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专题四 概率与统计
微中微 “套路化”解决概率统计问题
微中微 “套路化”解决概率统计问题
市场销售状态 畅销 平销 滞销
市场销售状态概率 2p 1－3p p
预期年利润数值(单位：亿元) 方案1 70 40 －40
方案2 60 30 －10
微中微 “套路化”解决概率统计问题
微中微 “套路化”解决概率统计问题
微中微 “套路化”解决概率统计问题
微中微 “套路化”解决概率统计问题
X 0.8x 0.8x－0.001x2 0.8x－0.002x2
P 0.4 0.4 0.2
微中微 “套路化”解决概率统计问题
微中微 “套路化”解决概率统计问题
年份 2002 2004 2006 2008 2010
需求量/万吨 236 246 257 276 286
微中微 “套路化”解决概率统计问题
微中微 “套路化”解决概率统计问题
微中微 “套路化”解决概率统计问题
年份－2006 －4 －2 0 2 4
需求量－257 －21 －11 0 19 29
微中微 “套路化”解决概率统计问题
微中微 “套路化”解决概率统计问题
微中微 “套路化”解决概率统计问题
微中微 “套路化”解决概率统计问题
微中微 “套路化”解决概率统计问题
微中微 “套路化”解决概率统计问题
微中微 “套路化”解决概率统计问题
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专题四 概率与统计
微专题2 统计案例
微专题2 统计案例
微专题2 统计案例
项目 属于“高消费群” 不属于“高消费群” 合计
男生
女生
合计
P(K2≥k) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
微专题2 统计案例
微专题2 统计案例
微专题2 统计案例
项目 属于“高消费群” 不属于“高消费群” 合计
男生 15 25 40
女生 10 50 60
合计 25 75 100
微专题2 统计案例
微专题2 统计案例
微专题2 统计案例
项目 高消费用户 非高消费用户 合计
男性用户 20
女性用户 40
合计 80
P(K2≥k0) 0.100 0.050 0.010 0.001
k0 2.706 3.841 6.635 10.828
微专题2 统计案例
项目 高消费用户 非高消费用户 合计
男性用户 20 80 100
女性用户 60 40 100
合计 80 120 200
微专题2 统计案例
项目 高消费用户 非高消费用户
男性用户 1 4
女性用户 3 2
微专题2 统计案例
微专题2 统计案例
微专题2 统计案例
微专题2 统计案例
报废年限 1年 2年 3年 4年
A型车/辆 20 35 35 10
B型车/辆 10 30 40 20
微专题2 统计案例
微专题2 统计案例
微专题2 统计案例
微专题2 统计案例
微专题2 统计案例
微专题2 统计案例
微专题2 统计案例
微专题2 统计案例
微专题2 统计案例
微专题2 统计案例
微专题2 统计案例
微专题2 统计案例
微专题2 统计案例
微专题2 统计案例
微专题2 统计案例
微专题2 统计案例
微专题2 统计案例
x 1 2 3 4 5 6 7
y 6 11 21 34 66 101 196
微专题2 统计案例
微专题2 统计案例
支付方式 现金 乘车卡 扫码
比例 10% 60% 30%
微专题2 统计案例
微专题2 统计案例
微专题2 统计案例
微专题2 统计案例
微专题2 统计案例
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专 题 强 化 练专题强化练(八) 概率与统计
1．(2021·惠州第一次模拟)某工厂利用随机数表对生产的50个零件进行抽样测试，先将50个零件进行编号，编号分别为01，02，…，50，从中抽取5个样本，下面提供随机数表的第1行到第2行：
66 67 40 37 14 64 05 71 11 05 65 09
95 86 68 76 83 20 37 90 57 16 03 11
63 14 90 84 45 21 75 73 88 05 90 52
23 59 43 10
若从表中第1行第9列开始向右依次读取数据，则得到的第4个样本编号是( )
A．10 B．09
C．71 D．20
解析：从随机数表第1行的第9列数字开始由左向右每次连续读取2个数字，删除超出范围及重复的编号，符合条件的编号有14，05，11，09，
所以选出来的第4个个体的编号为09.
故选B.
答案：B
2．(2021·梅州第一次模拟)若干年前，某老师刚退休的月退休金为4 000元，月退休金各种用途占比统计图如下面的条形图．该老师退休后加强了体育锻炼，目前月退休金的各种用途占比统计图如下面的折线图．已知目前的月就医费比刚退休时少100元，则目前该老师的月退休金为( )
A．5 000元 B．5 500元
C．6 000元 D．6 500元
解析：刚退休时就医费用为4 000×15%＝600(元)，现在的就医费用为600－100＝500(元)，占退休金的10%，
因此，目前该教师的月退休金为＝5 000(元)．
故选A.
答案：A
3．(2021·汕头第一次模拟)在新的高考改革方案中规定：每位考生的高考成绩是按照3(语文、数学、英语)＋2(物理、历史)选1＋4(化学、生物、地理、政治)选2的模式设置的，则在选考的科目中甲、乙两位同学恰有两科相同的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：由题意得出甲、乙两位同学选考的总数为CC×CC＝144(种)，
若相同的科目为4选2的科目，则有CCC＝12(种)；
若相同的科目为2选1和4选2中的1个，则有CCCC＝48(种)，
所以所求概率为＝.
