2021年全国统一高考数学试卷汇编(word版含解析）
文档属性
| 名称 | 2021年全国统一高考数学试卷汇编(word版含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 2.6MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-04-25 17:20:07 | ||
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文档简介
2021 年全国各地高考数学试题汇编
目录
2021 年全国统一新高考数学试卷 ( 新高考Ⅰ卷 ) 1
2021 年全国统一新高考数学试卷 ( 新高考Ⅰ卷 ) 参考答案与试题解析 5
2021 年全国统一高考数学试卷 ( 新高考Ⅱ卷 ) 14
2021 年全国统一高考数学试卷 ( 新高考全国Ⅱ卷 ) 参考答案与试题解析 18
2021 年全国统一高考数学试卷 ( 文科 ) ( 甲卷 ) 26
2021 年全国统一高考数学试卷 ( 文科 ) ( 甲卷 ) 参考答案与试题解析 30
2021 年全国统一高考数学试卷 ( 理科 ) ( 甲卷 ) 37
2021 年全国统一高考数学试卷 ( 理科 ) ( 甲卷 ) 参考答案与试题解析 41
2021 年全国统一高考数学试卷 ( 文科 ) ( 乙卷 ) 50
2021 年全国统一高考数学试卷 ( 文科 ) ( 乙卷 ) 参考答案与试题解析 54
2021 年全国统一高考数学试卷 ( 理科 ) ( 乙卷 ) 61
2021 年全国统一高考数学试卷 ( 理科 ) ( 乙卷 ) 参考答案与试题解析 65
2021 年普通高等学校招生全国统一考试 ( 北京卷 ) 数学 73
2021 年普通高等学校招生全国统一考试 ( 北京卷 ) 数学参考答案与试题解析 77
2021 年天津市高考统一试卷 84
2021 年天津市高考统一试卷参考答案与试题解析 88
2021 年浙江省高考数学试卷 96
2021 年浙江省高考数学试卷数学参考答案与试题解析 100
2021 年上海市春季高考数学试卷 109
2021 年上海市春季高考数学试卷参考答案与试题解析 113
2021 年上海市夏季高考数学试卷 118
2021 年上海市夏季高考数学试卷参考答案与试题解析 122
2021 年全国统一新高考数学试卷 ( 新高考Ⅰ卷 )
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 设集合 A = {x|-2 < x < 4}，B = {2，3，4，5}，则 A ∩ B = ( )
A. {2} B. {2，3} C. {3，4} D. {2，3，4}
(
z
)2. 已知 z = 2 - i，则 z( + i) = ( ) A. 6 - 2i B. 4 - 2i C. 6 + 2i D. 4 + 2i
3. 已知圆锥的底面半径为 2 ，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为 ( ) A. 2 B. 2 2 C. 4 D. 4 2
4. 下列区间中，函数 f (x) = 7sin(x - π ) 单调递增的区间是 ( )
6
A. (0, π ) B. ( π ，π) C. (π, 3π ) D. ( 3π ，2π)
2 2 2 2
(
·
2
·
)
(
2
)5. 已知 F1 ，F2 是椭圆 C : x +
y2
= 1 的两个焦点，点 M 在 C 上，则 |MF1| |MF2| 的最大值为 ( )
9 4
A. 13 B. 12 C. 9 D. 6
6. 若 tanθ = -2，则 sinθ(1 + sin2θ) = ( )
sinθ + cosθ
A. - 6
5
B. - 2
5
C. 2
5
D. 6
5
7. 若过点 (a,b) 可以作曲线 y = ex 的两条切线，则 ( )
A. eb < a B. ea < b C. 0 < a < eb D. 0 < b < ea
8. 有 6 个相同的球，分别标有数字 1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取 1 个球．甲表示事件 “第一次取出的球的数字是 1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是 2”，丙表示事件“两次取出的球的 数字之和是 8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是 7”，则 ( )
A. 甲与丙相互独立 B. 甲与丁相互独立 C. 乙与丙相互独立 D. 丙与丁相互独立 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对
的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。
9. 有一组样本数据 x1 ，x2 ， ，xn ，由这组数据得到新样本数据 y1 ，y2 ， ，yn ，其中 yi = xi + c(i = 1，2， ，
n)，c 为非零常数，则 ( )
A. 两组样本数据的样本平均数相同 B. 两组样本数据的样本中位数相同
C. 两组样本数据的样本标准差相同 D. 两组样本数据的样本极差相同
10. 已知 O 为坐标原点，点 P1(cosα,sinα)，P2(cosβ,-sinβ)，P3(cos(α + β)，sin(α + β))，A(1,0)，则 ( )
A. |OP1| = |OP2| B. |AP1| = |AP2|
C. OA OP3 = OP1 OP2
D. OA OP1 = OP2 OP3
11. 已知点 P 在圆 (x - 5)2 + (y - 5)2 = 16 上，点 A(4,0)，B(0,2)，则 ( )
A. 点 P 到直线 AB 的距离小于 10 B. 点 P 到直线 AB 的距离大于 2
C. 当 ∠PBA 最小时，|PB| = 3 2 D. 当 ∠PBA 最大时，|PB| = 3 2
12. 在正三棱柱 ABC - A1B1C1 中，AB = AA1 = 1，点 P 满足 BP = λBC + μBB1 ，其中 λ ∈ [0，1]，μ ∈ [0，1]，
则 ( )
A. 当 λ = 1 时，△AB1P 的周长为定值
B. 当 μ = 1 时，三棱锥 P - A1BC 的体积为定值
(
1
)C. 当 λ = 1 时，有且仅有一个点 P，使得 A P ⊥ BP
2
(
2
)D. 当 μ = 1 时，有且仅有一个点 P，使得 A1B ⊥ 平面 AB1P
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13. 已知函数 f (x) = x3(a 2x - 2-x) 是偶函数，则 a = ．
14. 已知 O 为坐标原点，抛物线 C : y2 = 2px(p > 0) 的焦点为 F ，P 为 C 上一点，PF 与 x 轴垂直，Q 为 x 轴 上一点，且 PQ ⊥ OP．若 |FQ| = 6，则 C 的准线方程为 ．
15. 函数 f (x) = |2x - 1|-2lnx 的最小值为 ．
16. 某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折．规格为 20dm ×
12dm 的长方形纸，对折 1 次共可以得到 10dm × 12dm，20dm × 6dm 两种规格的图形，它们的面积之和 S1 = 240dm2 ，对折 2 次共可以得到 5dm × 12dm，10dm × 6dm，20dm × 3dm 三种规格的图形，它们的面 积之和 S2 = 180dm2 ，以此类推．则对折 4 次共可以得到不同规格图形的种数为 ；如果对折 n
n
次，那么 Sk = dm2．
k=1
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
an + 1,n 为奇数,
(
n
)17. (10 分 ) 已知数列 {an} 满足 a1 = 1，an+1 = a
+ 2,n 为偶数
(1) 记 bn = a2n ，写出 b1 ，b2 ，并求数列 {bn} 的通项公式；
(2) 求 {an} 的前 20 项和．
18. (12 分 ) 某学校组织“一带一路”知识竞赛，有 A ，B 两类问题．每位参加比赛的同学先在两类问题中选 择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再 随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束． A 类问题中的每个问题回答正确得 20 分，否则得 0 分；B 类问题中的每个问题回答正确得 80 分，否则得 0 分．
已知小明能正确回答 A 类问题的概率为 0.8，能正确回答 B 类问题的概率为 0.6，且能正确回答问题的概 率与回答次序无关．
(1) 若小明先回答 A 类问题，记 X 为小明的累计得分，求 X 的分布列；
(2) 为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由．
19. (12 分 ) 记 △ABC 的内角 A，B ，C 的对边分别为 a，b，c．已知 b2 = ac，点 D 在边 AC 上，BDsin∠ABC
= asinC ．
(1) 证明：BD = b；
(2) 若 AD = 2DC ，求 cos∠ABC ．
20. (12 分 ) 如图，在三棱锥 A - BCD 中，平面 ABD ⊥ 平面 BCD，AB = AD，O 为 BD 的中点．
(1) 证明：OA ⊥ CD；
(2) 若 △OCD 是边长为 1 的等边三角形，点 E 在棱 AD 上，DE = 2EA ，且二面角 E - BC - D 的大小为
45°，求三棱锥 A - BCD 的体积．
A
E
O
B D C
21. (12 分 ) 在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 F1(- 17 ，0)，F2( 17 ，0)，点 M 满足 |MF1|-|MF2| = 2．记 M
的轨迹为 C ．
(1) 求 C 的方程；
(2) 设点 T 在直线 x = 1 上，过 T 的两条直线分别交 C 于 A，B 两点和 P ，Q 两点，且 |TA| |TB| = |TP|
2
|TQ|，求直线 AB 的斜率与直线 PQ 的斜率之和．
22. (12 分 ) 已知函数 f (x) = x(1 - lnx)．
(1) 讨论 f (x) 的单调性；
(2) 设 a，b 为两个不相等的正数，且 blna - alnb = a - b，证明：2 < 1 + 1 < e．
a b
2021 年全国统一新高考数学试卷 ( 新高考Ⅰ卷 ) 参考答案与试题解析
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 设集合 A = {x|-2 < x < 4}，B = {2，3，4，5}，则 A ∩ B = ( )
A. {2} B. {2，3} C. {3，4} D. {2，3，4}
【解析】：∵ A = {x|-2 < x < 4}，B = {2，3，4，5}，
∴ A ∩ B = {x|-2 < x < 4} ∩ {2，3，4，5} = {2，3}．故选：B．
(
z
)2. 已知 z = 2 - i，则 z( + i) = ( ) A. 6 - 2i B. 4 - 2i C. 6 + 2i D. 4 + 2i
【解析】：∵ z = 2 - i，
(
z
)∴ z( + i) = (2 - i) (2 + i + i) = (2 - i) (2 + 2i) = 4 + 4i - 2i - 2i2 = 6 + 2i．故选：C ．
3. 已知圆锥的底面半径为 2 ，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为 ( ) A. 2 B. 2 2 C. 4 D. 4 2
【解析】：由题意，设母线长为 l，
因为圆锥底面周长即为侧面展开图半圆的弧长，圆锥的母线长即为侧面展开图半圆的半径， 则有 2π 2 = π l，解得 l = 2 2，
所以该圆锥的母线长为 2 2．故选：B．
4. 下列区间中，函数 f (x) = 7sin(x - π ) 单调递增的区间是 ( )
6
A. (0, π ) B. ( π ，π) C. (π, 3π ) D. ( 3π ，2π)
2 2 2 2
【解析】：令 - π + 2kπ ≤ x - π ≤ π + 2kπ，k ∈ Z ．
2 6 2
则 - π + 2kπ ≤ x ≤ 2π + 2kπ，k ∈ Z ．
3 3
当 k = 0 时，k ∈ [- π ，2π ]，
3 3
(0, π ) [- π ，2π ]，故选：A．
2 3 3
2 y2
(
9
)5. 已知 F1 ，F2 是椭圆 C : x
+ 4 = 1 的两个焦点，点 M 在 C 上，则 |MF1| |MF2| 的最大值为 ( )
A. 13 B. 12 C. 9 D. 6
(
2
)【解析】：F1，F2 是椭圆 C : x +
y2
= 1 的两个焦点，点 M 在 C 上，|MF1|+|MF2| = 6，
9 4
所以 |MF1| |MF2| ≤ (
|MF1|+|MF2|
(
2
)2 ) = 9，当且仅当 |MF1| = |MF2| = 3 时，取等号，
所以 |MF1| |MF2| 的最大值为 9．故选：C ．
6. 若 tanθ = -2，则 sinθ(1 + sin2θ) = ( )
sinθ + cosθ
A. - 6
5
B. - 2
5
sinθ(1 + sin2θ)
C. 2
5
sinθ(sin2θ + cos2θ + 2sinθcosθ)
D. 6
5
【解析】：由题意可得：
(
2
)= sinθ(sinθ + cosθ)
sinθ + cosθ
sinθ + cosθ =
= sinθ(sinθ + cosθ)
sinθ + cosθ
= sin2θ + sinθcosθ = tan2θ + tanθ
sin2θ + cos2θ
1 + tan2θ
= 4 - 2 = 2 ．故选：C ．
1 + 4 5
7. 若过点 (a,b) 可以作曲线 y = ex 的两条切线，则 ( ) A. eb < a B. ea < b C. 0 < a < eb D. 0 < b < ea
【解析】：函数 y = ex 是增函数，y′ = ex > 0 恒成立， 函数的图象如图，y > 0，即取得坐标在 x 轴上方， 如果 (a,b) 在 x 轴下方，连线的斜率小于 0，不成立． 点 (a,b) 在 x 轴或下方时，只有一条切线．
如果 (a,b) 在曲线上，只有一条切线；
y
y = ex
a,b
(a,b) 在曲线上侧，没有切线； O x
由图象可知 (a,b) 在图象的下方，并且在 x 轴上方时，有两条 切线，可知 0 < b < ea．故选：D．
8. 有 6 个相同的球，分别标有数字 1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取 1 个球．甲表示事件 “第一次取出的球的数字是 1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是 2”，丙表示事件“两次取出的球的 数字之和是 8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是 7”，则 ( )
A. 甲与丙相互独立 B. 甲与丁相互独立 C. 乙与丙相互独立 D. 丙与丁相互独立
【解析】：由题意可知，两点数和为 8 的所有可能为：(2,6)，(3,5)，(4,4)，(5,3)，(6,2)， 两点数和为 7 的所有可能为 (1,6)，(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,1)，
P( 甲 ) = 1 ，P( 乙 ) = 1 ，P( 丙 ) = 5
= 5 ，P( 丁 ) = 6
= 1 ，
6 6 6 × 6 36
6 × 6 6
A. P( 甲丙 ) = 0 ≠ P( 甲 )P( 丙 )， B. P( 甲丁 ) = 1
36
= P( 甲 )P( 丁 )，
C. P( 乙丙 ) = 1
36
≠ P( 乙 )P( 丙 )， D. P( 丙丁 ) = 0 ≠ P( 丙 )P( 丁 )，
故选：B．
二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对 的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。
9. 有一组样本数据 x1 ，x2 ， ，xn ，由这组数据得到新样本数据 y1 ，y2 ， ，yn ，其中 yi = xi + c(i = 1，2， ，
n)，c 为非零常数，则 ( )
A. 两组样本数据的样本平均数相同 B. 两组样本数据的样本中位数相同
C. 两组样本数据的样本标准差相同 D. 两组样本数据的样本极差相同
【解析】：对于 A，两组数据的平均数的差为 c，故 A 错误； 对于 B，两组样本数据的样本中位数的差是 c，故 B 错误； 对于 C ，∵ 标准差 D(yi) = D(xi + c) = D(xi)，
∴ 两组样本数据的样本标准差相同，故 C 正确；
对于 D，∵ yi = xi + c(i = 1，2， ，n)，c 为非零常数，
x 的极差为 xmax - xmin，y 的极差为 (xmax + c) - (xmin + c) = xmax - xmin，
∴ 两组样本数据的样本极差相同，故 D 正确．故选：CD．
10. 已知 O 为坐标原点，点 P1(cosα,sinα)，P2(cosβ,-sinβ)，P3(cos(α + β)，sin(α + β))，A(1,0)，则 ( )
A. |OP1| = |OP2| B. |AP1| = |AP2|
C. OA OP3 = OP1 OP2
D. OA OP1 = OP2 OP3
【解析】：∵ P1(cosα,sinα)，P2(cosβ,-sinβ)，P3(cos(α + β)，sin(α + β))，A(1,0)，
∴ OP1 = (cosα,sinα)，OP2 = (cosβ,-sinβ)，
OP3 = (cos(α + β)，sin(α + β))，OA = (1,0)，
AP1 = (cosα - 1,sinα)，AP2 = (cosβ - 1,-sinβ)，
则 |OP1| = cos2α + sin2α = 1，|OP2| = cos2β + (-sinβ)2 = 1，则 |OP1| = |OP2|，故 A 正确；
|AP1| = (cosα - 1)2 + sin2α = cos2α + sin2α - 2cosα + 1 = 2 - 2cosα，
|AP2| = (cosβ - 1)2 + (-sinβ)2 = cos2β + sin2β - 2cosβ + 1 = 2 - 2cosβ，
|AP1| ≠ |AP2|，故 B 错误；
OA OP3 = 1 × cos(α + β) + 0 × sin(α + β) = cos(α + β)，
OP1 OP2 = cosαcosβ - sinαsinβ = cos(α + β)，
∴ OA OP3 = OP1 OP2，故 C 正确；
OA OP1 = 1 × cosα + 0 × sinα = cosα，
OP2 OP3 = cosβcos(α + β) - sinβsin(α + β) = cos[β + (α + β)] = cos(α + 2β)，
∴ OA OP1 ≠ OP2 OP3，故 D 错误．故选：AC ．
11. 已知点 P 在圆 (x - 5)2 + (y - 5)2 = 16 上，点 A(4,0)，B(0,2)，则 ( ) A. 点 P 到直线 AB 的距离小于 10 B. 点 P 到直线 AB 的距离大于 2
C. 当 ∠PBA 最小时，|PB| = 3 2 D. 当 ∠PBA 最大时，|PB| = 3 2
【解析】：∵ A(4,0)，B(0,2)，
∴ 过 A、B 的直线方程为 x + y = 1，即 x + 2y - 4 = 0，
4 2
圆 (x - 5)2 + (y - 5)2 = 16 的圆心坐标为 (5,5)，
圆心到直线 x + 2y - 4 = 0 的距离 d = |1 × 5 + 2 × 5 - 4| = 11
= 11 5 > 4，
12 + 22 5 5
∴ 点 P 到直线 AB 的距离的范围为 [ 11 5 - 4，11 5 + 4]，
5 5 y
∵ 11 5 < 5，∴ 11 5 - 4 < 1，11 5 + 4 < 10， P2
5 5 5 C
∴ 点 P 到直线 AB 的距离小于 10，但不一定大于 2，故 A 正确，B 错误；
如图，当过 B 的直线与圆相切时，满足 ∠PBA 最小或最大
(P 点位于 P1 时 ∠PBA 最小，位于 P2 时 ∠PBA 最大 )， B
P1
(
A
)此时 |BC | = (5 - 0)2 + (5 - 2)2 = 25 + 9 = 34，
x
∴ |PB| = |BC |2 - 42 = 18 = 3 2，故 CD 正确．
故选：ACD．
12. 在正三棱柱 ABC - A1B1C1 中，AB = AA1 = 1，点 P 满足 BP = λBC + μBB1 ，其中 λ ∈ [0，1]，μ ∈ [0，1]，
则 ( )
A. 当 λ = 1 时，△AB1P 的周长为定值
B. 当 μ = 1 时，三棱锥 P - A1BC 的体积为定值
C. 当 λ = 1 时，有且仅有一个点 P，使得 A1P ⊥ BP
2
【解析】：对于 A，当 λ = 1 时，BP = BC + μBB1，
A1 C1
B1
P
即 CP = μBB1，所以 CP//BB1，
故点 P 在线段 CC1 上，此时 △AB1P 的周长为 AB1 + B1P + AP， A C
当点 P 为 CC1 的中点时，△AB1P 的周长为 5 + 2，
当点 P 在点 C1 处时，△AB1P 的周长为 2 2 + 1， B
故周长不为定值，故选项 A 错误；
对于 B，当 μ = 1 时，BP = λBC + BB1，即 B1P = λBC ，所以 B1P//BC ，
故点 P 在线段 B1C1 上，
因为 B1C1// 平面 A1BC ， A1
所以直线 B1C1 上的点到平面 A1BC 的距离相等， 又 △A1BC 的面积为定值，
所以三棱锥 P - A1BC 的体积为定值，故选项 B 正确；
(
2
)对于 C ，当 λ = 1 时，取线段 BC ，B1C1 的中点分别为 M ，M1，连结 M1M ， A
C1
B1 P
C
(
2
)因为 BP = 1 BC + μBB1，即 MP = μBB1，所以 MP//BB1，
则点 P 在线段 M1M 上，
当点 P 在 M1 处时，A1M1 ⊥ B1C1，A1M1 ⊥ B1B， 又 B1C1 ∩ B1B = B1，所以 A1M1 ⊥ 平面 BB1C1C ，
又 BM1 平面 BB1C1C ，所以 A1M1 ⊥ BM1，即 A1P ⊥ BP， 同理，当点 P 在 M 处，A1P ⊥ BP，故选项 C 错误；
(
2
)对于 D，当 μ = 1 时，取 CC1 的中点 D1，BB1 的中点 D，
B
A1 M1 C1
B1
P
A C
(
1
)因为 BP = λBC + 1 BB ，即 DP = λBC ，所以 DP//BC ，
2
则点 P 在线的 DD1 上，
当点 P 在点 D1 处时，取 AC 的中点 E，连结 A1E，BE，
因为 BE ⊥ 平面 ACC1A1，又 AD1 平面 ACC1A1，所以 AD1 ⊥ BE，
在正方形 ACC1A1 中，AD1 ⊥ A1E， A1
又 BE ∩ A1E = E，BE，A1E 平面 A1BE，
故 AD1 ⊥ 平面 A1BE，又 A1B 平面 A1BE，所以 A1B ⊥ AD1， 在正方形 ABB1A1 中，A1B ⊥ AB1，
又 AD1 ∩ AB1 = A，AD1，AB1 平面 AB1D1，所以 A1B ⊥ 平面 AB1D1，
A
因为过定点 A 与定直线 A1B 垂直的平面有且只有一个，
故有且仅有一个点 P，使得 A1B ⊥ 平面 AB1P，故选项 D 正确． 故选：BD．
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13. 已知函数 f (x) = x3(a 2x - 2-x) 是偶函数，则 a = ．
【解析】：因为函数 f (x) = x3(a 2x - 2-x) 是偶函数，y = x3 为 R 上的奇函数， 故 y = a 2x - 2-x 也为 R 上的奇函数，所以 y|x=0 = a 20 - 20 = a - 1 = 0， 所以 a = 1．故答案为：1．
M B
C1
B1
D1 P
E D
C
B
14. 已知 O 为坐标原点，抛物线 C : y2 = 2px(p > 0) 的焦点为 F ，P 为 C 上一点，PF 与 x 轴垂直，Q 为 x 轴
(
2
)上一点，且 PQ ⊥ OP．若 |FQ| = 6，则 C 的准线方程为 x = - 3 ．
【解析】：解法一：由题意，不妨设 P 在第一象限，则 P( p ，p)，k
= 2，PQ ⊥ OP．
2
(
p
