2021-2022学年下学期天津初中北师大版数学九年级期中典型试卷2（含解析）

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2021-2022学年下学期天津初中数学九年级期中典型试卷2
一．选择题（共12小题）
1．（2020 东丽区一模）计算（﹣18）÷9的值是（　　）
A．﹣27 B．﹣9 C．﹣2 D．2
2．（2019 河东区一模）tan60°的值为（　　）
A． B． C． D．
3．（2021 陕西模拟）据国家邮政局统计，2021年农历除夕和初一两天，全国快递处理超130 000 000件，与去年同期相比增长223%，快递的春节“不打烊”服务确保了广大用户能够顺利收到年货，欢度佳节．将130 000 000用科学记数法表示应为（　　）
A．1.3×107 B．13×107 C．1.3×108 D．0.13×109
4．（2021 南开区一模）民族图案是数学文化中的一块瑰宝．下列图案中，既不是中心对称图形也不是轴对称图形的是（　　）
A．
B．
C．
D．
5．（2021 红桥区一模）如图是一个由6个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（　　）
A． B．
C． D．
6．（2021 红桥区一模）估计的值在（　　）
A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
7．（2021 滨海新区一模）计算的结果为（　　）
A．a﹣b B．a+b C． D．
8．（2021 滨海新区一模）方程组的解是（　　）
A． B． C． D．
9．（2020 东城区模拟）如果a﹣b＝2，那么代数式（﹣b） 的值为（　　）
A．4 B．3 C．2 D．
10．（2015 天津）已知反比例函数y＝，当1＜x＜3时，y的取值范围是（　　）
A．0＜y＜1 B．1＜y＜2 C．2＜y＜6 D．y＞6
11．（2019 西青区二模）作抛物线A关于x轴对称的抛物线B，再将抛物线B向左平移2个单位，向上平移1个单位，得到的抛物线C的函数解析式是y＝2（x+1）2﹣1，则抛物线A所对应的函数表达式是（　　）
A．y＝﹣2（x+3）2﹣2 B．y＝﹣2（x+3）2+2
C．y＝﹣2（x﹣1）2﹣2 D．y＝﹣2（x﹣1）2+2
12．（2018 津南区一模）点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）在反比例函数y＝的图象上，若x1＜x2＜0＜x3，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y1＜y3
二．填空题（共6小题）
13．（2021 南开区一模）化简：2x2+1﹣3x+7﹣2x2+5x＝　 　．
14．（2021 南开区一模）计算（+2）（﹣2）的结果等于　 　．
15．（2021 红桥区一模）不透明袋子中装有5个球，其中有2个红球、2个绿球和1个蓝球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是　 　．
16．（2021 红桥区一模）若一次函数y＝3x+b的图象经过第一、三、四象限，则b的值可以是　 　（写出一个即可）
17．（2021 滨海新区一模）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，AD平分∠CAB，过点B作BE⊥AB，与AD的延长线相交于点E．若CA＝1，则BE的长等于　 　．
18．（2021 滨海新区一模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，A，B，C均为格点．
（Ⅰ）△ABC的边AC的长等于　 　；
（Ⅱ）点P，Q分别为边AB、AC上的动点，连接PQ、QB，当PQ+QB取得最小值时，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺画出点P，Q的位置，并简要说明是如何找到的（不要求证明）．
三．解答题（共7小题）
19．（2019 天津）解不等式组
请结合题意填空，完成本题的解答．
（Ⅰ）解不等式①，得　 　；
（Ⅱ）解不等式②，得　 　；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
（Ⅳ）原不等式组的解集为　 　．
20．（2014 天津）为了推动阳光体育运动的广泛开展，引导学生走向操场，走进大自然，走到阳光下，积极参加体育锻炼，学校准备购买一批运动鞋供学生借用，现从各年级随机抽取了部分学生的鞋号，绘制了统计图①和图②，请根据相关信息，解答下列问题：
（Ⅰ）本次接受随机抽样调查的学生人数为 　 　，图①中m的值为 　 　；
（Ⅱ）求本次调查获取的样本数据的众数和中位数；
（Ⅲ）根据样本数据，若学校计划购买200双运动鞋，建议购买35号运动鞋多少双？
21．（2020 北辰区二模）如图，某旅游景区为方便游客，修建了一条东西走向的栈道AB，栈道AB与景区道路CD平行．在C处测得栈道一端A位于北偏西45°方向，在D处测得栈道另一端B位于北偏东32°方向．已知AC＝60m，CD＝46m，求栈道AB的长（结果保留整数）．
参考数据：sin32°≈0.53，cos32°≈0.85，tan32°≈0.62，≈1.414．
22．（2020 津南区一模）已知：△ABC内接于⊙O，，P是△ABC外一点．
（Ⅰ）如图①，点P在⊙O上，若∠BPC＝78°，求∠CAB和∠ACB的大小；
（Ⅱ）如图②，点P在⊙O外，BC是⊙O的直径，PB与⊙O相切于点B，若∠BPC＝55°，求∠PCA的大小．
23．（2021 南开区一模）小明骑自行车保持匀速从甲地到乙地，到达乙地后，休息了一段时间，然后以相同的速度原路返回，停在甲地，设小明出发x（min）后，到达距离甲地y（m）的地方，图中的折线表示的是y与x之间的函数关系．
（Ⅰ）甲、乙两地的距离为　 　，a＝　 　；
（Ⅱ）求小明从乙地返回甲地过程中，y与x之间的函数关系式；
（Ⅲ）在小明从甲地出发的同时，小红从乙地步行至甲地，保持100m/min的速度不变，到甲地停止，当小明从甲地出发　 　min时，与小红相距200米．
24．（2021 南开区一模）在平面直角坐标系中，O为原点，四边形OABC是矩形，点A，C的坐标分别为（3，0），（0，1）．点D是边BC上的动点（与端点B，C不重合），过点D作直线y＝﹣x+b交边OA于点E．
（Ⅰ）如图①，求点D和点E的坐标（用含b的式子表示）；
