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专题四 解析几何
微中微 解析几何中的常用转化技巧
微中微 解析几何中的常用转化技巧
几何性质 代数实现
①对边平行 斜率相等，或向量平行
②对边相等 长度相等，横(纵)坐标差相等
③对角线互相平分 中点重合
几何性质 代数实现
①两边垂直 斜率乘积为－1或向量数量积为0
②勾股定理 两点的距离公式
③斜边中线性质(中线等于斜边一半) 两点的距离公式
微中微 解析几何中的常用转化技巧
几何性质 代数实现
①两边相等 两点的距离公式
②两角相等 底边水平或竖直时，两腰斜率相反
③三线合一(垂直且平分) 垂直：斜率或向量
平分：中点坐标公式
几何性质 代数实现
①对边平行 斜率相等，或向量平行
②对边相等 长度相等，横(纵)坐标差相等
③对角线互相垂直平分 垂直：斜率或向量
平分：中点坐标公式、中点重合
微中微 解析几何中的常用转化技巧
几何性质 代数实现
①点在圆上 点与直径端点向量数量积为零
②点在圆外 点与直径端点向量数量积为正数
③点在圆内 点与直径端点向量数量积为负数
几何性质 代数实现
①锐角，直角，钝角 角的余弦(向量数量积)的符号
②倍角，半角，平分角 角平分线性质，定理
③等角(相等或相似) 比例线段或斜率
微中微 解析几何中的常用转化技巧
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专题四 解析几何
微专题3 圆锥曲线中的最值、范围、证明问题
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专 题 强 化 练专题强化练(十二) 圆锥曲线的方程与性质
1．(2021·广东省其他模拟)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，M是C的渐近线上一点，|F1F2|＝|MF2|，∠F1F2M＝120°，则双曲线C的离心率为( )
A. B.
C. D.
解析：设M(m，n)，F1(－c，0)，F2(c，0)，
由对称性不妨设点M在第一象限，可知点M在直线y＝x上，因为|F1F2|＝|MF2|，∠F1F2M＝120°，所以m＝2c，n＝c，将M(2c，c)代入y＝x，得＝，所以双曲线C的离心率e＝＝.
故选B.
答案：B
2．阿基米德不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆C的焦点在y轴上，且椭圆C的离心率为，面积为20π，则椭圆C的标准方程为( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
解析：设椭圆C的标准方程为＋＝1(a>b>0)，焦距为2c，
则解得
故选D.
答案：D
3．(2021·茂名第二次模拟)设O为坐标原点，F为抛物线C：x2＝8y的焦点，P为C上一点，若|PF|＝6，则△POF的面积为( )
A．2 B．4
C．4 D．4
解析：因为抛物线C：x2＝8y，所以F(0，2)，准线y＝－2.
由|PF|＝6，即P到准线的距离为6.
设P(x0，y0)，|PF|＝y0＋2＝6，解得，y0＝4，
代入抛物线方程x2＝8y，得x0＝±4.
S△POF＝|OF||x0|＝×2×4＝4.
故选B.
答案：B
4．(2021·惠州第一次模拟)古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中描述了圆锥曲线的共性，并给出了圆锥曲线的统一定义，只可惜对这一定义欧几里得没有给出证明．经过了500年，到了3世纪，希腊数学家帕普斯在他的著作《数学汇篇》中，完善了欧几里得关于圆锥曲线的统一定义，并对这一定义进行了证明．他指出，到定点的距离与到定直线的距离的比是常数e的点的轨迹叫做圆锥曲线；当01时，轨迹为双曲线．现有方程m(x2＋y2＋2y＋1)＝(x－2y＋3)2表示的曲线是双曲线，则m的取值范围为( )
A．(0，1) B．(1，＋∞)
C．(0，5) D．(5，＋∞)
解析：已知方程可以变形为m＝，即＝
，
所以 ＝
其表示双曲线上一点(x，y)到定点(0，－1)与定直线x－2y＋3＝0之比为常数e＝，
又由e>1，可得0故选C.
答案：C
5．(2021·潮州第一次模拟)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线平行于直线l：x＋2y＋5＝0，则双曲线的离心率为( )
A.2 B.
C. D.
解析：因为双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线平行于直线l：x＋2y＋5＝0，
所以由－＝－，
所以＝＝e2－1＝，
解得e＝，
故选D.