故选C.
答案：C
4．若某群体中的成员支付的方式只有三种：现金支付；微信支付；信用卡支付．用现金支付的概率为0.45，微信支付的概率为0.15，则信用卡支付的概率为( )
A．0.3 B．0.4
C．0.6 D．0.7
解析：由题意可得使用信用卡支付与使用现金支付或微信支付互为对立事件，
故所求概率P＝1－(0.45＋0.15)＝0.4.
故选B.
答案：B
5．(2020·江西省重点中学协作体第一次联考)有歌唱道：“江西是个好地方，山清水秀好风光．”现有甲乙两位游客慕名来到江西旅游，分别准备从庐山、三清山、龙虎山和明月山4个著名旅游景点中随机选择其中一个景点游玩，记事件A：甲和乙至少一人选择庐山，事件B：甲和乙选择的景点不同，则条件概率P(B|A)( )
A. B.
C. D.
解析：由题知：事件A：甲和乙至少一人选择庐山共有：n(A)＝C·C＋1＝7种情况，事件AB：甲和乙选择的景点不同，且至少一人选择庐山，共有n(AB)＝C·C＝6(种)情况，P(B|A)＝＝.
故选D.
答案：D
6．孔子曰“三人行，必有我师焉．”从数学角度来看，这句话有深刻的哲理，古语说三百六十行，行行出状元，假设有甲、乙、丙三人中每一人，在每一行业中胜过孔圣人的概率为1%，那么甲、乙、丙三人中至少一人在至少一行业中胜过孔圣人的概率为(参考数据：0.99360≈0.03，0.01360≈0，0.973≈0.912 673)( )
A．0.002 7% B．99.997 3%
C．0 D．91.267 3%
解析：一个人三百六十行全都不如孔圣人的概率为0.99360≈0.03，三个人三百六十行都不如孔圣人的概率为0.033＝0.000 027，所以至少一人在至少一行业中胜过孔圣人的概率为1－0.000 027＝0.999 973＝99.997 3%.
故选B.
答案：B
7．(多选题)(2021·肇庆第二次模拟)某大学生暑假到工厂参加生产劳动，生产了100件产品，质检人员测量其长度(单位：厘米)，将所得数据分成6组：[90，91)，[91，92)，[92，93)，[93，94)，[94，95)，[95，96]，得到如下所示的频率分布直方图，则对这100件产品，下列说法中正确的是( )
A．b＝0.25
B．长度落在区间[93，94)内的个数为35
C．长度的众数一定落在区间[93，94)内
D．长度的中位数一定落在区间[93，94)内
解析：对于A，由频率和为1，得(0.35＋b＋0.15＋0.1×2＋0.05)×
1＝1，解得b＝0.25，所以A正确；
对于B，长度落在区间[93，94)内的个数为100×0.35＝35，所以B正确；
对于C，频率分布直方图上不能判断长度众数所在区间，不一定落在区间[93，94)内，所以C错误；
对于D，[90，93)有45个数，[94，96]内有20个数，所以长度的中位数一定落在区间[93，94)内，所以D正确．
故选ABD.
答案：ABD
8．(2021·深圳第一次模拟)已知随机变量ξ～N(μ，σ2)，有下列四个命题：
甲：P(ξ
P(ξ>a＋2)
乙：P(ξ>a)＝0.5
丙：(ξ≤a)＝0.5
丁：P(a<ξ如果只有一个假命题，则该命题为( )
A．甲 B．乙
C．丙 D．丁
解析：由于乙、丙的真假性相同，所以乙、丙都是真命题，故a＝μ，
根据正态分布的对称性可知：甲：P(ξ<μ－1)>P(ξ>μ＋2)为真命题，所以丁为假命题．
并且，P(μ<ξ<μ＋1)>P(μ＋1<ξ<μ＋2)．
所以假命题的是丁．
故选D.
答案：D
9．(2020·宜春模拟)在新冠肺炎疫情期间，某医院有10名医生报名参加“援鄂医疗队”，其中有3名女医生．现从中抽选5名医生，用X表示抽到男医生的人数，则X＝3的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：“从10名医生中抽选5名医生”的事件总数为n＝C，“从10名医生中抽选5名医生，其中有3名男医生”包含的基本事件数为m＝CC，所以P(x＝3)＝＝eq \f(CC,C)＝.
故选D.
答案：D
10．为了改善市民的生活环境，某沿江城市决定对本市的1 000家中小型化工企业进行污染情况摸排，并把污染情况综合折算成标准分100分，如图为该市被调查的化工企业的污染情况标准分的频率分布直方图，根据该图可估计本市标准分不低于50分的企业数为( )
A．400 B．500
C．600 D．800
解析：根据频率分布直方图经计算得50分以上的频率为1－(0.005×20＋0.012 5×20＋0.015×10)＝0.50，所以本市标准分不低于50分的企业数为0.50×1 000＝500(家)．
故选B.
