此列出表达式，运用函数性质解答．
【解答】解：（1）设y＝kx+b，由图象可知，
，
解之，得：，
∴y＝﹣2x+60；
（2）p＝（x﹣10）y
＝（x﹣10）（﹣2x+60）
＝﹣2x2+80x﹣600，
∵a＝﹣2＜0，
∴p有最大值，
当x＝﹣＝20时，p最大值＝200．
即当销售单价为20元/千克时，每天可获得最大利润200元．
【点评】此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式以及求二次函数最值等知识，解题的关键是理解题意，根据题意求得函数解析式，注意待定系数法的应用，注意数形结合思想的应用．
24．（2019 红桥区一模）在平面直角坐标系中，O为原点，点A（4，0），点B（0，3），把△ABO绕点A顺时针旋转，得△AB′O′，点B，O旋转后的对应点为B′，O′．记旋转角为α．
（Ⅰ）如图①，若α＝90°，求BB′的长；
（Ⅱ）如图②，若α＝120°，求点O′的坐标；
（Ⅲ）记K为AB的中点，S为△KO′B′的面积，求S的取值范围（直接写出结果即可）．
【考点】三角形综合题．
【专题】几何综合题．
【分析】（I）根据勾股定理得AB＝5，由旋转性质可得∠BAB'＝90°，A′B＝AB＝5．继而得出BB′＝5；
（II）作O′D⊥x轴，由旋转的性质可得：∠O′AO＝120°，O′A＝OA＝4，在Rt△O′AD中，由∠O′AD＝60°得AD、O′D的长，继而得出答案；
（III）如图中，当点O′在AB上时，△KB′O′的面积最小，当点O′在BA的延长线上时，△KB′O′的面积最大，求出面积的最小值以及最大值即可解决问题．
【解答】解：（I）如图①，∵点A（4，0），点B（0，3），
∴OA＝4，OB＝3．
在Rt△ABO中，由勾股定理得AB＝5．
根据题意△ABO绕点A顺时针旋转，得△AB′O′，
由旋转的性质可得：∠BAB'＝90°，A′B＝AB＝5，
∴BB′＝5．
（II）如图②，过O'作O'D⊥x轴于D，则∠O′DA＝90°．
由旋转的性质可得：∠O′AO＝120°，O′A＝OA＝4，
在Rt△O′AD中，由∠O′AD＝60°，∠AO′D＝30°．
∴AD＝O′A＝2．
由勾股定理O′D＝＝2，
∴OD＝OA+OD＝4+2＝6．
∴点O′的坐标为（6，2）；
（III）如图所示，当点O′在AB上时，△KB′O′的面积最小，最小面积S＝＝×3×（4﹣2.5）＝，
当点O′在BA的延长线上时，△KB′O′的面积最大，最大面积S＝×KO′×BO′＝＝，
综上所述，≤S≤．
【点评】本题是三角形的综合题，主要考查旋转的性质及勾股定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考压轴题．
25．（2021 南开区一模）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A（4，0）、B（﹣1，0）、C（0，4）三点．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）如图1，点D是在直线AC上方的抛物线的一点，DN⊥AC于点N，DM∥y轴交AC于点M，求△DMN周长的最大值及此时点D的坐标；
（3）如图2，点P为第一象限内的抛物线上的一个动点，连接OP，OP与AC相交于点Q，求的最大值．
【考点】二次函数综合题．
【专题】综合题；函数的综合应用；运算能力；推理能力．
【分析】（1）根据抛物线经过A（4，0）、B（﹣1，0）、C（0，4）三点，法一：代入抛物线解析式即可；
法二利用交点式得y＝a（x﹣4）（x+1）（a≠0），将C（0，4）坐标代入即可计算；
法三根据A（4，0）、B（﹣1，0）利用对称轴方程即可求解；
（2）延长DM交x轴于点H，根据题意证明△DMN是等腰直角三角形，然后求出直线AC的解析式为y＝﹣x+4，设D（m，﹣m2+3m+4），∴M（m，﹣m+4），根据等腰三角形的性质即可得结论；
（3）法一：过PM∥y轴交AC于点M，由题意，设P（m，﹣m2+3m+4），∴M（m，﹣m+4），根据平行线分线段成比例定理列式计算即可；
法二：设Q（m，﹣m+4），P（n，﹣n2+3n+4），求出直线OP的解析式，将P（n，﹣n2+3n+4）坐标代入列式计算即可．
【解答】解：（1）法一：依题意，得，
解之，得，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+3x+4．
法二：依题意，得y＝a（x﹣4）（x+1）（a≠0），
将C（0，4）坐标代入得，
﹣3a＝3，
解得a＝﹣1，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+3x+4．
法三：依题意，得，
解之，得，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+3x+4．
（2）如图1，延长DM交x轴于点H，
∵OA＝OC＝4，OA⊥OC，DM∥y轴交AC于点M，
∴∠OAC＝45°，∠AHM＝90°，
∵DN⊥AC于点N，
∴∠AMH＝∠DMN＝45°，
∴△DMN是等腰直角三角形，
∴．
设直线AC的解析式为y＝kx+b'（k≠0），
将A（4，0）、C（0，4）两点坐标代入得，
解得，
所以直线AC的解析式为y＝﹣x+4，
设D（m，﹣m2+3m+4），
∴M（m，﹣m+4），
∴DM＝﹣m2+3m+4﹣（﹣m+4）＝﹣m2+4m＝﹣（m﹣2）2+4，
∴当m＝2时，DM最大值为4，
此时D（2，6），
∵△DMN是等腰直角三角形，
∴△DMN周长＝，
∴△DMN周长的最大值为，
此时D（2，6）．
（3）法一：如图2，过PM∥y轴交AC于点M，
设P（m，﹣m2+3m+4），
∴M（m，﹣m+4），
∴PM＝﹣m2+3m+4﹣（﹣m+4）＝﹣m2+4m＝﹣（m﹣2）2+4，
∵PM∥OC，
∴，
∴，
∵，
∴当m＝2时，的最大值为1．
法二：如图2，设Q（m，﹣m+4），P（n，﹣n2+3n+4），
∴．
设直线OP的解析式为y＝kx（k≠0），
将Q（m，﹣m+4）点代入得，
∴直线OP的解析式，
将P（n，﹣n2+3n+4）坐标代入得，，
所以，
化简得，
∴，
∵
∴当n＝2时，的最大值为1．
【点评】本题属于二次函数综合题，解决本题的关键是将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．
考点卡片
1．有理数的减法
（1）有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数． 即：a﹣b＝a+（﹣b）
（2）方法指引：
①在进行减法运算时，首先弄清减数的符号；
②将有理数转化为加法时，要同时改变两个符号：一是运算符号（减号变加号）； 二是减数的性质符号（减数变相反数）；
【注意】：在有理数减法运算时，被减数与减数的位置不能随意交换；因为减法没有交换律．
减法法则不能与加法法则类比，0加任何数都不变，0减任何数应依法则进行计算．
2．科学记数法—表示较大的数
（1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】
（2）规律方法总结：
①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n．
②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号．
3．估算无理数的大小
估算无理数大小要用逼近法．
思维方法：用有理数逼近无理数，求无理数的近似值．
4．幂的乘方与积的乘方
（1）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．
（am）n＝amn（m，n是正整数）
注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别．