答案：D
6．(2021·中山期末)已知椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的离心率与双曲线C2：－＝1的离心率的一个等比中项为，则双曲线C2的渐近线方程为( )
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
解析：由题意得·＝，所以＝，＝，所以双曲线C2渐近线方程为y＝±x.
故选D.
答案：D
7．(2020·开封模拟)已知F1，F2是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左，右焦点，点M在E上，MF2与x轴垂直，sin ∠MF1F2＝，则E的离心率为( )
A. B.
C. D.
解析：把x＝c代入椭圆＋＝1，从而可得|MF2|＝，|MF1|＝2a－，由sin ∠MF1F2＝，可得3×＝2a－，解得＝，所以e＝＝.
答案：C
8．(2021·北京卷)双曲线C：－＝1过点(，)，且离心率为2，则该双曲线的标准方程为( )
A．x2－＝1 B．－y2＝1
C．x2－＝1 D．－y2＝1
解析：因为e＝＝2，则c＝2a，b＝＝a，则双曲线的方程为－＝1，
将点(，)的坐标代入双曲线的方程可得－＝＝1，解得a＝1，故b＝，
因此，双曲线的方程为x2－＝1.
故选A.
答案：A
9．(2021·普宁市第二中学其他模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，过点F的直线x－y＋＝0与椭圆C相交于不同的两点A、B，若P为线段AB的中点，O为坐标原点，直线OP的斜率为，则椭圆C的方程为( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
解析：设F(－c，0)，因为直线x－y＋＝0过F(－c，0)，所以－c－0＋＝0，得c＝，
所以a2－b2＝c2＝3，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x,a2)＋\f(y,b2)＝1，,\f(x,a2)＋\f(y,b2)＝1，))得eq \f(x－x,a2)＝－eq \f(y－y,b2)，得＝－·
，
因为P为线段AB的中点，O为坐标原点，
所以P，kOP＝＝＝－，
所以kAB＝＝－·(－2)＝，
又A，B在直线x－y＋＝0上，所以kAB＝1，
所以＝1，即a2＝2b2，将其代入a2－b2＝3，得b2＝3，
a2＝6，
所以椭圆C的方程为＋＝1.
故选D.
答案：D
10．(2021·珠海市第二中学其他模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，过F作一条倾斜角为60°的直线与椭圆C交于A，B两点，M为线段AB的中点，若3|FM|＝|OF|(O为坐标原点)，则椭圆C的离心率为( )
A. B.
C. D.
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，由题意得eq \f(x,a2)＋eq \f(y,b2)＝1，eq \f(x,a2)＋eq \f(y,b2)＝1，两式相减，得＋＝0，因为M为线段AB的中点，且直线AB的倾斜角为60°，所以＋＝0.设F(－c，0)，则|FM|＝|OF|＝c，过M作MM′⊥x轴，垂足为M′，则|FM′|＝|MF|＝c，|MM′|＝|MF|＝c，由题易知M位于第二象限，所以M，所以＋＝0，得3a2＝5b2，所以2a2＝5c2，所以e＝＝.
故选B.
答案：B
11．(2021·云南民族大学附属中学月考)已知斜率为k(k>0)的直线过抛物线C：y2＝4x的焦点F且与抛物线C相交于A，B两点，过A，B分别作该抛物线准线的垂线，垂足分别为A1，B1，若＝4，则k的值为( )
A. B.
C. D.
解析：由题设和抛物线定义知：＝＝＝＝4，
设直线AB的倾斜角为α，则|AF|＝，|BF|＝，
所以＝，解得cos α＝ tan α＝，
故选B.
答案：B
12．(多选题)(2021·福州其他模拟)已知抛物线C：y2＝mx(m>0)的焦点为F(4，0)，直线l经过点F交C于A，B两点，交y轴于点P，若＝2，则( )
A．m＝8
B．点B的坐标为
C．|AB|＝
D．弦AB的中点到y轴的距离为
解析：由于F(4，0)得到m＝16，故A错误；抛物线方程为y2＝16x，
过B点作BD垂直于y轴，垂足为D点，则BD∥OF，
因为＝2，所以＝＝，
所以BD＝，
即xB＝，代入抛物线方程y2＝16x，解得yB＝±，故B错误；
不妨取点B的坐标为，
所以直线AB的方程为：y＝2(x－4)，
联立抛物线方程得到：3x2－26x＋48＝0，
由韦达定理可知：x1＋x2＝，
由抛物线的弦长公式可知：|AB|＝x1＋x2＋8＝＋8＝，故C正确；
弦AB的中点到y轴的距离为＝，故D正确．
故选CD.
