2021-2022学年下学期天津初中北师大版数学九年级期中典型试卷3（含解析）

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2021-2022学年下学期天津初中数学九年级期中典型试卷3
一．选择题（共12小题）
1．（2021 南开区一模）（﹣30）﹣（﹣20）的结果等于（　　）
A．10 B．﹣10 C．50 D．﹣50
2．（2021 南开区一模）tan60°的值等于（　　）
A． B． C．3 D．
3．（2020 徐州）下列垃圾分类标识的图案既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2021 红桥区一模）据2021年3月17日《天津日报》报道，今年我市冬小麦播种面积增加到1510000亩，比去年增加200000亩，确保全年粮食种植面积和总产量双增长．将1510000用科学记数法表示应为（　　）
A．0.151×107 B．1.51×106 C．15.1×105 D．151×104
5．（2021 滨海新区一模）如图是由4个相同的小正方体组成的立体图形，则它的俯视图是（　　）
A． B． C． D．
6．（2021 滨海新区一模）估计的值在（　　）
A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间
7．（2018 北京）方程组的解为（　　）
A． B． C． D．
8．（2018秋 温岭市期末）如图，在△ABC中，AD，BE是两条中线，则△EFD和△BFA的面积之比是（　　）
A．1：2 B．1：4 C．1：3 D．2：3
9．（2018 津南区一模）如图，△ABC纸片中，∠A＝56°，∠C＝88°．沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在AB边上的点E处，折痕为BD、则∠EDB的度数为（　　）
A．76° B．74° C．72° D．70°
10．（2018 津南区一模）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点M是AB的中点，若OM＝4，AB＝6，则BD的长为（　　）
A．4 B．5 C．8 D．10
11．（2021 南开区一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠使点B落在矩形内点F处，则下列说法错误的是（　　）
A．直线AE为线段BF的垂直平分线
B．∠EFC＝∠ECF
C．BE＝EF＝EC
D．CF＝
12．（2021 泗水县二模）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分如图所示，顶点坐标为（﹣1，m），与x轴的一个交点的坐标为（﹣3，0），给出以下结论：①abc＞0；②4a﹣2b+c＞0；③若B（﹣，y1）、C（﹣，y2）为函数图象上的两点，则y1＜y2；④当﹣3＜x＜0时方程ax2+bx+c＝t有实数根，则t的取值范围是0＜t≤m．其中正确的结论的个数为（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题（共6小题）
13．（2021 红桥区一模）计算x5÷x3的结果等于　 　．
14．（2021 红桥区一模）计算（2+）（2﹣）的结果等于　 　．
15．（2021 滨海新区一模）第一盒中有2个白球，1个黄球，第二盒中有1个白球，1个黄球，这些球除颜色外无其他差别．分别从每个盒子中任取1个球，则取出的2个球都是黄球的概率为　 　．
16．（2021 滨海新区一模）将直线y＝2x向上平移6个单位长度后与x轴的交点坐标为　 　．
17．（2021春 津南区期中）如图，在△ABD中，BA＝BD．在BD的延长线上取点E，C，作△AEC，使EA＝EC．若∠BAE＝90°，∠B＝45°，则∠DAC的度数为　 　．
18．（2014 天津）如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，点B，点C均落在格点上．
（Ⅰ）计算AC2+BC2的值等于　 　；
（Ⅱ）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出一个以AB为一边的矩形，使该矩形的面积等于AC2+BC2，并简要说明画图方法（不要求证明）．
三．解答题（共7小题）
19．（2021春 津南区月考）根据下列条件，解直角三角形：
（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝2，b＝2；
（2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝45°，c＝6．
20．（2021春 津南区月考）如图所示，l1∥l2∥l3，且AB＝2BC，DF＝5cm，AG＝4cm．求GF，AF，EF的长．
21．（2021 南开区一模）如图，AB是⊙O的直径，PA与⊙O相切于点A，OP交⊙O于点C，连接BC．
（1）如图1，若∠P＝20°，求∠B的度数．
（2）如图2，过点A作弦AD⊥OP于点E，连接DC，若OE＝CD，求∠P的度数．
22．（2021 南开区一模）如图，某渔船在完成捕捞作业后准备返回港口C，途经某海域A处时，港口C的工作人员监测到点A在南偏东30°方向上，另一港口B的工作人员监测到点A在正西方向上．已知港口C在港口B的北偏西60°方向，且B、C两地相距120海里．
（1）求出此时点A到港口C的距离（计算结果保留根号）；
（2）若该渔船从A处沿AC方向向港口C驶去，当到达点A'时，测得港口B在A'的南偏东75°的方向上，求此时渔船的航行距离（计算结果保留根号）．
23．（2021 吉林三模）一艘游轮从甲地出发，途经乙地前往丙地，路线图如图①所示．当游轮到达乙地时，一艘货轮沿着同样的线路从甲地出发前往丙地．已知游轮的速度为20km/h，离开甲地的时间记为t（单位：h），两艘轮船离甲地的路程s（单位：km）关于t的图象如图②所示（游轮在停靠前后的行驶速度不变）．货轮比游轮早1.6h到达丙地．
根据相关信息，解答下列问题：
（Ⅰ）填表：
游轮离开甲地的时间/h 5 14 16 21 24
游轮离甲地的路程/km 100 　 　 280 　 　 　 　
（Ⅱ）填空：
①游轮在乙地停靠的时长为　 　h；
②货轮从甲地到丙地所用的时长为　 　h，行驶的速度为　 　km/h；
③游轮从乙地出发时，两艘轮船相距的路程为　 　km．
（Ⅲ）当0≤t≤24时，请直接写出游轮离甲地的路程s关于t的函数解析式．
24．（2021 红桥区一模）在平面直角坐标系中，O为原点，点A（6，0），点B在第一象限，∠OAB＝90°，C为OB的中点，AB＝AC．
（Ⅰ）如图①，求点B的坐标；
（Ⅱ）将△OAC沿x轴向右平移得△O'A'C'，点O，A，C的对应点分别为O'，A'，C′．设OO'＝t，△O'A'C'与△ABC重叠部分的面积为S．