答案：B
11．已知随机变量X～N(1，σ2)，且P(X≤0)＝P(X≥a)，则(1＋ax)3·的展开式中x4的系数为( )
A．680 B．640
C．180 D．40
解析：因为随机变量X～N(1，σ2)，P(X≤0)＝P(X≥a)，
所以a＝2，代入可得(1＋2x)3，故(1＋2x)3·展开式中包含x4的项为C(x2)3·C＋C(x2)2·C(2x)3＝40x4＋640x4＝680x4，系数为680，故选A.
答案：A
12．(多选题)(2021·广州第三次模拟)下列命题正确的是( )
A．两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1
B．对具有线性相关关系的变量x、y，有一组观测数据(xi，yi)(i＝1，2，…，10)，其线性回归方程是＝x＋1，且x1＋x2＋x3＋…＋x10＝
3(y1＋y2＋y3＋…＋y10)＝9，则实数的值是－
C．已知样本数据x1，x2，…，xn的方差为4，则2x1＋30，
2x2＋30，…，2xn＋30的标准差是4
D．已知随机变量X～N(1，σ2)，若P(X<－1)＝0.3，则P(X<2)＝0.7
解析：两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1，故A正确；
B中＝，＝，由＝×＋1得＝－，B正确；
样本数据x1，x2，…，xn的方差为4，则数据2x1＋30，2x2＋30，…，2xn＋30的方差为22×4＝16，标准差为4，C正确；
随机变量X～N(1，σ2)，若P(X<－1)＝0.3，则P(X>3)＝P(X<－1)＝0.3，则P(x<3)＝0.7>P(X<2)，D错．
故选ABC.
答案：ABC
13．(2021·佛山第一次模拟)某高校每年都举行男子校园足球比赛，今年有7支代表队出线进入决赛阶段，其中的甲、乙两支队伍分别是去年的冠、亚军球队．根据赛制，先用抽签的方式，把7支出线球队随机分成A、B两组分别进行单循环赛，其中A组3支球队、B组4支球队，则甲、乙恰好在同一组的概率为__________．
解析：按题意总分组方法为C，冠、亚军球队在一起的方法数为C＋C，
所以所求概率为P＝eq \f(C＋C,C)＝＝.
故答案为.
答案：
14．(2020·济南模拟)5G指的是第五代移动通信技术，比第四代移动通信技术的数据传输速率快数百倍，某公司在研发5G项目时遇到一项技术难题，由甲、乙两个部门分别独立攻关，已知甲部门攻克该技术难题的概率为0.6，乙部门攻克该技术难题的概率为0.5.则该公司攻克这项技术难题的概率为________．
解析：根据题意：P＝1－(1－0.6)(1－0.5)＝0.8.
答案：0.8
15．(2020·大庆实验中学模拟)甲、乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率均为，且各局比赛结果相互独立．则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了三局的概率为__________．
解析：记事件A：甲获得冠军，事件B：比赛进行三局，
事件AB：甲获得冠军，且比赛进行了三局，则第三局甲胜，前三局甲胜了两局，
由独立事件的概率乘法公式得P(AB)＝C×××＝，
对于事件A，甲获得冠军，包含两种情况：前两局甲胜和事件AB，
所以P(A)＝＋＝，所以P(B|A)＝＝×＝.
答案：
16．(2020·随州调研)2020年初，新冠肺炎疫情袭击全国．口罩成为重要的抗疫物资，为了确保口罩供应，某工厂口罩生产线高速运转，工人加班加点生产．设该工厂连续5天生产的口罩数依次为x1，x2，x3，x4，x5(单位：十万只)，若这组数据x1，x2，x3，x4，x5的方差为1.44，且x，x，x，x，x的平均数为4，则该工厂这5天平均每天生产口罩__________十万只．
解析：依题意，得x＋x＋…＋x＝20.设x1，x2，x3，x4，x5的平均数为x，
根据方差的计算公式有[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(x5－)2]＝1.44.
所以(x＋x＋…＋x)－2 (x1＋x2＋…＋x5)＋52＝7.2，即20－10x2＋5x2＝7.2，
所以＝1.6.
答案：1.6
PAGE专题强化练(十) 随机变量及其概率分布
1．(2021·广东高三专题练习)某市为了解2020年十一双节期间市民旅游出行的方式及满意程度，对去该市市区内甲、乙、丙三个景点旅游的市民进行了调查．现从中随机抽取100人作为样本，得到下表(单位：人)：
满意度得分 甲 乙 丙
报团游 自驾游 报团游 自驾游 报团游 自驾游
10分 12 1 12 10 7 14
5分 4 1 4 4 4 9
0分 1 0 7 2 1 7
合计 17 2 23 16 12 30
(1)从样本中任取1人，求这人没去丙景点的概率；
(2)根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．针对甲、乙、丙三个景点，从全市十一双节期间旅游出行选自驾游的所有人中，随机选取2人，记X为去乙景点的人数，求X的分布列和数学期望；
(3)如果王某要去甲、乙、丙三个景点旅游，那么以满意度得分的均值为依据，你建议王某是报团游还是自驾游？说明理由．
解：(1)设事件“从样本中任取1人，这人没去丙景点”为事件A，
由表格中所给数据可得，去甲、乙、丙旅游的人数分别为19，39，42，
所以从样本中任取1个，这人没去丙景点的概率为P(A)＝＝.