（2）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
（ab）n＝anbn（n是正整数）
注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果．
5．二次根式的混合运算
（1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点：
①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．
②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“．
（2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式．
（3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
6．解二元一次方程组
（1）用代入法解二元一次方程组的一般步骤：①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来．②将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求出x（或y）的值．④将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值．⑤把求得的x、y的值用“{”联立起来，就是方程组的解．
（2）用加减法解二元一次方程组的一般步骤：①方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数．②把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求得未知数的值．④将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值．⑤把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解，用的形式表示．
7．在数轴上表示不等式的解集
用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：
一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；
二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．
【规律方法】不等式解集的验证方法
　　某不等式求得的解集为x＞a，其验证方法可以先将a代入原不等式，则两边相等，其次在x＞a的范围内取一个数代入原不等式，则原不等式成立．
8．解一元一次不等式组
（1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集．
（2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组．
（3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．
方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分．
解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
9．坐标与图形性质
1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．
2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．
3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题．
10．一次函数图象上点的坐标特征
一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（﹣，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）．
直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b．
11．反比例函数图象上点的坐标特征
反比例函数y＝k/x（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，
①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k；
②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称；
③在y＝k/x图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
12．二次函数图象与系数的关系
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）
①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．
当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小．
②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．
当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异）
③．常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）．
④抛物线与x轴交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
13．二次函数的应用
（1）利用二次函数解决利润问题
在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．
（2）几何图形中的最值问题
几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论．
（3）构建二次函数模型解决实际问题
利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．
14．二次函数综合题
（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题
解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项．
（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用
将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．
（3）二次函数在实际生活中的应用题
从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义．
15．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
16．直角三角形斜边上的中线
（1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）
（2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形．
该定理可以用来判定直角三角形．
17．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a＝，b＝及c＝．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
18．三角形综合题
三角形综合题．
19．平行四边形的性质