①如图②，当△O'A'C'与△ABC重叠部分为四边形时，O'C'与AC相交于点D，A'C'与AB相交于点E，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；
②当S＝时，求t的值（直接写出结果即可）．
25．（2021 滨海新区一模）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣6与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，A（﹣2，0），B（4，0），在对称轴右侧的抛物线上有一动点D，连接BD，BC，CD．
（Ⅰ）求抛物线的函数表达式；
（Ⅱ）若点D在x轴的下方，设点D的横坐标为t，过点D作DE垂直于x轴，交BC于点F，用含有t的式子表示DF的长，并写出t的取值范围；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，当△CBD的面积是时，点M是x轴上一点，点N是抛物线上一动点，是否存在点N，使得以点B，D，M，N为顶点，以BD为一边的四边形是平行四边形，若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
2021-2022学年下学期天津初中数学九年级期中典型试卷3
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．（2021 南开区一模）（﹣30）﹣（﹣20）的结果等于（　　）
A．10 B．﹣10 C．50 D．﹣50
【考点】有理数的减法．
【专题】实数；运算能力．
【分析】原式利用减法法则变形，计算即可求出值．
【解答】解：原式＝﹣30+20
＝﹣10．
故选：B．
【点评】此题考查了有理数的减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
2．（2021 南开区一模）tan60°的值等于（　　）
A． B． C．3 D．
【考点】特殊角的三角函数值．
【专题】实数；运算能力．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入进而计算得出答案．
【解答】解：tan60°＝×
＝3．
故选：C．
【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．
3．（2020 徐州）下列垃圾分类标识的图案既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】中心对称图形；轴对称图形．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
【解答】解：A、不是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
D、不是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：C．
【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
4．（2021 红桥区一模）据2021年3月17日《天津日报》报道，今年我市冬小麦播种面积增加到1510000亩，比去年增加200000亩，确保全年粮食种植面积和总产量双增长．将1510000用科学记数法表示应为（　　）
A．0.151×107 B．1.51×106 C．15.1×105 D．151×104
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【专题】实数；数感．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：1510000＝1.51×106．
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
5．（2021 滨海新区一模）如图是由4个相同的小正方体组成的立体图形，则它的俯视图是（　　）
A． B． C． D．
【考点】简单组合体的三视图．
【专题】投影与视图；空间观念．
【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在视图中．
【解答】解：从上面看，底层右边是一个小正方形，上层是两个小正方形．
故选：B．
【点评】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
6．（2021 滨海新区一模）估计的值在（　　）
A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间
【考点】估算无理数的大小．
【专题】实数；数感．
【分析】根据25＜28＜36，可得5＜＜6，据此判断即可．
【解答】解：∵25＜28＜36，
∴5＜＜6，
∴的值在5到6之间．
故选：C．
【点评】题考查了估算无理数的大小，解决本题的关键是明确5＜＜6．
7．（2018 北京）方程组的解为（　　）
A． B． C． D．
【考点】解二元一次方程组．
【专题】方程与不等式．
【分析】方程组利用加减消元法求出解即可；
【解答】解：，
①×3﹣②得：5y＝﹣5，即y＝﹣1，
将y＝﹣1代入①得：x＝2，
则方程组的解为；
故选：D．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
8．（2018秋 温岭市期末）如图，在△ABC中，AD，BE是两条中线，则△EFD和△BFA的面积之比是（　　）
A．1：2 B．1：4 C．1：3 D．2：3
【考点】三角形的面积．
【专题】图形的相似．
【分析】利用三角形的中位线定理可得DE：AB＝1：2，再利用相似三角形的性质即可解决问题．
【解答】解：∵CE＝AE，CD＝DB，
∴ED∥AB，DE＝AB，
∴△DEF∽△ABF，
∴＝（）2＝，
故选：B．
【点评】本题考查三角形的面积，三角形的中位线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
9．（2018 津南区一模）如图，△ABC纸片中，∠A＝56°，∠C＝88°．沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在AB边上的点E处，折痕为BD、则∠EDB的度数为（　　）
A．76° B．74° C．72° D．70°
【考点】三角形内角和定理．
【专题】常规题型．
【分析】直接利用三角形内角和定理得出∠ABC的度数，再利用翻折变换的性质得出∠EDB的度数．
【解答】解：∵∠A＝56°，∠C＝88°，
∴∠ABC＝180°﹣56°﹣88°＝36°，
∵沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，
∴∠CBD＝∠DBE＝18°，∠C＝∠DEB＝88°，
∴∠EDB＝180°﹣18°﹣88°＝74°．
故选：B．
【点评】此题主要考查了三角形内角和定理，正确掌握三角形内角和定理是解题关键．