答案：CD
13．(2021·揭阳第一次模拟)抛物线y＝2x2的焦点坐标为________．
解析：因为在抛物线y＝2x2，即x2＝y，
所以p＝，＝，所以焦点坐标是，
故答案为.
答案：
14．在平面直角坐标系xOy中，若双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点F(c，0)到一条渐近线的距离为c，则其离心率的值是________．
解析：不妨设双曲线的一条渐近线方程为y＝x，
所以＝b＝c，所以b2＝c2－a2＝c2，得c＝2a，
所以双曲线的离心率e＝＝2.
答案：2
15．(2021·佛山第二次模拟)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，K为C的准线l与x轴的交点，过点K且倾斜角为45°的直线与C点仅有一个公共点P(3，t)，则t＝__________．
解析：因为抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，K为C的准线l与x轴的交点，
所以K，
因为过点K的直线的倾斜角为45°，
所以设直线方程为y＝x＋，
由得y2－2py＋p2＝0，
即(y－p)2＝0，
所以y＝p＝t，
又p＝3＋，交点p＝6，
即t＝6.
故答案为6.
答案：6
16．(2020·博雅闻道联合质检)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，F1，F2分别为椭圆的左右焦点，若椭圆C上存在点P(x0，y0)(x0≥0)使得∠PF1F2＝30°，则椭圆的离心率的取值范围为__________．
解析：根据题意作图如下：
由图可得：当点P在椭圆的上(下)顶点处时，∠PF1F2最大，
要满足椭圆C上存在点P(x0，y0)(x≥0)使得∠PF1F2＝30°，
则90°>(∠PF1F2)max≥30°，所以tan(∠PF1F2)max≥tan 30°＝，
即≥，整理得：b≥c，又a2＝b2＋c2，所以3a2≥4c2.
所以e＝＝≤ ＝，所以椭圆离心率的取值范围为0答案：
PAGE专题强化练(十四) 圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题
1．(2021·广州第二次模拟)已知抛物线C：x2＝2py(p>0)上的点到点A(0，p)的距离的最小值为2.
(1)求C的方程；
(2)若点F是C的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，l1与C交于M，N两点，l2与C交于P，Q两点，线段MN，PQ的中点分别是S，T，是否存在定圆使得直线ST截该圆所得的线段长恒为定值？若存在，写出一个定圆的方程；若不存在，说明理由．
解：(1)设B(x0，y0)是抛物线C上任意一点，则x＝2py0，
|AB|＝＝eq \r(2py0＋y－2py0＋p2)＝
eq \r(y＋p2)，
因为y0≥0，所以当y0＝0时|AB|min＝＝p，依题意得p＝2，
所以C的方程为x2＝4y.
(2)因为F是C的焦点，所以F(0，1)，
依题意，直线l1的斜率k存在且k≠0 ，设l1：y＝kx＋1，
由于l1⊥l2，则l2：y＝－x＋1，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，S(x′，y′)，
由消去y，得x2－4kx－4＝0，
Δ＝(4k)2－4×(－4)＝16(k2＋1)>0，
则x1＋x2＝4k，
因为l2：y＝－x＋1，
所以S(2k，2k2＋1)，
同理得T，
则直线ST的斜率为k′＝＝，
则直线ST的方程为y－(2k2＋1)＝(x－2k),
得y＝x＋3，
所以直线ST恒过定点(0，3)，
所以存在定圆H：x2＋(y－3)2＝r2(r为常数，且r≠0)，使得直线ST截圆H所得的线段长恒为定值2|r|.
2．(2021·佛山其他模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，且过点，直线l与椭圆相交于M、N两点，过点P(2，0)的直线PM、PN分别与椭圆相交于另外两点A、B，且直线的斜率为2.
(1)求椭圆C的方程；
(2)求证：直线l恒过定点．
(1)解：由已知得解得a2＝2，b2＝1，
所以椭圆方程为＋y2＝1.