)所以 kPQ = - 1 ，所以 PQ 的方程为：y - p = - 1 (x -
OP
)，y = 0 时，x =
5p ，
2 2 2 2
|FQ| = 6，所以 5p - p = 6，解得 p = 3，
2 2
所以抛物线的准线方程为：x = - 3 ．故答案为：x = - 3 ．
2 2
解法二：由题意，不妨设 P 在第一象限，则 P( p ，p)，Q( p + 6,0)
2 2
则 PQ = (6,-p)，因为 PQ ⊥ OP，所以 PQ OP = 0，解得 p = 3，
所以抛物线的准线方程为：x = - 3 ．故答案为：x = - 3 ．
2 2
15. 函数 f (x) = |2x - 1|-2lnx 的最小值为 1 ．
【解析】：函数 f (x) = |2x - 1|-2lnx 的定义域为 (0,+∞)．
当 0 < x ≤ 1 时，f (x) = |2x - 1|-2lnx = -2x + 1 - 2lnx，
2
此时函数 f (x) 在 (0，1 ] 上为减函数，
2
所以 f (x) ≥ f ( 1 ) = -2 × 1 + 1 - 2ln 1 = 2ln2；
2 2 2
当 x > 1 时，f (x) = |2x - 1|-2lnx = 2x - 1 - 2lnx，则 f ′ (x) = 2 - 2 = 2(x - 1) ，
2 x x
当 x ∈ ( 1 ，1) 时，f ′ (x) < 0，f (x) 单调递减，当 x ∈ (1,+∞) 时，f ′ (x) > 0，f (x) 单调递增，
2
∴ 当 x = 1 时 f (x) 取得最小值为 f (1) = 2 × 1 - 1 - 2ln1 = 1．
∵ 2ln2 = ln4 > lne = 1，
∴ 函数 f (x) = |2x - 1|-2lnx 的最小值为 1．故答案为：1．
16. 某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折．规格为 20dm ×
12dm 的长方形纸，对折 1 次共可以得到 10dm × 12dm，20dm × 6dm 两种规格的图形，它们的面积之和 S1 = 240dm2 ，对折 2 次共可以得到 5dm × 12dm，10dm × 6dm，20dm × 3dm 三种规格的图形，它们的面 积之和 S2 = 180dm2 ，以此类推．则对折 4 次共可以得到不同规格图形的种数为 5 ；如果对折 n 次，
n
那么 Sk =
k=1
240(3 - n + 3 )
2n
dm2．
【解析】：易知有 20dm × 3 dm,10dm × 3 dm,5dm × 3dm, 5 dm × 6dm，5 dm × 12dm，共 5 种规格；
4 2 2
4
240(k + 1)
由题可知，对折 k 次共有 k + 1 种规格，且面积为 240 ，故 Sk = ，
2k 2k
n n n n
(
k
) (
k
)则 Sk = 240 k + 1 ，记 Tn = k + 1 ，则 1 Tn = k + 1 ，
k=1
k=1 2
k=1 2
2
k=1
2k+1
n n n-1 n
∴ 1 Tn = k + 1 - k + 1 = 1 + ( k + 2 - k + 2 ) - n + 1
(
2
)2 k k=1
k=1
2k+1
k=1
2k+1
k=1
2k+1
2n+1
1 (1 - 1 )
= 1 + 4
2n-1
- n + 1 = 3 - n + 3 ，
1 - 1
2
n
2n+1
2 2n+1
(
n
) (
n
) (
n
)∴ Tn = 3 - n + 3 ，∴ Sk = 240(3 - n + 3 )．故答案为：5；240(3 - n + 3 )．
2 k=1 2 2
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
an + 1,n 为奇数,
(
n
)17. (10 分 ) 已知数列 {an} 满足 a1 = 1，an+1 = a
+ 2,n 为偶数
(1) 记 bn = a2n ，写出 b1 ，b2 ，并求数列 {bn} 的通项公式；
(2) 求 {an} 的前 20 项和．
an + 1,n 为奇数
(
n
)【解析】：(1) 因为 a1 = 1，an+1 = a
+ 2,n 为偶数 ，
所以 a2 = a1 + 1 = 2，a3 = a2 + 2 = 4，a4 = a3 + 1 = 5， 所以 b1 = a2 = 2，b2 = a4 = 5，
bn - bn-1 = a2n - a2n-2 = a2n - a2n-1 + a2n-1 - a2n-2 = 1 + 2 = 3， 所以数列 {bn} 是以 b1 = 2 为首项，以 3 为公差的等差数列，
所以 bn = 2 + 3(n - 1) = 3n - 1．
(2) 解法一：由 (1) 可得 a2n = 3n - 1，n ∈ N *，
则 a2n-1 = a2n-2 + 2 = 3(n - 1) - 1 + 2 = 3n - 2，n ≥ 2，
当 n = 1 时，a1 = 1 也适合上式，所以 a2n-1 = 3n - 2，n ∈ N *， 所以数列 {an} 的奇数项和偶数项分别为等差数列，
则 {an} 的前 20 项和为 a1 + a2 + ... + a20 = (a1 + a3 + +a19) + (a2 + a4 + +a20)
= 10 + 10 × 9 × 3 + 10 × 2 + 10 × 9 × 3 = 300．
2 2
解法二：a1 + a2 + ... + a20 = (a1 + a3 + +a19) + (a2 + a4 + +a20)
= (a1 + a2 + 2 + a3 + 2 + a18 + 2) + (b1 + b2 + b3 + +b10)
= 19 + (b1 + b2 + b3 + +b9) + (b1 + b2 + b3 + +b10)
= 19 + 9(2 + 26) + 10(2 + 29) = 300
2 2
18. (12 分 ) 某学校组织“一带一路”知识竞赛，有 A ，B 两类问题．每位参加比赛的同学先在两类问题中选 择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再 随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束． A 类问题中的每个问题回答正确得 20 分，否则得 0 分；B 类问题中的每个问题回答正确得 80 分，否则得 0 分．
已知小明能正确回答 A 类问题的概率为 0.8，能正确回答 B 类问题的概率为 0.6，且能正确回答问题的概 率与回答次序无关．
(1) 若小明先回答 A 类问题，记 X 为小明的累计得分，求 X 的分布列；
(2) 为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由．
【解析】：(1) 由已知可得，X 的所有可能取值为 0，20，100，
则 P(X = 0) = 1 - 0.8 = 0.2，P(X = 20) = 0.8 × (1 - 0.6) = 0.32，P(X = 100) = 0.8 × 0.6 = 0.48， 所以 X 的分布列为：
X 0 20 100
P 0.2 0.32 0.48
(2) 由 (1) 可知小明先回答 A 类问题累计得分的期望为 E(X) = 0 × 0.2 + 20 × 0.32 + 100 × 0.48 = 54.4， 若小明先回答 B 类问题，记 Y 为小明的累计得分，
则 Y 的所有可能取值为 0，80，100，
P(Y = 0) = 1 - 0.6 = 0.4，P(Y = 80) = 0.6 × (1 - 0.8) = 0.12，P(Y = 100) = 0.6 × 0.8 = 0.48， 则 Y 的期望为 E(Y ) = 0 × 0.4 + 80 × 0.12 + 100 × 0.48 = 57.6，
因为 E(Y ) > E(X)， 所以为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答 B 类问题．
19. (12 分 ) 记 ABC 的内角 A，B ，C 的对边分别为 a，b，c．已知 b2 = ac，点 D 在边 AC 上，BDsin∠ABC =
asinC ．
(1) 证明：BD = b；
(2) 若 AD = 2DC ，求 cos∠ABC ．
(
·
10
·
)
【解析】：(1) 解法一：证明：由正弦定理知， b
sin∠ABC
= c
sin∠ACB
= 2R，
∴ b = 2Rsin∠ABC ，c = 2Rsin∠ACB，
∵ b2 = ac，∴ b 2Rsin∠ABC = a 2Rsin∠ACB，即 bsin∠ABC = asinC ，
∵ BDsin∠ABC = asinC ． ∴ BD = b；
解法二：证明：由正弦定理知， b
sin∠ABC
又 ∵ b2 = ac,∴ bsinC = b2 sin∠ABC ,
a
∴ asinC = bsin∠ABC = BDsin∠ABC ,
∴ BD = b.
(2) 解法一：由 (1) 知 BD = b，
∵ AD = 2DC ，∴ AD = 2 b，DC = 1 b，
= c
sinC
,∴ bsinC = csin∠ABC ,
3 3
2 2 2 2
在 ABD 中，由余弦定理知，cos∠BDA = BD2 + AD2 - AB2 = b + ( 3 b) - c
= 13b2 - 9c2 ，
2BD AD
2b 2 b
3
12b2
2 1 2 2
在 CBD 中，由余弦定理知，cos∠BDC = BD2 + CD2 - BC 2 = b + ( 3 b) - a
= 10b2 - 9a2 ，
∵ ∠BDA + ∠BDC = π，
2BD CD
2b 1 b
3
6b2
∴ cos∠BDA + cos∠BDC = 0，即 13b2 - 9c2 + 10b2 - 9a2 = 0，得 11b2 = 3c2 + 6a2，
12b2
6b2
∵ b2 = ac，∴ 3c2 - 11ac + 6a2 = 0，∴ c = 3a 或 c = 2 a，
3
在 ABC 中，由余弦定理知，cos∠ABC = a2 + c2 - b2 = a2 + c2 - ac ，
2ac
2ac
当 c = 3a 时，cos∠ABC = 7 > 1( 舍 )；当 c = 2 a 时，cos∠ABC = 7 ；
6 3 12
综上所述，cos∠ABC = 7 ．
12
解法二：在 △ABC 中 ,BD = 1 BC + 2 BA, 平方得：BD2 = 1 a2 + 4 c2 + 4 accosB ①
3 3 由余弦定理得 b2 = a2 + c2 - 2accosB ②， 联立①②得 11b2 = 3c2 + 6a2，
9 9 9
∵ b2 = ac，∴ 3c2 - 11ac + 6a2 = 0，∴ c = 3a 或 c = 2 a，
3
在 ABC 中，由余弦定理知，cos∠ABC = a2 + c2 - b2 = a2 + c2 - ac ，
2ac
2ac
当 c = 3a 时，cos∠ABC = 7 > 1( 舍 )；当 c = 2 a 时，cos∠ABC = 7 ；
6 3 12
综上所述，cos∠ABC = 7 ．
12
20. (12 分 ) 如图，在三棱锥 A - BCD 中，平面 ABD ⊥ 平面 BCD，AB = AD，O 为 BD 的中点．
(1) 证明：OA ⊥ CD；
(2) 若 OCD 是边长为 1 的等边三角形，点 E 在棱 AD 上，DE = 2EA ，且二面角 E - BC - D 的大小为
45°，求三棱锥 A - BCD 的体积．
【解析】：(1) 证明：因为 AB = AD，O 为 BD 的中点，所以 AO ⊥ BD，
又平面 ABD ⊥ 平面 BCD，平面 ABD ∩ 平面 BCD = BD， z AO 平面 BCD， A 所以 AO ⊥ 平面 BCD，又 CD 平面 BCD，
所以 AO ⊥ CD； E
(2) 取 OD 的中点 F ，因为 OCD 为正三角形，所以 CF ⊥ OD，
过 O 作 OM //CF 与 BC 交于点 M ，则 OM ⊥ OD， O F
所以 OM ，OD，OA 两两垂直， B M D y
如图所示，以点 O 为坐标原点，分别以 OM ，OD，OA 为 x 轴，
y 轴，z 轴建立空间直角坐标系， x C
则 B(0，-1，0)，C ( 3 , 1 ,0)，D(0，1，0)，设 A(0，0，t)，则 E(0, 1 , 2t )，
2 2 3 3
因为 OA ⊥ 平面 BCD，故平面 BCD 的一个法向量为 OA = (0,0,t)，
(
n
)设平面 BCE 的法向量为 = (x,y,z)，
又 BC = ( 3 , 3 ,0) ,BE = (0, 4 , 2t )，
2 2 3 3
3 x + 3 y = 0
所以由 n BC = 0 2 2
，得 4 2t ，
n BE = 0
3 y +
3 z = 0
(
n
)令 x = 3，则 y = -1，z = 2 ，故 = ( 3,-1, 2 )，
t t
因为二面角 E - BC - D 的大小为 45°，
所以 |cos < n,OA > | = |n OA| = 2
= 2 ，
|n||OA|
解得 t = 1，所以 OA = 1，
t 4 + 4 2
t2
又 SOCD = 1 × 1 × 1 × 3 = 3 ，所以 SBCD = 3 ，
2 2 4 2
故 VA-BCD = 1 SBCD OA = 1 × 3 × 1 = 3 ．
3 3 2 6
解法二：( 传统几何法 ) 在平面 ABD 中，作 EM BD 于 M ，在平面 BCD 中，作于 MN BC 于 N ，
连接 EN ，由⑴得 OA ⊥ BD,
∴ EM ∥ OA,∴ EM ⊥ 平面 BCD, A
∵ BC 平面 BCD,∴ EM ⊥ BC ,∵ MN ⊥ BC , E
∴ ∠ENM 即为二面角 E - BC - D 的平面角，
∴ ∠ENM = 45 ，∵ OC = OD = OB = CD = 1，
O M
∴ BC ⊥ CD，∴ MN ∥ CD, 且 MN = EM = 2 CD = 2 ,
3 3 B D
N
C
∴ BC = 3,OA = 1,∴ VA-BCD = 1 S△BCD OA = 1 × 1 × 1 × 3 × 1 = 3
3 3 2 6
21. (12 分 ) 在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 F1(- 17 ，0)，F2( 17 ，0)，点 M 满足 |MF1|-|MF2| = 2．
记 M 的轨迹为 C ．
(1) 求 C 的方程；
(2) 设点 T 在直线 x = 1 上，过 T 的两条直线分别交 C 于 A，B 两点和 P，Q 两点，
2
且 |TA| |TB| = |TP| |TQ|，求直线 AB 的斜率与直线 PQ 的斜率之和．
【解析】：(1) 由双曲线的定义可知，M 的轨迹 C 是双曲线的右支，
2
设 C 的方程为 x2 - y
= 1(a > 0,b > 0) ,x ≥ 1，
a2 b2
c = 17
(
)a = 1
(
)根据题意 2a = 2
c2 = a2 + b2
(
2
)∴ C 的方程为 x2 - y
16
，解得 b = 4 ，
c = 17
= 1(x ≥ 1)；
1
(2) ( 法一 ) 设 T( 1 ,m)，直线 AB 的参数方程为 x = 2 + tcosθ ，
2 y = m + tsinθ
将其代入 C 的方程并整理可得，(16cos2θ - sin2θ)t2 + (16cosθ - 2msinθ)t - (m2 + 12) = 0，
(
2
)由参数的几何意义可知，|TA| = t1，|TB| = t2，则 t1t2 = m + 12
sin2θ - 16cos2θ
1
= m + 12 ，
(
2
)1 - 17cos2θ
2
设直线 PQ 的参数方程为 x = 2 + λcosβ ，|TP| = λ ，|TQ| = λ ，同理可得，λ λ = m + 12 ，
1 2
y = m + λsinβ
1 2 1 - 17cos2β
依题意， m2 + 12
1 - 17cos2θ
= m2 + 12
1 - 17cos2β
，则 cos2θ = cos2β，
又 θ ≠ β，故 cosθ = -cosβ，则 cosθ + cosβ = 0， 即直线 AB 的斜率与直线 PQ 的斜率之和为 0．
( 法二 ) 设 T( 1 ,t)，直线 AB 的方程为 y = k1(x - 1 ) + t，A(x1，y1)，B(x2，y2)，设 1 < x1 < x2，
2 2 2
将直线 AB 方程代入 C 的方程化简并整理可得，
2 2 2
1 2 2
(16 - k1 )x - (k1 - 2tk1)x - 4 k1 + k1t - t - 16 = 0，
2 - 1 k1 + k1t - t - 16
2 2
由韦达定理有，x1 + x2 =
k1 - 2k1t ,x x =
(
1
)k2 - 16 1 2
4 ，
(
1
)16 - k2
(
1
1
)又由 A(x1,k1x1 - 1 k1 + t) ,T( 1 ,t) 可得 |AT| = 1 + k2 (x -
1 )，
2 2 2
2 1
同理可得 |BT| = 1 + k1 (x2 - 2 )，
2 2
2 1 1
(1 + k1 ) (t + 12)
(
1
)∴ |AT| |BT| = (1 + k1 ) (x1 - 2 ) (x2 - 2 ) =
k2 - 16 ，
设直线 PQ 的方程为 y = k2(x - 1 ) + t,P(x3,y3) ,Q(x4,y4)，设 1 < x3 < x4，
2 2
(1 + k 2) (t2 + 12)
同理可得 |PT| |QT| = 2 ，
(
2
)k 2 - 16
2 2
又 |AT||BT| = |PT||QT|，则 1 + k1
= 1 + k2
，化简可得 k2 = k 2，
(
1
) (
2
)k2 - 16
又 k1 ≠ k2，则 k1 = -k2，即 k1 + k2 = 0，
k 2 - 16 1 2
即直线 AB 的斜率与直线 PQ 的斜率之和为 0．
22. (12 分 ) 已知函数 f (x) = x(1 - lnx)．
(1) 讨论 f (x) 的单调性；
(2) 设 a，b 为两个不相等的正数，且 blna - alnb = a - b，证明：2 < 1 + 1 < e．
a b
【解析】：(1) 解：由函数的解析式可得 f (x) = 1 - lnx - 1 = -lnx，
∴ x ∈ (0,1)，f ′ (x) > 0，f (x) 单调递增，
x ∈ (1,+∞)，f ′ (x) < 0，f (x) 单调递减，
则 f (x) 在 (0,1) 单调递增，在 (1,+∞) 单调递减．
(2) 证明：由 blna - alnb = a - b，得 - 1 ln 1 + 1 ln 1 = 1 - 1 ，
即 1 (1 - ln 1 ) = 1 (1 - ln 1 )，
a a b b b a
a a b b
由 (1)f (x) 在 (0,1) 单调递增，在 (1,+∞) 单调递减，
所以 f (x)max = f (1) = 1，且 f (e) = 0，
令 x1 = 1 ，x2 = 1 ，则 x1，x2 为 f (x) = k 的两根，其中 k ∈ (0,1)．
a b
不妨令 x1 ∈ (0,1)，x2 ∈ (1,e)，则 2 - x1 > 1，
先证 2 < x1 + x2，即证 x2 > 2 - x1，即证 f (x2) = f (x1) < f (2 - x1)， 令 h(x) = f (x) - f (2 - x)，
则 h′ (x) = f ′ (x) + f ′ (2 - x) = -lnx - ln(2 - x) = -ln[x(2 - x)] > 0， 故函数 h(x) 单调递增，
∴ h(x) < h(1) = 0． ∴ f (x1) < f (2 - x1)，∴ 2 < x1 + x2，得证． 同理，要证 x1 + x2 < e，即证 f (x2) = f (x1) < f (e - x1)，
令 φ(x) = f (x) - f (e - x)，x ∈ (0,1)，则 φ (x) = -ln[x(e - x)]，令 φ′ (x0) = 0， x ∈ (0,x0)，φ (x) > 0，φ(x) 单调递增，x ∈ (x0，1)，φ (x) < 0，φ(x) 单调递减， 又 x > 0，f (x) > 0，且 f (e) = 0，故 x → 0，φ(0) > 0，
φ(1) = f (1) - f (e - 1) > 0，
∴ φ(x) > 0 恒成立，x1 + x2 < e 得证，
则 2 < 1 + 1 < e．
a b
2021 年全国统一高考数学试卷 ( 新高考Ⅱ卷 )
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．
1. 复数 2 - i
1 - 3i
在复平面内对应的点所在的象限为 ( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2. 设集合 U = {1,2,3,4,5,6} ,A = {1,3,6} ,B = {2,3,4}，则 A ∩ U B
= ( )
A. {3} B. {1,6} C. {5,6} D. {1,3}
3. 若抛物线 y2 = 2px(p > 0) 的焦点到直线 y = x + 1 的距离为 2 ，则 p = ( ) A. 1 B. 2 C. 2 2 D. 4
4. 北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨 道位于地球赤道所在平面，轨道高度为 36000km( 轨道高度是指卫星到地球表面的距离 )．将地球看作 是一个球心为 O，半径 r 为 6400km 的球，其上点 A 的纬度是指 OA 与赤道平面所成角的度数．地球表 面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为 α，记卫星信号覆盖地球表面的表面积 为 S = 2πr2(1 - cosα) ( 单位：km2)，则 S 占地球表面积的百分比约为 ( )
A. 26% B. 34% C. 42% D. 50%
5. 正四棱台 上 下底面的边长分别为 2，4，侧棱长为 2，则其体积为 ( )
A. 20 + 12 3 B. 28 2 C. 56
3
D. 28 2
3
6. 某物理量的测量结果服从正态分布 N 10,σ2
，下列结论中不正确的是 ( )
A. σ 越小，该物理量在一次测量中在 (9.9,10.1) 的概率越大
B. σ 越小，该物理量在一次测量中大于 10 概率为 0.5
C. σ 越小，该物理量在一次测量中小于 9.99 与大于 10.01 的概率相等
D. σ 越小，该物理量在一次测量中落在 (9.9,10.2) 与落在 (10,10.3) 的概率相等
(
2
)7. 已知 a = log52，b = log83，c = 1 ，则下列判断正确的是 ( ) A. c < b < a B. b < a < c C. a < c < b D. a < b < c
8. 已知函数 f x
的定义域为 R，f x + 2
为偶函数，f 2x + 1
为奇函数，则 ( )
(
)A. f - 1
2
= 0 B. f -1
= 0 C. f 2
= 0 D. f 4 = 0
二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对 的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分．
9. 下列统计量中，能度量样本 x1,x2, ,xn 的离散程度的是 ( )
A. 样本 x1,x2, ,xn 的标准差 B. 样本 x1,x2, ,xn 的中位数
C. 样本 x1,x2, ,xn 的极差 D. 样本 x1,x2, ,xn 的平均数
10. 如图，在正方体中，O 为底面的中心，P 为所在棱的中点，M ，N 为正方体的顶点．则满足 MN ⊥ OP
的是 ( )
N N
M
P
P
O O
A. B. M
N M
P P
O N O
C. D.
11. 已知直线 l : ax + by - r2 = 0 与圆 C : x2 + y2 = r2 ，点 A(a,b)，则下列说法正确的是 ( )
A. 若点 A 在圆 C 上，则直线 l 与圆 C 相切 B. 若点 A 在圆 C 内，则直线 l 与圆 C 相离
C. 若点 A 在圆 C 外，则直线 l 与圆 C 相离 D. 若点 A 在直线 l 上，则直线 l 与圆 C 相切
12. 设正整数 n = a0 20 + a1 2 + +ak-1 2k-1 + ak 2k ，其中 ai ∈ 0,1
，记 ω n
= a0 + a1 + +ak ．则
( )
A. ω 2n
= ω n
B. ω 2n + 3
= ω n + 1
C. ω 8n + 5
= ω 4n + 3
D. ω 2n - 1 = n
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
2
13. 已知双曲线 x2 - y
= 1 a > 0,b > 0
的离心率为 2，则该双曲线的渐近线方程为 .
a2 b2
14. 写出一个同时具有下列性质①②③的函数 f x
: .