10．（2018 津南区一模）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点M是AB的中点，若OM＝4，AB＝6，则BD的长为（　　）
A．4 B．5 C．8 D．10
【考点】矩形的性质；三角形中位线定理．
【专题】三角形；矩形 菱形 正方形．
【分析】利用三角形中位线定理求得AD的长度，然后由勾股定理来求BD的长度．
【解答】解：∵矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，
∴∠BAD＝90°，点O是线段BD的中点，
∵点M是AB的中点，
∴OM是△ABD的中位线，
∴AD＝2OM＝8．
∴在直角△ABD中，由勾股定理知：BD＝＝＝10．
故选：D．
【点评】考查了三角形中位线定理和矩形的性质，利用三角形中位线定理求得AD的长度是解题的关键．
11．（2021 南开区一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠使点B落在矩形内点F处，则下列说法错误的是（　　）
A．直线AE为线段BF的垂直平分线
B．∠EFC＝∠ECF
C．BE＝EF＝EC
D．CF＝
【考点】翻折变换（折叠问题）；线段垂直平分线的性质；矩形的性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；平移、旋转与对称；推理能力．
【分析】连接BF，由折叠的性质可判断选项A，B，C，根据三角形的面积公式求出BH，得到BF，根据直角三角形的判定得到∠BFC＝90°，进而证明HF是△CEF的高，根据勾股定理求出CF的长．
【解答】解：连接BF，
∵将△ABE沿AE折叠使点B落在矩形内点F处，
∴AB＝AF，BE＝EF，
∴直线AE是线段BF的垂直平分线，故选项A不合题意；
∵BC＝6，点E为BC的中点，
∴BE＝3＝EC＝EF，故选项B不合题意；
∴∠EFC＝∠ECF，故选项C不合题意；
又∵AB＝4，
∴AE＝＝＝5，
由折叠知，BF⊥AE（对应点的连线必垂直于对称轴）
∴BH＝＝，
则BF＝，
∵FE＝BE＝EC，
∴∠BFC＝90°，
根据勾股定理得，CF＝＝＝，故选项D符合题意，
故选：D．
【点评】本题考查的是翻折变换的性质和矩形的性质，掌握折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．
12．（2021 泗水县二模）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分如图所示，顶点坐标为（﹣1，m），与x轴的一个交点的坐标为（﹣3，0），给出以下结论：①abc＞0；②4a﹣2b+c＞0；③若B（﹣，y1）、C（﹣，y2）为函数图象上的两点，则y1＜y2；④当﹣3＜x＜0时方程ax2+bx+c＝t有实数根，则t的取值范围是0＜t≤m．其中正确的结论的个数为（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与x轴的交点；根的判别式．
【专题】二次函数图象及其性质；数据分析观念．
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：①函数的对称轴在y轴右侧，故ab＞0，而c＞0，故abc＞0正确，符合题意；
②由图象可以看出，x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＞0正确，符合题意；
③若B（﹣，y1）、C（﹣，y2）为函数图象上的两点，函数的对称轴为：x＝﹣1，点C比点B离对称轴近，故则y1＜y2正确，符合题意；
④当﹣3＜x＜0时方程ax2+bx+c＝t有实数根，即y＝ax2+bx+c与y＝t有交点，故则t的取值范围是0＜t≤m正确，符合题意．
故选：D．
【点评】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．
二．填空题（共6小题）
13．（2021 红桥区一模）计算x5÷x3的结果等于　x2　．
【考点】同底数幂的除法．
【专题】整式；运算能力．
【分析】同底数幂相除底数不变，指数相减．
【解答】解：x5÷x3
＝x5﹣3
＝x2．
故答案为：x2．
【点评】此题考查了同底数幂的除法，解题要注意细心明确指数相减．
14．（2021 红桥区一模）计算（2+）（2﹣）的结果等于　1　．
【考点】二次根式的混合运算；平方差公式．
【专题】二次根式；运算能力．
【分析】直接利用平方差公式计算得出答案．
【解答】解：原式＝4﹣3
＝1．
故答案为：1．
【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
15．（2021 滨海新区一模）第一盒中有2个白球，1个黄球，第二盒中有1个白球，1个黄球，这些球除颜色外无其他差别．分别从每个盒子中任取1个球，则取出的2个球都是黄球的概率为　　．
【考点】列表法与树状图法．
【专题】概率及其应用；推理能力．
【分析】先画出树状图展示所有6种等可能的结果数，再找出2个球都是黄球所占结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：画树状图为：
共有6种等可能的结果数，其中2个球都是黄球占1种，
所以取出的2个球都是黄球的概率；
故答案为：．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：运用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．
16．（2021 滨海新区一模）将直线y＝2x向上平移6个单位长度后与x轴的交点坐标为　（﹣3，0）　．
【考点】一次函数图象与几何变换．
【专题】一次函数及其应用；运算能力；应用意识．
【分析】利用一次函数平移规律，上加下减进而得出答案．
【解答】解：将直线y＝2x向上平移6个单位，则平移后直线解析式为：y＝2x+6，
令y＝0，则0＝2x+6，解得：x＝﹣3．
故答案为（﹣3，0）．
【点评】此题主要考查了一次函数平移变换，正确记忆一次函数平移规律是解题关键．
17．（2021春 津南区期中）如图，在△ABD中，BA＝BD．在BD的延长线上取点E，C，作△AEC，使EA＝EC．若∠BAE＝90°，∠B＝45°，则∠DAC的度数为　45°　．
【考点】等腰三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质即可得到结论．
【解答】解：∵EA＝EC，
∴∠EAC＝∠C，
∵BA＝BD，
∴∠BAD＝∠BDA，
∴∠ADB＝∠BAD＝（180°﹣45°）＝67.5°，
∵∠BAE＝90°，∠B＝45°，
∵∠AEB＝∠B＝45°，∠EAC＝∠C，
∴∠EAC＝22.5°，
∴∠DAE＝∠DAE+∠EAC＝45°，
故答案为：45°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，正确的识别图形是解题的关键．