(2)由题意，X的所有可能取值为0，1，2，
从全市十一双节期间旅游出行选自驾游的所有人中，随机选取1人，
此人去乙景点的概率是＝，
所以P(X＝0)＝C×＝，P(X＝1)＝C××＝，P(X＝2)＝C×＝，
所以随机变量X的分布列为
X 0 1 2
P
故E(X)＝0×＋1×＋2×＝.
(3)由题干所给表格中的数据可知，报团游、自驾游的总人数分别为52，48，得分为10分的报团游、自驾游总人数分别为31，25，得分为5分的报团游、自驾游的总人数分别为12，14，得分为0分的报团游、自驾游总人数分别为9，9，所以从满意度来看，报团游满意度的均值为＝，
自驾游满意度的均值为＝，
因为>，所以建议王某选报团游．
2．(2021·广州第三次模拟)工厂经市场调研和科学研判，准备大规模生产某高科技产品的一个核心部件，目前只有某甲、乙两种设备可以独立生产该部件．如图是从甲设备生产的部件中随机抽取400件，对其核心部件的尺寸x(单位：mm)，进行统计整理的频率分布直方图．根据行业质量标准规定，该核心部件尺寸x满足：|x－12|≤1为一级品，1<|x－12|≤2为二级品，|x－12|>2为三级品．
(1)现根据频率分布直方图中的分组，用分层抽样的方法先从这400件样本中抽取40件产品，若从这40件产品中随机抽取2件产品，记Y为这2件产品中一级品的个数，求Y的分布列和数学期望；
(2)为增加产量，工厂需增购设备，已知这种产品的利润如下：一级品的利润为500元/件；二级品的利润为400元/件；三级品的利润为200元/件．乙设备生产的产品中一、二、三级品的概率分别是，，，若将甲设备生产的产品的样本频率作为总体的概率．以工厂的利润作为决策依据，应选购哪种设备，请说明理由．
解：(1)根据频率分布直方图中的分组，用分层抽样的分法抽取的40件产品中，
尺寸在[9，10)，[10，11)，[11，12)，[12，13)，[13，14)，[14，15)的产品数分别为4，6，12，8，7，3，
所以随机变量Y的取值为0，1，2，
则P(Y＝0)＝eq \f(C,C)＝，
P(Y＝1)＝eq \f(CC,C)＝，
P(Y＝2)＝eq \f(C,C)＝.
所以随机变量Y的分布列为：
Y 0 1 2
P
所以期望E(Y)＝0×＋1×＋2×＝1.
(2)设甲乙设备生产该产品一件的平均利润y1元、y2元，
由频率分布直方图可知，甲设备生产一级品、二级品、三级品的概率分别为：
0．3＋0.2＝0.5＝，0.175＋0.15＝0.325＝，0.1＋0.075＝0.175＝，
所以y1＝500×＋400×＋200×＝415，
y2＝500×＋400×＋200×＝420，
可得y2>y1，所以应选购乙设备．
3．一年之计在于春，一日之计在于晨，春天是播种的季节，是希望的开端．某种植户对一块地的n(n∈N*)个坑进行播种，每个坑播3粒种子，每粒种子发芽的概率均为，且每粒种子是否发芽相互独立．对每一个坑而言，如果至少有两粒种子发芽，则不需要进行补播种，否则要补播种．
(1)当n取何值时，有3个坑要补播种的概率最大？最大概率为多少？
(2)当n＝4时，用X表示要补播种的坑的个数，求X的分布列与数学期望．
解：(1)对一个坑而言，要补播种的概率P＝C＋C＝，
有3个坑要补播种的概率为C.欲使C最大，只需eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(C\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(n)≥C\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(n－1),C\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(n)≥C\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(n＋1)))，
解得5≤n≤6因为n∈N*，所以n＝5，6.
当n＝5时，C＝；当n＝6时，C＝.
所以当n＝5或n＝6时，有3个坑要补播种的概率最大，最大概率为.
(2)由已知，X的可能取值为0，1，2，3，4，X～B，
所以X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
X的数学期望E(X)＝4×＝2.