（Ⅱ）如图②，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为矩形O1A1B1C1，试探究矩形O1A1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化？若不变，求出重叠部分的面积；若改变，请说明理由；
（Ⅲ）矩形OABC绕着它的对称中心旋转，如果重叠部分的形状是菱形，请直接写出这个菱形的面积的最小值和最大值．
25．（2021 红桥区一模）已知抛物线y＝﹣x2+bx+5与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）．
（Ⅰ）若该抛物线的对称轴为直线x＝2．
①求该抛物线的解析式；
②在对称轴上是否存在一点P，使点B关于直线OP的对称点B'恰好落在对称轴上．若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（Ⅱ）当b≥4，0≤x≤2时，函数值y的最大值满足5≤y≤17，求b的取值范围．
2021-2022学年下学期天津初中数学九年级期中典型试卷2
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．（2020 东丽区一模）计算（﹣18）÷9的值是（　　）
A．﹣27 B．﹣9 C．﹣2 D．2
【考点】有理数的除法．
【专题】常规题型．
【分析】直接利用有理数的除法运算法则计算得出答案．
【解答】解：（﹣18）÷9＝﹣2．
故选：C．
【点评】此题主要考查了有理数的除法运算，正确掌握运算法则是解题关键．
2．（2019 河东区一模）tan60°的值为（　　）
A． B． C． D．
【考点】特殊角的三角函数值．
【分析】将特殊角的三角函数值代入求解．
【解答】解：tan60°＝．
故选：C．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．
3．（2021 陕西模拟）据国家邮政局统计，2021年农历除夕和初一两天，全国快递处理超130 000 000件，与去年同期相比增长223%，快递的春节“不打烊”服务确保了广大用户能够顺利收到年货，欢度佳节．将130 000 000用科学记数法表示应为（　　）
A．1.3×107 B．13×107 C．1.3×108 D．0.13×109
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【专题】实数；数感．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：130000000＝1.3×108．
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．（2021 南开区一模）民族图案是数学文化中的一块瑰宝．下列图案中，既不是中心对称图形也不是轴对称图形的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】中心对称图形；轴对称图形．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【分析】根据中心对称图形和轴对称图形的概念对各图形分析判断即可得解．
【解答】解：A、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不合题意；
B、既是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项不合题意；
C、既不是中心对称图形也不是轴对称图形，故本选项符合题意；
D、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原重图合．
5．（2021 红桥区一模）如图是一个由6个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】简单组合体的三视图．
【专题】投影与视图；空间观念．
【分析】根据主视图即从物体的正面观察进而得出答案．
【解答】解：从正面看，共有4列，从左到右每列的小正方形的个数分别为1、1、2、1，
故选：C．
【点评】此题主要考查了简单几何体的三视图，正确把握观察角度是解题关键．
6．（2021 红桥区一模）估计的值在（　　）
A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
【考点】估算无理数的大小．
【专题】常规题型．
【分析】直接利用估算无理数的方法分析得出答案．
【解答】解：∵5＜＜6，
∴的值在5和6之间．
故选：D．
【点评】此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出的取值范围是解题关键．
7．（2021 滨海新区一模）计算的结果为（　　）
A．a﹣b B．a+b C． D．
【考点】分式的加减法．
【专题】分式；运算能力．
【分析】先通分，再根据同分母的分式加减法进行计算，最后约分可得结论．
【解答】解：原式＝﹣
＝
＝．
故选：C．
【点评】本题考查了分式的加减法，确定最简公分母是通分的前提，因式分解和约分是解题的关键．
8．（2021 滨海新区一模）方程组的解是（　　）
A． B． C． D．
【考点】解二元一次方程组．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【分析】应用加减消元法，求出方程组的解是多少即可．
【解答】解：，
①×2+②，可得11x＝33，
解得x＝3，
把x＝3代入①，解得y＝3，
∴原方程组的解是．
故选：A．
【点评】此题主要考查了解二元一次方程组的方法，要熟练掌握，注意代入消元法和加减消元法的应用．
9．（2020 东城区模拟）如果a﹣b＝2，那么代数式（﹣b） 的值为（　　）
A．4 B．3 C．2 D．
【考点】分式的化简求值．
【专题】分式；运算能力．
【分析】根据分式的减法和乘法可以化简题目中的式子，然后将a﹣b的值代入化简后的式子，即可解答本题．
【解答】解：（﹣b）
＝
＝
＝，
当a﹣b＝2时，原式＝＝，
故选：D．
【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
10．（2015 天津）已知反比例函数y＝，当1＜x＜3时，y的取值范围是（　　）
A．0＜y＜1 B．1＜y＜2 C．2＜y＜6 D．y＞6
【考点】反比例函数的性质．
【分析】利用反比例函数的性质，由x的取值范围并结合反比例函数的图象解答即可．
【解答】解：∵k＝6＞0，
∴在每个象限内y随x的增大而减小，
又∵当x＝1时，y＝6，
当x＝3时，y＝2，
∴当1＜x＜3时，2＜y＜6．
故选：C．
【点评】本题主要考查反比例函数的性质，当k＞0时，在每一个象限内，y随x的增大而减小；当k＜0时，在每一个象限，y随x的增大而增大．