18．（2014 天津）如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，点B，点C均落在格点上．
（Ⅰ）计算AC2+BC2的值等于　11　；
（Ⅱ）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出一个以AB为一边的矩形，使该矩形的面积等于AC2+BC2，并简要说明画图方法（不要求证明）．
【考点】作图—应用与设计作图；勾股定理．
【专题】作图题；压轴题．
【分析】（1）直接利用勾股定理求出即可；
（2）首先分别以AC、BC、AB为一边作正方形ACED，正方形BCNM，正方形ABHF；进而得出答案．
【解答】解：（Ⅰ）AC2+BC2＝（）2+32＝11；
故答案为：11；
（2）方法一：
分别以AC、BC、AB为一边作正方形ACED，正方形BCNM，正方形ABHF；
延长DE交MN于点Q，连接QC，平移QC至AG，BP位置，直线GP分别交AF，BH于点T，S，
则四边形ABST即为所求．
方法二：
如图1，所求矩形的面积等于两个粉色正方形的面积和
小正方形面积为2，大正方形面积为9，
如图2，第一次变化，图中绿色三角形的面积等于粉色小正方形的面积，
如图3，第二次变化，图中蓝色平行四边形的面积等于粉色小正方形的面积，
如图4，第三次，将粉色大正方形变形为平行四边形，
经过几次变形以后，如图5，两块阴影所示的面积和，还是等于11，
，
如图6，然后进行一次割补，上面黑色阴影与△ABC全等，把黑色割补到△ABC，
则平行四边形ABEF的面积也是11，
下面再进行最后一次等积变形，延长EF，过A，B两点分别作AB的垂线，与直线EF分别相交于M，N
如图7，矩形ABMN与平行四边形ABEF面积相等，都是11．
【点评】此题主要考查了应用设计与作图，借助网格得出正方形是解题关键．
三．解答题（共7小题）
19．（2021春 津南区月考）根据下列条件，解直角三角形：
（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝2，b＝2；
（2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝45°，c＝6．
【考点】解直角三角形；等腰直角三角形．
【专题】计算题；解直角三角形及其应用；应用意识．
【分析】（1）先利用勾股定理求出c，再利用正切函数和两锐角间关系求出两个锐角；
（2）先求出∠B，再利用锐角三角函数或者勾股定理求出直角边的长．
【解答】解：（1）c＝＝＝4，
∵tanB＝＝＝，
∴∠B＝30°．
∴∠A＝90°﹣30°＝60°；
（2）∵∠A＝45°，
∴∠B＝90°﹣45°＝45°．
∵sinA＝sin45°＝，
即＝，
∴b＝a＝3．
【点评】本题考查了解直角三角形，掌握勾股定理和直角三角形的边角间关系是解决本题的关键．
20．（2021春 津南区月考）如图所示，l1∥l2∥l3，且AB＝2BC，DF＝5cm，AG＝4cm．求GF，AF，EF的长．
【考点】平行线分线段成比例．
【专题】计算题．
【分析】先由l2∥l3，根据平行线分线段成比例定理得到＝，利用AB＝2BC即可得到GF＝2（cm）；则AF＝AG+GF＝6cm；然后由l1∥l2∥l3得＝，即＝，再利用比例性质可计算出EF的长．
【解答】解：∵l2∥l3，
∴＝，
而AG＝4，AB＝2BC，
∴＝2，
∴GF＝2（cm）；
∴AF＝AG+GF＝4cm+2cm＝6cm；
∵l1∥l2∥l3，
∴＝，即＝，
∴EF＝（cm）．
答：GF，AF，EF的长分别为2cm，6cm，cm．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
21．（2021 南开区一模）如图，AB是⊙O的直径，PA与⊙O相切于点A，OP交⊙O于点C，连接BC．
（1）如图1，若∠P＝20°，求∠B的度数．
（2）如图2，过点A作弦AD⊥OP于点E，连接DC，若OE＝CD，求∠P的度数．
【考点】切线的性质；垂径定理；圆周角定理．
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【分析】（1）利用切线的性质得到∠PAB＝90°，则利用互余计算出∠AOP＝70°，然后根据圆周角定理得到∠B的度数；
（2）如图2，连接DB，OD，根据垂径定理得到AE＝ED，＝，则可判断OE为△ABD的中位线，所以OE＝BD，从而得到CD＝DB．所以，根据圆心角、弧、弦的关系得到∠AOC＝∠COD＝∠BOD＝60°，然后根据切线的性质得到∠PAO＝90°，则利用互余可求出∠P的度数．
【解答】解：（1）∵PA与⊙O相切于点A，
∴OA⊥PA，
∴∠PAB＝90°，
∴∠AOP＝90°﹣∠P＝90°﹣20°＝70°，
∴∠B＝∠AOC＝×70°＝35°；
（2）如图2，连接DB，OD，
∵弦AD⊥OP于点E，
∴AE＝ED，＝，
∵OA＝OB，AE＝DE，
∴OE为△ABD的中位线，
∴OE＝BD，
∵OE＝CD，
∴CD＝DB．
∴，
∴，
∴∠AOC＝∠COD＝∠BOD＝60°，
∵PA为⊙O的切线，
∴∠PAO＝90°，
∴∠P＝90°﹣∠AOP＝90°﹣60°＝30°．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了垂径定理和圆周角定理．
22．（2021 南开区一模）如图，某渔船在完成捕捞作业后准备返回港口C，途经某海域A处时，港口C的工作人员监测到点A在南偏东30°方向上，另一港口B的工作人员监测到点A在正西方向上．已知港口C在港口B的北偏西60°方向，且B、C两地相距120海里．
（1）求出此时点A到港口C的距离（计算结果保留根号）；
（2）若该渔船从A处沿AC方向向港口C驶去，当到达点A'时，测得港口B在A'的南偏东75°的方向上，求此时渔船的航行距离（计算结果保留根号）．
【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题．
【专题】应用题；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．
【分析】（1）延长BA，过点C作CD⊥BA延长线于点D，由直角三角形的性质和锐角三角函数的定义求出AC即可；
（2）过点A′作A′N⊥BC于点N，由（1）得：CD＝60海里，AC＝40海里，证出A′B平分∠CBA，得A'E＝A'N，设AA′＝x，则AE＝AA'，A'N＝A′E＝AE＝x，证出A'C＝2A'N＝x，由题意得出方程，解方程即可．
【解答】解：（1）如图所示：延长BA，过点C作CD⊥BA延长线于点D，
由题意可得：∠CBD＝30°，BC＝120海里，
则CD＝BC＝60海里，
∵cos∠ACD＝＝cos30°＝，
即＝，
∴AC＝40（海里），
答：此时点A到军港C的距离为40海里；
（2）过点A′作A′N⊥BC于点N，如图：
由（1）得：CD＝60海里，AC＝40海里，
∵A'E∥CD，
∴∠AA'E＝∠ACD＝30°，
∴∠BA′A＝45°，
∵∠BA'E＝75°，
∴∠ABA'＝15°，