4．(2021·汕头第三次模拟)第13届女排世界杯于2019年9月14日在日本举行，共有12支参赛队伍，本次比赛启用了新的排球用球——MIKSA－V200W.已知这种球的质量指标ξ(单位：g)服从正态分布N(270，52)．比赛赛制采取单循环方式，即每支球队进行11场比赛(采取5局3胜制)，最后靠积分取得最后冠军，积分规则如下：比赛中以3∶0或3∶1取胜的球队积3分，负队积0分；而在比赛中以3∶2取胜的球队积2分，负队积1分．已知第10轮中国队对抗塞尔维亚队，设每局比赛中国队取胜的概率为p(0(1)若比赛准备了1 000个排球，请估计质量指标在(260，265]内的排球个数(计算结果取整数)；
(2)第10轮比赛中，记中国队3∶1取胜的概率为f(p)．
(ⅰ)求出f(p)的最大值点p0；
(ⅱ)若以p0作为p的值，记第10轮比赛中，中国队所得积分为X，求X的分布列及数学期望．
参考数据：若X～N(μ，σ2)，则p(μ－σ解：(1)因为ξ～N(270，52)
所以P(260<ξ≤265)＝＝＝0.135 9，
所以质量指标在(260，265]内的排球个数约1 000×0.135 9≈136(个)．
(2)(ⅰ)前三场赢两场，第四场必赢，
则f(p)＝3×p3×(1－p)＝3(p3－p4)，
f′(p)＝3p2(3－4p)，
令f′(p)＝0，得p＝，(p＝0舍去)
当p∈时，f′(p)>0，函数f(p)单调递增，
当p∈时，f′(p)<0，函数f(p)单调递减，
所以f(p)的最大值点p0＝.
(ⅱ)X可能取的值为0、1、2、3，
X＝3，表示前三场均全赢，或者前三场赢两场，第四场必赢，
p(X＝3)＝＋C××＝，
X＝2，表示前四场赢两场，第五场必赢，
p(X＝2)＝C××＝，
X＝1，表示前四场赢两场，第五场必输，
p(X＝1)＝C××＝，
X＝0，表示前三场全输，或者前三场赢一场，第四场必输．
p(X＝0)＝＋C××＝，
所以X的分布列为：
x 3 2 1 10
p
则E(X)＝3×＋2×＋1×＋0×＝.
5．(2021·湛江第二次模拟)某高三学生小明准备利用暑假的7月和8月勤工俭学，现有“送外卖员”和“销售员”两份工作可供其选择．已知“销售员”工作每日底薪为50元，每日销售的前5件每件奖励20元，超过5件的部分每件奖励30元．小明通过调查，统计了100名销售员1天的销售记录，其柱状图如图1；“送外卖员”没有底薪，收入与送的单数相关，在一日内：1至20单(含20单)每送一单3元，超过20单且不超过40单的部分每送一单4元，超过40单的部分，每送一单4.5元．小明通过随机调查，统计了100名送外卖员的日送单数，并绘制成如下直方图(如图2)．
图1
图2
(1)分别求出“销售员”的日薪y1(单位：元)与销售件数x1的函数关系式、“送外卖员”的日薪y2(单位：元)与所送单数x2的函数关系式；
(2)若将频率视为概率，根据统计图，试分别估计“销售员”的日薪X1和“送外卖员”的日薪X2(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)的数学期望，分析选择哪种工作比较合适，并说明你的理由．
解：(1)“销售员”的日薪y1(单位：元)与销售件数x1的函数关系式为
y1＝
“送外卖员”的日薪y2(单位：元)与所送单数x2的函数关系式为
y2＝
(2)由柱状图知，日平均销售量满足如下表格：
销售量/件 3 4 5 6 7
频率 0.05 0.2 0.25 0.4 0.1
所以X1的分布列为
X1 110 130 150 180 210
P 0.05 0.2 0.25 0.4 0.1
所以E(X1)＝110×0.05＋130×0.2＋150×0.25＋180×0.4＋210×0.1＝162(元)．
由直方图可知，日送单数满足如下表格：
单数/单 10 30 50 70 90
频率 0.05 0.25 0.45 0.2 0.05
所以X2的分布列如下表：
X2 30 100 185 275 365
P 0.05 0.25 0.45 0.2 0.05
由直方图知，E(X2)＝30×0.05＋100×0.25＋182×0.45＋275×0.2＋365×0.05＝183(元)．
由以上计算得E(X2)>E(X1)，做“送外卖员”挣的更多，
故小明选择做“送外卖员”的工作比较合适．
6．出版商为了解某科普书一个季度的销售量y(单位：千本)和利润x(单位：元/本)之间的关系，对近年来几次调价之后的季销售量进行统计分析，得到如下的10组数据．
序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x 2.4 3.1 4.6 5.3 6.4 7.1 7.8 8.8 9.5 10
y 18.1 14.1 9.1 7.1 4.8 3.8 3.2 2.3 2.1 1.4
根据上述数据画出如图所示的散点图：
(1)根据图中所示的散点图判断y＝ax＋b和y＝cln x＋d哪个更适宜作为销售量y关于利润x的回归方程类型？(给出判断即可，不需要说明理由)
(2)根据(1)中的判断结果及参考数据，求出y关于x的回归方程；
(3)根据回归方程分析：设该科普书一个季度的利润总额为z(单位：千元)，当季销售量y为何值时，该书一个季度的利润总额预报值最大？(季利润总额＝季销售量×每本书的利润)
参考公式及参考数据：
①对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回归直线＝＋ u的斜率和截距的公式分别为＝
＝－
②参考数据：
（xi－） (ui－) （xi－）·（yi－） (ui－)·（yi－）
6.50 6.60 1.75 82.50 2.70 －143.25 －27.54
表中ui＝ln xi，u＝i.另：ln 4.06≈1.40.计算时，所有的小数都精确到0.01.