(2)证明：设M、N两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，A、B的坐标分别为(x3，y3)，(x4，y4)，直线l的方程为y＝kx＋t，
则直线PM的方程分别为y＝(x－2)，直线PN的方程分别为y＝(x－2)，
由消去y，整理得(6－4x1)x2＋(4x－8)x－6x＋8x1＝0.①
由题意可知，方程①有两个不同的解，且x1＋x3＝eq \f(4－2x,3－2x1)，则x3＝，
代入y＝(x－2)得y3＝＝，
即A点坐标为；
同理可得到B点坐标为；
因为直线AB的斜率为2，所以＝2，即＝2，
则＝2，整理得＝2，
则t＝－1－k，
所以y＝kx－1－k＝k－1，则直线恒过点.
3．(2021·佛山第二次模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的某三个顶点形成边长为2的正三角形，O为C的中心．
(1)求椭圆C的方程；
(2)P在C上，过C的左焦点F且平行于OP的直线与C交于A，B两点，是否存在常数λ，使得|AF|·|BF|＝λ|OP|2？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．
解：(1)当三顶点为长轴两顶点和短轴一顶点时，
此时边长为2a，a，a，此时不可能为正三角形，
所以正三角形的三顶点只能是短轴两顶点和长轴一顶点，
依题意可得b＝1，a＝×2b＝，
故椭圆的C的方程为＋y2＝1.
(2)椭圆C的左焦点F的坐标为(－，0)，
由题意可得直线AB的斜率不为0，
设直线AB的方程为x＝my－，
联立方程
消去x可得(m2＋3)y2－2my－1＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则Δ＝12(m2＋1)>0，
y1＋y2＝，y1y2＝－，
所以|AF|·|BF|＝|y1－0|·|y2－0|＝
(1＋m2)|y1y2|＝，
直线OP的方程为x＝my，
联立消去x可得(m2＋3)y2－3＝0，
所以|OP|2＝(1＋m2)y＝，
故|AF|·|BF|＝|OP|2，
所以存在常数λ＝，使得|AF|·|BF|＝λ|OP|2.
4．(2021·汕头第二次模拟)已知双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，F1，F2为双曲线的左、右焦点，离心率为2，点P为双曲线在第一象限上的一点，且满足·＝0，|PF1||PF2|＝6.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)过点F2作直线l交双曲线于A，B两点，则在x轴上是否存在定点Q(m，0)，使得·为定值，若存在，请求出m的值和该定值，若不存在，请说明理由．
解：(1)法一 由e＝＝2得：c＝2a，所以b＝＝a，
因为·＝0，所以PF1⊥PF2，
在Rt△F1PF2中，由|PF1|－|PF2|＝2a，得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|＝4a2，
代入|PF1|2＋|PF2|2＝4c2，|PF1||PF2|＝6得4c2－12＝4a2，
解得b2＝3，a2＝1，
所以双曲线方程为x2－＝1.
法二 由e＝＝2，得c＝2a，所以b＝＝a，
设点P(x，y)(y>0)，则点P满足－＝1，①
因为·＝0，所以(－c－x，－y)·(c－x，－y)＝x2－c2＋y2＝0，即x2＋y2＝c2，②
因为S△F1PF2＝|y|·2c＝|PF1||PF2|，即|y|·c＝3，③
则由①②，得y＝，代入③得b2＝3，a2＝1，
所以双曲线方程为x2－＝1.
(2)法一 当l斜率为0时，l：y＝0，
此时A(－1，0)，B(1，0)，由Q(m，0)得·＝m2－1；
当l斜率不为0时，设l：x＝ty＋2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立得(3t2－1)y2＋12ty＋9＝0，则Δ＝36t2＋36>0，
所以y1＋y2＝，y1y2＝，
所以·＝(x1－m，y1)·(x2－m，y2)＝(x1－m)·(x2－m)＋y1y2＝(ty1＋2－m)(ty2＋2－m)＋y1y2＝(t2＋1)y1·y2＋(2－m)t(y1＋y2)＋(2－m)2＝(t2＋1)·＋(2－m)t＋(2－m)2，
令·＝m2－1，即9(t2＋1)－12t2(2－m)＝(4m－5)·(3t2－1)，
解得m＝－1，则Q(－1，0)，此时·＝0；
综上所述，存在m＝－1，使得·＝0.