∴∠2＝15°＝∠ABA'，
即A′B平分∠CBA，
∴A'E＝A'N，
设AA′＝x，则AE＝AA'，A'N＝A′E＝AE＝x，
∵∠1＝60°﹣30°＝30°，A'N⊥BC，
∴A'C＝2A'N＝x，
∵A'C+AA'＝AC，
∴x+x＝40，
解得：x＝60﹣20，
∴AA'＝（60﹣20）海里，
答：此时渔船的航行距离为（60﹣20）海里．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，解决本题的关键是掌握方向角定义．
23．（2021 吉林三模）一艘游轮从甲地出发，途经乙地前往丙地，路线图如图①所示．当游轮到达乙地时，一艘货轮沿着同样的线路从甲地出发前往丙地．已知游轮的速度为20km/h，离开甲地的时间记为t（单位：h），两艘轮船离甲地的路程s（单位：km）关于t的图象如图②所示（游轮在停靠前后的行驶速度不变）．货轮比游轮早1.6h到达丙地．
根据相关信息，解答下列问题：
（Ⅰ）填表：
游轮离开甲地的时间/h 5 14 16 21 24
游轮离甲地的路程/km 100 　280　 280 　360　 　420　
（Ⅱ）填空：
①游轮在乙地停靠的时长为　3　h；
②货轮从甲地到丙地所用的时长为　8.4　h，行驶的速度为　50　km/h；
③游轮从乙地出发时，两艘轮船相距的路程为　130　km．
（Ⅲ）当0≤t≤24时，请直接写出游轮离甲地的路程s关于t的函数解析式．
【考点】一次函数的应用．
【专题】一次函数及其应用；运算能力；应用意识．
【分析】（Ⅰ）根据题意和函数图象中的数据，可以将表格中的数据补充完整；
（Ⅱ）①根据题意和图象中的数据，可以计算出游轮在乙地停靠的时长；
②根据题意和图象中的数据，可以计算出货轮从甲地到丙地所用的时长和行驶的速度；
③根据题意和图象中的数据，可以计算出游轮从乙地出发时，两艘轮船相距的路程；
（Ⅲ）根据函数图象中的数据，可以写出游轮离甲地的路程s关于t的函数解析式．
【解答】（Ⅰ）填表：
游轮离开甲地的时间/h 5 14 16 21 24
游轮离甲地的路程/km 100 280 280 360 420
故答案为：280，360，420；
（Ⅱ）①轮在乙地停靠的时长为：24﹣420÷20＝24﹣21＝3（h），
故答案为：3；
②货轮从甲地到丙地的时间为：24﹣14﹣1.6＝8.4（h），
货轮从甲地到丙地的速度为：420÷（24﹣14﹣1.6）＝50（km/h），
故答案为：8.4，50；
③游轮从乙地出发时，两艘轮船相距的路程为：280﹣3×50＝130（km），
故答案为：130；
（Ⅲ）当0≤t≤14时，设s关于t的函数解析式为s＝kt，
280＝14t，得k＝20，
即0≤t＜14时，s关于t的函数解析式为s＝20t，
当14≤t＜17时，s＝280，
当17≤t≤24时，设s关于t的函数解析式为s＝at+b，
，
解得，
即当17≤t≤24时，s关于t的函数解析式为s＝20t﹣60，
由上可得，s关于t的函数解析式为s＝．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
24．（2021 红桥区一模）在平面直角坐标系中，O为原点，点A（6，0），点B在第一象限，∠OAB＝90°，C为OB的中点，AB＝AC．
（Ⅰ）如图①，求点B的坐标；
（Ⅱ）将△OAC沿x轴向右平移得△O'A'C'，点O，A，C的对应点分别为O'，A'，C′．设OO'＝t，△O'A'C'与△ABC重叠部分的面积为S．
①如图②，当△O'A'C'与△ABC重叠部分为四边形时，O'C'与AC相交于点D，A'C'与AB相交于点E，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；
②当S＝时，求t的值（直接写出结果即可）．
【考点】四边形综合题．
【专题】几何综合题；等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；平移、旋转与对称；图形的相似；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．
【分析】（Ⅰ）由直角三角形斜边上的中线性质得AC＝OB＝BC，则AB＝OB，证出∠AOB＝30°，得AB＝OA＝2，即可求解；
（Ⅱ）①连接OC'，由平移的性质可知OC∥O'C，CC'∥AA'，AC∥A'C'，CC'＝AA'＝OO'＝t，则四边形CC'A'A是平行四边形，再证△CC'D∽△AO'D，得＝＝，则＝，过点C'、D分别作x轴的垂线，垂足分别为M、N，求出DN＝×，然后求出△CC'D的面积＝t2，△AA'E的面积＝t2，即可求解；
②当重叠部分为四边形时，由S＝得t﹣t2＝，解方程即可；当重叠部分为三角形时，易证重叠部分的三角形是等边三角形，设等边三角形的边长为x，则x2＝，解得x＝，求出AO′＝，即可得出结果．
【解答】解：（Ⅰ）∵点A（6，0），
∴OA＝6，
∵∠OAB＝90°，C为OB的中点，
∴AC＝OB＝BC，
∵AB＝AC，
∴AB＝OB，
∴∠AOB＝30°，
∴AB＝OA＝2，
∴B（6，2）；
（Ⅱ）①连接OC'，如图②所示：
由平移的性质可知，OC∥O'C，CC'∥AA'，AC∥A'C'，CC'＝AA'＝OO'＝t，
∴四边形CC'A'A是平行四边形，
∴S＝平行四边形CC'A'A的面积﹣△CDC'的面积﹣△AEA'的面积，
∵CC'∥OA，
∴△CC'D∽△AO'D，
∴＝＝，
∴＝，
过点C'、D分别作x轴的垂线，垂足分别为M、N，
∵C为OB的中点，B（6，2），
∴C（3，），OM＝3+t，C'M＝，
∴C'（3+t，），
∵sin∠DO'A＝＝，
∴DN＝×C'M＝×，
∴△CC'D的面积＝（﹣×） t＝t2，
∵OC∥O'C，AC∥A'C'，OC＝AC，
∴∠CC'D＝∠C'CD＝∠DO'A＝∠DAO'＝30°，
∴＝tan30°＝，
∴AE＝t，
∴△AA'E的面积＝AE×AA'＝×t×t＝t2，
∴S＝t﹣t2﹣t2＝t﹣t2（0＜t＜3）；
②当重叠部分为四边形时，
∵S＝，
∴t﹣t2＝，
解得：t＝或t＝，
∵t＜3，
∴t＝舍去，
∴t＝，
当重叠部分为三角形时，
∵∠OAB＝90°，C为OB的中点，
∴AC＝BC，
∵AB＝AC，
∴AB＝AC＝BC，
∴△ABC是等边三角形，
由平移的性质可知，OC∥O'C，
∴重叠部分的三角形是等边三角形，
设重叠部分的等边三角形的边长为x，
∴x2＝，
解得：x＝，
∴AO′＝2××＝，
∴OO′＝OA﹣AO′＝6﹣，
故答案为：或6﹣．
【点评】本题是四边形综合题目，考查了平行四边形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、平移的性质、含30°角的直角三角形的判定与性质、坐标与图形性质、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数定义、三角形面积等知识；本题综合性强，熟练掌握平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键．