解：(1)y＝cln x＋d更适宜作为销售量y关于利润x的回归方程类型．
(2)令u＝ln x，先建立y关于u的线性回归方程，
由于＝＝＝－10.20，
＝－·＝6.6＋10.20×1.75＝24.45，所以y关于u的线性回归方程为＝24.45－10.20u，即y关于x的回归方程为＝24.45－10.20ln x.
(3)由题意得z＝xy＝x(24.45－10.20ln x)，
z′＝[x(24.45－10.20ln x)]′＝14.25－10.20ln x，
令z′＝0即14.25－10.20ln x＝0，解得ln x≈1.40，所以x≈4.06.
当x∈(0，4.06)时，z′>0，所以z在(0，4.06)上单调递增，
当x∈(4.06，＋∞)时，z′<0，所以z在(4.06，＋∞)上单调递减，
所以当x＝4.06时，即季销量y＝24.45－10.20ln 4.06＝10.17千本时，季利润总额预报值最大．
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专题四 概率与统计
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旧设备 9.8 10.3 10.0 10.2 9.9 9.8 10.0 10.1 10.2 9.7
新设备 10.1 10.4 10.1 10.0 10.1 10.3 10.6 10.5 10.4 10.5
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X 0 20 100
P 0.2 0.32 0.48
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项目 一级品 二级品 合计
甲机床 150 50 200
乙机床 120 80 200
合计 270 130 400
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P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
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项目 y1 y2 合计
x1 a b a＋b
x2 c d c＋d
合计 a＋c b＋d n
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ξ x1 x2 x3 … xi … n
P p1 p2 p3 … pi … pn
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微专题1 概率与统计
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专 题 强 化 练专题强化练(九) 统计案例
1．(2021·河南省第三次模拟)青少年近视问题已经成为影响青少年健康的一个重要问题，习近平总书记连续作出重要指示，要求“全社会都要行动起来，共同呵护好孩子的眼睛，让他们拥有一个光明的未来”，某机构为了解使用电子产品对青少年视力的影响，随机抽取了200名青少年，调查他们每天使用电子产品的时间(单位：分钟)，根据调查数据按(0，30]，(30，60]，(60，90]，(90，120]，(120，150]，[150，180]分成6组，得到频数分布表如下：
时间/分 (0，30] (30，60] (60，90] (90，120] (120，150] [150，180]
频数 12 38 72 46 22 10
(1)根据上表数据，求该地青少年每天使用电子产品时间的中位数；
(2)若每天使用电子产品的时间超过60分钟，就叫长时间使用电子产品，完成下面的2×2列联表，并判断是否有99.9%的把握认为是否患近视与每天长时间使用电子产品有关．
项目 非长时间使用电子产品 长时间使用电子产品 合计
患近视人数 100
未患近视人数 80
合计 200
参考公式：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
P(K2≥k0) 0.10 0.05 0.010 0.001
k0 2.706 3.841 6.635 10.828
解析：(1)因为12＋38＝50<100，12＋38＋72＝122>100，
设该地青少年每天使用电子产品时间的中位数为x，则×＋＝0.5，
解得x＝，即该地青少年每天使用电子产品时间的中位数为.
(2)由题意可知长时间使用电子产品的青少年有150名，非长时间使用电子产品的青少年有50名．
则长时间使用电子产品的青少年未患近视的人数为150－100＝50，
非长时间使用电子产品的青少年未患近视的人数为80－50＝30，
非长时间使用电子产品的青少年患近视的人数为50－30＝20，
患近视的青少年有200－80＝120.
2×2列联表如图：
项目 非长时间使用电子产品 长时间使用电子产品 合计
患近视人数 20 100 120
未患近视人数 30 50 80
合计 50 150 200
因为K2＝＝≈11.111，
而11.111>10.828，
所以有99.9%的把握认为是否患近视与每天长时间使用电子产品有关．
2．(2021·赣州第二次模拟)“足球进校园”一直是热议话题.2014年11月26日国务院召开全国青少年校园足球工作电视电话会议，强调教育部将主导校园足球，坚持体教结合，锐意改革创新，并推出一系列措施推动校园足球普及，促进青少年强身健体、全面发展，夯实国家足球事业人才基础．为了解某区域足球特色学校的发展状况，社会调查小组得到如下统计数据：
年份x 2016 2017 2018 2019 2020
足球特色学校y/(百个) 1.00 1.40 1.70 1.90 2.00
(1)根据上表数据，计算y与x的相关系数r，并说明y与x的线性相关性强弱；
(2)求y关于x的线性回归方程，并预测该区域2022年足球特色学校的个数(精确到个)．
(注：当|r|≤0.25，则认为y与x的线性相关性较弱；当0.25<|r|<0.75，则认为y与x的线性相关性一般；当0.75≤|r|≤1，则认为y与x的线性相关性很强)
附：回归方程：＝x＋，其中＝＝；相关系数r＝＝eq \f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\o(x,\s\up16(－))\o(y,\s\up16(－)),\r(\i\su(i＝1,n,x)－n\o(x,\s\up16(－))2)·\r(\i\su(i＝1,n,y)－n\o(y,\s\up16(－))2))；
参考数据：≈2.569 1，≈3.162 3.