① f x1x2
= f x1
f x2
；②当 x ∈ (0,+∞) 时，f (x) > 0；③ f (x) 是奇函数．
15. 已知向量 a + b + c = 0， a
= 1， b
= c
= 2，a b + b c + c a = .
16. 已知函数 f (x) = ex - 1 ,x1 < 0,x2 > 0，函数 f (x) 的图象在点 A x1,f x1
和点 B x2,f x2
的两条切线
互相垂直，且分别交 y 轴于 M ，N 两点，则 |AM | 取值范围是 .
|BN |
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤．
17. 记 Sn 是公差不为 0 的等差数列 an
的前 n 项和，若 a3 = S5,a2a4 = S4．
(1) 求数列 an
的通项公式 an ；
(2) 求使 Sn > an 成立的 n 的最小值．
18. 在 △ABC 中，角 A、B、C 所对的边长分别为 a、b、c，b = a + 1，c = a + 2.．
(1) 若 2sinC = 3sinA，求 △ABC 的面积；
(2) 是否存在正整数 a，使得 △ABC 为钝角三角形 若存在，求出 a 的值；若不存在，说明理由．
19. 在四棱锥 Q - ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，若 AD = 2,QD = QA = 5,QC = 3．
(1) 证明：平面 QAD ⊥ 平面 ABCD；
(2) 求二面角 B - QD - A 的平面角的余弦值． Q
A D
B C
(
2
)20. 已知椭圆 C 的方程为 x2 + y
= 1(a > b > 0)，右焦点为 F ( 2,0)，且离心率为 6 ．
a2 b2 3
(1) 求椭圆 C 的方程；
(2) 设 M ，N 是椭圆 C 上的两点，直线 MN 与曲线 x2 + y2 = b2(x > 0) 相切．证明：M ，N ，F 三点共线的 充要条件是 |MN | = 3．
21. 一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第 0 代，经过一次繁殖后为第 1 代，再经过一次繁殖后为第 2 代 ，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设 X 表示 1 个微生物个体繁殖下一代的个数，P(X = i) = pi(i = 0,1,2,3)．
(1) 已知 p0 = 0.4,p1 = 0.3,p2 = 0.2,p3 = 0.1，求 E X ；
(2) 设 p 表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p 是关于 x 的方程：p0 + p1x + p2x2 + p3x3 = x
的一个最小正实根，求证：当 E(X) ≤ 1 时，p = 1，当 E(X) > 1 时，p < 1；
(3) 根据你的理解说明 (2) 问结论的实际含义．
22. 已知函数 f (x) = (x - 1)ex - ax2 + b． (1) 讨论 f (x) 的单调性； (2) 从下面两个条件中选一个，证明：f (x) 有一个零点
① 1 < a ≤ e2 ,b > 2a；② 0 < a < 1 ,b ≤ 2a．
2 2 2
2021 年全国统一高考数学试卷 ( 新高考全国Ⅱ卷 ) 参考答案与试题解析
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．
1. 复数 2 - i
1 - 3i
在复平面内对应的点所在的象限为 ( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【解析】： 2 - i
= 2 - i
1 + 3i
= 5 + 5i = 1 + i ，所以该复数对应的点为 1 , 1 ，
1 - 3i 10
10 2 2 2
该点在第一象限，故选：A.
2. 设集合 U = {1,2,3,4,5,6} ,A = {1,3,6} ,B = {2,3,4}，则 A ∩ U B
= ( )
A. {3} B. {1,6} C. {5,6} D. {1,3}
【解析】：由题设可得 U B = 1,5,6
，故 A ∩ U B
= 1,6
，故选：B.
3. 若抛物线 y2 = 2px(p > 0) 的焦点到直线 y = x + 1 的距离为 2 ，则 p ( )
A. 1 B. 2 C. 2 2 D. 4
p
- 0 + 1
p
【解析】：抛物线的焦点坐标为 2 ,0
，其到直线 x - y + 1 = 0 的距离：d =
2
1 + 1
= 2，解得：p =
2(p = -6 舍去 ) 故选：B.
4. 北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨 道位于地球赤道所在平面，轨道高度为 36000km( 轨道高度是指卫星到地球表面的距离 )．将地球看作 是一个球心为 O，半径 r 为 6400km 的球，其上点 A 的纬度是指 OA 与赤道平面所成角的度数．地球表 面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为 α，记卫星信号覆盖地球表面的表面积 为 S = 2πr2(1 - cosα) ( 单位：km2)，则 S 占地球表面积的百分比约为 ( )
A. 26% B. 34% C. 42% D. 50%
【解析】：由题意可得，S 占地球表面积的百分比约为：
2πr2(1 - cosα)
4πr2 =
1 - cosα =
2
1 - 6400
6400 + 36000 ≈ 0.42 = 42%. 故选：C .
2
5. 正四棱台的上 下底面的边长分别为 2，4，侧棱长为 2，则其体积为 ( )
A. 20 + 12 3 B. 28 2 C. 56
3
【解析】：作出图形，连接该正四棱台上下底面的中心，如图， 因为该四棱台上下底面边长分别为 2，4，侧棱长为 2，
D. 28 2
3
所以该棱台的高 h = 22 - 2 2 - 2
2 = 2，
下底面面积 S1 = 16，上底面面积 S2 = 4，
(
3
)所以该棱台的体积 V = 1 h S1 + S2 + S1S2
(
)= 1 × 2 × 16 + 4 + 64
3
= 28
3
2. 故选：D.
6. 某物理量的测量结果服从正态分布 N 10,σ2
，下列结论中不正确的是 ( )
A. σ 越小，该物理量在一次测量中在 (9.9,10.1) 的概率越大
B. σ 越小，该物理量在一次测量中大于 10 的概率为 0.5
C. σ 越小，该物理量在一次测量中小于 9.99 与大于 10.01 的概率相等
D. σ 越小，该物理量在一次测量中落在 (9.9,10.2) 与落在 (10,10.3) 的概率相等
【解析】：对于 A，σ2 为数据的方差，所以 σ 越小，数据在 μ = 10 附近越集中，所以测量结果落在 9.9,10.1
内的概率越大，故 A 正确；
对于 B，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于 10 的概率为 0.5，故 B 正确；
对于 C ，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于 10.01 的概率与小于 9.99 的概率 相等，故 C 正确；
对于 D，因为该物理量一次测量结果落在 9.9,10.0
的概率与落在 10.2,10.3
的概率不同，所以一次测
量结果落在 9.9,10.2
故选：D.
的概率与落在 10,10.3
的概率不同，故 D 错误 .
(
2
)7. 已知 a = log52，b = log83，c = 1 ，则下列判断正确的是 ( ) A. c < b < a B. b < a < c C. a < c < b D. a < b < c
(
2
)【解析】：a = log52 < log5 5 = 1 = log82 2 < log83 = b，即 a < c < b. 故选：C .
8. 已知函数 f x
的定义域为 R，f x + 2
为偶函数，f 2x + 1
为奇函数，则 ( )
(
)A. f - 1
2
= 0 B. f -1
= 0 C. f 2
= 0 D. f 4 = 0
【解析】：因为函数 f x + 2
为偶函数，则 f 2 + x
= f 2 - x ，可得 f x + 3
= f 1 - x ，
因为函数 f 2x + 1
为奇函数，则 f 1 - 2x
= -f 2x + 1 ，所以，f 1 - x
= -f x + 1 ，
所以，f x + 3
= -f x + 1
= f x - 1 ，即 f x
= f x + 4 ，
故函数 f x
是以 4 为周期的周期函数，
因为函数 F x
= f 2x + 1
为奇函数，则 F 0
= f 1
= 0，
故 f -1
= -f 1
= 0，其它三个选项未知 . 故选：B.
二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对 的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分．
9. 下列统计量中，能度量样本 x1,x2, ,xn 的离散程度的是 ( )
A. 样本 x1,x2, ,xn 的标准差 B. 样本 x1,x2, ,xn 的中位数
C. 样本 x1,x2, ,xn 的极差 D. 样本 x1,x2, ,xn 的平均数
【解析】：由标准差的定义可知，标准差考查的是数据的离散程度； 由中位数的定义可知，中位数考查的是数据的集中趋势； 由极差的定义可知，极差考查的是数据的离散程度； 由平均数的定义可知，平均数考查的是数据的集中趋势；故选：AC
10. 如图，在正方体中，O 为底面的中心，P 为所在棱的中点，M ，N 为正方体的顶点．则满足 MN ⊥ OP
的是 ( )
N N
M
P
P
O O
A. B. M
N M
P P
O N O
C. D.
【解析】：设正方体的棱长为 2，
对于 A，如图 (1) 所示，连接 AC ，则 MN AC ，
故 ∠POC ( 或其补角 ) 为异面直线 OP,MN 所成的角，
在直角三角形 OPC ，OC = 2，CP = 1，故 tan∠POC = 1
2
N
M
= 2 ， P
2 ①
(
·
20
·
)
故 MN ⊥ OP 不成立，故 A 错误 .
( 或者易得 OP 在上底面的射影为 MN ，故 MN ⊥ OP 不成立 )
对于 B，如图 (2) 所示，取 NT 的中点为 Q，连接 PQ，OQ， 则 OQ ⊥ NT，PQ ⊥ MN ，
由正方体 SBCM - NADT 可得 SN ⊥ 平面 ANDT，而 OQ 平面 ANDT， 故 SN ⊥ OQ，而 SN ∩ MN = N ，故 OQ ⊥ 平面 SNTM ，
又 MN 平面 SNTM ，OQ ⊥ MN ，而 OQ ∩ PQ = Q，
所以 MN ⊥ 平面 OPQ，而 PO 平面 OPQ，故 MN ⊥ OP，故 B 正确 . 对于 C ，如图 (3)，连接 BD，则 BD MN ，由 B 的判断可得 OP ⊥ BD， 故 OP ⊥ MN ，故 C 正确 .
对于 D，如图 (4)，取 AD 的中点 Q，AB 的中点 K ， 连接 AC ,PQ,OQ,PK ,OK ，则 AC MN ，
因为 DP = PC ，故 PQ AC ，故 PQ MN ，
所以 ∠QPO 或其补角为异面直线 PO,MN 所成的角，
因为正方体的棱长为 2，故 PQ = 1 AC = 2，
2
OQ = AO2 + AQ2 = 1 + 2 = 3，
PO = PK 2 + OK 2 = 4 + 1 = 5，
QO2 < PQ2 + OP2，故 ∠QPO 不是直角， 故 PO,MN 不垂直，故 D 错误 .
故选：BC
O
N C S B
②
P Q T D O
M A
S B M
P ③
D
O N
C T
S M D P C
④
Q
N T
O
A K B
11. 已知直线 l : ax + by - r2 = 0 与圆 C : x2 + y2 = r2 ，点 A(a,b)，则下列说法正确的是 ( ) A. 若点 A 在圆 C 上，则直线 l 与圆 C 相切 B. 若点 A 在圆 C 内，则直线 l 与圆 C 相离
C. 若点 A 在圆 C 外，则直线 l 与圆 C 相离 D. 若点 A 在直线 l 上，则直线 l 与圆 C 相切
【解析】：圆心 C 0,0
到直线 l 的距离 d = r2 ，
若点 A a,b
a2 + b2
在圆 C 上，则 a2 + b2 = r2，所以 d = r2
= r ，则直线 l 与圆 C 相切，故 A 正确；
若点 A a,b
若点 A a,b
a2 + b2
(
2
)在圆 C 内，则 a2 + b2 < r2，所以 d = r
a2 + b2
(
2
)在圆 C 外，则 a2 + b2 > r2，所以 d = r
a2 + b2
> r ，则直线 l 与圆 C 相离，故 B 正确；
< r ，则直线 l 与圆 C 相交，故 C 错误；
2
若点 A a,b
在直线 l 上，则 a2 + b2 - r2 = 0 即 a2 + b2 = r2，所以 d = r
a2 + b2
= r ，直线 l 与圆 C 相切，
故 D 正确 . 故选：ABD.
12. 设正整数 n = a 0 20 + a 1 2 + + a k-1 2k-1 + a k 2k ，其中 a i ∈ 0,1
，记 ω n
= a 0 + a 1 + + a k. 则
( )
A. ω 2n
= ω n
B. ω 2n + 3
= ω n + 1
C. ω 8n + 5
= ω 4n + 3
D. ω 2n - 1 = n
【解析】：对于 A 选项，ω n
= a0 + a1 + +ak，2n = a0 21 + a1 22 + +ak-1 2k + ak 2k+1，
所以，ω 2n
= a0 + a1 + +ak = ω n ，A 选项正确；
对于 B 选项，取 n = 2，2n + 3 = 7 = 1 20 + 1 21 + 1 22，∴ ω 7
= 3，
而 2 = 0 20 + 1 21，则 ω 2
= 1，即 ω 7
≠ ω 2
+ 1，B 选项错误；
对于 C 选项，8n + 5 = a0 23 + a1 24 + +ak 2k+3 + 5 = 1 20 + 1 22 + a0 23 + a1 24 + +ak 2k+3，
所以，ω 8n + 5
= 2 + a0 + a1 + +ak，
4n + 3 = a0 22 + a1 23 + +ak 2k+2 + 3 = 1 20 + 1 21 + a0 22 + a1 23 + +ak 2k+2，
所以，ω 4n + 3
= 2 + a0 + a1 + +ak，因此，ω 8n + 5
= ω 4n + 3 ，C 选项正确；
对于 D 选项，2n - 1 = 20 + 21 + +2n-1，故 ω 2n - 1
故选：ACD.
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
2
= n，D 选项正确 .
13. 已知双曲线 x2 - y
= 1 a > 0,b > 0
的离心率为 2，则该双曲线的渐近线方程为 .
a2 b2
2
【解析】：因为双曲线 x2 - y
= 1 a > 0,b > 0
的离心率为 2，
a2 b2
所以 e = c2 = a2 + b2 = 2，所以 b2 = 3，
a2 a2 a2
所以该双曲线的渐近线方程为 y = ± b x = ± 3x. 故答案为：y = ± 3x.
a
14. 写出一个同时具有下列性质①②③的函数 f x
: ．
① f x1x2
= f x1
f x2
；②当 x ∈ (0,+∞) 时，f (x) > 0；③ f (x) 是奇函数．
【解析】：取 f x
= x4，则 f x1x2
= x1x2 4 = x4x4 = f x
f x ，满足①，
f x f x
= 4x3，x > 0 时有 f x
= 4x3 的定义域为 R，
1 2
> 0，满足②，
1 2
又 f -x
= -4x3 = -f x ，故 f x
是奇函数，满足③ .
故答案为：f x
= x4( 答案不唯一，f x
= x2n n ∈ N *
均满足 )
15. 已知向量 a + b + c = 0， a
= 1， b
= c
= 2，a b + b c + c a = ．
2 2
2 2
【解析】：由已知可得 a + b + c
= a + b + c + 2 a b + b c + c a
= 9 + 2 a b + b c + c a
= 0，
(
) 9 9
因此，a b + b c + c a = - 2 . 故答案为：- 2 .
16. 已知函数 f (x) = ex - 1 ,x1 < 0,x2 > 0，函数 f (x) 的图象在点 A x1,f x1
和点 B x2,f x2
的两条切线
互相垂直，且分别交 y 轴于 M ，N 两点，则 |AM | 取值范围是 ．
|BN |
【解析】：解法一：由题意，f x
= ex - 1
1 - ex, x < 0
(
)= ，则 f x
ex - 1, x ≥ 0
-ex, x < 0
(
)= ex, x > 0 ，
所以点 A x1,1 - ex1
和点 B x2,ex2 - 1 ，kAM = -ex1,kBN = ex2,
所以 -ex1 ex2 = -1,x1 + x2 = 0，
所以 AM : y - 1 + ex1 = -ex1 x - x1 ,M 0,ex1x1 - ex1 + 1 ，
所以 AM
= x2 + ex1x
2 = 1 + e2x1 x ，
1 1 1
同理 BN
= 1 + e2x2 x2 ,
2x1
所以 AM
= 1 + e x1 = 1 + e2x1 = 1 + e2x1
= ex1 ∈ 0,1 .
BN
故答案为： 0,1
1 + e2x2 x2
1 + e2x2
1 + e-2x1 y
F B
解法二：由题 f x
ex - 1, x > 0
(
)= ，得 f x
-ex + 1, x < 0
ex, x > 0 A
(
)= -ex, x < 0 ，
E x
故 kAM = -ex1，kAN = ex2， O M
又 AM ⊥ AN kAM kAN = -ex1+x2 = -1，得 x1 + x2 = 0， N
如图易得 △AEM △BFN ，且有 BF
= OE ，
所以 AM
BN
= AE
BF
= AE
OE
= tan∠AOE，
而 0 < tan∠AOE < e0 = 1，所以
AM
BN
∈ 0,1 ．故填： 0,1 ．
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤．
17. 记 Sn 是公差不为 0 的等差数列 an
的前 n 项和，若 a3 = S5,a2a4 = S4．
(1) 求数列 an
的通项公式 an ；
(2) 求使 Sn > an 成立的 n 的最小值．
【解析】：(1) 由等差数列的性质可得：S5 = 5a3，则：a3 = 5a3,∴ a3 = 0，
设等差数列的公差为 d，从而有：a2a4 = a3 - d
a3 + d
= -d2，
S4 = a1 + a2 + a3 + a4 = a3 - 2d
+ a3 - d
+ a3 + a3 - d
= -2d，
从而：-d2 = -2d，由于公差不为零，故：d = 2， 数列的通项公式为：an = a3 + n - 3 d = 2n - 6.
(2) 由数列的通项公式可得：a1 = 2 - 6 = -4，则：Sn = n × -4
n n - 1
+ 2 × 2 = n2 - 6n，
则不等式 Sn > an 即：n2 - 5n > 2n - 6，整理可得： n - 1
解得：n < 1 或 n > 6，又 n 为正整数，故 n 的最小值为 7.
n - 6
> 0，
18. 在 △ABC 中，角 A、B、C 所对的边长分别为 a、b、c，b = a + 1，c = a + 2.．
(1) 若 2sinC = 3sinA，求 △ABC 的面积；
(2) 是否存在正整数 a，使得 △ABC 为钝角三角形 若存在，求出 a 的值；若不存在，说明理由．
【解析】：(1) 因为 2sinC = 3sinA，则 2c = 2 a + 2
= 3a，则 a = 4，故 b = 5，c = 6，
cosC = a2 + b2 - c2 = 1 ，所以，C 为锐角，则 sinC = 1 - cos2C = 3 7 ，
2ab 8 8
因此，S△ABC = 1 absinC = 1 × 4 × 5 × 3 7 = 15 7 ；
2 2 8 4
(2) 显然 c > b > a，若 △ABC 为钝角三角形，则 C 为钝角，
(
2
)由余弦定理可得 cosC = a2 + b2 - c2 = a + a + 1
2 - a + 2 2
= a2 - 2a - 3 < 0，
2ab
解得 -1 < a < 3，则 0 < a < 3，
2a a + 1
2a a + 1
由三角形三边关系可得 a + a + 1 > a + 2，可得 a > 1，∵ a ∈ Z ，故 a = 2.
19. 在四棱锥 Q - ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，若 AD = 2,QD = QA = 5,QC = 3．
(1) 证明：平面 QAD ⊥ 平面 ABCD；
(2) 求二面角 B - QD - A 的平面角的余弦值．
【解析】：(1) 取 AD 的中点为 O，连接 QO,CO. Q
因为 QA = QD，OA = OD，则 QO ⊥ AD， 而 AD = 2,QA = 5，故 QO = 5 - 1 = 2.