25．（2021 滨海新区一模）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣6与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，A（﹣2，0），B（4，0），在对称轴右侧的抛物线上有一动点D，连接BD，BC，CD．
（Ⅰ）求抛物线的函数表达式；
（Ⅱ）若点D在x轴的下方，设点D的横坐标为t，过点D作DE垂直于x轴，交BC于点F，用含有t的式子表示DF的长，并写出t的取值范围；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，当△CBD的面积是时，点M是x轴上一点，点N是抛物线上一动点，是否存在点N，使得以点B，D，M，N为顶点，以BD为一边的四边形是平行四边形，若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】二次函数综合题．
【专题】函数的综合应用；数据分析观念．
【分析】（Ⅰ）把A（﹣2，0），B（4，0）代入抛物线y＝ax2+bx﹣6得，解得：，即可解决问题；
（Ⅱ）先求出直线BC的函数表达式为：，有，则，得，其中1＜t＜4；
（Ⅲ）由，得t1＝1（舍去），t2＝3，得，①当MB∥ND，且MB＝ND，②MN∥BD，且MN＝BD，根据平行的性质得点N的纵坐标，即可解决问题．
【解答】解：（Ⅰ）将A（﹣2，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx﹣6得：得，
解得：，
∴抛物线的函数表达式为：；
（Ⅱ）抛物线的对称轴为直线x＝1，C（0，﹣6），
设直线BC的解析式为y＝kx+m，
把B（4，0），C（0，﹣6）代入可得：
'
解得，
∴直线BC的函数表达式为：，
有，则，
∴，其中1＜t＜4；
（Ⅲ），
化简得，
解得t1＝1（舍去），t2＝3，
∴，
①如图2，
当MB∥ND，且MB＝ND时，
四边形BDNM即为平行四边形，
此时MB＝ND＝4，点M与点O重合，四边形BDNM即为平行四边形，
∴由对称性可知N点横坐标为﹣1，将x＝﹣1代入，
解得．
∴此时，四边形BDNM即为平行四边形；
②如图3，
当MN∥BD，且MN＝BD时，四边形BDMN为平行四边形，
过点N做NP⊥x轴，过点D做DF⊥x轴，由题意可得NP＝DF，
∴此时N点纵坐标为，
将y＝代入，
得，解得：，
∴此时或，四边形BDMN为平行四边形，
综上所述，或或．
【点评】本题考查了二次函数一次函数的待定系数法，坐标系两点间距离的应用，平行四边形性质，解决问题的关键是分类讨论思想．
考点卡片
1．有理数的减法
（1）有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数． 即：a﹣b＝a+（﹣b）
（2）方法指引：
①在进行减法运算时，首先弄清减数的符号；
②将有理数转化为加法时，要同时改变两个符号：一是运算符号（减号变加号）； 二是减数的性质符号（减数变相反数）；
【注意】：在有理数减法运算时，被减数与减数的位置不能随意交换；因为减法没有交换律．
减法法则不能与加法法则类比，0加任何数都不变，0减任何数应依法则进行计算．
2．科学记数法—表示较大的数
（1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】
（2）规律方法总结：
①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n．
②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号．
3．估算无理数的大小
估算无理数大小要用逼近法．
思维方法：用有理数逼近无理数，求无理数的近似值．
4．同底数幂的除法
同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减．
am÷an＝am﹣n（a≠0，m，n是正整数，m＞n）
①底数a≠0，因为0不能做除数；
②单独的一个字母，其指数是1，而不是0；
③应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么．
5．平方差公式
（1）平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．
（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
（2）应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：
①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；
②右边是相同项的平方减去相反项的平方；
③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式；
④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便．
6．二次根式的混合运算
（1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点：
①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．
②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“．
（2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式．
（3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
7．解二元一次方程组
（1）用代入法解二元一次方程组的一般步骤：①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来．②将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求出x（或y）的值．④将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值．⑤把求得的x、y的值用“{”联立起来，就是方程组的解．
（2）用加减法解二元一次方程组的一般步骤：①方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数．②把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求得未知数的值．④将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值．⑤把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解，用的形式表示．
8．根的判别式
利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．