解：由表格知：＝2 018，＝1.6，
所以（xi－)2＝4＋1＋0＋1＋4＝10，
（yi－）2＝0.36＋0.04＋0.01＋0.09＋0.16＝0.66，
(xi－)(yi－)＝2×0.6＋1×0.2＋0＋1×0.3＋2×0.4＝2.5，
(1)由上，有r＝＝
≈≈0.963>0.75，则y与x的线性相关性很强．
(2)由上，有＝＝＝0.25，
所以＝－＝1.6－0.25×2 018＝－502.9，则y关于x的线性回归方程为＝0.25x－502.9，
所以当x＝2 022时，＝0.25×2 022－502.9＝2.6(百个)，即该区域2 022年足球特色学校的个数为260个．
3．(2021·全国高三其他模拟)目前，新冠病毒引发的肺炎疫情在全球肆虐，为了解新冠肺炎传播途径，采取有效防控措施，某医院组织专家统计了该地区500名患者新冠病毒潜伏期的相关信息，数据经过汇总整理得到如图所示的频率分布直方图(用频率作为概率)．潜伏期不高于平均数的患者，称为“短潜伏者”，潜伏期高于平均数的患者，称为“长潜伏者”．
(1)求这500名患者潜伏期的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)，并计算出这500名患者中“长潜伏者”的人数；
(2)为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否高于平均数为标准进行分层抽样，从上述500名患者中抽取300人，得到如下列联表，请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有97.5%的把握认为潜伏期长短与患者年龄有关：
项目 短潜伏者 长潜伏者 合计
60岁及以上 90
60岁及以下 140
合计 300
附表及公式：
K2＝.
P(K2≥k0) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
解：(1)平均数x＝(0.02×1＋0.08×3＋0.15×5＋0.18×7＋0.03×9＋0.03×11＋0.01×13)×2＝6，
这500名患者中“长潜伏者”的频率为(0.18＋0.03＋0.03＋0.01)×2＝0.5，
所以“长潜伏者”的人数为500×0.5＝250(人)．
(2)由题意补充后的列联表如下，
项目 短潜伏者 长潜伏者 合计
60岁及以上 90 70 160
60岁及以下 60 80 140
合计 150 150 300
则K2的观测值为k＝＝≈5.357>5.024，
经查表，得P(K2≥5.024)≈0.025，
所以有97.5%的把握认为潜伏期长短与年龄有关．
4．某机构为了了解不同年龄的人对一款智能家电的评价，随机选取了50名购买该家电的消费者，让他们根据实际使用体验进行评分．
(1)设消费者的年龄为x，对该款智能家电的评分为y.若根据统计数据，用最小二乘法得到y关于x的线性回归方程为＝1.2x＋40，且年龄x的方差为s＝14.4，评分y的方差为s＝22.5.求y与x的相关系数r，并据此判断对该款智能家电的评分与年龄的相关性强弱；
(2)按照一定的标准，将50名消费者的年龄划分为“青年”和“中老年”，评分划分为“好评”和“差评”，整理得到如下数据，请判断是否有99%的把握认为对该智能家电的评价与年龄有关．
项目 好评 差评
青年 8 16
中老年 20 6
附：线性回归直线＝ x＋的斜率＝；相关系数r＝，独立性检验中的K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
临界值表：
P(K2≥k0) 0.050 0.010 0.001
k0 3.841 6.635 10.828
解：(1)相关系数r＝＝·＝·eq \f(\r(50s),\r(50s))＝1.2×＝0.96.
故对该款智能家电的评分与年龄的相关性较强．
(2)由列联表可得K2＝≈9.624>6.635.
故有99%的把握认为对该智能家电的评价与年龄有关．
5．(2020·广州模拟)某种昆虫的日产卵数和时间变化有关，现收集了该昆虫第1天到第5天的日产卵数据：
第x天 1 2 3 4 5
日产卵数y/个 6 12 25 49 95
对数据初步处理后得到了如图所示的散点图和表中的统计量的值．
xi x （ln yi） (xi·ln yi)
15 55 15.94 54.75
(1)根据散点图，利用计算机模拟出该种昆虫日产卵数y关于x的回归方程为y＝ea＋bx(其中e为自然对数的底数)，求实数a，b的值(精确到0.1)；
(2)根据某项指标测定，若日产卵数在区间(e6，e8)上的时段为优质产卵期，利用(1)的结论，估计在第6天到第10天中任取两天，其中恰有1天为优质产卵期的概率．
附：对于一组数据(v1，μ1)，(v2，μ2)，…，(vn，μn)，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为＝，＝u－·v.
解：(1)因为y＝ea＋bx，两边取自然对数，得ln y＝a＋bx，
令m＝x，n＝ln y，得n＝a＋bm; 因为＝＝＝0.693，
所以≈0.7.因为＝－ ＝－0.7×3＝1.088，所以≈1.1，即a≈1.1，b≈0.7.