在正方形 ABCD 中，因为 AD = 2，故 DO = 1，故 CO = 5，
因为 QC = 3，故 QC 2 = QO2 + OC 2，
故 △QOC 为直角三角形且 QO ⊥ OC ，
因为 OC ∩ AD = O，故 QO ⊥ 平面 ABCD，
因为 QO 平面 QAD，故平面 QAD ⊥ 平面 ABCD.
(2) 解法一：在平面 ABCD 内，过 O 作 OT CD，交 BC 于 T，则 OT ⊥ AD， 结合 (1) 中的 QO ⊥ 平面 ABCD，故可建如图所示的空间坐标系 .
A O D B C
则 D 0,1,0 ,Q 0,0,2 ,B 2,-1,0 ，故 BQ = -2,1,2 ,BD = -2,2,0 .
(
n
)设平面 QBD 的法向量 = x,y,z ，
则 n BQ = 0
-2x + y + 2z = 0 1
即 -2x + 2y = 0
，取 x = 1，则 y = 1,z = 2 ，
n BD = 0
1
故 n = 1,1, 2 .
z
1 2 Q
而平面 QAD 的法向量为 m = 1,0,0 ，故 cos m,n
=
1 × 3
2
= 3 .
二面角 B - QD - A 的平面角为锐角，故其余弦值为 2 .
3
解法二：过 B 作 BM ⊥ QD 于点 M
由 (1) 可知：平面 QAD ⊥ 平面 ABCD
∵ BA ⊥ AD
∴ BA ⊥ 面 QAD, 易知 ∠BMA 为二面角 B - QD - A 的平面角。
在 BQD 中，BQ = QA2 + AB2 = 3,QD = 5，BD = 2 2
A O D
y
B C
x
Q
2 2 2
cos∠BQD = QB + QD - BD
2 × QB × QD
= 5 ，
5 M
即 sin∠BQD = BM
= 2 5 得：BM = 6 5
BQ 5 5
A O D
即 sin∠BMA = BA
= 5 ，cos∠BMA = 2
BM 3 3 B C
即二面角 B - QD - A 的平面角的余弦值为 2
3
(
2
)20. 已知椭圆 C 的方程为 x2 + y
= 1(a > b > 0)，右焦点为 F ( 2,0)，且离心率为 6 ．
a2 b2 3
(1) 求椭圆 C 的方程；
(2) 设 M ，N 是椭圆 C 上的两点，直线 MN 与曲线 x2 + y2 = b2(x > 0) 相切．证明：M ，N ，F 三点共线的 充要条件是 |MN | = 3．
【解析】：(1) 由题意，椭圆半焦距 c = 2 且 e = c = 6 ，所以 a = 3，
a 3
又 b2 = a2 - c2 = 1，所以椭圆方程为 x2 + y2 = 1；
3
(2) 由 (1) 得，曲线为 x2 + y2 = 1(x > 0)，
当直线 MN 的斜率不存在时，直线 MN : x = 1，不合题意； 当直线 MN 的斜率存在时，设 M x1,y1 ,N x2,y2 ， 必要性：
若 M ，N ，F 三点共线，可设直线 MN : y = k x - 2
即 kx - y - 2k = 0，
由直线 MN 与曲线 x2 + y2 = 1(x > 0) 相切可得
y = ± x - 2
2k k2 + 1
= 1，解得 k = ±1，
联立 x2 + y2 = 1
可得 4x - 6 2x + 3 = 0，所以 x1 + x2 =
2 ,x1 x2 = 4 ，
3
所以 MN
= 1 + 1
2
x1 + x2 2 - 4x1 x2 = 3,
3 2 3
所以必要性成立；
充分性：设直线 MN : y = kx + b, kb < 0
即 kx - y + b = 0，
由直线 MN 与曲线 x2 + y2 = 1(x > 0) 相切可得
y = kx + b
b
k2 + 1
= 1，所以 b2 = k2 + 1，
联立 x2 + y2 = 1 可得 1 + 3k
x + 6kbx + 3b - 3 = 0，
2 2 2
3
2
所以 x1 + x2 = - 6kb
1 + 3k2
,x1 x2 = 3b - 3 ，
1 + 3k2
2 2
所以 MN
= 1 + k2
x1 + x2 2 - 4x1 x2 = 1 + k2 - 6kb
- 4 3b - 3
= 1 + k2 24k2
1 + 3k2
= 3，
1 + 3k2
1 + 3k2
化简得 3 k2 - 1 2 = 0，所以 k = ±1，
(
)所以 k = 1
b = - 2
或 k = -1 ，所以直线 MN : y = x - 2 或 y = -x + 2，
(
)b = 2
所以直线 MN 过点 F ( 2,0)，M ，N ，F 三点共线，充分性成立； 所以 M ，N ，F 三点共线的充要条件是 |MN | = 3．
21. 一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第 0 代，经过一次繁殖后为第 1 代，再经过一次繁殖后为第 2 代 ，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设 X 表示 1 个微生物个体繁殖下一代的个数，P(X = i) = pi(i = 0,1,2,3)．
(1) 已知 p0 = 0.4,p1 = 0.3,p2 = 0.2,p3 = 0.1，求 E(X)；
(2) 设 p 表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p 是关于 x 的方程：p0 + p1x + p2x2 + p3x3 = x
的一个最小正实根，求证：当 E(X) ≤ 1 时，p = 1，当 E(X) > 1 时，p < 1；
(3) 根据你的理解说明 (2) 问结论的实际含义．
【解析】：(1)E(X) = 0 × 0.4 + 1 × 0.3 + 2 × 0.2 + 3 × 0.1 = 1.
(2) 设 f x
= p3x3 + p2x2 + p1 - 1 x + p0，
因为 p3 + p2 + p1 + p0 = 1，故 f x
= p3x3 + p2x2 - p2 + p0 + p3 x + p0，
若 E X
≤ 1，则 p1 + 2p2 + 3p3 ≤ 1，故 p2 + 2p3 ≤ p0.
f x
= 3p3x2 + 2p2x - p2 + p0 + p3 ，
因为 f 0
= - p2 + p0 + p3
< 0，f 1
= p2 + 2p3 - p0 ≤ 0，
故 f x
有两个不同零点 x1,x2，且 x1 < 0 < 1 ≤ x2，
且 x ∈ -∞ ,x1
∪ x2,+∞
时，f x
> 0；x ∈ x1,x2
时，f x
< 0；
故 f x
在 -∞ ,x1 ， x2,+∞
上为增函数，在 x1,x2
上为减函数，
若 x2 = 1，因为 f x
在 x2,+∞
为增函数且 f 1
= 0，
而当 x ∈ 0,x2
时，因为 f x
在 x1,x2
上为减函数，故 f x
> f x2
= f 1
= 0，
故 1 为 p0 + p1x + p2x2 + p3x3 = x 的一个最小正实根，
若 x2 > 1，因为 f 1
= 0 且在 0,x2
上为减函数，故 1 为 p0 + p1x + p2x2 + p3x3 = x 的一个最小正实根，
综上，若 E X
≤ 1，则 p = 1.
若 E X
> 1，则 p1 + 2p2 + 3p3 > 1，故 p2 + 2p3 > p0.
此时 f 0
= - p2 + p0 + p3
< 0，f 1
= p2 + 2p3 - p0 > 0，
故 f x
有两个不同零点 x3,x4，且 x3 < 0 < x4 < 1，
且 x ∈ -∞ ,x3
∪ x4,+∞
时，f x
> 0；x ∈ x3,x4
时，f x
< 0；
故 f x
在 -∞ ,x3 ， x4,+∞
上为增函数，在 x3,x4
上为减函数，
而 f 1
= 0，故 f x4
< 0，
又 f 0
= p0 > 0，故 f x
在 0,x4
存在一个零点 p，且 p < 1.
所以 p 为 p0 + p1x + p2x2 + p3x3 = x 的一个最小正实根，此时 p < 1，
故当 E X
> 1 时，p < 1.
(3) 意义：每一个该种微生物繁殖后代的平均数不超过 1，则若干代必然灭绝，若繁殖后代的平均数超过
1，则若干代后被灭绝的概率小于 1.
22. 已知函数 f (x) = (x - 1)ex - ax2 + b． (1) 讨论 f (x) 的单调性； (2) 从下面两个条件中选一个，证明：f (x) 有一个零点
① 1 < a ≤ e2 ,b > 2a；
2 2
② 0 < a < 1 ,b ≤ 2a．
2
【解析】：(1) 由函数的解析式可得：f ' x
= x ex - 2a ，
当 a ≤ 0 时，若 x ∈ -∞ ,0 ，则 f ' x
< 0,f x
单调递减，
若 x ∈ 0,+∞ ，则 f ' x
> 0,f x
单调递增；
(
2
)当 0 < a < 1 时，若 x ∈ -∞ ,ln 2a
，则 f ' x
> 0,f x
单调递增，
若 x ∈ ln 2a ,0 ，则 f ' x
< 0,f x
单调递减，
若 x ∈ 0,+∞ ，则 f ' x
> 0,f x
单调递增；
(
)当 a = 1 时，f ' x
2
≥ 0,f x
在 R 上单调递增；
(
2
)当 a > 1 时，若 x ∈ -∞ ,0 ，则 f ' x
> 0,f x
单调递增，
若 x ∈ 0,ln 2a
，则 f ' x
< 0,f x
单调递减，
若 x ∈ ln 2a ,+∞ ，则 f ' x
(2) 若选择条件①：
> 0,f x
单调递增；
由于 1 < a ≤ e2 ，故 1 < 2a ≤ e2，则 b > 2a > 1,f 0
= b - 1 > 0，
2
而 f -b
2
= -1 - b e-b - ab2 - b < 0，
而函数在区间 -∞ ,0
上单调递增，故函数在区间 -∞ ,0
上有一个零点 .
f ln 2a
= 2a ln 2a
- 1 - a ln 2a
2 + b
> 2a ln 2a
- 1 - a ln 2a
2 + 2a
= 2aln 2a
= aln 2a
- a ln 2a 2
2 - ln 2a ，
由于 1 < a ≤ e2 ，1 < 2a ≤ e2，故 aln 2a
2 - ln 2a
≥ 0，
2 2
结合函数的单调性可知函数在区间 0,+∞
综上可得，题中的结论成立 .
若选择条件②：
上没有零点 .
(
)由于 0 < a < 1 ，故 2a < 1，则 f 0
2
= b - 1 ≤ 2a - 1 < 0，
当 b ≥ 0 时，e2 > 4,4a < 2，f 2
= e2 - 4a + b > 0，
而函数在区间 0,+∞
上单调递增，故函数在区间 0,+∞
上有一个零点 .
当 b < 0 时，构造函数 H x
= ex - x - 1，则 H x
= ex - 1，
当 x ∈ -∞ ,0
当 x ∈ 0,+∞
时，H x
时，H x
< 0,H x
> 0,H x
单调递减， 单调递增，
注意到 H 0
= 0，故 H x
≥ 0 恒成立，从而有：ex ≥ x + 1，此时：
f x
= x - 1 ex - ax2 - b ≥ x - 1
x + 1
- ax2 + b = 1 - a x2 + b - 1 ，
(
)当 x > 1 - b 时， 1 - a x2 + b - 1
1 - a
> 0，
(
0
0
)取 x = 1 - b + 1，则 f x
1 - a
> 0，
即：f 0
< 0,f
1 - b + 1
1 - a
> 0，
而函数在区间 0,+∞
上单调递增，故函数在区间 0,+∞
上有一个零点 .
f ln 2a
= 2a ln 2a
- 1 - a ln 2a
2 + b
≤ 2a ln 2a
- 1 - a ln 2a
2 + 2a
= 2aln 2a
= aln 2a
- a ln 2a 2
2 - ln 2a ，
(
)由于 0 < a < 1 ，0 < 2a < 1，故 aln 2a
2
2 - ln 2a
< 0，
结合函数的单调性可知函数在区间 -∞ ,0
综上可得，题中的结论成立 .
上没有零点 .
2021 年全国统一高考数学试卷 ( 文科 ) ( 甲卷 )
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1. 设集合 M = {1，3，5，7，9}，N = {x|2x > 7}，则 M ∩ N = ( )
A. {7，9} B. {5，7，9} C. {3，5，7，9} D. {1，3，5，7，9}
2. 为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得 到如下频率分布直方图：
频率 组距
0.20
0.14
0.10
0.04
0.02
2.5 3.5 4.5 5.5 6.5 7.5 8.5 9.5 10.5 11.5 12.5 13.5 14.5 收入 / 万元
根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是 ( ) A. 该地农户家庭年收入低于 4.5 万元的农户比率估计为 6%
B. 该地农户家庭年收入不低于 10.5 万元的农户比率估计为 10%
C. 估计该地农户家庭年收入的平均值不超过 6.5 万元
D. 估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于 4.5 万元至 8.5 万元之间
3. 已知 (1 - i)2z = 3 + 2i，则 z = ( ) A. - 1 - 3 i B. - 1 + 3 i C. - 3 + i D. - 3 - i
2 2 2 2
4. 下列函数中是增函数的为 ( )
(
)A. f (x) = -x B. f (x) = 2
3
(
x
)C. f (x) = x2 D. f (x) = 3 x
(
2
)5. 点 (3,0) 到双曲线 x2 - y
= 1 的一条渐近线的距离为 ( )
A. 9
5
16 9
B. 8
5
C. 6
5
D. 4
5
6. 青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记
录视力数据，五分记录法的数据 L 和小数记录法的数据 V 满足 L = 5 + lgV．已知某同学视力的五分记 录法的数据为 4.9，则其视力的小数记录法的数据约为 (10 10 ≈ 1.259) ( )
A. 1.5 B. 1.2 C. 0.8 D. 0.6
7. 在一个正方体中，过顶点 A 的三条棱的中点分别为 E ，F ，G．该正方体截去三棱锥 A - EFG 后，所得多 面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是 ( )
正视图
A. B. C. D.
8. 在 ABC 中，已知 B = 120°，AC = 19 ，AB = 2，则 BC = ( )
A. 1 B. 2 C. 5 D. 3
9. 记 Sn 为等比数列 {an} 的前 n 项和．若 S2 = 4，S4 = 6，则 S6 = ( ) A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
10. 将 3 个 1 和 2 个 0 随机排成一行，则 2 个 0 不相邻的概率为 ( ) A. 0.3 B. 0.5 C. 0.6 D. 0.8
(
)11. 若 α ∈ 0, π
2
，tan2α = cosα
2 - sinα
，则 tanα = ( )
A. 15
15
B. 5
5
C. 5
3
D. 15
3
12. 设 f (x) 是定义域为 R 的奇函数，且 f (1 + x) = f (-x)．若 f - 1
= 1 ，则 f 5
= ( )
A. - 5
3
B. - 1
3
C. 1
3
3 3 3
D. 5
3
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13. 若向量 a，b 满足 |a| = 3，|a - b| = 5，a b = 1，则 |b| = ． y
14. 已知一个圆锥的底面半径为 6，其体积为 30π，则该圆锥的侧面积为 ． 2
(
)15. 已知函数 f (x) = 2cos(ωx + φ) 的部分图像如图所示，则 f π
2
= ．
O π
(
2
)3
13π x
12
(
2
)16. 已知 F1 ，F2 为椭圆 C : x
+ y = 1 的两个焦点，P ，Q 为 C 上关于坐标原点对
16 4
称的两点，且 |PQ| = |F1F2|，则四边形 PF1QF2 的面积为 ．
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题，每个试题考生都 必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。
( 一 ) 必考题：共 60 分。
17. (12 分 ) 甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量， 分别用两台机床各生产了 200 件产品，产品的质量情况统计如下表：
一级品 二级品 合计
甲机床 150 50 200
乙机床 120 80 200
合计 270 130 400
(1) 甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？
(2) 能否有 99% 的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？
(
P
(
K
2
≥
k
)
0.050
0.010
0
.0
0
1
k
3
.8
4
1
6.635
10.828
)2
附：K 2 = n(ad - bc) ．
(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)
18. (12 分 ) 记 Sn 为数列 {an} 的前 n 项和，已知 an > 0，a2 = 3a1 ，且数列 { Sn } 是等差数列 .
证明：{an} 是等差数列．
19. (12 分 ) 已知直三棱柱 ABC - A1B1C1 中，侧面 AA1B1B 为正方形，AB = BC = 2 ，E ，F 分别为 AC 和
CC1 的中点，BF ⊥ A1B1．
(1) 求三棱锥 F - EBC 的体积；
(2) 已知 D 为棱 A1B1 上的点，证明：BF ⊥ DE．
A1 D B1
C1
F
A B E
C
20. (12 分 ) 设函数 f (x) = a2x2 + ax - 3lnx + 1，其中 a > 0．
(1) 讨论 f (x) 的单调性；
(2) 若 y = f (x) 的图像与 x 轴没有公共点，求 a 的取值范围．
21. (12 分 ) 抛物线 C 的顶点为坐标原点 O ，焦点在 x 轴上，直线 l : x = 1 交 C 于 P ，Q 两点，且 OP ⊥ OQ． 已知点 M (2,0)，且 ⊙ M 与 l 相切．
(1) 求 C ，⊙ M 的方程；
(2) 设 A1 ，A2 ，A3 是 C 上的三个点，直线 A1A2 ，A1A3 均与 ⊙ M 相切．判断直线 A2A3 与 ⊙ M 的位置关 系，并说明理由．
( 二 ) 选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
[ 选修 4 - 4：坐标系与参数方程 ] (10 分 )
22. (10 分 ) 在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方 程为 ρ = 2 2cosθ．
(1) 将 C 的极坐标方程化为直角坐标方程；
(2) 设点 A 的直角坐标为 (1,0) ，M 为 C 上的动点，点 P 满足 AP = 2AM ，写出 P 的轨迹 C1 的参数方
程，并判断 C 与 C1 是否有公共点．
[ 选修 4 - 5：不等式选讲 ] (10 分 )
23. 已知函数 f (x) = |x - 2|，g(x) = |2x + 3|-|2x - 1|．
(1) 画出 y = f (x) 和 y = g(x) 的图像；
(2) 若 f (x + a) ≥ g(x)，求 a 的取值范围．
y
1
O 1 x
2021 年全国统一高考数学试卷 ( 文科 ) ( 甲卷 ) 参考答案与试题解析
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1. 设集合 M = {1，3，5，7，9}，N = {x|2x > 7}，则 M ∩ N = ( )
A. {7，9} B. {5，7，9} C. {3，5，7，9} D. {1，3，5，7，9}
(
2
)【解析】：因为 N = {x|2x > 7} = x x > 7
，M = {1，3，5，7，9}，
所以 M ∩ N = {5，7，9}．故选：B．
2. 为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得 到如下频率分布直方图：
频率 组距
0.20
0.14
0.10
0.04
0.02
2.5 3.5 4.5 5.5 6.5 7.5 8.5 9.5 10.5 11.5 12.5 13.5 14.5 收入 / 万元
根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是 ( ) A. 该地农户家庭年收入低于 4.5 万元的农户比率估计为 6%
B. 该地农户家庭年收入不低于 10.5 万元的农户比率估计为 10%
C. 估计该地农户家庭年收入的平均值不超过 6.5 万元
D. 估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于 4.5 万元至 8.5 万元之间
【解析】：对于 A，该地农户家庭年收入低于 4.5 万元的农户比率为 (0.02 + 0.04) × 1 = 0.06 = 6%，故选项
A 正确；
对于 B，该地农户家庭年收入不低于 10.5 万元的农户比率为 (0.04 + 0.02 × 3) × 1 = 0.1 = 10%，故选项 B
正确；
对于 C ，估计该地农户家庭年收入的平均值为 3 × 0.02 + 4 × 0.04 + 5 × 0.1 + 6 × 0.14 + 7 × 0.2 + 8 × 0.2
+ 9 × 0.1 + 10 × 0.1 + 11 × 0.04 + 12 × 0.02 + 13 × 0.02 + 14 × 0.02 = 7.68 > 6.5 万元，故选项 C 错误； 对于 D，家庭年收入介于 4.5 万元至 8.5 万元之间的频率为 (0.1 + 0.14 + 0.2 + 0.2) × 1 = 0.64 > 0.5， 故估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于 4.5 万元至 8.5 万元之间，故选项 D 正确． 故选：C ．
3. 已知 (1 - i)2z = 3 + 2i，则 z = ( ) A. - 1 - 3 i B. - 1 + 3 i C. - 3 + i D. - 3 - i
2 2 2 2
【解析】：因为 (1 - i)2z = 3 + 2i，所以 z = 3 + 2i
= 3 + 2i = (3 + 2i)i = -2 + 3i = -1 + 3 i．
故选：B．
(1 - i)2
-2i
(-2i) i 2 2
4. 下列函数中是增函数的为 ( )
(
)A. f (x) = -x B. f (x) = 2
3
(
x
)C. f (x) = x2 D. f (x) = 3 x
【解析】：由一次函数性质可知 f (x) = -x 在 R 上是减函数，不符合题意；
(
)由指数函数性质可知 f (x) = 2
3
x
在 R 上是减函数，不符合题意；
由二次函数的性质可知 f (x) = x2 在 R 上不单调，不符合题意；
根据幂函数性质可知 f (x) = 3 x 在 R 上单调递增，符合题意．故选：D．
(
2
)5. 点 (3,0) 到双曲线 x2 - y
= 1 的一条渐近线的距离为 ( )
A. 9
5
16 9
B. 8
5
C. 6
5
2
D. 4
5
【解析】：由题意可知，双曲线的渐近线方程为 x2 y
= 0，即 3x ± 4y = 0，
16 9
结合对称性，不妨考虑点 (3,0) 到直线 3x - 4y = 0 的距离，
则点 (3,0) 到双曲线的一条渐近线的距离 d = 9 - 0
9 + 16
= 9 ．故选：A．
5
6. 青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记 录视力数据，五分记录法的数据 L 和小数记录法的数据 V 满足 L = 5 + lgV．已知某同学视力的五分记 录法的数据为 4.9，则其视力的小数记录法的数据约为 (10 10 ≈ 1.259) ( )
A. 1.5 B. 1.2 C. 0.8 D. 0.6
【解析】：在 L = 5 + lgV 中，L = 4.9，所以 4.9 = 5 + lgV，即 lgV = -0.1，
解得 V = 10-0.1 = 1
100.1
= 1
10 10
= 1
1.259
≈ 0.8，
所以其视力的小数记录法的数据约为 0.8．故选：C ．
7. 在一个正方体中，过顶点 A 的三条棱的中点分别为 E ，F ，G．该正方体截去三棱锥 A - EFG 后，所得多 面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是 ( )