11．（2019 西青区二模）作抛物线A关于x轴对称的抛物线B，再将抛物线B向左平移2个单位，向上平移1个单位，得到的抛物线C的函数解析式是y＝2（x+1）2﹣1，则抛物线A所对应的函数表达式是（　　）
A．y＝﹣2（x+3）2﹣2 B．y＝﹣2（x+3）2+2
C．y＝﹣2（x﹣1）2﹣2 D．y＝﹣2（x﹣1）2+2
【考点】二次函数图象与几何变换．
【分析】易得抛物线C的顶点，进而可得到抛物线B的坐标，根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得抛物线B的解析式，而根据关于x轴对称的两条抛物线的顶点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，二次项系数互为相反数可得到抛物线A所对应的函数表达式．
【解答】解：易得抛物线C的顶点为（﹣1，﹣1），
∵是向左平移2个单位，向上平移1个单位得到抛物线C的，
∴抛物线B的坐标为（1，﹣2），
可设抛物线B的坐标为y＝2（x﹣h）2+k，代入得：y＝2（x﹣1）2﹣2，
易得抛物线A的二次项系数为﹣2，顶点坐标为（1，2），
∴抛物线A的解析式为y＝﹣2（x﹣1）2+2．
故选：D．
【点评】讨论两个二次函数的图象的平移问题，只需看顶点坐标是如何平移得到的即可；关于x轴对称的两条抛物线的顶点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，二次项系数互为相反数．
12．（2018 津南区一模）点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）在反比例函数y＝的图象上，若x1＜x2＜0＜x3，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y1＜y3
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
【专题】反比例函数及其应用．
【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据x1＜x2＜0＜x3，判断出三点所在的象限，再根据函数的增减性即可得出结论．
【解答】解：∵反比例函数y＝中，k＝1＞0，
∴此函数图象的两个分支在一、三象限，
∵x1＜x2＜0＜x3，
∴A、B在第三象限，点C在第一象限，
∴y1＜0，y2＜0，y3＞0，
∵在第三象限y随x的增大而减小，
∴y1＞y2，
∴y2＜y1＜y3．
故选：D．
【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，先根据题意判断出函数图象所在的象限及三点所在的象限是解答此题的关键．
二．填空题（共6小题）
13．（2021 南开区一模）化简：2x2+1﹣3x+7﹣2x2+5x＝　2x+8　．
【考点】合并同类项．
【专题】整式；运算能力．
【分析】先确定同类项，然后再利用合并同类项法则进行计算即可．
【解答】解：2x2+1﹣3x+7﹣2x2+5x
＝（2x2﹣2x2）+（﹣3x+5x）+（1+7）
＝2x+8．
故答案为：2x+8．
【点评】本题主要考查了合并同类项，合并同类项时，系数相加减，字母及其指数不变．
14．（2021 南开区一模）计算（+2）（﹣2）的结果等于　7　．
【考点】二次根式的混合运算；平方差公式．
【专题】二次根式；运算能力．
【分析】利用平方差公式计算．
【解答】解：原式＝（）2﹣22
＝11﹣4
＝7．
故答案为7
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
15．（2021 红桥区一模）不透明袋子中装有5个球，其中有2个红球、2个绿球和1个蓝球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是　　．
【考点】概率公式．
【专题】概率及其应用；数据分析观念．
【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
【解答】解：∵袋子中装有5个小球，其中红球有2个，
∴从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是．
故答案为：．
【点评】本题考查随机事件概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝．
16．（2021 红桥区一模）若一次函数y＝3x+b的图象经过第一、三、四象限，则b的值可以是　﹣1　（写出一个即可）
【考点】一次函数图象与系数的关系．
【专题】一次函数及其应用．
【分析】根据题中k＞0，可知图形经过一、三象限，又由图象还要经过四象限，判断b＜0．
【解答】解：一次函数y＝3x+b，其中k＝3，
∴图象经过一、三象限；
又∵图象经过第一、三、四象限，
∴b＜0，
故答案﹣1（答案不唯一）．
【点评】本题考查一次函数的图象．掌握一次函数解析式中k，b对图象的影响是解题的关键．
17．（2021 滨海新区一模）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，AD平分∠CAB，过点B作BE⊥AB，与AD的延长线相交于点E．若CA＝1，则BE的长等于　2﹣　．
【考点】角平分线的性质；等腰直角三角形．
【专题】线段、角、相交线与平行线；图形的相似；推理能力．
【分析】过D作DF⊥AB于F，根据已知条件得到△DBF是等腰直角三角形，求得DF＝BF，根据角平分线的性质得到CD＝DF，设CD＝DF＝BF＝x，根据等腰直角三角形的性质得到DF＝BF＝﹣1，由相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：过D作DF⊥AB于F，
∵∠ACB＝90°，CA＝CB，
∴∠ABC＝45°，
∴△DBF是等腰直角三角形，
∴DF＝BF，
∵DC⊥AC，DF⊥AB，AD平分∠CAB，
∴CD＝DF，
设CD＝DF＝BF＝x，
∴BD＝x，
∵AC＝BC＝1，
∴x+x＝1，
∴x＝﹣1，
∴DF＝BF＝﹣1，
∵AB＝AC＝，
∴AF＝AB﹣BF＝1，
∵EB⊥AB，DF⊥AB，
∴DF∥BE，
∴△ADF∽△AEB，
∴＝，
∴＝，
∴BE＝2﹣，
故答案为：2﹣．
【点评】本题考查了角平分线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
18．（2021 滨海新区一模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，A，B，C均为格点．