法二 当l斜率为0时，l：y＝0，
此时A(－1，0)，B(1，0)，由Q(m，0)得·＝m2－1；
当l斜率不为0时，设l：x＝ty＋2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立得(3t2－1)y2＋12ty＋9＝0，则Δ＝36t2＋36>0，
所以y1＋y2＝，y1y2＝，
所以·＝(x1－m，y1)·(x2－m，y2)＝(x1－m)·(x2－m)＋y1y2＝(ty1＋2－m)(ty2＋2－m)＋y1y2＝(t2＋1)y1·y2＋(2－m)t(y1＋y2)＋(2－m)2
＝(t2＋1)＋(2－m)t＋(2－m)2
＝＋(2－m)2，
若·为定值，则＝，所以m＝－1，所以Q(－1，0)，此时·＝0；
当m＝－1，l斜率为0时，·＝m2－1＝0；
综上所述，存在m＝－1，使得·＝0.
法三 当l斜率不存在时，l：x＝2，此时A(2，3)，B(2，－3)，
若Q(－1，0)，则·＝0；
当l斜率存在时，设l：y＝k(x－2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立得(3－k2)x2＋4k2x－4k2－3＝0，
则Δ＝36k2＋36>0，
所以x1＋x2＝，x1x2＝，
所以·＝(x1－m，y1)·(x2－m，y2)
＝(x1－m)·(x2－m)＋y1y2
＝x1x2－m(x1＋x2)＋m2＋k2[x1x2－2(x1＋x2)＋4]
＝(k2＋1)x1x2－(m＋2k2)(x1＋x2)＋m2＋4k2
＝(k2＋1)－(m＋2k2)＋m2＋4k2
＝＋m2.
若·为定值，则＝，所以m＝－1，
所以Q(－1，0)，此时·＝0；
综上所述，存在m＝－1，使得·＝0.
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专题四 解析几何
微专题4 圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题
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专题四 解析几何
微专题2 圆锥曲线的方程与性质
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专 题 强 化 练
y
P
M
F
0
F2
X专题强化练(十三) 圆锥曲线中的最值、范围、证明问题
1．(2021·茂名第二次模拟)在平面直角坐标系xOy中，椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为cos 30°，直线x＋y＝与椭圆相切．
(1)求椭圆的方程；
(2)已知M，N为椭圆C的上、下端点，点T的坐标为(t，2)，且直线TM、TN分别与椭圆交于两点C，D(M，N，C，D四点互不相同)，求点M到直线CD距离的取值范围．
解：(1)因为椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为cos 30°，所以＝，
令a＝2k，c＝k，则b＝k(k>0)，所以椭圆方程为x2＋4y2＝4k2，
因为直线x＋y＝与椭圆相切，所以方程组有唯一解，
所以x2＋4(－x)2＝4k2有唯一解，即5x2－8x＋(20－4k2)＝0有唯一解，
所以(－8)2－20(20－4k2)＝0，解得k＝1，
所以椭圆方程为x2＋4y2＝4.
(2)依题意设直线CD的方程为y＝mx＋n，代入椭圆方程x2＋4y2＝4得(1＋4m2)x2＋8mnx＋4n2－4＝0.
设C(x1，y1)，D(x2，y2)，
则x1＋x2＝－，①
x1x2＝.②
因为直线TM：y＝x＋1，直线TN：y＝x－1，
由题知TM，TN的交点T的纵坐标为2，得＝，即3x2(y1－1)＝x1(y2＋1)，
即3x2(mx1＋n－1)＝x1(mx2＋n＋1)，整理得2mx1x2＝(n＋1)x1－3(n－1)x2.③
将①②代入③得＝(n＋1)－3(n－1)x2，化简可得(2n－1)[4m(n＋1)＋x2(1＋4m2)]＝0.
当m，x2变化时，上式恒成立，故可得n＝，所以直线CD恒过一定点，
所以M到直线CD距离的取值范围为，当且仅当m＝0时，取得最大值为.
2．(2021·广东省其他模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，椭圆C的左、右焦点分别为F1，F2，点P(4，2)，且△PF1F2的面积为2.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点(2，0)的直线l与椭圆C相交于A，B两点，直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，当k1k2最大时，求直线l的方程．
解：(1)设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的焦点为F1(－c，0)，F2(c，0)，
由点P(4，2)，且△PF1F2的面积为2，可得×2c×2＝2，解得c＝，
又由＝，可得a＝2，所以b＝＝，
所以椭圆C的标准方程为＋＝1.