正视图
A1 B1
A. B.
D1 C1
G
A E B
F
C. D. D C
【解析】：由题意，作出正方体，截去三棱锥 A - EFG，根据正视图， 可得 A - EFG 在正方体左侧面，如图，根据三视图的投影， 可得相应的侧视图是 D 图形，故选：D．
8. 在 ABC 中，已知 B = 120°，AC = 19 ，AB = 2，则 BC = ( ) A. 1 B. 2 C. 5 D. 3
【解析】：设角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，
结合余弦定理，可得 19 = a2 + 4 2 × a × 2 × cos120°， 即 a2 + 2a 15 = 0，解得 a = 3(a = -5 舍去 )，
所以 BC = 3．故选：D．
9. 记 Sn 为等比数列 {an} 的前 n 项和．若 S2 = 4，S4 = 6，则 S6 = ( ) A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
【解析】：∵ Sn 为等比数列 {an} 的前 n 项和，S2 = 4，S4 = 6，
由等比数列的性质，可知 S2，S4 - S2，S6 - S4 成等比数列，
∴ 4，2，S6 - 6 成等比数列，∴ 22 = 4(S6 - 6)，解得 S6 = 7．故选：A．
10. 将 3 个 1 和 2 个 0 随机排成一行，则 2 个 0 不相邻的概率为 ( ) A. 0.3 B. 0.5 C. 0.6 D. 0.8
【解 析】：将 3 个 1 和 2 个 0 随机 排 成 一行 的 方 法可 以 是 ：00111 ，01011 ，01101 ，01110 ，10011 ，10101 ，
10110，11001，11010，11100，共 10 种排法，
其中 2 个 0 不相邻的排列方法可以是：01011，01101，01110，10101，10110，11010，共 6 种方法，
满足题意的概率为 6
10
= 0.6，故选：C ．
(
)11. 若 α ∈ 0, π
2
，tan2α = cosα
2 - sinα
，则 tanα = ( )
A. 15
15
B. 5
5
C. 5
3
D. 15
3
【解析】：由 tan2α = cosα
，得 sin2α = cosα ，
2 - sinα
即 2sinαcosα = cosα ，
cos2α
2 - sinα
1 - 2sin2α
2 - sinα
(
)∵ α ∈ 0, π
2
，∴ cosα ≠ 0，
则 2sinα(2 - sinα) = 1 - 2sin2α，解得 sinα = 1 ，
4
则 cosα = 1 - sin2α = 15 ，
4
∴ tanα = sinα =
cosα
1
4
15
4
= 15 ．故选：A．
15
12. 设 f (x) 是定义域为 R 的奇函数，且 f (1 + x) = f (-x)．若 f - 1
= 1 ，则 f 5
= ( )
A. - 5
3
B. - 1
3
C. 1
3
3 3 3
D. 5
3
【解析】：解法一：由题意得 f (-x) = -f (x)，
(
)又 f (1 + x) = f (-x) = -f (x)，所以 f (2 + x) = f (x)，又 f - 1
3
= 1 ，
3
(
)则 f 5
3
= f 2 - 1
(
)3
= f - 1
(
)3
= 1 ．故选：C ．
3
解法二：由 f (1 + x) = f ( x) 知函数 f (x) 的图象关于直线 x = 1 对称，
2
(
2
)又 f (x) 为奇函数，所以 f (x) 是周期函数，且 T = 4 0 - 1 = 2，
(
)则 f 5
3
= f 5 2
(
)3
= f 1
(
)3
= 1 ，故选 C .
3
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
(
)13. 若向量 a，b 满足 |a| = 3，|a - b| = 5，a b = 1，则 |b| = 3 2 ．
2 2
【解析】：由题意，可得 (a b)2 = a 2a b + b = 25，
(
) 2
因为 |a| = 3，a b = 1，所以 9 2 × 1 + b = 25，
所以 b2 = 18,|b| = b2 = 3 2．故答案为：3 2．
14. 已知一个圆锥的底面半径为 6，其体积为 30π，则该圆锥的侧面积为 39π ．
【解析】：由圆锥的底面半径为 6，其体积为 30π，
设圆锥的高为 h，则 1 × (π × 62) × h = 30π，解得 h = 5 ，
3
所以圆锥的母线长 l =
2
(
) (
2
)5 + 62 = 13 ，
2 2
所以圆锥的侧面积 S = πrl = π × 6 × 13 = 39π．故答案为：39π．
2
(
)15. 已知函数 f (x) = 2cos(ωx + φ) 的部分图像如图所示，则 f π
2
= - 3 ． y
2
【解析】：由图可知，f (x) 的最小正周期 T = 4 13π - π
= π，
3 12 3
所以 ω = 2π = 2，因为 f 13 π
= 2cos 13 π + φ
= 2，得 φ = - π + 2kπ， O π
13π x
T
所以 f (x) = 2cos 2x - π
12
，则 f π
6
= 2cos 2 × π - π
6 3 12
= -2cos π = - 3.
故答案为：- 3．
6 2
2 y2
2 6 6
(
1
2
)16. 已知 F ，F 为椭圆 C : x +
16 4
= 1 的两个焦点，P，Q 为 C 上关于坐标原点对称的两点，且 |PQ| =
|F1F2|，则四边形 PF1QF2 的面积为 8．
【解析】：解法一：因为 P，Q 为 C 上关于坐标原点对称的两点，且 |PQ| = |F1F2|， 所以四边形 PF1QF2 为矩形，
设 |PF1| = m，|PF2| = n，
由椭圆的定义可得 ||PF1|+|PF2|| = m + n = 2a = 8，所以 m2 + 2mn + n2 = 64， 因为 |PF1|2 + |PF2|2 = |F1F2|2 = 4c2 = 4(a2 - b2) = 48，即 m2 + n2 = 48，所以 mn = 8， 所以四边形 PF1QF2 的面积为 |PF1||PF2| = mn = 8．故答案为：8．
解法二：因为四边形 PF1QF2 的对角线 PQ
= F1F2 ，所以四边形 PF1QF2 为矩形，
则由焦点三角形面积公式得 SF QF P = 2b2tan π = 2 × 4 × 1 = 8.
1 2 4
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题，每个试题考生都 必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。
( 一 ) 必考题：共 60 分。
17. (12 分 ) 甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量， 分别用两台机床各生产了 200 件产品，产品的质量情况统计如下表：
一级品 二级品 合计
甲机床 150 50 200
乙机床 120 80 200
合计 270 130 400
(1) 甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？
(2) 能否有 99% 的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？
(
P
(
K
2
≥
k
)
0.050
0.010
0
.0
0
1
k
3
.8
4
1
6.635
10.828
)2
附：K 2 = n(ad - bc) ．
(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)
【解析】：由题意，可得甲机床、乙机床生产总数均为 200 件，
因为甲的一级品的频数为 150，所以甲的一级品的频率为 150 = 3 ；
200 4
因为乙的一级品的频数为 120，所以乙的一级品的频率为 120 = 3 ；
(
2
)(2) 根据 2 × 2 列联表，可得 K 2 = n(ad - bc)
200 5
(
2
)= 400(150 × 80 - 50 × 120)
270 × 130 × 200 × 200
(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)
≈ 10.256 > 6.635．
所以有 99% 的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异．
18. (12 分 ) 记 Sn 为数列 {an} 的前 n 项和，已知 an > 0，a2 = 3a1 ，且数列 { Sn } 是等差数列 .
证明：{an} 是等差数列．
【解答】证明：设等差数列 { Sn } 的公差为 d，
由题意得 S1 = a1 ； S2 = a1 + a2 = 4a1 = 2 a1 ，
则 d = S2 - S1 = 2 a1 - a1 = a1 ，所以 Sn = a1 + (n - 1) a1 = n a1 ， 所以 Sn = n2a1 ①；
当 n ≥ 2 时，有 Sn-1 = (n - 1)2a1 ②．
由①②，得 an = Sn - Sn-1 = n2a1 - (n - 1)2a1 = (2n - 1)a1 ③， 经检验，当 n = 1 时也满足③．
所以 an = (2n - 1)a1，n ∈ N+，
当 n ≥ 2 时，an - an-1 = (2n - 1)a1 - (2n - 3)a1 = 2a1， 所以数列 {an} 是等差数列．
19. (12 分 ) 已知直三棱柱 ABC - A1B1C1 中，侧面 AA1B1B 为正方形，AB = BC = 2，E ，F 分别为 AC 和
CC1 的中点，BF ⊥ A1B1．
(1) 求三棱锥 F - EBC 的体积；
(2) 已知 D 为棱 A1B1 上的点，证明：BF ⊥ DE．
【解析】：(1) 在直三棱柱 ABC - A1B1C1 中，BB1 ⊥ A1B1， 又 BF ⊥ A1B1，BB1 ∩ BF = B，BB1，BF 平面 BCC1B1，
∴ A1B1 ⊥ 平面 BCC1B1，
∵ AB A1B1，∴ AB ⊥ 平面 BCC1B1，∴ AB ⊥ AC ，
A1 D B1
C1
F
A B
又 AB = AC ，故 AC = 22 + 22 = 2 2， E G C
∴ CE = 2 = BE，而侧面 AA1B1B 为正方形，
∴ CF = 1 CC1 = 1 AB = 1，
2 2
∴ V = 1 SEBC CF = 1 × 1 × 2 × 2 × 1 = 1 ，即三棱锥 F - EBC 的体积为 1 ；
3 3 2 3 3
(2) 证明：如图，取 BC 中点 G，连接 EG，B1G，设 B1G ∩ BF = H ，
∵ 点 E 是 AC 的中点，点 G 时 BC 的中点，
∴ EG AB，∴ EG AB B1D，
∴ E、G、B1、D 四点共面，由 (1) 可得 AB ⊥ 平面 BCC1B1，
∴ EG ⊥ 平面 BCC1B1，∴ BF ⊥ EG，
∵ tan∠CBF = CF = 1 ,tan∠BB1G = BG
= 1 ，且这两个角都是锐角，∴ ∠CBF = ∠BB1G，
BC 2
BB1 2
∴ ∠BHB1 = ∠BGB1 + ∠CBF = ∠BGB1 + ∠BB1G = 90°，∴ BF ⊥ B1G， 又 EG ∩ B1G = G，EG，B1G 平面 EGB1D，
∴ BF ⊥ 平面 EGB1D，又 DE 平面 EGB1D，
∴ BF ⊥ DE．
20. (12 分 ) 设函数 f (x) = a2x2 + ax - 3lnx + 1，其中 a > 0．
(1) 讨论 f (x) 的单调性；
(2) 若 y = f (x) 的图像与 x 轴没有公共点，求 a 的取值范围．
【解析】：(1)f ′ (x) = 2a2x + a - 3 = 2a2x2 + ax - 3 = (2ax + 3) (ax - 1) ，x > 0，
因为 a > 0，所以 - 3
2a
x x x
< 0 < 1 ，
a
(
)所以在 0, 1
a
上，f ′ (x) < 0，f (x) 单调递减，在 1 ，+∞
(
)a
上，f ′ (x) > 0，f (x) 单调递增．
(
)综上所述，f (x) 在 0, 1
a
上单调递减，在 1 ，+∞
(
)a
上 f (x) 单调递增．
(2) 由 (1) 可知，f (x)min = f 1
= a2 × 1
2 + a × 1 - 3ln 1 + 1 = 3 + 3lna，
a a a a
因为 y = f (x) 的图像与 x 轴没有公共点，所以 3 + 3lna > 0，所以 a > 1 ，
e
(
)所以 a 的取值范围为 1 ，+∞ ．
e
21. (12 分 ) 抛物线 C 的顶点为坐标原点 O，焦点在 x 轴上，直线 l : x = 1 交 C 于 P，Q 两点，且 OP ⊥ OQ． 已知点 M (2,0)，且 ⊙ M 与 l 相切．
(1) 求 C ，⊙ M 的方程；
(2) 设 A1 ，A2 ，A3 是 C 上的三个点，直线 A1A2 ，A1A3 均与 ⊙ M 相切．判断直线 A2A3 与 ⊙ M 的位置关 系，并说明理由．
【解析】：(1) 因为 x = 1 与抛物线有两个不同的交点，故可设抛物线 C 的方程为：y2 = 2px(p > 0)，
令 x = 1，则 y = ± 2p，
根据抛物线的对称性，不妨设 P 在 x 轴上方，Q 在 X 轴下方，故 P(1, 2p) ,Q(1, 2p)，
因为 OP ⊥ OQ，故 1 + 2p × ( 2p) = 0 p = 1 ，
2
抛物线 C 的方程为：y2 = x，
因为 ⊙ M 与 l 相切，故其半径为 1，故 ⊙ M : (x - 2)2 + y2 = 1．
(2) 设 A1(x1，y1)，A2(x2，y2)，A3(x3，y3)．
当 A1，A2，A3 其中某一个为坐标原点时 ( 假设 A1 为坐标原点时 )，
设直线 A1A2 方程为 kx - y = 0，根据点 M (2,0) 到直线距离为 1 可得 2k
1 + k2
= 1，解得 k = ± 3 ，
3
联立直线 A1A2 与抛物线方程可得 x = 3，
此时直线 A2A3 与 ⊙ M 的位置关系为相切，
当 A1，A2，A3 都不是坐标原点时，即 x1 ≠ x2 ≠ x3，直线 A1A2 的方程为 x (y1 + y2)y + y1y2 = 0，
此时有， |2 + y1y2|
= 1，即 (y2 1)y2 + 2y y + 3 y2 = 0，
1 + (y1 + y2)2
1 2 1 2 1
同理，由对称性可得，(y2 1)y2 + 2y y + 3 y2 = 0，
1 3 1 3 1
所以 y2，y3 是方程 (y2 1)t2 + 2y t + 3 y2 = 0 的两根，
1 1 1
依题意有，直线 A2A3 的方程为 x (y2 + y3)y + y2y3 = 0，
(2 + y2y3)2
3 - y2 2
(
y
2
-
1
) 2 + 1
(
2
)1
令 M 到直线 A2A3 的距离为 d，则有 d2 =
=
1 + (y2 + y3)2
1 + -2y1
(
) (
y
2
)1 - 1
= 1，
此时直线 A2A3 与 ⊙ M 的位置关系也为相切， 综上，直线 A2A3 与 ⊙ M 相切．
( 二 ) 选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
[ 选修 4 - 4：坐标系与参数方程 ] (10 分 )
22. (10 分 ) 在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方 程为 ρ = 2 2cosθ．
(1) 将 C 的极坐标方程化为直角坐标方程；
(2) 设点 A 的直角坐标为 (1,0) ，M 为 C 上的动点，点 P 满足 AP = 2AM ，写出 P 的轨迹 C1 的参数方
程，并判断 C 与 C1 是否有公共点．
【解析】：(1) 由极坐标方程为 ρ = 2 2cosθ，得 ρ2 = 2 2ρcosθ， 化为直角坐标方程是 x2 + y2 = 2 2x，
即 (x - 2)2 + y2 = 2，表示圆心为 C ( 2，0)，半径为 2 的圆．
(2) 设点 P 的直角坐标为 (x,y)，M (x1，y1)，因为 A(1,0)，
所以 AP = (x - 1,y)，AM = (x1 - 1，y1)，
由 AP = 2AM ，
(
)即 x -
目录
2021 年全国统一新高考数学试卷 ( 新高考Ⅰ卷 ) 1
2021 年全国统一新高考数学试卷 ( 新高考Ⅰ卷 ) 参考答案与试题解析 5
2021 年全国统一高考数学试卷 ( 新高考Ⅱ卷 ) 14
2021 年全国统一高考数学试卷 ( 新高考全国Ⅱ卷 ) 参考答案与试题解析 18
2021 年全国统一高考数学试卷 ( 文科 ) ( 甲卷 ) 26
2021 年全国统一高考数学试卷 ( 文科 ) ( 甲卷 ) 参考答案与试题解析 30
2021 年全国统一高考数学试卷 ( 理科 ) ( 甲卷 ) 37
2021 年全国统一高考数学试卷 ( 理科 ) ( 甲卷 ) 参考答案与试题解析 41
2021 年全国统一高考数学试卷 ( 文科 ) ( 乙卷 ) 50
2021 年全国统一高考数学试卷 ( 文科 ) ( 乙卷 ) 参考答案与试题解析 54
2021 年全国统一高考数学试卷 ( 理科 ) ( 乙卷 ) 61
2021 年全国统一高考数学试卷 ( 理科 ) ( 乙卷 ) 参考答案与试题解析 65
2021 年普通高等学校招生全国统一考试 ( 北京卷 ) 数学 73
2021 年普通高等学校招生全国统一考试 ( 北京卷 ) 数学参考答案与试题解析 77
2021 年天津市高考统一试卷 84
2021 年天津市高考统一试卷参考答案与试题解析 88
2021 年浙江省高考数学试卷 96
2021 年浙江省高考数学试卷数学参考答案与试题解析 100
2021 年上海市春季高考数学试卷 109
2021 年上海市春季高考数学试卷参考答案与试题解析 113
2021 年上海市夏季高考数学试卷 118
2021 年上海市夏季高考数学试卷参考答案与试题解析 122
2021 年全国统一新高考数学试卷 ( 新高考Ⅰ卷 )
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 设集合 A = {x|-2 < x < 4}，B = {2，3，4，5}，则 A ∩ B = ( )
A. {2} B. {2，3} C. {3，4} D. {2，3，4}
(
z
)2. 已知 z = 2 - i，则 z( + i) = ( ) A. 6 - 2i B. 4 - 2i C. 6 + 2i D. 4 + 2i
3. 已知圆锥的底面半径为 2 ，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为 ( ) A. 2 B. 2 2 C. 4 D. 4 2
4. 下列区间中，函数 f (x) = 7sin(x - π ) 单调递增的区间是 ( )
6
A. (0, π ) B. ( π ，π) C. (π, 3π ) D. ( 3π ，2π)
2 2 2 2
(
·
2
·
)
(
2
)5. 已知 F1 ，F2 是椭圆 C : x +
y2
= 1 的两个焦点，点 M 在 C 上，则 |MF1| |MF2| 的最大值为 ( )
9 4
A. 13 B. 12 C. 9 D. 6
6. 若 tanθ = -2，则 sinθ(1 + sin2θ) = ( )
sinθ + cosθ
A. - 6
5
B. - 2
5
C. 2
5
D. 6
5
7. 若过点 (a,b) 可以作曲线 y = ex 的两条切线，则 ( )
A. eb < a B. ea < b C. 0 < a < eb D. 0 < b < ea
8. 有 6 个相同的球，分别标有数字 1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取 1 个球．甲表示事件 “第一次取出的球的数字是 1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是 2”，丙表示事件“两次取出的球的 数字之和是 8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是 7”，则 ( )
A. 甲与丙相互独立 B. 甲与丁相互独立 C. 乙与丙相互独立 D. 丙与丁相互独立 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对
的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。
9. 有一组样本数据 x1 ，x2 ， ，xn ，由这组数据得到新样本数据 y1 ，y2 ， ，yn ，其中 yi = xi + c(i = 1，2， ，
n)，c 为非零常数，则 ( )
A. 两组样本数据的样本平均数相同 B. 两组样本数据的样本中位数相同
C. 两组样本数据的样本标准差相同 D. 两组样本数据的样本极差相同
10. 已知 O 为坐标原点，点 P1(cosα,sinα)，P2(cosβ,-sinβ)，P3(cos(α + β)，sin(α + β))，A(1,0)，则 ( )
A. |OP1| = |OP2| B. |AP1| = |AP2|
C. OA OP3 = OP1 OP2
D. OA OP1 = OP2 OP3
11. 已知点 P 在圆 (x - 5)2 + (y - 5)2 = 16 上，点 A(4,0)，B(0,2)，则 ( )
A. 点 P 到直线 AB 的距离小于 10 B. 点 P 到直线 AB 的距离大于 2
C. 当 ∠PBA 最小时，|PB| = 3 2 D. 当 ∠PBA 最大时，|PB| = 3 2
12. 在正三棱柱 ABC - A1B1C1 中，AB = AA1 = 1，点 P 满足 BP = λBC + μBB1 ，其中 λ ∈ [0，1]，μ ∈ [0，1]，
则 ( )
A. 当 λ = 1 时，△AB1P 的周长为定值
B. 当 μ = 1 时，三棱锥 P - A1BC 的体积为定值
(
1
)C. 当 λ = 1 时，有且仅有一个点 P，使得 A P ⊥ BP
2
(
2
)D. 当 μ = 1 时，有且仅有一个点 P，使得 A1B ⊥ 平面 AB1P
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13. 已知函数 f (x) = x3(a 2x - 2-x) 是偶函数，则 a = ．
14. 已知 O 为坐标原点，抛物线 C : y2 = 2px(p > 0) 的焦点为 F ，P 为 C 上一点，PF 与 x 轴垂直，Q 为 x 轴 上一点，且 PQ ⊥ OP．若 |FQ| = 6，则 C 的准线方程为 ．
15. 函数 f (x) = |2x - 1|-2lnx 的最小值为 ．
16. 某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折．规格为 20dm ×
12dm 的长方形纸，对折 1 次共可以得到 10dm × 12dm，20dm × 6dm 两种规格的图形，它们的面积之和 S1 = 240dm2 ，对折 2 次共可以得到 5dm × 12dm，10dm × 6dm，20dm × 3dm 三种规格的图形，它们的面 积之和 S2 = 180dm2 ，以此类推．则对折 4 次共可以得到不同规格图形的种数为 ；如果对折 n
n
次，那么 Sk = dm2．
k=1
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
an + 1,n 为奇数,
(
n
)17. (10 分 ) 已知数列 {an} 满足 a1 = 1，an+1 = a
+ 2,n 为偶数
(1) 记 bn = a2n ，写出 b1 ，b2 ，并求数列 {bn} 的通项公式；
(2) 求 {an} 的前 20 项和．
18. (12 分 ) 某学校组织“一带一路”知识竞赛，有 A ，B 两类问题．每位参加比赛的同学先在两类问题中选 择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再 随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束． A 类问题中的每个问题回答正确得 20 分，否则得 0 分；B 类问题中的每个问题回答正确得 80 分，否则得 0 分．
已知小明能正确回答 A 类问题的概率为 0.8，能正确回答 B 类问题的概率为 0.6，且能正确回答问题的概 率与回答次序无关．
(1) 若小明先回答 A 类问题，记 X 为小明的累计得分，求 X 的分布列；
(2) 为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由．