（Ⅰ）△ABC的边AC的长等于　　；
（Ⅱ）点P，Q分别为边AB、AC上的动点，连接PQ、QB，当PQ+QB取得最小值时，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺画出点P，Q的位置，并简要说明是如何找到的（不要求证明）．
【考点】作图—复杂作图；轴对称﹣最短路线问题；勾股定理．
【专题】作图题；推理能力．
【分析】（Ⅰ）利用勾股定理计算即可．
（Ⅱ）如图，取格点D，连接BD；连接格点EF交BD于点B1；连接格点GH交AC于点Q；连接B1Q并延长，交AB于点P，点PQ即为所求．
【解答】解：（Ⅰ）AC＝＝
故答案为：．
（Ⅱ）如图，取格点D，连接BD；连接格点EF交BD于点B1；连接格点GH交AC于点Q；连接B1Q并延长，交AB于点P，点PQ即为所求．
【点评】本题考查作图﹣应用与设计，无理数，勾股定理以及勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
三．解答题（共7小题）
19．（2019 天津）解不等式组
请结合题意填空，完成本题的解答．
（Ⅰ）解不等式①，得　x≥﹣2　；
（Ⅱ）解不等式②，得　x≤1　；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
（Ⅳ）原不等式组的解集为　﹣2≤x≤1　．
【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．
【专题】一元一次不等式（组）及应用．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：（Ⅰ）解不等式①，得x≥﹣2；
（Ⅱ）解不等式②，得x≤1；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
（Ⅳ）原不等式组的解集为﹣2≤x≤1．
故答案为：x≥﹣2，x≤1，﹣2≤x≤1．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
20．（2014 天津）为了推动阳光体育运动的广泛开展，引导学生走向操场，走进大自然，走到阳光下，积极参加体育锻炼，学校准备购买一批运动鞋供学生借用，现从各年级随机抽取了部分学生的鞋号，绘制了统计图①和图②，请根据相关信息，解答下列问题：
（Ⅰ）本次接受随机抽样调查的学生人数为 　40　，图①中m的值为 　15　；
（Ⅱ）求本次调查获取的样本数据的众数和中位数；
（Ⅲ）根据样本数据，若学校计划购买200双运动鞋，建议购买35号运动鞋多少双？
【考点】条形统计图；中位数；众数；用样本估计总体；扇形统计图．
【专题】图表型．
【分析】（Ⅰ）根据条形统计图求出总人数即可；由扇形统计图以及单位1，求出m的值即可；
（Ⅱ）找出出现次数最多的即为众数，将数据按照从小到大顺序排列，求出中位数即可；
（Ⅲ）根据题意列出算式，计算即可得到结果．
【解答】解：（Ⅰ）本次接受随机抽样调查的学生人数为6+12+10+8+4＝40，图①中m的值为100﹣30﹣25﹣20﹣10＝15；
故答案为：40；15；
（Ⅱ）∵在这组样本数据中，35出现了12次，出现次数最多，
∴这组样本数据的众数为35；
∵将这组样本数据从小到大得顺序排列，其中处于中间的两个数都为36，
∴中位数为＝36；
（Ⅲ）∵在40名学生中，鞋号为35的学生人数比例为30%，
∴由样本数据，估计学校各年级中学生鞋号为35的人数比例约为30%，
则计划购买200双运动鞋，有200×30%＝60双为35号．
【点评】此题考查了条形统计图，扇形统计图，以及用样本估计总体，弄清题意是解本题的关键．
21．（2020 北辰区二模）如图，某旅游景区为方便游客，修建了一条东西走向的栈道AB，栈道AB与景区道路CD平行．在C处测得栈道一端A位于北偏西45°方向，在D处测得栈道另一端B位于北偏东32°方向．已知AC＝60m，CD＝46m，求栈道AB的长（结果保留整数）．
参考数据：sin32°≈0.53，cos32°≈0.85，tan32°≈0.62，≈1.414．
【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题．
【专题】数形结合；解直角三角形及其应用；应用意识．
【分析】如图，过C作CH⊥AB于点H，过点D作DG⊥AB于点G，构造两个直角三角形和一个矩形，通过解直角三角形求得线段AH，BG的长度，结合矩形的性质得到AB＝AH+CD+BG，此题得解．
【解答】解：如图，过C作CH⊥AB于点H，过点D作DG⊥AB于点G，
∵AB∥CD，
∴CH∥DG．
∴四边形CHGD是矩形．
∴CH＝DG，HG＝CD．
在Rt△ACH中，∠ACH＝45°，AC＝60m，
∴CH＝AC cos45°＝60×＝（m），
AH＝AC sin45°＝60×＝（m）．
在Rt△BDG中，∠DBG＝32°，DG＝CH＝m，
∴BG＝DG tan32°＝×tan32°．
∴AB＝AH+HG+BG≈+46+×0.62≈115（m）．
答：栈道AB的长度约为115m．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．
22．（2020 津南区一模）已知：△ABC内接于⊙O，，P是△ABC外一点．
（Ⅰ）如图①，点P在⊙O上，若∠BPC＝78°，求∠CAB和∠ACB的大小；
（Ⅱ）如图②，点P在⊙O外，BC是⊙O的直径，PB与⊙O相切于点B，若∠BPC＝55°，求∠PCA的大小．
【考点】切线的性质；圆周角定理；三角形的外接圆与外心．
【专题】与圆有关的位置关系；几何直观．
【分析】（Ⅰ）根据圆内接四边形的性质得到∠CAB＝102°，再利用圆周角定理得到∠ACB＝∠ABC，然后根据三角形内角和计算∠ACB的度数；
（Ⅱ）利用圆周角定理得到∠CAB＝90°，则∠ACB＝45°，根据切线的性质得∠PBC＝90°，利用互余计算出∠PCB＝35°，然后计算∠PCB+∠ACB即可．
【解答】解：（Ⅰ）∵四边形ABPC是⊙O的内接四边形，
∴∠CAB＝180°﹣∠BPC＝102°，
∵，
∴AB＝AC，
∴∠ACB＝∠ABC．
∴∠ACB＝（180°﹣∠BAC）＝（180°﹣102°）＝39°；
（Ⅱ）∵BC是⊙O的直径，
∴∠CAB＝90°，
由（Ⅰ）知，∠ACB＝∠ABC．
∴∠ACB＝45°，
又∵PB与⊙O相切，
∴PB⊥BC．即∠PBC＝90°．
∴∠PCB＝90°﹣∠BPC＝35°，
∴∠PCA＝∠PCB+∠ACB＝80°．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理．