(2)①当直线l的斜率为0时，则k1·k2＝×＝；
②当直线l的斜率不为0时，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l的方程为x＝my＋2，
由整理得(m2＋4)y2＋4my－4＝0，
则y1＋y2＝，y1y2＝，
又x1＝my1＋2，x2＝my2＋2，
所以k1·k2＝·＝＝
＝
＝
＝＋，
令t＝2m＋1，
当t＝0时，k1·k2＝；
当t≠0时，k1·k2＝＋＝＋≤1，
当且仅当t＝3，即m＝1时，取等号，
所以所求直线l的方程为x－y－2＝0.
3．(2021·广州第三次模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，以原点为圆心，椭圆的长半轴长为半径的圆截直线x－y＋＝0所得弦长为2.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设P为椭圆上一点，若过点M(2，0)的直线与椭圆C相交于A，B两点，且满足＋＝t(O为坐标原点)，当|－|<时，求实数t的取值范围．
解：(1)因为以原点为圆心，椭圆的长半轴长为半径的圆截直线x－y＋＝0所得弦长为2，
所以a2＝＋12＝2，a＝，又e＝＝，则c＝1，b＝＝1，
椭圆方程为＋y2＝1.
(2)由题意直线AB斜率存在，设方程为y＝k(x－2)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x，y)，由得(1＋2k2)x2－8k2x＋8k2－2＝0，
Δ＝64k4－4(1＋2k2)(8k2－2)>0，k2<，
x1＋x2＝，x1x2＝，
因为＋＝t，即(x1＋x2，y1＋y2)＝(tx，ty)，t＝0时，不满足|－|<，
t≠0时，x＝＝，y＝＝＝，
因为点P在椭圆上，
所以＋＝1，化简得16k2＝t2(1＋2k2)，t2＝，
由|－|<得||<，即|x1－x2|<，
(1＋k2)[(x1＋x2)2－4x1x2]<，
所以(1＋k2)<，(4k2－1)(14k2＋13)>0，k2>，
所以由t2＝＝8－，得所以－24．(2020·沈阳二中模拟)已知椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的焦点与抛物线C2：y2＝8x的焦点F重合，且椭圆C1的右顶点P到F的距离为3－2.
(1)求椭圆C1的方程；
(2)设直线l与椭圆C1交于A，B两点，且满足PA⊥PB，求△PAB面积的最大值．
解：(1)设椭圆C1的半焦距为c，依题意，可得a>b，且
F(2，0)，c＝2，a－c＝3－2 a＝3，b＝1，
所以椭圆C1的方程为＋y2＝1 .
(2)依题意，可设直线PA，PB的斜率存在且不为零，不妨设直线PA：y＝k(x－3)，则直线PB：y＝－(x－3)，联立： 得(1＋9k2)x2－54k2x＋(81k2－9)＝0，则|PA|＝·.
同理可得：|PB|＝·＝·，所以△PAB的面积为：
S＝|PA||PB|＝＝≤＝，
当且仅当3(k2＋1)＝8k，即k＝时，面积取得最大值.
PAGE专题强化练(十一) 直线与圆
1．(2021·合肥市第六中学其他模拟)“直线ax＋2y＋4＝0与直线x＋(a－1)y＋2＝0平行”是“a＝－1”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：当直线ax＋2y＋4＝0与直线x＋(a－1)y＋2＝0平行，
所以1×2－(a－1)a＝0，
解得a＝2或a＝－1，
当a＝2，直线2x＋2y＋4＝0和直线x＋y＋1＝0重合，舍去，所以a＝－1.
根据充分条件、必要条件的定义可得，
“直线ax＋2y＋4＝0与直线x＋(a－1)y＋2＝0平行”是“a＝－1”的充分必要条件，
故选C.
答案：C
2．(2021·全国高三其他模拟)已知直线l1：a2x＋y－2＝0与直线l2：x－(2a＋3)y＋1＝0垂直，则a＝( )
A．3 B．1或－3
C．－1 D．3或－1
解析：直线l1：a2x＋y－2＝0与直线l2：x－(2a＋3)y＋1＝0垂直，
所以a2－(2a＋3)＝0，解得a＝－1或a＝3.
故选D.