19. (12 分 ) 记 △ABC 的内角 A，B ，C 的对边分别为 a，b，c．已知 b2 = ac，点 D 在边 AC 上，BDsin∠ABC
= asinC ．
(1) 证明：BD = b；
(2) 若 AD = 2DC ，求 cos∠ABC ．
20. (12 分 ) 如图，在三棱锥 A - BCD 中，平面 ABD ⊥ 平面 BCD，AB = AD，O 为 BD 的中点．
(1) 证明：OA ⊥ CD；
(2) 若 △OCD 是边长为 1 的等边三角形，点 E 在棱 AD 上，DE = 2EA ，且二面角 E - BC - D 的大小为
45°，求三棱锥 A - BCD 的体积．
A
E
O
B D C
21. (12 分 ) 在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 F1(- 17 ，0)，F2( 17 ，0)，点 M 满足 |MF1|-|MF2| = 2．记 M
的轨迹为 C ．
(1) 求 C 的方程；
(2) 设点 T 在直线 x = 1 上，过 T 的两条直线分别交 C 于 A，B 两点和 P ，Q 两点，且 |TA| |TB| = |TP|
2
|TQ|，求直线 AB 的斜率与直线 PQ 的斜率之和．
22. (12 分 ) 已知函数 f (x) = x(1 - lnx)．
(1) 讨论 f (x) 的单调性；
(2) 设 a，b 为两个不相等的正数，且 blna - alnb = a - b，证明：2 < 1 + 1 < e．
a b
2021 年全国统一新高考数学试卷 ( 新高考Ⅰ卷 ) 参考答案与试题解析
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 设集合 A = {x|-2 < x < 4}，B = {2，3，4，5}，则 A ∩ B = ( )
A. {2} B. {2，3} C. {3，4} D. {2，3，4}
【解析】：∵ A = {x|-2 < x < 4}，B = {2，3，4，5}，
∴ A ∩ B = {x|-2 < x < 4} ∩ {2，3，4，5} = {2，3}．故选：B．
(
z
)2. 已知 z = 2 - i，则 z( + i) = ( ) A. 6 - 2i B. 4 - 2i C. 6 + 2i D. 4 + 2i
【解析】：∵ z = 2 - i，
(
z
)∴ z( + i) = (2 - i) (2 + i + i) = (2 - i) (2 + 2i) = 4 + 4i - 2i - 2i2 = 6 + 2i．故选：C ．
3. 已知圆锥的底面半径为 2 ，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为 ( ) A. 2 B. 2 2 C. 4 D. 4 2
【解析】：由题意，设母线长为 l，
因为圆锥底面周长即为侧面展开图半圆的弧长，圆锥的母线长即为侧面展开图半圆的半径， 则有 2π 2 = π l，解得 l = 2 2，
所以该圆锥的母线长为 2 2．故选：B．
4. 下列区间中，函数 f (x) = 7sin(x - π ) 单调递增的区间是 ( )
6
A. (0, π ) B. ( π ，π) C. (π, 3π ) D. ( 3π ，2π)
2 2 2 2
【解析】：令 - π + 2kπ ≤ x - π ≤ π + 2kπ，k ∈ Z ．
2 6 2
则 - π + 2kπ ≤ x ≤ 2π + 2kπ，k ∈ Z ．
3 3
当 k = 0 时，k ∈ [- π ，2π ]，
3 3
(0, π ) [- π ，2π ]，故选：A．
2 3 3
2 y2
(
9
)5. 已知 F1 ，F2 是椭圆 C : x
+ 4 = 1 的两个焦点，点 M 在 C 上，则 |MF1| |MF2| 的最大值为 ( )
A. 13 B. 12 C. 9 D. 6
(
2
)【解析】：F1，F2 是椭圆 C : x +
y2
= 1 的两个焦点，点 M 在 C 上，|MF1|+|MF2| = 6，
9 4
所以 |MF1| |MF2| ≤ (
|MF1|+|MF2|
(
2
)2 ) = 9，当且仅当 |MF1| = |MF2| = 3 时，取等号，
所以 |MF1| |MF2| 的最大值为 9．故选：C ．
6. 若 tanθ = -2，则 sinθ(1 + sin2θ) = ( )
sinθ + cosθ
A. - 6
5
B. - 2
5
sinθ(1 + sin2θ)
C. 2
5
sinθ(sin2θ + cos2θ + 2sinθcosθ)
D. 6
5
【解析】：由题意可得：
(
2
)= sinθ(sinθ + cosθ)
sinθ + cosθ
sinθ + cosθ =
= sinθ(sinθ + cosθ)
sinθ + cosθ
= sin2θ + sinθcosθ = tan2θ + tanθ
sin2θ + cos2θ
1 + tan2θ
= 4 - 2 = 2 ．故选：C ．
1 + 4 5
7. 若过点 (a,b) 可以作曲线 y = ex 的两条切线，则 ( ) A. eb < a B. ea < b C. 0 < a < eb D. 0 < b < ea
【解析】：函数 y = ex 是增函数，y′ = ex > 0 恒成立， 函数的图象如图，y > 0，即取得坐标在 x 轴上方， 如果 (a,b) 在 x 轴下方，连线的斜率小于 0，不成立． 点 (a,b) 在 x 轴或下方时，只有一条切线．
如果 (a,b) 在曲线上，只有一条切线；
y
y = ex
a,b
(a,b) 在曲线上侧，没有切线； O x
由图象可知 (a,b) 在图象的下方，并且在 x 轴上方时，有两条 切线，可知 0 < b < ea．故选：D．
8. 有 6 个相同的球，分别标有数字 1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取 1 个球．甲表示事件 “第一次取出的球的数字是 1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是 2”，丙表示事件“两次取出的球的 数字之和是 8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是 7”，则 ( )
A. 甲与丙相互独立 B. 甲与丁相互独立 C. 乙与丙相互独立 D. 丙与丁相互独立
【解析】：由题意可知，两点数和为 8 的所有可能为：(2,6)，(3,5)，(4,4)，(5,3)，(6,2)， 两点数和为 7 的所有可能为 (1,6)，(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,1)，
P( 甲 ) = 1 ，P( 乙 ) = 1 ，P( 丙 ) = 5
= 5 ，P( 丁 ) = 6
= 1 ，
6 6 6 × 6 36
6 × 6 6
A. P( 甲丙 ) = 0 ≠ P( 甲 )P( 丙 )， B. P( 甲丁 ) = 1
36
= P( 甲 )P( 丁 )，
C. P( 乙丙 ) = 1
36
≠ P( 乙 )P( 丙 )， D. P( 丙丁 ) = 0 ≠ P( 丙 )P( 丁 )，
故选：B．
二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对 的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。
9. 有一组样本数据 x1 ，x2 ， ，xn ，由这组数据得到新样本数据 y1 ，y2 ， ，yn ，其中 yi = xi + c(i = 1，2， ，
n)，c 为非零常数，则 ( )
A. 两组样本数据的样本平均数相同 B. 两组样本数据的样本中位数相同
C. 两组样本数据的样本标准差相同 D. 两组样本数据的样本极差相同
【解析】：对于 A，两组数据的平均数的差为 c，故 A 错误； 对于 B，两组样本数据的样本中位数的差是 c，故 B 错误； 对于 C ，∵ 标准差 D(yi) = D(xi + c) = D(xi)，
∴ 两组样本数据的样本标准差相同，故 C 正确；
对于 D，∵ yi = xi + c(i = 1，2， ，n)，c 为非零常数，
x 的极差为 xmax - xmin，y 的极差为 (xmax + c) - (xmin + c) = xmax - xmin，
∴ 两组样本数据的样本极差相同，故 D 正确．故选：CD．
10. 已知 O 为坐标原点，点 P1(cosα,sinα)，P2(cosβ,-sinβ)，P3(cos(α + β)，sin(α + β))，A(1,0)，则 ( )
A. |OP1| = |OP2| B. |AP1| = |AP2|
C. OA OP3 = OP1 OP2
D. OA OP1 = OP2 OP3
【解析】：∵ P1(cosα,sinα)，P2(cosβ,-sinβ)，P3(cos(α + β)，sin(α + β))，A(1,0)，
∴ OP1 = (cosα,sinα)，OP2 = (cosβ,-sinβ)，
OP3 = (cos(α + β)，sin(α + β))，OA = (1,0)，
AP1 = (cosα - 1,sinα)，AP2 = (cosβ - 1,-sinβ)，
则 |OP1| = cos2α + sin2α = 1，|OP2| = cos2β + (-sinβ)2 = 1，则 |OP1| = |OP2|，故 A 正确；
|AP1| = (cosα - 1)2 + sin2α = cos2α + sin2α - 2cosα + 1 = 2 - 2cosα，
|AP2| = (cosβ - 1)2 + (-sinβ)2 = cos2β + sin2β - 2cosβ + 1 = 2 - 2cosβ，
|AP1| ≠ |AP2|，故 B 错误；
OA OP3 = 1 × cos(α + β) + 0 × sin(α + β) = cos(α + β)，
OP1 OP2 = cosαcosβ - sinαsinβ = cos(α + β)，
∴ OA OP3 = OP1 OP2，故 C 正确；
OA OP1 = 1 × cosα + 0 × sinα = cosα，
OP2 OP3 = cosβcos(α + β) - sinβsin(α + β) = cos[β + (α + β)] = cos(α + 2β)，
∴ OA OP1 ≠ OP2 OP3，故 D 错误．故选：AC ．
11. 已知点 P 在圆 (x - 5)2 + (y - 5)2 = 16 上，点 A(4,0)，B(0,2)，则 ( ) A. 点 P 到直线 AB 的距离小于 10 B. 点 P 到直线 AB 的距离大于 2
C. 当 ∠PBA 最小时，|PB| = 3 2 D. 当 ∠PBA 最大时，|PB| = 3 2
【解析】：∵ A(4,0)，B(0,2)，
∴ 过 A、B 的直线方程为 x + y = 1，即 x + 2y - 4 = 0，
4 2
圆 (x - 5)2 + (y - 5)2 = 16 的圆心坐标为 (5,5)，
圆心到直线 x + 2y - 4 = 0 的距离 d = |1 × 5 + 2 × 5 - 4| = 11
= 11 5 > 4，
12 + 22 5 5
∴ 点 P 到直线 AB 的距离的范围为 [ 11 5 - 4，11 5 + 4]，
5 5 y
∵ 11 5 < 5，∴ 11 5 - 4 < 1，11 5 + 4 < 10， P2
5 5 5 C
∴ 点 P 到直线 AB 的距离小于 10，但不一定大于 2，故 A 正确，B 错误；
如图，当过 B 的直线与圆相切时，满足 ∠PBA 最小或最大
(P 点位于 P1 时 ∠PBA 最小，位于 P2 时 ∠PBA 最大 )， B
P1
(
A
)此时 |BC | = (5 - 0)2 + (5 - 2)2 = 25 + 9 = 34，
x
∴ |PB| = |BC |2 - 42 = 18 = 3 2，故 CD 正确．
故选：ACD．
12. 在正三棱柱 ABC - A1B1C1 中，AB = AA1 = 1，点 P 满足 BP = λBC + μBB1 ，其中 λ ∈ [0，1]，μ ∈ [0，1]，
则 ( )
A. 当 λ = 1 时，△AB1P 的周长为定值
B. 当 μ = 1 时，三棱锥 P - A1BC 的体积为定值
C. 当 λ = 1 时，有且仅有一个点 P，使得 A1P ⊥ BP
2
【解析】：对于 A，当 λ = 1 时，BP = BC + μBB1，
A1 C1
B1
P
即 CP = μBB1，所以 CP//BB1，
故点 P 在线段 CC1 上，此时 △AB1P 的周长为 AB1 + B1P + AP， A C
当点 P 为 CC1 的中点时，△AB1P 的周长为 5 + 2，
当点 P 在点 C1 处时，△AB1P 的周长为 2 2 + 1， B
故周长不为定值，故选项 A 错误；
对于 B，当 μ = 1 时，BP = λBC + BB1，即 B1P = λBC ，所以 B1P//BC ，
故点 P 在线段 B1C1 上，
因为 B1C1// 平面 A1BC ， A1
所以直线 B1C1 上的点到平面 A1BC 的距离相等， 又 △A1BC 的面积为定值，
所以三棱锥 P - A1BC 的体积为定值，故选项 B 正确；
(
2
)对于 C ，当 λ = 1 时，取线段 BC ，B1C1 的中点分别为 M ，M1，连结 M1M ， A
C1
B1 P
C
(
2
)因为 BP = 1 BC + μBB1，即 MP = μBB1，所以 MP//BB1，
则点 P 在线段 M1M 上，
当点 P 在 M1 处时，A1M1 ⊥ B1C1，A1M1 ⊥ B1B， 又 B1C1 ∩ B1B = B1，所以 A1M1 ⊥ 平面 BB1C1C ，
又 BM1 平面 BB1C1C ，所以 A1M1 ⊥ BM1，即 A1P ⊥ BP， 同理，当点 P 在 M 处，A1P ⊥ BP，故选项 C 错误；
(
2
)对于 D，当 μ = 1 时，取 CC1 的中点 D1，BB1 的中点 D，
B
A1 M1 C1
B1
P
A C
(
1
)因为 BP = λBC + 1 BB ，即 DP = λBC ，所以 DP//BC ，
2
则点 P 在线的 DD1 上，
当点 P 在点 D1 处时，取 AC 的中点 E，连结 A1E，BE，
因为 BE ⊥ 平面 ACC1A1，又 AD1 平面 ACC1A1，所以 AD1 ⊥ BE，
在正方形 ACC1A1 中，AD1 ⊥ A1E， A1
又 BE ∩ A1E = E，BE，A1E 平面 A1BE，
故 AD1 ⊥ 平面 A1BE，又 A1B 平面 A1BE，所以 A1B ⊥ AD1， 在正方形 ABB1A1 中，A1B ⊥ AB1，
又 AD1 ∩ AB1 = A，AD1，AB1 平面 AB1D1，所以 A1B ⊥ 平面 AB1D1，
A
因为过定点 A 与定直线 A1B 垂直的平面有且只有一个，
故有且仅有一个点 P，使得 A1B ⊥ 平面 AB1P，故选项 D 正确． 故选：BD．
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13. 已知函数 f (x) = x3(a 2x - 2-x) 是偶函数，则 a = ．
【解析】：因为函数 f (x) = x3(a 2x - 2-x) 是偶函数，y = x3 为 R 上的奇函数， 故 y = a 2x - 2-x 也为 R 上的奇函数，所以 y|x=0 = a 20 - 20 = a - 1 = 0， 所以 a = 1．故答案为：1．
M B
C1
B1
D1 P
E D
C
B
14. 已知 O 为坐标原点，抛物线 C : y2 = 2px(p > 0) 的焦点为 F ，P 为 C 上一点，PF 与 x 轴垂直，Q 为 x 轴
(
2
)上一点，且 PQ ⊥ OP．若 |FQ| = 6，则 C 的准线方程为 x = - 3 ．
【解析】：解法一：由题意，不妨设 P 在第一象限，则 P( p ，p)，k
= 2，PQ ⊥ OP．
2
(
p
)所以 kPQ = - 1 ，所以 PQ 的方程为：y - p = - 1 (x -
OP
)，y = 0 时，x =
5p ，
2 2 2 2
|FQ| = 6，所以 5p - p = 6，解得 p = 3，
2 2
所以抛物线的准线方程为：x = - 3 ．故答案为：x = - 3 ．
2 2
解法二：由题意，不妨设 P 在第一象限，则 P( p ，p)，Q( p + 6,0)
2 2
则 PQ = (6,-p)，因为 PQ ⊥ OP，所以 PQ OP = 0，解得 p = 3，
所以抛物线的准线方程为：x = - 3 ．故答案为：x = - 3 ．
2 2
15. 函数 f (x) = |2x - 1|-2lnx 的最小值为 1 ．
【解析】：函数 f (x) = |2x - 1|-2lnx 的定义域为 (0,+∞)．
当 0 < x ≤ 1 时，f (x) = |2x - 1|-2lnx = -2x + 1 - 2lnx，
2
此时函数 f (x) 在 (0，1 ] 上为减函数，
2
所以 f (x) ≥ f ( 1 ) = -2 × 1 + 1 - 2ln 1 = 2ln2；
2 2 2
当 x > 1 时，f (x) = |2x - 1|-2lnx = 2x - 1 - 2lnx，则 f ′ (x) = 2 - 2 = 2(x - 1) ，
2 x x
当 x ∈ ( 1 ，1) 时，f ′ (x) < 0，f (x) 单调递减，当 x ∈ (1,+∞) 时，f ′ (x) > 0，f (x) 单调递增，
2
∴ 当 x = 1 时 f (x) 取得最小值为 f (1) = 2 × 1 - 1 - 2ln1 = 1．
∵ 2ln2 = ln4 > lne = 1，
∴ 函数 f (x) = |2x - 1|-2lnx 的最小值为 1．故答案为：1．
16. 某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折．规格为 20dm ×
12dm 的长方形纸，对折 1 次共可以得到 10dm × 12dm，20dm × 6dm 两种规格的图形，它们的面积之和 S1 = 240dm2 ，对折 2 次共可以得到 5dm × 12dm，10dm × 6dm，20dm × 3dm 三种规格的图形，它们的面 积之和 S2 = 180dm2 ，以此类推．则对折 4 次共可以得到不同规格图形的种数为 5 ；如果对折 n 次，
n
那么 Sk =
k=1
240(3 - n + 3 )
2n
dm2．
【解析】：易知有 20dm × 3 dm,10dm × 3 dm,5dm × 3dm, 5 dm × 6dm，5 dm × 12dm，共 5 种规格；
4 2 2
4
240(k + 1)
由题可知，对折 k 次共有 k + 1 种规格，且面积为 240 ，故 Sk = ，
2k 2k
n n n n
(
k
) (
k
)则 Sk = 240 k + 1 ，记 Tn = k + 1 ，则 1 Tn = k + 1 ，
k=1
k=1 2
k=1 2
2
k=1
2k+1
n n n-1 n
∴ 1 Tn = k + 1 - k + 1 = 1 + ( k + 2 - k + 2 ) - n + 1
(
2
)2 k k=1
k=1
2k+1
k=1
2k+1
k=1
2k+1
2n+1
1 (1 - 1 )
= 1 + 4
2n-1
- n + 1 = 3 - n + 3 ，
1 - 1
2
n
2n+1
2 2n+1
(
n
) (
n
) (
n
)∴ Tn = 3 - n + 3 ，∴ Sk = 240(3 - n + 3 )．故答案为：5；240(3 - n + 3 )．
2 k=1 2 2
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
an + 1,n 为奇数,
(
n
)17. (10 分 ) 已知数列 {an} 满足 a1 = 1，an+1 = a
+ 2,n 为偶数
(1) 记 bn = a2n ，写出 b1 ，b2 ，并求数列 {bn} 的通项公式；
(2) 求 {an} 的前 20 项和．
an + 1,n 为奇数
(
n
)【解析】：(1) 因为 a1 = 1，an+1 = a
+ 2,n 为偶数 ，
所以 a2 = a1 + 1 = 2，a3 = a2 + 2 = 4，a4 = a3 + 1 = 5， 所以 b1 = a2 = 2，b2 = a4 = 5，
bn - bn-1 = a2n - a2n-2 = a2n - a2n-1 + a2n-1 - a2n-2 = 1 + 2 = 3， 所以数列 {bn} 是以 b1 = 2 为首项，以 3 为公差的等差数列，
所以 bn = 2 + 3(n - 1) = 3n - 1．
(2) 解法一：由 (1) 可得 a2n = 3n - 1，n ∈ N *，
则 a2n-1 = a2n-2 + 2 = 3(n - 1) - 1 + 2 = 3n - 2，n ≥ 2，
当 n = 1 时，a1 = 1 也适合上式，所以 a2n-1 = 3n - 2，n ∈ N *， 所以数列 {an} 的奇数项和偶数项分别为等差数列，
则 {an} 的前 20 项和为 a1 + a2 + ... + a20 = (a1 + a3 + +a19) + (a2 + a4 + +a20)
= 10 + 10 × 9 × 3 + 10 × 2 + 10 × 9 × 3 = 300．
2 2
解法二：a1 + a2 + ... + a20 = (a1 + a3 + +a19) + (a2 + a4 + +a20)
= (a1 + a2 + 2 + a3 + 2 + a18 + 2) + (b1 + b2 + b3 + +b10)
= 19 + (b1 + b2 + b3 + +b9) + (b1 + b2 + b3 + +b10)
= 19 + 9(2 + 26) + 10(2 + 29) = 300
2 2
18. (12 分 ) 某学校组织“一带一路”知识竞赛，有 A ，B 两类问题．每位参加比赛的同学先在两类问题中选 择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再 随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束． A 类问题中的每个问题回答正确得 20 分，否则得 0 分；B 类问题中的每个问题回答正确得 80 分，否则得 0 分．
已知小明能正确回答 A 类问题的概率为 0.8，能正确回答 B 类问题的概率为 0.6，且能正确回答问题的概 率与回答次序无关．
(1) 若小明先回答 A 类问题，记 X 为小明的累计得分，求 X 的分布列；
(2) 为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由．
【解析】：(1) 由已知可得，X 的所有可能取值为 0，20，100，
则 P(X = 0) = 1 - 0.8 = 0.2，P(X = 20) = 0.8 × (1 - 0.6) = 0.32，P(X = 100) = 0.8 × 0.6 = 0.48， 所以 X 的分布列为：
X 0 20 100
P 0.2 0.32 0.48
(2) 由 (1) 可知小明先回答 A 类问题累计得分的期望为 E(X) = 0 × 0.2 + 20 × 0.32 + 100 × 0.48 = 54.4， 若小明先回答 B 类问题，记 Y 为小明的累计得分，
则 Y 的所有可能取值为 0，80，100，
P(Y = 0) = 1 - 0.6 = 0.4，P(Y = 80) = 0.6 × (1 - 0.8) = 0.12，P(Y = 100) = 0.6 × 0.8 = 0.48， 则 Y 的期望为 E(Y ) = 0 × 0.4 + 80 × 0.12 + 100 × 0.48 = 57.6，
因为 E(Y ) > E(X)， 所以为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答 B 类问题．
19. (12 分 ) 记 ABC 的内角 A，B ，C 的对边分别为 a，b，c．已知 b2 = ac，点 D 在边 AC 上，BDsin∠ABC =
asinC ．
(1) 证明：BD = b；
(2) 若 AD = 2DC ，求 cos∠ABC ．
(
·
10
·
)
【解析】：(1) 解法一：证明：由正弦定理知， b
sin∠ABC
= c
sin∠ACB
= 2R，
∴ b = 2Rsin∠ABC ，c = 2Rsin∠ACB，
∵ b2 = ac，∴ b 2Rsin∠ABC = a 2Rsin∠ACB，即 bsin∠ABC = asinC ，
∵ BDsin∠ABC = asinC ． ∴ BD = b；
解法二：证明：由正弦定理知， b
sin∠ABC
又 ∵ b2 = ac,∴ bsinC = b2 sin∠ABC ,
a
∴ asinC = bsin∠ABC = BDsin∠ABC ,
∴ BD = b.