一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
9．一次函数图象与几何变换
直线y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）
①关于x轴对称，就是x不变，y变成﹣y：﹣y＝kx+b，即y＝﹣kx﹣b；
（关于X轴对称，横坐标不变，纵坐标是原来的相反数）
②关于y轴对称，就是y不变，x变成﹣x：y＝k（﹣x）+b，即y＝﹣kx+b；
（关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标是原来的相反数）
③关于原点对称，就是x和y都变成相反数：﹣y＝k（﹣x）+b，即y＝kx﹣b．
（关于原点轴对称，横、纵坐标都变为原来的相反数）
10．一次函数的应用
1、分段函数问题
分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际．
2、函数的多变量问题
解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数．
3、概括整合
（1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用．
（2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键．
11．二次函数图象与系数的关系
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）
①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．
当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小．
②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．
当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异）
③．常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）．
④抛物线与x轴交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
12．二次函数图象上点的坐标特征
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（﹣，）．
①抛物线是关于对称轴x＝﹣成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点．
②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值．
③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x＝．
13．抛物线与x轴的交点
求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．
（1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系．
△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；
△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；
△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
（2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）．
14．二次函数综合题
（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题
解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项．
（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用
将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．
（3）二次函数在实际生活中的应用题
从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义．
15．三角形的面积
（1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△＝×底×高．
（2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．
16．三角形内角和定理
（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．
（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．
（3）三角形内角和定理的证明
证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线．
（4）三角形内角和定理的应用
主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．
17．线段垂直平分线的性质
（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．
（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．　　　　②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．　　　　③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．
18．等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
19．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a＝，b＝及c＝．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
20．等腰直角三角形
（1）两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．
（2）等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．即：两个锐角都是45°，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径（因为等腰直角三角形的两个小角均为45°，高又垂直于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三角形，则两腰相等）；