23．（2021 南开区一模）小明骑自行车保持匀速从甲地到乙地，到达乙地后，休息了一段时间，然后以相同的速度原路返回，停在甲地，设小明出发x（min）后，到达距离甲地y（m）的地方，图中的折线表示的是y与x之间的函数关系．
（Ⅰ）甲、乙两地的距离为　2000m　，a＝　14　；
（Ⅱ）求小明从乙地返回甲地过程中，y与x之间的函数关系式；
（Ⅲ）在小明从甲地出发的同时，小红从乙地步行至甲地，保持100m/min的速度不变，到甲地停止，当小明从甲地出发　6或或23　min时，与小红相距200米．
【考点】一次函数的应用．
【专题】一次函数及其应用；应用意识．
【分析】（Ⅰ）根据图象可知甲、乙两地的距离为2000m，根据以相同的速度原路返回，可知a＝24﹣10＝14；
（Ⅱ）设y与x解析式为y＝kx+b，把（14，2000）与（24，0）代入求出k与b的值，即可确定出解析式；
（Ⅲ）先求出小明骑自行车的速度，再根据题意列方程解答即可．
【解答】解：（Ⅰ）由图象可知，甲、乙两地的距离为2000m；a＝24﹣10＝14；
（Ⅱ）设y＝kx+b，
把（14，2000）与（24，0）代入得：
，
解得：k＝﹣200，b＝4800，
则y＝﹣200x+4800；
（Ⅲ）小明骑自行车的速度为：2000÷10＝200（m/min），
根据题意，得（200+100）x＝2000﹣200或（200+100）x＝2000+200或200（x﹣4）＝4000﹣200，
解得x＝6或x＝或x＝23，
即小明从甲地出发6分钟或分钟或23分钟，与小红相距200米．
故答案为：（Ⅰ）2000m；14；（Ⅲ）6或或23．
【点评】此题考查了一次函数的应用，待定系数法求一次函数解析式，从图象上得出有用的信息是解本题的关键．
24．（2021 南开区一模）在平面直角坐标系中，O为原点，四边形OABC是矩形，点A，C的坐标分别为（3，0），（0，1）．点D是边BC上的动点（与端点B，C不重合），过点D作直线y＝﹣x+b交边OA于点E．
（Ⅰ）如图①，求点D和点E的坐标（用含b的式子表示）；
（Ⅱ）如图②，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为矩形O1A1B1C1，试探究矩形O1A1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化？若不变，求出重叠部分的面积；若改变，请说明理由；
（Ⅲ）矩形OABC绕着它的对称中心旋转，如果重叠部分的形状是菱形，请直接写出这个菱形的面积的最小值和最大值．
【考点】几何变换综合题．
【分析】（1）根据题意得出点D纵坐标为1，点E的纵坐标为0，代入解析式即可；
（2）如图根据菱形的性质和勾股定理从而得出结论；
（3）分两种情况得出菱形面积的最大和最小值．
【解答】解：（1）∵四边形OABC是矩形，
∴CB∥x轴，
由点A，C的坐标分别为（3，0），（0，1）．
可得点D的纵坐标为1，
当y＝1时，y＝+b，
解得：x＝2b﹣2，
∴D的坐标为（2b﹣2，1）
当y＝0时，y＝+b，
解得：x＝2b，
∴E的坐标为（2b，0）
（Ⅱ）CB与O1A1的交点为M，C1B1与OA的交点为N，如图：
∵四边形OABC，四边形O1A1B1C1是矩形，
∴CB∥OA，C1B1∥O1A1，
∴四边形DMEN是平行四边形，
∵矩形OABC关于直线DE的对称图形为矩形O1A1B1C1，
∴∠1＝∠2，
∵CB∥OA，
∴∠2＝∠3，
∴∠1＝∠3，
∴DM＝ME，
∴平行四边形DMEN是菱形，
过点D作DH⊥OA于点H，
由D（2b﹣2，1），E（2b，0），
可知CD＝2b﹣2，OE＝2b，OH＝CD＝2b﹣2，
∴EH＝OE﹣OH＝2b﹣（2b﹣2）＝2，
设菱形DMEN的边长为m，
在Rt△DHN中，DH＝1，HN＝EH﹣NE＝2﹣m，DN＝m，
由DH2+HN2＝DN2，得12+（2﹣m）2＝m2，
解得：m＝，
∴，
所以重叠部分菱形DMEN的面积不变，为；
（Ⅲ）当NE＝1时，菱形面积的最小值是1；
当NE＝时，菱形面积的最大值是．（D与C重合，A与E重合，设DN＝AN＝x，在Rt△DNO中利用勾股定理列出方程计算）
【点评】本题考查了一次函数的性质，关键是根据点在函数图象上，点的坐标满足函数的解析式．也利用了菱形的特点．
25．（2021 红桥区一模）已知抛物线y＝﹣x2+bx+5与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）．
（Ⅰ）若该抛物线的对称轴为直线x＝2．
①求该抛物线的解析式；
②在对称轴上是否存在一点P，使点B关于直线OP的对称点B'恰好落在对称轴上．若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（Ⅱ）当b≥4，0≤x≤2时，函数值y的最大值满足5≤y≤17，求b的取值范围．
【考点】二次函数综合题．
【专题】代数几何综合题；压轴题；运算能力；推理能力；应用意识．
【分析】（Ⅰ）①根据抛物线的对称轴公式即可求出解析式；
②如图，若点P在x轴上方，点B关于OP对称的点B'在对称轴上，连接OB′、PB，根据轴对称的性质得到OB'＝OB，PB'＝PB，求出点B的坐标，利用勾股定理得到B′（2，），再根据PB'＝PB，列出方程解答，同理得到点P在x轴下方时的坐标即可；
（Ⅱ）当b≥4时，确定对称轴的位置，再结合开口方向，确定当0≤x≤2时，函数的增减性，从而得到当x＝2时，函数取最大值，再根据函数值y的最大值满足5≤y≤17，列出不等式解答即可．
【解答】解：（Ⅰ）①∵抛物线y＝﹣x2+bx+5，
∴抛物线的对称轴为直线x＝＝﹣＝，
∵若过点C的直线x＝2是抛物线的对称轴，
∴＝2，
解得：b＝4，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+4x+5；
②存在一点P，使点B关于直线OP的对称点B'恰好落在对称轴上．
如图，若点P在x轴上方，点B关于OP对称的点B'在对称轴上，连接OB′、PB，
∴OB'＝OB，PB'＝PB，
在y＝﹣x2+4x+5中，令y＝0，得﹣x2+4x+5＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝5，
∴A（﹣1，0），B（5，0），
∴OB'＝OB＝5，
∴CB′＝＝＝，
∴B′（2，），
设点P（2，m），
∵PB'＝PB，
∴﹣m＝，
解得：m＝，
∴P（2，）；
同理，当点P在x轴下方时，P（2，﹣）；
综上所述，点P（2，）或P（2，﹣）．
（Ⅱ）∵抛物线y＝﹣x2+bx+5的对称轴为直线x＝＝﹣＝，
∴当b≥4时，x＝≥2，
∵抛物线开口向下，在对称轴左边，y随x的增大而增大，
∴当0≤x≤2时，取x＝2，y有最大值，
∴y最大值＝﹣4+2b+5＝2b+1，
