高考备考专题复习：立体几何中的切割与补形 课件（共23张PPT）
文档属性
| 名称 | 高考备考专题复习：立体几何中的切割与补形 课件（共23张PPT） |  | |
| 格式 | ppt | ||
| 文件大小 | 2.0MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-04-24 20:23:59 | ||
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文档简介
(共23张PPT)
高考备考专题复习
立体几何中的切割与补形
“切割”与“补形”在立体几何中有着广泛的应用，常常起到化“难”为“易”、化“繁”为“简”的作用，甚至可以将不可能变为可能！
地位与作用
巧用割补法快速解决立体几何问题
目的与目标
例1.(2017全国1卷改编)某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，则该多面体的体积为（ ）
A．8 B．
C． D．16
一.切割——将不规则（或复杂）的几何
体切割成规则（或简洁）的几何体
分析：由三视图可知该多面体如图所示，没有公式能直接求出它的体积。但我们可将它切割为一个直三棱柱和一个三棱锥。
易知它们的底面均是等腰直角三角形，高均是2。故该多面体的体积为
快速解决！
例2.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AA1=2cm，AD=1cm，求异面直线A1C1与BD1所成角的余弦值。
D
B
1
A
1
D
1
C
1
A
C
B
此题有多种解法，
但计算都较繁琐。
补形法就很简单！
二.补形——将不规则（或不熟悉）的几
何体补成规则（或熟悉）的几何体
在 A1C1E中，
由余弦定理得
A1C1与BD1所成角的余弦值为
补形法：如图，将一个一模一样的长方体与原长方体拼接起来（如图所示），连结A1E，C1E，易知C1E∥ BD1，所以 A1C1E （或其补角）为A1C1与BD1所成的角。
F1
E
F
E1
B
D
B
1
A
1
D
1
C
1
A
C
把空间图形补成熟悉的或完整的几何
体，如正方体、长方体等，其目的
在于易于发现两条异面直线的关系。
方法
归纳
例3.计算棱长为a的正四面体的体积。
a
a
a
a
a
a
若是直接计算，那将是很繁难的。采用补形法就非常容易了！将四个三条侧棱两两垂直且底面边长为a的正三棱锥的底面拼接到正四面体的四个面上，就得到一个正方体！
易知此正方体的棱长为 ，
故正四面体的体积为
这方法
很棒吧！
1.如图，一个三棱锥的三视图均为直角三角形，若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）。
（A）4π （B）16π
（C）24π （D）25π
练习一
画出三棱锥的直观图，不难发现，这是一个有三条棱
两两垂直的三棱锥，补形为长方体，问题就非常
容易解决了。
O
A
B
C
2
2
4
显然有(2R)2＝22+22+42,故R2=6，S球=24π，因此选C。
A
B
C
D
O
解析：此题若直接求解，计算也
是很繁琐的。
2 . 一个四面体的所有棱长都为 ，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
A
将此正四面体补形成正方体，
则正方体棱长为 1，
外接球半径为 ，
表面积为 。
a
a
a
a
a
a
三. 正四面体的内切球半径问题——切割法
构造三角形利用相似比和勾股定理。此法既难又繁！切割法非常简洁！
基本方法
快速解法
分别以正四面体的四个面为底、
以内切球球心为顶点，将正四
面体切割为四个三棱锥。
（1）这四个三棱锥的高与内切球的半径有何关系？
（2）这四个三棱锥的体积与原正四面体的体积有什么关系呢？
想一想
（1）这四个三棱锥的高都等于内切球的半径。
（2）这四个三棱锥的体积之和等于原正四面体的体积。
结论
所以，有
解：如图，设内切球半径为r，PH是正三棱锥的高，即PH=1，E是BC的中点，则H在AE上， ABC的边长 ，
∴ ，∴ ,
∴ ，
由切割法得
例4.正三棱锥的高为1，底面边长为 ，正三棱锥内有一个球与其四个面相切．求球的表面积与体积．
∴
∴
∴
P
A
B
C
O
E
H
例5.在球面上有四个点P、A、B、C，如果PA、PB、PC两两互相垂直，且PA＝PB＝PC＝a，那么这个球面的面积是_______.
P
A
B
C
这也太
难了吧！
这其实就是正三棱锥外接球问题。
四. 四面体的外接球半径问题——补形法
A
C
B
P
O
难则思变：将三棱锥P-ABC补成正方体，
正方体的棱长为a，且正方体的对角线就是球的直径！
因此 ，所以 。
秒杀！
A
C
B
P
O
1 . 若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长分别为 、
、 ，则其外接球的体积等于 .
解析：此题直接求解，
计算将很繁琐。
这个三棱锥可补形成长方体，这样求解就简便得多了。
易得长方体对角线长为 ，所以球的半径为 ，因此球的体
积为 。
练习二
2．一个几何体的三视图如图所示，三视图都是腰长为2 的等腰直角三角形， 则该几何体的外接球半径与内切球半径之比为 .