（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
（2）平行四边形的性质：
①边：平行四边形的对边相等．
②角：平行四边形的对角相等．
③对角线：平行四边形的对角线互相平分．
（3）平行线间的距离处处相等．
（4）平行四边形的面积：
①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．
②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．
20．圆周角定理
（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．
（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．
（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．
21．三角形的外接圆与外心
（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．
（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．
（3）概念说明：
①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．
②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．
③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个．
22．切线的性质
（1）切线的性质
①圆的切线垂直于经过切点的半径．
②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
（2）切线的性质可总结如下：
如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直．
（3）切线性质的运用
由定理可知，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直．
23．作图—复杂作图
复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．
解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
24．旋转的性质
（1）旋转的性质：
　　　　①对应点到旋转中心的距离相等．　　　　②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．　　　　③旋转前、后的图形全等．　　（2）旋转三要素：①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度．　　　　注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样．
25．中心对称图形
（1）定义
把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
注意：中心对称图形和中心对称不同，中心对称是两个图形之间的关系，而中心对称图形是指一个图形自身的特点，这点应注意区分，它们性质相同，应用方法相同．
（2）常见的中心对称图形
平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．
26．特殊角的三角函数值
（1）特指30°、45°、60°角的各种三角函数值．
sin30°＝； cos30°＝；tan30°＝；
sin45°＝；cos45°＝；tan45°＝1；
sin60°＝；cos60°＝； tan60°＝；
（2）应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记．
（3）特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多．
27．解直角三角形的应用-坡度坡角问题
（1）坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i＝1：m的形式．
（2）把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i＝h/l＝tanα．
（3）在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题．
应用领域：①测量领域；②航空领域 ③航海领域：④工程领域等．
28．解直角三角形的应用-仰角俯角问题
（1）概念：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角．
（2）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．
29．简单组合体的三视图
（1）画简单组合体的三视图要循序渐进，通过仔细观察和想象，再画它的三视图．
（2）视图中每一个闭合的线框都表示物体上的一个平面，而相连的两个闭合线框常不在一个平面上．
（3）画物体的三视图的口诀为：
主、俯：长对正；
主、左：高平齐；
俯、左：宽相等．
30．频数与频率
（1）频数是指每个对象出现的次数．
（2）频率是指每个对象出现的次数与总次数的比值（或者百分比）．即频率＝频数÷总数
一般称落在不同小组中的数据个数为该组的频数，频数与数据总数的比值为频率．频率反映了各组频数的大小在总数中所占的分量．
31．加权平均数
（1）加权平均数：若n个数x1，x2，x3，…，xn的权分别是w1，w2，w3，…，wn，则x1w1+x2w2+…+xnwnw1+w2+…+wn叫做这n个数的加权平均数．
（2）权的表现形式，一种是比的形式，如4：3：2，另一种是百分比的形式，如创新占50%，综合知识占30%，语言占20%，权的大小直接影响结果．
（3）数据的权能够反映数据的相对“重要程度”，要突出某个数据，只需要给它较大的“权”，权的差异对结果会产生直接的影响．
（4）对于一组不同权重的数据，加权平均数更能反映数据的真实信息．
32．中位数
（1）中位数：
将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．
如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
（2）中位数代表了这组数据值大小的“中点”，不易受极端值影响，但不能充分利用所有数据的信息．
（3）中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的移动对中位数没有影响，中位数可能出现在所给数据中也可能不在所给的数据中出现，当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述其趋势．
33．众数
（1）一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
（2）求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．
（3）众数不易受数据中极端值的影响．众数也是数据的一种代表数，反映了一组数据的集中程度，众数可作为描述一组数据集中趋势的量．．
34．模拟实验
（1）在一些有关抽取实物实验中通常用摸取卡片代替了实际的物品或人抽取，这样的实验称为模拟实验．
（2）模拟实验是用卡片、小球编号等形式代替实物进行实验，或用计算机编号等进行实验，目的在于省时、省力，但能达到同样的效果．
（3）模拟实验只能用更简便方法完成，验证实验目的，但不能改变实验目的，这部分内容根据《新课标》要求，只要设计出一个模拟实验即可．
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