∵函数值y的最大值满足5≤y≤17，
∴5≤2b+1≤17，
解得：2≤b≤8，
又∵b≥4，
∴4≤b≤8．
【点评】本题考查了二次函数的综合应用，二次函数的图象与性质，勾股定理的应用，轴对称性质，二次函数最值问题，二次函数增减性应用等知识点，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质、轴对称性质等相关知识，灵活运用数形结合思想、分类讨论思想解决问题．
考点卡片
1．有理数的除法
（1）有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即：a÷b＝a （b≠0）
（2）方法指引：
（1）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0．
（2）有理数的除法要分情况灵活选择法则，若是整数与整数相除一般采用“同号得正，异号得负，并把绝对值相除”．如果有了分数，则采用“除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数”，再约分．乘除混合运算时一定注意两个原则：①变除为乘，②从左到右．
2．科学记数法—表示较大的数
（1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】
（2）规律方法总结：
①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n．
②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号．
3．估算无理数的大小
估算无理数大小要用逼近法．
思维方法：用有理数逼近无理数，求无理数的近似值．
4．合并同类项
（1）定义：把多项式中同类项合成一项，叫做合并同类项．
（2）合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变．
（3）合并同类项时要注意以下三点：
①要掌握同类项的概念，会辨别同类项，并准确地掌握判断同类项的两条标准：带有相同系数的代数项；字母和字母指数；
②明确合并同类项的含义是把多项式中的同类项合并成一项，经过合并同类项，式的项数会减少，达到化简多项式的目的；
③“合并”是指同类项的系数的相加，并把得到的结果作为新的系数，要保持同类项的字母和字母的指数不变．
5．平方差公式
（1）平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．
（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
（2）应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：
①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；
②右边是相同项的平方减去相反项的平方；
③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式；
④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便．
6．分式的加减法
（1）同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．
（2）异分母分式加减法法则：把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫做通分，经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减．
说明：
①分式的通分必须注意整个分子和整个分母，分母是多项式时，必须先分解因式，分子是多项式时，要把分母所乘的相同式子与这个多项式相乘，而不能只同其中某一项相乘．
②通分是和约分是相反的一种变换．约分是把分子和分母的所有公因式约去，将分式化为较简单的形式；通分是分别把每一个分式的分子分母同乘以相同的因式，使几个较简单的分式变成分母相同的较复杂的形式．约分是对一个分式而言的；通分则是对两个或两个以上的分式来说的．
7．分式的化简求值
先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．
在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
【规律方法】分式化简求值时需注意的问题
1．化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤，代入求值的模式一般为“当…时，原式＝…”．
2．代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法．解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为0．
8．二次根式的混合运算
（1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点：
①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．
②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“．
（2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式．
（3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
9．解二元一次方程组
（1）用代入法解二元一次方程组的一般步骤：①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来．②将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求出x（或y）的值．④将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值．⑤把求得的x、y的值用“{”联立起来，就是方程组的解．
（2）用加减法解二元一次方程组的一般步骤：①方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数．②把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求得未知数的值．④将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值．⑤把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解，用的形式表示．