(2) 解法一：由 (1) 知 BD = b，
∵ AD = 2DC ，∴ AD = 2 b，DC = 1 b，
= c
sinC
,∴ bsinC = csin∠ABC ,
3 3
2 2 2 2
在 ABD 中，由余弦定理知，cos∠BDA = BD2 + AD2 - AB2 = b + ( 3 b) - c
= 13b2 - 9c2 ，
2BD AD
2b 2 b
3
12b2
2 1 2 2
在 CBD 中，由余弦定理知，cos∠BDC = BD2 + CD2 - BC 2 = b + ( 3 b) - a
= 10b2 - 9a2 ，
∵ ∠BDA + ∠BDC = π，
2BD CD
2b 1 b
3
6b2
∴ cos∠BDA + cos∠BDC = 0，即 13b2 - 9c2 + 10b2 - 9a2 = 0，得 11b2 = 3c2 + 6a2，
12b2
6b2
∵ b2 = ac，∴ 3c2 - 11ac + 6a2 = 0，∴ c = 3a 或 c = 2 a，
3
在 ABC 中，由余弦定理知，cos∠ABC = a2 + c2 - b2 = a2 + c2 - ac ，
2ac
2ac
当 c = 3a 时，cos∠ABC = 7 > 1( 舍 )；当 c = 2 a 时，cos∠ABC = 7 ；
6 3 12
综上所述，cos∠ABC = 7 ．
12
解法二：在 △ABC 中 ,BD = 1 BC + 2 BA, 平方得：BD2 = 1 a2 + 4 c2 + 4 accosB ①
3 3 由余弦定理得 b2 = a2 + c2 - 2accosB ②， 联立①②得 11b2 = 3c2 + 6a2，
9 9 9
∵ b2 = ac，∴ 3c2 - 11ac + 6a2 = 0，∴ c = 3a 或 c = 2 a，
3
在 ABC 中，由余弦定理知，cos∠ABC = a2 + c2 - b2 = a2 + c2 - ac ，
2ac
2ac
当 c = 3a 时，cos∠ABC = 7 > 1( 舍 )；当 c = 2 a 时，cos∠ABC = 7 ；
6 3 12
综上所述，cos∠ABC = 7 ．
12
20. (12 分 ) 如图，在三棱锥 A - BCD 中，平面 ABD ⊥ 平面 BCD，AB = AD，O 为 BD 的中点．
(1) 证明：OA ⊥ CD；
(2) 若 OCD 是边长为 1 的等边三角形，点 E 在棱 AD 上，DE = 2EA ，且二面角 E - BC - D 的大小为
45°，求三棱锥 A - BCD 的体积．
【解析】：(1) 证明：因为 AB = AD，O 为 BD 的中点，所以 AO ⊥ BD，
又平面 ABD ⊥ 平面 BCD，平面 ABD ∩ 平面 BCD = BD， z AO 平面 BCD， A 所以 AO ⊥ 平面 BCD，又 CD 平面 BCD，
所以 AO ⊥ CD； E
(2) 取 OD 的中点 F ，因为 OCD 为正三角形，所以 CF ⊥ OD，
过 O 作 OM //CF 与 BC 交于点 M ，则 OM ⊥ OD， O F
所以 OM ，OD，OA 两两垂直， B M D y
如图所示，以点 O 为坐标原点，分别以 OM ，OD，OA 为 x 轴，
y 轴，z 轴建立空间直角坐标系， x C
则 B(0，-1，0)，C ( 3 , 1 ,0)，D(0，1，0)，设 A(0，0，t)，则 E(0, 1 , 2t )，
2 2 3 3
因为 OA ⊥ 平面 BCD，故平面 BCD 的一个法向量为 OA = (0,0,t)，
(
n
)设平面 BCE 的法向量为 = (x,y,z)，
又 BC = ( 3 , 3 ,0) ,BE = (0, 4 , 2t )，
2 2 3 3
3 x + 3 y = 0
所以由 n BC = 0 2 2
，得 4 2t ，
n BE = 0
3 y +
3 z = 0
(
n
)令 x = 3，则 y = -1，z = 2 ，故 = ( 3,-1, 2 )，
t t
因为二面角 E - BC - D 的大小为 45°，
所以 |cos < n,OA > | = |n OA| = 2
= 2 ，
|n||OA|
解得 t = 1，所以 OA = 1，
t 4 + 4 2
t2
又 SOCD = 1 × 1 × 1 × 3 = 3 ，所以 SBCD = 3 ，
2 2 4 2
故 VA-BCD = 1 SBCD OA = 1 × 3 × 1 = 3 ．
3 3 2 6
解法二：( 传统几何法 ) 在平面 ABD 中，作 EM BD 于 M ，在平面 BCD 中，作于 MN BC 于 N ，
连接 EN ，由⑴得 OA ⊥ BD,
∴ EM ∥ OA,∴ EM ⊥ 平面 BCD, A
∵ BC 平面 BCD,∴ EM ⊥ BC ,∵ MN ⊥ BC , E
∴ ∠ENM 即为二面角 E - BC - D 的平面角，
∴ ∠ENM = 45 ，∵ OC = OD = OB = CD = 1，
O M
∴ BC ⊥ CD，∴ MN ∥ CD, 且 MN = EM = 2 CD = 2 ,
3 3 B D
N
C
∴ BC = 3,OA = 1,∴ VA-BCD = 1 S△BCD OA = 1 × 1 × 1 × 3 × 1 = 3
3 3 2 6
21. (12 分 ) 在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 F1(- 17 ，0)，F2( 17 ，0)，点 M 满足 |MF1|-|MF2| = 2．
记 M 的轨迹为 C ．
(1) 求 C 的方程；
(2) 设点 T 在直线 x = 1 上，过 T 的两条直线分别交 C 于 A，B 两点和 P，Q 两点，
2
且 |TA| |TB| = |TP| |TQ|，求直线 AB 的斜率与直线 PQ 的斜率之和．
【解析】：(1) 由双曲线的定义可知，M 的轨迹 C 是双曲线的右支，
2
设 C 的方程为 x2 - y
= 1(a > 0,b > 0) ,x ≥ 1，
a2 b2
c = 17
(
)a = 1
(
)根据题意 2a = 2
c2 = a2 + b2
(
2
)∴ C 的方程为 x2 - y
16
，解得 b = 4 ，
c = 17
= 1(x ≥ 1)；
1
(2) ( 法一 ) 设 T( 1 ,m)，直线 AB 的参数方程为 x = 2 + tcosθ ，
2 y = m + tsinθ
将其代入 C 的方程并整理可得，(16cos2θ - sin2θ)t2 + (16cosθ - 2msinθ)t - (m2 + 12) = 0，
(
2
)由参数的几何意义可知，|TA| = t1，|TB| = t2，则 t1t2 = m + 12
sin2θ - 16cos2θ
1
= m + 12 ，
(
2
)1 - 17cos2θ
2
设直线 PQ 的参数方程为 x = 2 + λcosβ ，|TP| = λ ，|TQ| = λ ，同理可得，λ λ = m + 12 ，
1 2
y = m + λsinβ
1 2 1 - 17cos2β
依题意， m2 + 12
1 - 17cos2θ
= m2 + 12
1 - 17cos2β
，则 cos2θ = cos2β，
又 θ ≠ β，故 cosθ = -cosβ，则 cosθ + cosβ = 0， 即直线 AB 的斜率与直线 PQ 的斜率之和为 0．
( 法二 ) 设 T( 1 ,t)，直线 AB 的方程为 y = k1(x - 1 ) + t，A(x1，y1)，B(x2，y2)，设 1 < x1 < x2，
2 2 2
将直线 AB 方程代入 C 的方程化简并整理可得，
2 2 2
1 2 2
(16 - k1 )x - (k1 - 2tk1)x - 4 k1 + k1t - t - 16 = 0，
2 - 1 k1 + k1t - t - 16
2 2
由韦达定理有，x1 + x2 =
k1 - 2k1t ,x x =
(
1
)k2 - 16 1 2
4 ，
(
1
)16 - k2
(
1
1
)又由 A(x1,k1x1 - 1 k1 + t) ,T( 1 ,t) 可得 |AT| = 1 + k2 (x -
1 )，
2 2 2
2 1
同理可得 |BT| = 1 + k1 (x2 - 2 )，
2 2
2 1 1
(1 + k1 ) (t + 12)
(
1
)∴ |AT| |BT| = (1 + k1 ) (x1 - 2 ) (x2 - 2 ) =
k2 - 16 ，
设直线 PQ 的方程为 y = k2(x - 1 ) + t,P(x3,y3) ,Q(x4,y4)，设 1 < x3 < x4，
2 2
(1 + k 2) (t2 + 12)
同理可得 |PT| |QT| = 2 ，
(
2
)k 2 - 16
2 2
又 |AT||BT| = |PT||QT|，则 1 + k1
= 1 + k2
，化简可得 k2 = k 2，
(
1
) (
2
)k2 - 16
又 k1 ≠ k2，则 k1 = -k2，即 k1 + k2 = 0，
k 2 - 16 1 2
即直线 AB 的斜率与直线 PQ 的斜率之和为 0．
22. (12 分 ) 已知函数 f (x) = x(1 - lnx)．
(1) 讨论 f (x) 的单调性；
(2) 设 a，b 为两个不相等的正数，且 blna - alnb = a - b，证明：2 < 1 + 1 < e．
a b
【解析】：(1) 解：由函数的解析式可得 f (x) = 1 - lnx - 1 = -lnx，
∴ x ∈ (0,1)，f ′ (x) > 0，f (x) 单调递增，
x ∈ (1,+∞)，f ′ (x) < 0，f (x) 单调递减，
则 f (x) 在 (0,1) 单调递增，在 (1,+∞) 单调递减．
(2) 证明：由 blna - alnb = a - b，得 - 1 ln 1 + 1 ln 1 = 1 - 1 ，
即 1 (1 - ln 1 ) = 1 (1 - ln 1 )，
a a b b b a
a a b b
由 (1)f (x) 在 (0,1) 单调递增，在 (1,+∞) 单调递减，
所以 f (x)max = f (1) = 1，且 f (e) = 0，
令 x1 = 1 ，x2 = 1 ，则 x1，x2 为 f (x) = k 的两根，其中 k ∈ (0,1)．
a b
不妨令 x1 ∈ (0,1)，x2 ∈ (1,e)，则 2 - x1 > 1，
先证 2 < x1 + x2，即证 x2 > 2 - x1，即证 f (x2) = f (x1) < f (2 - x1)， 令 h(x) = f (x) - f (2 - x)，
则 h′ (x) = f ′ (x) + f ′ (2 - x) = -lnx - ln(2 - x) = -ln[x(2 - x)] > 0， 故函数 h(x) 单调递增，
∴ h(x) < h(1) = 0． ∴ f (x1) < f (2 - x1)，∴ 2 < x1 + x2，得证． 同理，要证 x1 + x2 < e，即证 f (x2) = f (x1) < f (e - x1)，
令 φ(x) = f (x) - f (e - x)，x ∈ (0,1)，则 φ (x) = -ln[x(e - x)]，令 φ′ (x0) = 0， x ∈ (0,x0)，φ (x) > 0，φ(x) 单调递增，x ∈ (x0，1)，φ (x) < 0，φ(x) 单调递减， 又 x > 0，f (x) > 0，且 f (e) = 0，故 x → 0，φ(0) > 0，
φ(1) = f (1) - f (e - 1) > 0，
∴ φ(x) > 0 恒成立，x1 + x2 < e 得证，
则 2 < 1 + 1 < e．
a b
2021 年全国统一高考数学试卷 ( 新高考Ⅱ卷 )
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．
1. 复数 2 - i
1 - 3i
在复平面内对应的点所在的象限为 ( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2. 设集合 U = {1,2,3,4,5,6} ,A = {1,3,6} ,B = {2,3,4}，则 A ∩ U B
= ( )
A. {3} B. {1,6} C. {5,6} D. {1,3}
3. 若抛物线 y2 = 2px(p > 0) 的焦点到直线 y = x + 1 的距离为 2 ，则 p = ( ) A. 1 B. 2 C. 2 2 D. 4
4. 北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨 道位于地球赤道所在平面，轨道高度为 36000km( 轨道高度是指卫星到地球表面的距离 )．将地球看作 是一个球心为 O，半径 r 为 6400km 的球，其上点 A 的纬度是指 OA 与赤道平面所成角的度数．地球表 面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为 α，记卫星信号覆盖地球表面的表面积 为 S = 2πr2(1 - cosα) ( 单位：km2)，则 S 占地球表面积的百分比约为 ( )
A. 26% B. 34% C. 42% D. 50%
5. 正四棱台 上 下底面的边长分别为 2，4，侧棱长为 2，则其体积为 ( )
A. 20 + 12 3 B. 28 2 C. 56
3
D. 28 2
3
6. 某物理量的测量结果服从正态分布 N 10,σ2
，下列结论中不正确的是 ( )
A. σ 越小，该物理量在一次测量中在 (9.9,10.1) 的概率越大
B. σ 越小，该物理量在一次测量中大于 10 概率为 0.5
C. σ 越小，该物理量在一次测量中小于 9.99 与大于 10.01 的概率相等
D. σ 越小，该物理量在一次测量中落在 (9.9,10.2) 与落在 (10,10.3) 的概率相等
(
2
)7. 已知 a = log52，b = log83，c = 1 ，则下列判断正确的是 ( ) A. c < b < a B. b < a < c C. a < c < b D. a < b < c
8. 已知函数 f x
的定义域为 R，f x + 2
为偶函数，f 2x + 1
为奇函数，则 ( )
(
)A. f - 1
2
= 0 B. f -1
= 0 C. f 2
= 0 D. f 4 = 0
二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对 的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分．
9. 下列统计量中，能度量样本 x1,x2, ,xn 的离散程度的是 ( )
A. 样本 x1,x2, ,xn 的标准差 B. 样本 x1,x2, ,xn 的中位数
C. 样本 x1,x2, ,xn 的极差 D. 样本 x1,x2, ,xn 的平均数
10. 如图，在正方体中，O 为底面的中心，P 为所在棱的中点，M ，N 为正方体的顶点．则满足 MN ⊥ OP
的是 ( )
N N
M
P
P
O O
A. B. M
N M
P P
O N O
C. D.
11. 已知直线 l : ax + by - r2 = 0 与圆 C : x2 + y2 = r2 ，点 A(a,b)，则下列说法正确的是 ( )
A. 若点 A 在圆 C 上，则直线 l 与圆 C 相切 B. 若点 A 在圆 C 内，则直线 l 与圆 C 相离
C. 若点 A 在圆 C 外，则直线 l 与圆 C 相离 D. 若点 A 在直线 l 上，则直线 l 与圆 C 相切
12. 设正整数 n = a0 20 + a1 2 + +ak-1 2k-1 + ak 2k ，其中 ai ∈ 0,1
，记 ω n
= a0 + a1 + +ak ．则
( )
A. ω 2n
= ω n
B. ω 2n + 3
= ω n + 1
C. ω 8n + 5
= ω 4n + 3
D. ω 2n - 1 = n
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
2
13. 已知双曲线 x2 - y
= 1 a > 0,b > 0
的离心率为 2，则该双曲线的渐近线方程为 .
a2 b2
14. 写出一个同时具有下列性质①②③的函数 f x
: .
① f x1x2
= f x1
f x2
；②当 x ∈ (0,+∞) 时，f (x) > 0；③ f (x) 是奇函数．
15. 已知向量 a + b + c = 0， a
= 1， b
= c
= 2，a b + b c + c a = .
16. 已知函数 f (x) = ex - 1 ,x1 < 0,x2 > 0，函数 f (x) 的图象在点 A x1,f x1
和点 B x2,f x2
的两条切线
互相垂直，且分别交 y 轴于 M ，N 两点，则 |AM | 取值范围是 .
|BN |
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤．
17. 记 Sn 是公差不为 0 的等差数列 an
的前 n 项和，若 a3 = S5,a2a4 = S4．
(1) 求数列 an
的通项公式 an ；
(2) 求使 Sn > an 成立的 n 的最小值．
18. 在 △ABC 中，角 A、B、C 所对的边长分别为 a、b、c，b = a + 1，c = a + 2.．
(1) 若 2sinC = 3sinA，求 △ABC 的面积；
(2) 是否存在正整数 a，使得 △ABC 为钝角三角形 若存在，求出 a 的值；若不存在，说明理由．
19. 在四棱锥 Q - ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，若 AD = 2,QD = QA = 5,QC = 3．
(1) 证明：平面 QAD ⊥ 平面 ABCD；
(2) 求二面角 B - QD - A 的平面角的余弦值． Q
A D
B C
(
2
)20. 已知椭圆 C 的方程为 x2 + y
= 1(a > b > 0)，右焦点为 F ( 2,0)，且离心率为 6 ．
a2 b2 3
(1) 求椭圆 C 的方程；
(2) 设 M ，N 是椭圆 C 上的两点，直线 MN 与曲线 x2 + y2 = b2(x > 0) 相切．证明：M ，N ，F 三点共线的 充要条件是 |MN | = 3．
21. 一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第 0 代，经过一次繁殖后为第 1 代，再经过一次繁殖后为第 2 代 ，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设 X 表示 1 个微生物个体繁殖下一代的个数，P(X = i) = pi(i = 0,1,2,3)．
(1) 已知 p0 = 0.4,p1 = 0.3,p2 = 0.2,p3 = 0.1，求 E X ；
(2) 设 p 表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p 是关于 x 的方程：p0 + p1x + p2x2 + p3x3 = x
的一个最小正实根，求证：当 E(X) ≤ 1 时，p = 1，当 E(X) > 1 时，p < 1；
(3) 根据你的理解说明 (2) 问结论的实际含义．
22. 已知函数 f (x) = (x - 1)ex - ax2 + b． (1) 讨论 f (x) 的单调性； (2) 从下面两个条件中选一个，证明：f (x) 有一个零点
① 1 < a ≤ e2 ,b > 2a；② 0 < a < 1 ,b ≤ 2a．
2 2 2
2021 年全国统一高考数学试卷 ( 新高考全国Ⅱ卷 ) 参考答案与试题解析
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．
1. 复数 2 - i
1 - 3i
在复平面内对应的点所在的象限为 ( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【解析】： 2 - i
= 2 - i
1 + 3i
= 5 + 5i = 1 + i ，所以该复数对应的点为 1 , 1 ，
1 - 3i 10
10 2 2 2
该点在第一象限，故选：A.
2. 设集合 U = {1,2,3,4,5,6} ,A = {1,3,6} ,B = {2,3,4}，则 A ∩ U B
= ( )
A. {3} B. {1,6} C. {5,6} D. {1,3}
【解析】：由题设可得 U B = 1,5,6
，故 A ∩ U B
= 1,6
，故选：B.
