山东省济宁市鱼台一中2012-2013学年高一2月月考 数学

鱼台一中2012—2013学年高一下学期2月月考
数学
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．表示自然数集，集合 ,则( )
A． B． C． D．
2．在区间上不是增函数的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列不等式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知两条直线和互相垂直，则等于( )
A． B． C． D．
5．函数的定义域是 ( )
A． B． C． D．
6. 某四面体的三视图如右图所示，该四面体四个面的面积中，
最大的是（ ）
A．8 B． C．10 D．
7. 已知点A(-5, 4)、B(3, 2), 过点C(-1, 2), 且与点A、B的
距离相等的直线方程是（ ）
A. x+4y-7=0 B. 4x-y+7=0
C. x+4y-7=0或x+1=0 D. x+4y-7=0或4x-y+7=0
8. 设a>1，若对任意的x([a, 2a]，都有y([a, a2] 满足方程logax+logay =3,
这时a的取值的集合为（ ）
A．{a|19．若直线和圆相切与点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
10．侧棱长为的正三棱锥的侧面都是直角三角形，且四个顶点都在一个球面上，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
11．已知函数，在区间内存在使，则的取值范围是( )
A． B．
C． D．
12．定义在R上的函数满足：的图像关于轴对称，并且对任意的有，则当时，有( )
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．在空间直角坐标系中，在轴上求一点C，使得点C到点与点的距离相等，则点C的坐标为
14．已知函数，则
15．下列四个几何体中，每个几何体的三视图有且仅有两个视图相同的是
16．已知点,点是圆上任意一点，则面积的最大值是
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）
（Ⅰ）计算：；
（Ⅱ）解方程：．
18．(本小题满分12分)
如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，A1A⊥平面ABC，A1A=AC=BC=1，AB=，
点D是AB的中点.
（I）求证：AC 1//平面CDB1;
（II）求三棱锥A1-ABC1的体积.
19．(本小题满分12分)
如图，AB是圆O的直径，C是圆周上不同于A、B的一点，VA︿平面ABC，VA=AB.
（I）证明：平面VAC︿平面VBC；
（II）当三棱锥A-VBC的体积最大值时，求VB与平面VAC所成角的大小.
20．(本小题满分12分)
已知函数f(x)=ax2+bx+1(a(0)对于任意x(R都有f(1+x)=f(1-x)，且函数y=f(x)+2x为偶函数；
函数g(x)=1-2x.
(I) 求函数f(x)的表达式；
(II) 求证：方程f(x)+g(x)=0在区间[0, 1]上有唯一实数根；
(III) 若有f(m)=g(n)，求实数n的取值范围.
21．（本小题满分12分）
已知是定义在上的奇函数，且当时，．
（Ⅰ）求的解析式；
（Ⅱ）直接写出的单调区间（不需给出演算步骤）；
（Ⅲ）求不等式解集．
22．（本小题满分12分）
已知，．
记（其中都为常数，且）．
（Ⅰ）若，，求的最大值及此时的值；
（Ⅱ）若，①证明：的最大值是；
②证明：．
参考答案：
1-5 BCAAD 6-10 CCBCD 11-12 BA

17．（Ⅰ）
（Ⅱ），即
则或，即或
18．证：（I） 设CB1与C1B的交点为E，连结DE，
∵ D是AB的中点，E是BC1的中点，∴ DE//AC1，
∵ DE(平面CDB1， AC1(平面CDB1，∴ AC1//平面CDB1.
（II）底面三边长AC=BC=1，AB=， ∴ AC⊥BC，
∵A1A⊥底面ABC，∴ A1A⊥BC；
而A1A (AC=C， ∴ BC⊥面AA1C1C， 则BC为三棱锥B-A1AC1的高；
∴ .
18．（I）证明：∵AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，∴BC︿AC，
由VA︿平面ABC， ∴BC︿VA，
而AC (VA=A， ∴ BC⊥面VAC，
由BC(平面VBC， ∴平面VAC︿平面VBC.
（II）方法1：
∵VA︿平面ABC，∴VA为三棱锥V-ABC的高，
则，
当(ABC的面积最大时，最大.
设AB=2a，
设BC=x (0则
∴当x2=2a2时，即时，(ABC的面积最大，最大. …10分
由(1)知：BC⊥面VAC，则(BVC为VB与平面VAC所成角，
在Rt(VBC中，，，，
∴(BVC=30(，
故直线VB与平面VAC所成角为30(.
方法2：
∵VA︿平面ABC，∴VA为三棱锥V-ABC的高，
则，
当(ABC的面积最大时，最大.
设AB=2a，
过点C做CM(AB，垂足为M，
则
∴当M与O重合时，CM最大，此时，
∴当，(ABC的面积最大，最大.
20．解:（I）∵对于任意x(R都有f(1+x)=f(1-x),
∴函数f(x)的对称轴为x=1，得b=-2a.
……2分
又函数y=f(x)+2x= ax2+(b+2)x+1为偶函数， ∴b= -2．a=1.
∴f(x)= x2-2x+1= (x-1)2.
（II）设h(x)= f(x)+g(x)= (x-1)2+1-2x,
∵ h(0)=2-20= 1>0，h(1)= -1<0，∴ h(0)h(1)<0.
又∵(x-1)2, -2x在区间[0,1]上均单调递减，
所以h(x)在区间[0,1]上单调递减， ∴ h(x)在区间[0,1]上存在唯一零点.
故方程f(x)+g(x)=0在区间[0, 1]上有唯一实数根.
（III）由题可知∴f(x)=(x-1)2(0．g(x)= 1-2x <1,
若有f(m)=g(n)，则g(n)([0, 1)， 则1-2n(0，解得 n(0.
故n的取值范围是n(0.
21．解：（Ⅰ）当时，；
当时，则，，则
综上：
（Ⅱ）递增区间：，
（Ⅲ）当时，，即
当时，，即
当时，，恒成立
综上，所求解集为：
22．解：（Ⅰ）若时，
则，此时的；
（Ⅱ）证明：
令，记
则其对称轴
①当，即时，
当，即时，
故 - 21世纪教育网 -11分
②即求证，
其中
当，即时，
当，即时，

当，即时，
综上：