10．在数轴上表示不等式的解集
用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：
一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；
二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．
【规律方法】不等式解集的验证方法
　　某不等式求得的解集为x＞a，其验证方法可以先将a代入原不等式，则两边相等，其次在x＞a的范围内取一个数代入原不等式，则原不等式成立．
11．解一元一次不等式组
（1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集．
（2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组．
（3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．
方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分．
解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
12．一次函数图象与系数的关系
由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．
①k＞0，b＞0 y＝kx+b的图象在一、二、三象限；
②k＞0，b＜0 y＝kx+b的图象在一、三、四象限；
③k＜0，b＞0 y＝kx+b的图象在一、二、四象限；
④k＜0，b＜0 y＝kx+b的图象在二、三、四象限．
13．一次函数的应用
1、分段函数问题
分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际．
2、函数的多变量问题
解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数．
3、概括整合
（1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用．
（2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键．
14．反比例函数的性质
反比例函数的性质
（1）反比例函数y＝（k≠0）的图象是双曲线；
（2）当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；
（3）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．
注意：反比例函数的图象与坐标轴没有交点．
15．反比例函数图象上点的坐标特征
反比例函数y＝k/x（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，
①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k；
②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称；
③在y＝k/x图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
16．二次函数图象与几何变换
由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
17．二次函数综合题
（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题
解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项．
（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用
将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．
（3）二次函数在实际生活中的应用题
从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义．
18．角平分线的性质
角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE
19．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a＝，b＝及c＝．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
20．等腰直角三角形
（1）两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．
（2）等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．即：两个锐角都是45°，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径（因为等腰直角三角形的两个小角均为45°，高又垂直于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三角形，则两腰相等）；
（3）若设等腰直角三角形内切圆的半径r＝1，则外接圆的半径R＝+1，所以r：R＝1：+1．
21．圆周角定理
（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．
（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．
（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．
22．三角形的外接圆与外心
（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．
（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．
（3）概念说明：
①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．
②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．
③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个．
23．切线的性质
（1）切线的性质