答案：D
3．过点(3，1)作圆(x－1)2＋y2＝r2的切线有且只有一条，则该切线的方程为( )
A．2x＋y－5＝0 B．2x＋y－7＝0
C．x－2y－5＝0 D．x－2y－7＝0
解析：依题意知，点(3，1)在圆(x－1)2＋y2＝r2上，且为切点．因为圆心(1，0)与切点(3，1)连线的斜率为，所以切线的斜率k＝－2.故过点(3，1)的切线方程为y－1＝－2(x－3)，即2x＋y－7＝0.
故选B.
答案：B
4．(2021·四川省月考)已知直线x＋ay－a＝0和圆x2＋y2－x＝0的交点为A，B，且|AB|＝1，则实数a的值为( )
A．2 B．1
C． D．－1
解析：由x2＋y2－x＝0得＋y2＝，即圆心，半径r＝，
因为|AB|＝1＝2r，
所以直线x＋ay－a＝0过圆心，
即－a＝0，解得a＝，
故选C.
答案：C
5．台风中心从A地以每小时20 km的速度向东北方向移动，离台风中心30 km内的地区为危险地区，若城市B在A地正东40 km处，则B城市处于危险区内的时间为( )
A．0.5 h B．1 h
C．1.5 h D．2 h
解析：以A为坐标原点，正东方向为x轴建立直角坐标系，则直线y＝x被圆(x－40)2＋y2＝302截得弦长为2＝20，所以B城市处于危险区内的时间为＝1，故选B.
答案：B
6．已知直线l过点(1，2)，且在纵坐标轴上的截距为横坐标轴上的截距的两倍，则直线l的方程为( )
A．2x－y＝0
B．2x＋y－4＝0
C．2x－y＝0或x＋2y－2＝0
D．2x－y＝0或2x＋y－4＝0
解析：根据题意，直线l分2种情况讨论：
①当直线过原点时，又由直线经过点(1，2)，所求直线方程为y＝2x，整理为2x－y＝0，
②当直线不过原点时，设直线l的方程为＋＝1，代入点(1，2)的坐标得＋＝1，解得a＝2，此时直线l的方程为＋＝1，整理为2x＋y－4＝0.
故直线l的方程为2x－y＝0或2x＋y－4＝0.
答案：D
7.“圆材埋壁”是《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，锯口深一寸，锯道长一尺，问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知道大小，用锯去锯它，锯口深一寸，锯道长一尺，问这块圆柱形木材的直径是多少？现有圆柱形木材一部分埋在墙壁中，截面如图所示，已知弦AB＝1尺，弓形高CD＝1寸，则阴影部分面积约为(注：π≈3.14，sin 22.5°≈，1尺＝10寸)( )
A．6.33平方寸 B．6.35平方寸
C．6.37平方寸 D．6.39平方寸
解析：连接OC，设半径为r，AD＝5寸，则OD＝r－1，在直角三角形OAD中，OA2＝AD2＋OD2 ，即r2＝52＋(r－1)2，解得r＝13，则sin ∠AOC＝，所以∠AOC＝22.5°，则∠AOB＝2×22.5°＝45°，所以扇形OAB的面积S1＝＝＝66.33，三角形OAB的面积S2＝×10×12＝60，所以阴影部分面积为S1－S2＝66.33－60＝6.33，故选A.
答案：A
8．(2020·宜宾市叙州区第二中学校月考)斜率为的直线l过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F，若l与圆M：(x－2)2＋y2＝4相切，则p＝( )
A．12 B．8
C．10 D．6
解析：结合题意作图，因为直线的斜率为，所以倾斜角为30°，即∠MFA＝30°，
由图可得|MF|＝2|AM|＝4，所以－2＝2r＝4，解得p＝12.
答案：A
9．(2021·河南省月考)设圆C1：(x－1)2＋(y－1)2＝9和圆C2：(x＋1)2＋(y＋2)2＝4交于A，B两点，则线段AB所在直线的方程为( )
A．2x＋3y＋4＝0 B．3x－2y＋1＝0
C．2x＋3y－3＝0 D．3x－2y－1＝0
解析：由题意知：(x－1)2＋(y－1)2＝9，①
(x＋1)2＋(y＋2)2＝4，②
所以由①－②得，直线AB的方程为2x＋3y＋4＝0.
故选A.