（3）若设等腰直角三角形内切圆的半径r＝1，则外接圆的半径R＝+1，所以r：R＝1：+1．
21．三角形中位线定理
（1）三角形中位线定理：
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
（2）几何语言：
如图，∵点D、E分别是AB、AC的中点
∴DE∥BC，DE＝BC．
22．矩形的性质
（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
（2）矩形的性质
①平行四边形的性质矩形都具有；
②角：矩形的四个角都是直角；
③边：邻边垂直；
④对角线：矩形的对角线相等；
⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．
（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
23．四边形综合题
四边形综合题．
24．垂径定理
（1）垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2）垂径定理的推论
推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
25．圆周角定理
（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．
（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．
（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．
26．切线的性质
（1）切线的性质
①圆的切线垂直于经过切点的半径．
②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
（2）切线的性质可总结如下：
如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直．
（3）切线性质的运用
由定理可知，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直．
27．作图—应用与设计作图
应用与设计作图主要把简单作图放入实际问题中．
首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图．
28．轴对称图形
（1）轴对称图形的概念：
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．
（2）轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条．
（3）常见的轴对称图形：
等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．
29．翻折变换（折叠问题）
1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换．
2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系．
首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数．
30．中心对称图形
（1）定义
把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
注意：中心对称图形和中心对称不同，中心对称是两个图形之间的关系，而中心对称图形是指一个图形自身的特点，这点应注意区分，它们性质相同，应用方法相同．
（2）常见的中心对称图形
平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．
31．平行线分线段成比例
（1）定理1：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．
（2）推论1：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．
（3）推论2：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．
32．特殊角的三角函数值
（1）特指30°、45°、60°角的各种三角函数值．
sin30°＝； cos30°＝；tan30°＝；
sin45°＝；cos45°＝；tan45°＝1；
sin60°＝；cos60°＝； tan60°＝；
（2）应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记．
（3）特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多．
33．解直角三角形
（1）解直角三角形的定义
在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．
（2）解直角三角形要用到的关系
①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°；
②三边之间的关系：a2+b2＝c2；
③边角之间的关系：
sinA＝＝，cosA＝＝，tanA＝＝．
（a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边）
34．解直角三角形的应用-方向角问题
（1）在辨别方向角问题中：一般是以第一个方向为始边向另一个方向旋转相应度数．
（2）在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角．
35．简单组合体的三视图
（1）画简单组合体的三视图要循序渐进，通过仔细观察和想象，再画它的三视图．
（2）视图中每一个闭合的线框都表示物体上的一个平面，而相连的两个闭合线框常不在一个平面上．
（3）画物体的三视图的口诀为：
主、俯：长对正；
主、左：高平齐；
俯、左：宽相等．
36．列表法与树状图法
（1）当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时，我们常用列表的方式，列出所有可能的结果，再求出概率．
（2）列表的目的在于不重不漏地列举出所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．
（3）列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图．
（4）树形图列举法一般是选择一个元素再和其他元素分别组合，依次列出，象树的枝丫形式，最末端的枝丫个数就是总的可能的结果n．
（5）当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举．
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