(2)根据(1)得y＝e1.1＋0.7x，由e6＜e1.1＋0.7x＜e8，得7＜x<.
所以在第6天到第10天中，第8、9天为优质产卵期；
从第6天到第10天中任取2天的所有可能事件有：
(6，7)，(6，8)，(6，9)，(6，10)，(7，8)，(7，9)，(7，10)，(8，9)，(8，10)，(9，10)共10种；
其中恰有1天为优质产卵期的有：(6，8)，(6，9)，(7，8)，(7，9)，(8，10)，(9，10)，共6种；
设从未来第6天到第10天中任取2天，其中恰有1天为优质产卵期的事件为A，则P(A)＝＝.
所以从第6天到第10天中任取2天，其中恰有1天为优质产卵期的概率为.
6．(2021·成都市成都实外高三开学考试)近年来，共享单车进驻城市，绿色出行引领时尚．某公司计划对未开通共享单车的A县城进行车辆投放，为了确定车辆投放量，对过去在其他县城的投放量情况以及年使用人次进行了统计，得到了投放量x(单位：千辆)与年使用人次y(单位：千次)的数据如下表所示，根据数据绘制投放量x与年使用人次y的散点图如图所示．
x 1 2 3 4 5 6 7
y 6 11 21 34 66 101 196
(1)观察散点图，可知两个变量不具有线性相关关系，拟用对数函数模型y＝a＋blg x或指数函数模型y＝c·dx(c>0，d>0)对两个变量的关系进行拟合，请问哪个模型更适宜作为投放量x与年使用人次y的回归方程类型(给出判断即可，不必说明理由)，并求出y关于x的回归方程；
(2)已知每辆单车的购入成本为200元，年调度费以及维修等的使用成本为每人次0.2元，按用户每使用一次，收费1元计算，若投入8 000辆单车，则几年后可实现盈利？
参考数据：
xiyi xiνi 100.54
62.14 1.54 2 535 50.12 3.47
其中νi＝lg yi，＝i.
参考公式：对于一组数据(u1，ν1)，(u2，ν2)，…，(un，νn)，其回归直线＝＋u的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为＝
,＝－.
解：（1）由散点图判断，y＝c·dx适宜作为投放量x与年使用人次y的回归方程类型.
由y＝c·dx，两边同时取常用对数得lg y＝lg（c·dx）＝lg c＋xlg d.
设lg y＝ν，则ν＝lg c＋xlg d.
因为＝4, ＝1.54，x＝140，x iνi＝50.12，
所以lg d＝＝＝0.25.
把(4，1.54)代入＝lg c＋lg d，得lg c＝0.54，
所以＝0.54＋0.25x，所以lg ＝0.54＋0.25x，
则＝100.54＋0.25x＝3.47×100.25x，
故y关于x的回归方程为＝3.47×100.25x.
(2)投入8千辆单车，则年使用人次为3.47×100.25×8＝347(千人)次，
每年的收益为347×(1－0.2)＝277.6(千元)，
总投资8 000×200＝1600 000＝1 600(千元)，
假设需要n年开始盈利，则n×277.6>1 600，即n>5.76，
故需要6年才能开始盈利．
PAGE(共37张PPT)
专题四 概率与统计
微专题3 随机变量及其概率分布
微专题3 随机变量及其概率分布
微专题3 随机变量及其概率分布
X2 2 －1.2
p p 1－p
微专题3 随机变量及其概率分布
微专题3 随机变量及其概率分布
微专题3 随机变量及其概率分布
微专题3 随机变量及其概率分布
微专题3 随机变量及其概率分布
微专题3 随机变量及其概率分布
微专题3 随机变量及其概率分布
X 0 1 2 3
P 0.504 0.398 0.092 0.006
微专题3 随机变量及其概率分布
微专题3 随机变量及其概率分布
性别 非读书之星 读书之星 合计
男
女 10 55
合计
微专题3 随机变量及其概率分布
P(K2≥k0) 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k0 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
微专题3 随机变量及其概率分布
性别 非读书之星 读书之星 合计
男 30 15 45
女 45 10 55
合计 75 25 100
微专题3 随机变量及其概率分布
微专题3 随机变量及其概率分布
微专题3 随机变量及其概率分布
微专题3 随机变量及其概率分布
微专题3 随机变量及其概率分布
微专题3 随机变量及其概率分布
微专题3 随机变量及其概率分布
微专题3 随机变量及其概率分布
X 0 1 2 3
P 0.064 0.288 0.432 0.216
微专题3 随机变量及其概率分布
微专题3 随机变量及其概率分布
微专题3 随机变量及其概率分布
微专题3 随机变量及其概率分布
微专题3 随机变量及其概率分布
微专题3 随机变量及其概率分布
微专题3 随机变量及其概率分布
微专题3 随机变量及其概率分布
微专题3 随机变量及其概率分布
微专题3 随机变量及其概率分布
微专题3 随机变量及其概率分布
微专题3 随机变量及其概率分布
微专题3 随机变量及其概率分布
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专 题 强 化 练