答案：A
10．(2021·贵阳市贵阳一中月考)若圆x2＋y2－4x＋2y＋1＝0被直线ax－2by－2＝0(a>0，b>0)截得的弦长为4，则＋的最小值是( )
A．9 B．4
C． D．
解析：圆x2＋y2－4x＋2y＋1＝0的标准方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝4，它表示以(2，－1)为圆心，半径等于2的圆；
设弦心距为d，由题意可得22＋d2＝4，求得d＝0，可得直线经过圆心，故有2a＋2b＝2，即a＋b＝1，
再由a>0，b>0，可得＋＝(a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当＝时取等号，
故＋的最小值是4.
故选B.
答案：B
11．设P为直线x－y＝0上的动点，PA，PB为圆C：(x－2)2＋y2＝1的两条切线，AB为切点，则四边形APBC的面积的最小值为( )
A． B．
C．2 D．1
解析：如图，
S四边形APBC＝2S△PAC＝2×·|AC|·|PA|＝，
要使四边形APBC的面积最小， 只需|PC|最小，
当PC垂直直线x－y＝0时，
|PC|取最小值为＝，
四边形APBC的面积最小值为＝1，
即四边形APBC的面积的最小值为1.
故选D.
答案：D
12．(多选题)(2021·湖南省其他模拟)已知直线l：kx－y＋2k＝0和圆O：x2＋y2＝16，则( )
A．直线l恒过定点(2，0)
B．存在k使得直线l与直线l0：x－2y＋2＝0垂直
C．直线l与圆O相交
D．若k＝－1，直线l被圆O截得的弦长为4
解析：对于A、C，由l：kx－y＋2k＝0，得k(x＋2)－y＝0，令解得
所以直线l恒过定点(－2，0)，故A错误；
因为直线l恒过定点(－2，0)，而(－2)2＋02＝4<16，即(－2，0)在圆O：x2＋y2＝16内，
所以直线l与圆O相交，故C正确；
对于B，直线l0：x－2y＋2＝0的斜率为，则当k＝－2时，满足直线l与直线．l0：x－2y＋2＝0垂直，故B正确；
对于D，k＝－1时，直线l：x＋y＋2＝0，圆心到直线的距离为d＝＝，
所以直线l被圆O截得的弦长为2＝2＝2，故D错误．
故选BC.
答案：BC
13．(2020·漳州测试)若曲线C：x2＋y2－6x＋10y＋a＝0上存在不同的两点关于直线y＝kx＋7对称，则k＝________.
解析：x2＋y2－6x＋10y＋a＝0为圆的一般方程，且圆心为(3，－5)，曲线上存在不同的两点关于直线y＝kx＋7对称，因此直线过圆心，即－5＝3k＋7，所以k＝－4.
答案：－4
14．以抛物线E：x2＝4y的焦点为圆心，且与E的准线相切的圆的方程为__________．
解析：抛物线E：x2＝4y的焦点为(0，1)，准线方程为y＝－1，
圆与E的准线相切，则r＝2，
故圆的方程为：x2＋(y－1)2＝4.
答案：x2＋(y－1)2＝4
15．(2021·松原月考)已知抛物线C：x2＝－4y的焦点为F，抛物线C上一点A满足|AF|＝3，则以点A为圆心，AF为半径的圆截x轴所得弦长为__________．
解析：由题意，抛物线x2＝－4y，可得焦点F(0，－1)，
设A(x0，y0)，根据抛物线的定义，可得|AF|＝－y0＋1＝3，解得y0＝－2，
即A到x轴的距离为d＝2，
所以圆截x轴所得弦长为2＝2＝2，
故答案为2.
答案：2
16．(2021·山东省其他模拟)已知直线ax＋y－2＝0与圆C：x2＋y2－2x－2ay＋a2－3＝0相交于A，B两点，且△ABC为钝角三角形，则实数a的取值范围为______________．
解析：圆C：x2＋y2－2x－2ay＋a2－3＝0化为(x－1)2＋(y－a)2＝4，
故圆心C(1，a)，半径为2，
当△ABC为等腰直角三角形时，
点C到直线的距离d＝＝，解得a＝2±，
因为△ABC为钝角三角形，所以0当a＝1时，d＝0，
则可得a的取值范围为(2－，1)∪(1，2＋)．
故答案为：(2－，1)∪(1，2＋)．
答案：(2－，1)∪(1，2＋)
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微专题1 直线与圆
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