解：依题意知几何体是正三棱锥，且三条侧棱两两垂直，
设内切球的半径为r，由切割法可得：
解得 ，
该几何体的外接球半径与内切球半径之比为
答案： ．
故可将其补形为正方体，如图所示，正方体的棱长
为 2 ，故外接球的半径为 ，
（1）几何体的“切割”与“补形”的基本思想是将不规则的、复杂的或不熟悉的几何体进行“割”或“补”，使之成为有规则的、简洁的或熟悉的几何体。
（2）“割”或“补”成长方体（正方体）是最常见的割补方法，故要熟记长方体（正方体）的基本性质、公式及有关结论。
课堂小结
高考备考专题复习
立体几何中的切割与补形
“切割”与“补形”在立体几何中有着广泛的应用，常常起到化“难”为“易”、化“繁”为“简”的作用，甚至可以将不可能变为可能！
地位与作用
巧用割补法快速解决立体几何问题
目的与目标
例1.(2017全国1卷改编)某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，则该多面体的体积为（ ）
A．8 B．
C． D．16
一.切割——将不规则（或复杂）的几何
体切割成规则（或简洁）的几何体
分析：由三视图可知该多面体如图所示，没有公式能直接求出它的体积。但我们可将它切割为一个直三棱柱和一个三棱锥。
易知它们的底面均是等腰直角三角形，高均是2。故该多面体的体积为
快速解决！
例2.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AA1=2cm，AD=1cm，求异面直线A1C1与BD1所成角的余弦值。
D
B
1
A
1
D
1
C
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A
C
B
此题有多种解法，
但计算都较繁琐。
补形法就很简单！
二.补形——将不规则（或不熟悉）的几
何体补成规则（或熟悉）的几何体
在 A1C1E中，
由余弦定理得
A1C1与BD1所成角的余弦值为
补形法：如图，将一个一模一样的长方体与原长方体拼接起来（如图所示），连结A1E，C1E，易知C1E∥ BD1，所以 A1C1E （或其补角）为A1C1与BD1所成的角。
F1
E
F
E1
B
D
B
1
A
1
D
1
C
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A
C
把空间图形补成熟悉的或完整的几何
体，如正方体、长方体等，其目的
在于易于发现两条异面直线的关系。
方法
归纳
例3.计算棱长为a的正四面体的体积。
a
a
a
a
a
a
若是直接计算，那将是很繁难的。采用补形法就非常容易了！将四个三条侧棱两两垂直且底面边长为a的正三棱锥的底面拼接到正四面体的四个面上，就得到一个正方体！
易知此正方体的棱长为 ，
故正四面体的体积为
这方法
很棒吧！
1.如图，一个三棱锥的三视图均为直角三角形，若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）。
（A）4π （B）16π
（C）24π （D）25π
练习一
画出三棱锥的直观图，不难发现，这是一个有三条棱
两两垂直的三棱锥，补形为长方体，问题就非常
容易解决了。
O
A
B
C
2
2
4
显然有(2R)2＝22+22+42,故R2=6，S球=24π，因此选C。
A
B
C
D
O
解析：此题若直接求解，计算也
是很繁琐的。
2 . 一个四面体的所有棱长都为 ，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
A
将此正四面体补形成正方体，
则正方体棱长为 1，
外接球半径为 ，
表面积为 。
a
a
a
a
a
a
三. 正四面体的内切球半径问题——切割法
构造三角形利用相似比和勾股定理。此法既难又繁！切割法非常简洁！
基本方法
快速解法
分别以正四面体的四个面为底、
以内切球球心为顶点，将正四
面体切割为四个三棱锥。
（1）这四个三棱锥的高与内切球的半径有何关系？
（2）这四个三棱锥的体积与原正四面体的体积有什么关系呢？
想一想
（1）这四个三棱锥的高都等于内切球的半径。
（2）这四个三棱锥的体积之和等于原正四面体的体积。
结论
所以，有
解：如图，设内切球半径为r，PH是正三棱锥的高，即PH=1，E是BC的中点，则H在AE上， ABC的边长 ，
∴ ，∴ ,
∴ ，
由切割法得
例4.正三棱锥的高为1，底面边长为 ，正三棱锥内有一个球与其四个面相切．求球的表面积与体积．
∴
∴
∴
P
A
B
C
O
E
H
例5.在球面上有四个点P、A、B、C，如果PA、PB、PC两两互相垂直，且PA＝PB＝PC＝a，那么这个球面的面积是_______.
P
A
B
C
这也太
难了吧！
这其实就是正三棱锥外接球问题。
四. 四面体的外接球半径问题——补形法
A
C
B
P
O
难则思变：将三棱锥P-ABC补成正方体，
正方体的棱长为a，且正方体的对角线就是球的直径！
因此 ，所以 。
秒杀！
A
C
B
P
O
1 . 若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长分别为 、
、 ，则其外接球的体积等于 .
解析：此题直接求解，
计算将很繁琐。
这个三棱锥可补形成长方体，这样求解就简便得多了。
易得长方体对角线长为 ，所以球的半径为 ，因此球的体
积为 。
练习二
2．一个几何体的三视图如图所示，三视图都是腰长为2 的等腰直角三角形， 则该几何体的外接球半径与内切球半径之比为 .
解：依题意知几何体是正三棱锥，且三条侧棱两两垂直，
设内切球的半径为r，由切割法可得：
解得 ，
该几何体的外接球半径与内切球半径之比为
答案： ．
故可将其补形为正方体，如图所示，正方体的棱长
为 2 ，故外接球的半径为 ，
（1）几何体的“切割”与“补形”的基本思想是将不规则的、复杂的或不熟悉的几何体进行“割”或“补”，使之成为有规则的、简洁的或熟悉的几何体。
（2）“割”或“补”成长方体（正方体）是最常见的割补方法，故要熟记长方体（正方体）的基本性质、公式及有关结论。
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