①圆的切线垂直于经过切点的半径．
②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
（2）切线的性质可总结如下：
如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直．
（3）切线性质的运用
由定理可知，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直．
24．作图—复杂作图
复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．
解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
25．轴对称图形
（1）轴对称图形的概念：
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．
（2）轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条．
（3）常见的轴对称图形：
等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．
26．轴对称-最短路线问题
1、最短路线问题
在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点．
2、凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
27．中心对称图形
（1）定义
把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
注意：中心对称图形和中心对称不同，中心对称是两个图形之间的关系，而中心对称图形是指一个图形自身的特点，这点应注意区分，它们性质相同，应用方法相同．
（2）常见的中心对称图形
平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．
28．几何变换综合题
几何变换综合题．
29．特殊角的三角函数值
（1）特指30°、45°、60°角的各种三角函数值．
sin30°＝； cos30°＝；tan30°＝；
sin45°＝；cos45°＝；tan45°＝1；
sin60°＝；cos60°＝； tan60°＝；
（2）应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记．
（3）特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多．
30．解直角三角形的应用-方向角问题
（1）在辨别方向角问题中：一般是以第一个方向为始边向另一个方向旋转相应度数．
（2）在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角．
31．简单组合体的三视图
（1）画简单组合体的三视图要循序渐进，通过仔细观察和想象，再画它的三视图．
（2）视图中每一个闭合的线框都表示物体上的一个平面，而相连的两个闭合线框常不在一个平面上．
（3）画物体的三视图的口诀为：
主、俯：长对正；
主、左：高平齐；
俯、左：宽相等．
32．用样本估计总体
用样本估计总体是统计的基本思想．
1、用样本的频率分布估计总体分布：
从一个总体得到一个包含大量数据的样本，我们很难从一个个数字中直接看出样本所包含的信息．这时，我们用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布，从而去估计总体的分布情况．
2、用样本的数字特征估计总体的数字特征（主要数据有众数、中位数、平均数、标准差与方差 ）．
一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．
33．扇形统计图
（1）扇形统计图是用整个圆表示总数用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数．通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系．用整个圆的面积表示总数（单位1），用圆的扇形面积表示各部分占总数的百分数．
（2）扇形图的特点：从扇形图上可以清楚地看出各部分数量和总数量之间的关系．
（3）制作扇形图的步骤
①根据有关数据先算出各部分在总体中所占的百分数，再算出各部分圆心角的度数，公式是各部分扇形圆心角的度数＝部分占总体的百分比×360°．　　②按比例取适当半径画一个圆；按扇形圆心角的度数用量角器在圆内量出各个扇形的圆心角的度数；
④在各扇形内写上相应的名称及百分数，并用不同的标记把各扇形区分开来．
34．条形统计图
（1）定义：条形统计图是用线段长度表示数据，根据数量的多少画成长短不同的矩形直条，然后按顺序把这些直条排列起来．
（2）特点：从条形图可以很容易看出数据的大小，便于比较．
（3）制作条形图的一般步骤：
①根据图纸的大小，画出两条互相垂直的射线．
②在水平射线上，适当分配条形的位置，确定直条的宽度和间隔．
③在与水平射线垂直的射线上，根据数据大小的具体情况，确定单位长度表示多少．
④按照数据大小，画出长短不同的直条，并注明数量．
35．中位数
（1）中位数：
将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．
如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
（2）中位数代表了这组数据值大小的“中点”，不易受极端值影响，但不能充分利用所有数据的信息．
（3）中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的移动对中位数没有影响，中位数可能出现在所给数据中也可能不在所给的数据中出现，当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述其趋势．
36．众数
（1）一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
（2）求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．
（3）众数不易受数据中极端值的影响．众数也是数据的一种代表数，反映了一组数据的集中程度，众数可作为描述一组数据集中趋势的量．．
37．概率公式
（1）随机事件A的概率P（A）＝．
（2）P（必然事件）＝1．
（3）P（不可能事件）＝0．
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