3. 若抛物线 y2 = 2px(p > 0) 的焦点到直线 y = x + 1 的距离为 2 ，则 p ( )
A. 1 B. 2 C. 2 2 D. 4
p
- 0 + 1
p
【解析】：抛物线的焦点坐标为 2 ,0
，其到直线 x - y + 1 = 0 的距离：d =
2
1 + 1
= 2，解得：p =
2(p = -6 舍去 ) 故选：B.
4. 北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨 道位于地球赤道所在平面，轨道高度为 36000km( 轨道高度是指卫星到地球表面的距离 )．将地球看作 是一个球心为 O，半径 r 为 6400km 的球，其上点 A 的纬度是指 OA 与赤道平面所成角的度数．地球表 面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为 α，记卫星信号覆盖地球表面的表面积 为 S = 2πr2(1 - cosα) ( 单位：km2)，则 S 占地球表面积的百分比约为 ( )
A. 26% B. 34% C. 42% D. 50%
【解析】：由题意可得，S 占地球表面积的百分比约为：
2πr2(1 - cosα)
4πr2 =
1 - cosα =
2
1 - 6400
6400 + 36000 ≈ 0.42 = 42%. 故选：C .
2
5. 正四棱台的上 下底面的边长分别为 2，4，侧棱长为 2，则其体积为 ( )
A. 20 + 12 3 B. 28 2 C. 56
3
【解析】：作出图形，连接该正四棱台上下底面的中心，如图， 因为该四棱台上下底面边长分别为 2，4，侧棱长为 2，
D. 28 2
3
所以该棱台的高 h = 22 - 2 2 - 2
2 = 2，
下底面面积 S1 = 16，上底面面积 S2 = 4，
(
3
)所以该棱台的体积 V = 1 h S1 + S2 + S1S2
(
)= 1 × 2 × 16 + 4 + 64
3
= 28
3
2. 故选：D.
6. 某物理量的测量结果服从正态分布 N 10,σ2
，下列结论中不正确的是 ( )
A. σ 越小，该物理量在一次测量中在 (9.9,10.1) 的概率越大
B. σ 越小，该物理量在一次测量中大于 10 的概率为 0.5
C. σ 越小，该物理量在一次测量中小于 9.99 与大于 10.01 的概率相等
D. σ 越小，该物理量在一次测量中落在 (9.9,10.2) 与落在 (10,10.3) 的概率相等
【解析】：对于 A，σ2 为数据的方差，所以 σ 越小，数据在 μ = 10 附近越集中，所以测量结果落在 9.9,10.1
内的概率越大，故 A 正确；
对于 B，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于 10 的概率为 0.5，故 B 正确；
对于 C ，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于 10.01 的概率与小于 9.99 的概率 相等，故 C 正确；
对于 D，因为该物理量一次测量结果落在 9.9,10.0
的概率与落在 10.2,10.3
的概率不同，所以一次测
量结果落在 9.9,10.2
故选：D.
的概率与落在 10,10.3
的概率不同，故 D 错误 .
(
2
)7. 已知 a = log52，b = log83，c = 1 ，则下列判断正确的是 ( ) A. c < b < a B. b < a < c C. a < c < b D. a < b < c
(
2
)【解析】：a = log52 < log5 5 = 1 = log82 2 < log83 = b，即 a < c < b. 故选：C .
8. 已知函数 f x
的定义域为 R，f x + 2
为偶函数，f 2x + 1
为奇函数，则 ( )
(
)A. f - 1
2
= 0 B. f -1
= 0 C. f 2
= 0 D. f 4 = 0
【解析】：因为函数 f x + 2
为偶函数，则 f 2 + x
= f 2 - x ，可得 f x + 3
= f 1 - x ，
因为函数 f 2x + 1
为奇函数，则 f 1 - 2x
= -f 2x + 1 ，所以，f 1 - x
= -f x + 1 ，
所以，f x + 3
= -f x + 1
= f x - 1 ，即 f x
= f x + 4 ，
故函数 f x
是以 4 为周期的周期函数，
因为函数 F x
= f 2x + 1
为奇函数，则 F 0
= f 1
= 0，
故 f -1
= -f 1
= 0，其它三个选项未知 . 故选：B.
二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对 的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分．
9. 下列统计量中，能度量样本 x1,x2, ,xn 的离散程度的是 ( )
A. 样本 x1,x2, ,xn 的标准差 B. 样本 x1,x2, ,xn 的中位数
C. 样本 x1,x2, ,xn 的极差 D. 样本 x1,x2, ,xn 的平均数
【解析】：由标准差的定义可知，标准差考查的是数据的离散程度； 由中位数的定义可知，中位数考查的是数据的集中趋势； 由极差的定义可知，极差考查的是数据的离散程度； 由平均数的定义可知，平均数考查的是数据的集中趋势；故选：AC
10. 如图，在正方体中，O 为底面的中心，P 为所在棱的中点，M ，N 为正方体的顶点．则满足 MN ⊥ OP
的是 ( )
N N
M
P
P
O O
A. B. M
N M
P P
O N O
C. D.
【解析】：设正方体的棱长为 2，
对于 A，如图 (1) 所示，连接 AC ，则 MN AC ，
故 ∠POC ( 或其补角 ) 为异面直线 OP,MN 所成的角，
在直角三角形 OPC ，OC = 2，CP = 1，故 tan∠POC = 1
2
N
M
= 2 ， P
2 ①
(
·
20
·
)
故 MN ⊥ OP 不成立，故 A 错误 .
( 或者易得 OP 在上底面的射影为 MN ，故 MN ⊥ OP 不成立 )
对于 B，如图 (2) 所示，取 NT 的中点为 Q，连接 PQ，OQ， 则 OQ ⊥ NT，PQ ⊥ MN ，
由正方体 SBCM - NADT 可得 SN ⊥ 平面 ANDT，而 OQ 平面 ANDT， 故 SN ⊥ OQ，而 SN ∩ MN = N ，故 OQ ⊥ 平面 SNTM ，
又 MN 平面 SNTM ，OQ ⊥ MN ，而 OQ ∩ PQ = Q，
所以 MN ⊥ 平面 OPQ，而 PO 平面 OPQ，故 MN ⊥ OP，故 B 正确 . 对于 C ，如图 (3)，连接 BD，则 BD MN ，由 B 的判断可得 OP ⊥ BD， 故 OP ⊥ MN ，故 C 正确 .
对于 D，如图 (4)，取 AD 的中点 Q，AB 的中点 K ， 连接 AC ,PQ,OQ,PK ,OK ，则 AC MN ，
因为 DP = PC ，故 PQ AC ，故 PQ MN ，
所以 ∠QPO 或其补角为异面直线 PO,MN 所成的角，
因为正方体的棱长为 2，故 PQ = 1 AC = 2，
2
OQ = AO2 + AQ2 = 1 + 2 = 3，
PO = PK 2 + OK 2 = 4 + 1 = 5，
QO2 < PQ2 + OP2，故 ∠QPO 不是直角， 故 PO,MN 不垂直，故 D 错误 .
故选：BC
O
N C S B
②
P Q T D O
M A
S B M
P ③
D
O N
C T
S M D P C
④
Q
N T
O
A K B
11. 已知直线 l : ax + by - r2 = 0 与圆 C : x2 + y2 = r2 ，点 A(a,b)，则下列说法正确的是 ( ) A. 若点 A 在圆 C 上，则直线 l 与圆 C 相切 B. 若点 A 在圆 C 内，则直线 l 与圆 C 相离
C. 若点 A 在圆 C 外，则直线 l 与圆 C 相离 D. 若点 A 在直线 l 上，则直线 l 与圆 C 相切
【解析】：圆心 C 0,0
到直线 l 的距离 d = r2 ，
若点 A a,b
a2 + b2
在圆 C 上，则 a2 + b2 = r2，所以 d = r2
= r ，则直线 l 与圆 C 相切，故 A 正确；
若点 A a,b
若点 A a,b
a2 + b2
(
2
)在圆 C 内，则 a2 + b2 < r2，所以 d = r
a2 + b2
(
2
)在圆 C 外，则 a2 + b2 > r2，所以 d = r
a2 + b2
> r ，则直线 l 与圆 C 相离，故 B 正确；
< r ，则直线 l 与圆 C 相交，故 C 错误；
2
若点 A a,b
在直线 l 上，则 a2 + b2 - r2 = 0 即 a2 + b2 = r2，所以 d = r
a2 + b2
= r ，直线 l 与圆 C 相切，
故 D 正确 . 故选：ABD.
12. 设正整数 n = a 0 20 + a 1 2 + + a k-1 2k-1 + a k 2k ，其中 a i ∈ 0,1
，记 ω n
= a 0 + a 1 + + a k. 则
( )
A. ω 2n
= ω n
B. ω 2n + 3
= ω n + 1
C. ω 8n + 5
= ω 4n + 3
D. ω 2n - 1 = n
【解析】：对于 A 选项，ω n
= a0 + a1 + +ak，2n = a0 21 + a1 22 + +ak-1 2k + ak 2k+1，
所以，ω 2n
= a0 + a1 + +ak = ω n ，A 选项正确；
对于 B 选项，取 n = 2，2n + 3 = 7 = 1 20 + 1 21 + 1 22，∴ ω 7
= 3，
而 2 = 0 20 + 1 21，则 ω 2
= 1，即 ω 7
≠ ω 2
+ 1，B 选项错误；
对于 C 选项，8n + 5 = a0 23 + a1 24 + +ak 2k+3 + 5 = 1 20 + 1 22 + a0 23 + a1 24 + +ak 2k+3，
所以，ω 8n + 5
= 2 + a0 + a1 + +ak，
4n + 3 = a0 22 + a1 23 + +ak 2k+2 + 3 = 1 20 + 1 21 + a0 22 + a1 23 + +ak 2k+2，
所以，ω 4n + 3
= 2 + a0 + a1 + +ak，因此，ω 8n + 5
= ω 4n + 3 ，C 选项正确；
对于 D 选项，2n - 1 = 20 + 21 + +2n-1，故 ω 2n - 1
故选：ACD.
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
2
= n，D 选项正确 .
13. 已知双曲线 x2 - y
= 1 a > 0,b > 0
的离心率为 2，则该双曲线的渐近线方程为 .
a2 b2
2
【解析】：因为双曲线 x2 - y
= 1 a > 0,b > 0
的离心率为 2，
a2 b2
所以 e = c2 = a2 + b2 = 2，所以 b2 = 3，
a2 a2 a2
所以该双曲线的渐近线方程为 y = ± b x = ± 3x. 故答案为：y = ± 3x.
a
14. 写出一个同时具有下列性质①②③的函数 f x
: ．
① f x1x2
= f x1
f x2
；②当 x ∈ (0,+∞) 时，f (x) > 0；③ f (x) 是奇函数．
【解析】：取 f x
= x4，则 f x1x2
= x1x2 4 = x4x4 = f x
f x ，满足①，
f x f x
= 4x3，x > 0 时有 f x
= 4x3 的定义域为 R，
1 2
> 0，满足②，
1 2
又 f -x
= -4x3 = -f x ，故 f x
是奇函数，满足③ .
故答案为：f x
= x4( 答案不唯一，f x
= x2n n ∈ N *
均满足 )
15. 已知向量 a + b + c = 0， a
= 1， b
= c
= 2，a b + b c + c a = ．
2 2
2 2
【解析】：由已知可得 a + b + c
= a + b + c + 2 a b + b c + c a
= 9 + 2 a b + b c + c a
= 0，
(
) 9 9
因此，a b + b c + c a = - 2 . 故答案为：- 2 .
16. 已知函数 f (x) = ex - 1 ,x1 < 0,x2 > 0，函数 f (x) 的图象在点 A x1,f x1
和点 B x2,f x2
的两条切线
互相垂直，且分别交 y 轴于 M ，N 两点，则 |AM | 取值范围是 ．
|BN |
【解析】：解法一：由题意，f x
= ex - 1
1 - ex, x < 0
(
)= ，则 f x
ex - 1, x ≥ 0
-ex, x < 0
(
)= ex, x > 0 ，
所以点 A x1,1 - ex1
和点 B x2,ex2 - 1 ，kAM = -ex1,kBN = ex2,
所以 -ex1 ex2 = -1,x1 + x2 = 0，
所以 AM : y - 1 + ex1 = -ex1 x - x1 ,M 0,ex1x1 - ex1 + 1 ，
所以 AM
= x2 + ex1x
2 = 1 + e2x1 x ，
1 1 1
同理 BN
= 1 + e2x2 x2 ,
2x1
所以 AM
= 1 + e x1 = 1 + e2x1 = 1 + e2x1
= ex1 ∈ 0,1 .
BN
故答案为： 0,1
1 + e2x2 x2
1 + e2x2
1 + e-2x1 y
F B
解法二：由题 f x
ex - 1, x > 0
(
)= ，得 f x
-ex + 1, x < 0
ex, x > 0 A
(
)= -ex, x < 0 ，
E x
故 kAM = -ex1，kAN = ex2， O M
又 AM ⊥ AN kAM kAN = -ex1+x2 = -1，得 x1 + x2 = 0， N
如图易得 △AEM △BFN ，且有 BF
= OE ，
所以 AM
BN
= AE
BF
= AE
OE
= tan∠AOE，
而 0 < tan∠AOE < e0 = 1，所以
AM
BN
∈ 0,1 ．故填： 0,1 ．
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤．
17. 记 Sn 是公差不为 0 的等差数列 an
的前 n 项和，若 a3 = S5,a2a4 = S4．
(1) 求数列 an
的通项公式 an ；
(2) 求使 Sn > an 成立的 n 的最小值．
【解析】：(1) 由等差数列的性质可得：S5 = 5a3，则：a3 = 5a3,∴ a3 = 0，
设等差数列的公差为 d，从而有：a2a4 = a3 - d
a3 + d
= -d2，
S4 = a1 + a2 + a3 + a4 = a3 - 2d
+ a3 - d
+ a3 + a3 - d
= -2d，
从而：-d2 = -2d，由于公差不为零，故：d = 2， 数列的通项公式为：an = a3 + n - 3 d = 2n - 6.
(2) 由数列的通项公式可得：a1 = 2 - 6 = -4，则：Sn = n × -4
n n - 1
+ 2 × 2 = n2 - 6n，
则不等式 Sn > an 即：n2 - 5n > 2n - 6，整理可得： n - 1
解得：n < 1 或 n > 6，又 n 为正整数，故 n 的最小值为 7.
n - 6
> 0，
18. 在 △ABC 中，角 A、B、C 所对的边长分别为 a、b、c，b = a + 1，c = a + 2.．
(1) 若 2sinC = 3sinA，求 △ABC 的面积；
(2) 是否存在正整数 a，使得 △ABC 为钝角三角形 若存在，求出 a 的值；若不存在，说明理由．
【解析】：(1) 因为 2sinC = 3sinA，则 2c = 2 a + 2
= 3a，则 a = 4，故 b = 5，c = 6，
cosC = a2 + b2 - c2 = 1 ，所以，C 为锐角，则 sinC = 1 - cos2C = 3 7 ，
2ab 8 8
因此，S△ABC = 1 absinC = 1 × 4 × 5 × 3 7 = 15 7 ；
2 2 8 4
(2) 显然 c > b > a，若 △ABC 为钝角三角形，则 C 为钝角，
(
2
)由余弦定理可得 cosC = a2 + b2 - c2 = a + a + 1
2 - a + 2 2
= a2 - 2a - 3 < 0，
2ab
解得 -1 < a < 3，则 0 < a < 3，
2a a + 1
2a a + 1
由三角形三边关系可得 a + a + 1 > a + 2，可得 a > 1，∵ a ∈ Z ，故 a = 2.
19. 在四棱锥 Q - ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，若 AD = 2,QD = QA = 5,QC = 3．
(1) 证明：平面 QAD ⊥ 平面 ABCD；
(2) 求二面角 B - QD - A 的平面角的余弦值．
【解析】：(1) 取 AD 的中点为 O，连接 QO,CO. Q
因为 QA = QD，OA = OD，则 QO ⊥ AD， 而 AD = 2,QA = 5，故 QO = 5 - 1 = 2.
在正方形 ABCD 中，因为 AD = 2，故 DO = 1，故 CO = 5，
因为 QC = 3，故 QC 2 = QO2 + OC 2，
故 △QOC 为直角三角形且 QO ⊥ OC ，
因为 OC ∩ AD = O，故 QO ⊥ 平面 ABCD，
因为 QO 平面 QAD，故平面 QAD ⊥ 平面 ABCD.
(2) 解法一：在平面 ABCD 内，过 O 作 OT CD，交 BC 于 T，则 OT ⊥ AD， 结合 (1) 中的 QO ⊥ 平面 ABCD，故可建如图所示的空间坐标系 .
A O D B C
则 D 0,1,0 ,Q 0,0,2 ,B 2,-1,0 ，故 BQ = -2,1,2 ,BD = -2,2,0 .
(
n
)设平面 QBD 的法向量 = x,y,z ，
则 n BQ = 0
-2x + y + 2z = 0 1
即 -2x + 2y = 0
，取 x = 1，则 y = 1,z = 2 ，
n BD = 0
1
故 n = 1,1, 2 .
z
1 2 Q
而平面 QAD 的法向量为 m = 1,0,0 ，故 cos m,n
=
1 × 3
2
= 3 .
二面角 B - QD - A 的平面角为锐角，故其余弦值为 2 .
3
解法二：过 B 作 BM ⊥ QD 于点 M
由 (1) 可知：平面 QAD ⊥ 平面 ABCD
∵ BA ⊥ AD
∴ BA ⊥ 面 QAD, 易知 ∠BMA 为二面角 B - QD - A 的平面角。
在 BQD 中，BQ = QA2 + AB2 = 3,QD = 5，BD = 2 2
A O D
y
B C
x
Q
2 2 2
cos∠BQD = QB + QD - BD
2 × QB × QD
= 5 ，
5 M
即 sin∠BQD = BM
= 2 5 得：BM = 6 5
BQ 5 5
A O D
即 sin∠BMA = BA
= 5 ，cos∠BMA = 2
BM 3 3 B C
即二面角 B - QD - A 的平面角的余弦值为 2
3
(
2
)20. 已知椭圆 C 的方程为 x2 + y
= 1(a > b > 0)，右焦点为 F ( 2,0)，且离心率为 6 ．
a2 b2 3
(1) 求椭圆 C 的方程；
(2) 设 M ，N 是椭圆 C 上的两点，直线 MN 与曲线 x2 + y2 = b2(x > 0) 相切．证明：M ，N ，F 三点共线的 充要条件是 |MN | = 3．
【解析】：(1) 由题意，椭圆半焦距 c = 2 且 e = c = 6 ，所以 a = 3，
a 3
又 b2 = a2 - c2 = 1，所以椭圆方程为 x2 + y2 = 1；
3
(2) 由 (1) 得，曲线为 x2 + y2 = 1(x > 0)，
当直线 MN 的斜率不存在时，直线 MN : x = 1，不合题意； 当直线 MN 的斜率存在时，设 M x1,y1 ,N x2,y2 ， 必要性：
若 M ，N ，F 三点共线，可设直线 MN : y = k x - 2
即 kx - y - 2k = 0，
由直线 MN 与曲线 x2 + y2 = 1(x > 0) 相切可得
y = ± x - 2
2k k2 + 1
= 1，解得 k = ±1，
联立 x2 + y2 = 1
可得 4x - 6 2x + 3 = 0，所以 x1 + x2 =
2 ,x1 x2 = 4 ，
3
所以 MN
= 1 + 1
2
x1 + x2 2 - 4x1 x2 = 3,
3 2 3
所以必要性成立；
充分性：设直线 MN : y = kx + b, kb < 0
即 kx - y + b = 0，
由直线 MN 与曲线 x2 + y2 = 1(x > 0) 相切可得
y = kx + b
b
k2 + 1
= 1，所以 b2 = k2 + 1，
联立 x2 + y2 = 1 可得 1 + 3k
x + 6kbx + 3b - 3 = 0，
2 2 2
3
2
所以 x1 + x2 = - 6kb
1 + 3k2
,x1 x2 = 3b - 3 ，
1 + 3k2
2 2
所以 MN
= 1 + k2
x1 + x2 2 - 4x1 x2 = 1 + k2 - 6kb
- 4 3b - 3
= 1 + k2 24k2
1 + 3k2
= 3，
1 + 3k2
1 + 3k2
化简得 3 k2 - 1 2 = 0，所以 k = ±1，
(
)所以 k = 1
b = - 2
或 k = -1 ，所以直线 MN : y = x - 2 或 y = -x + 2，
(
)b = 2
所以直线 MN 过点 F ( 2,0)，M ，N ，F 三点共线，充分性成立； 所以 M ，N ，F 三点共线的充要条件是 |MN | = 3．
21. 一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第 0 代，经过一次繁殖后为第 1 代，再经过一次繁殖后为第 2 代 ，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设 X 表示 1 个微生物个体繁殖下一代的个数，P(X = i) = pi(i = 0,1,2,3)．
(1) 已知 p0 = 0.4,p1 = 0.3,p2 = 0.2,p3 = 0.1，求 E(X)；
(2) 设 p 表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p 是关于 x 的方程：p0 + p1x + p2x2 + p3x3 = x
的一个最小正实根，求证：当 E(X) ≤ 1 时，p = 1，当 E(X) > 1 时，p < 1；
(3) 根据你的理解说明 (2) 问结论的实际含义．
【解析】：(1)E(X) = 0 × 0.4 + 1 × 0.3 + 2 × 0.2 + 3 × 0.1 = 1.
(2) 设 f x
= p3x3 + p2x2 + p1 - 1 x + p0，
因为 p3 + p2 + p1 + p0 = 1，故 f x
= p3x3 + p2x2 - p2 + p0 + p3 x + p0，
若 E X
≤ 1，则 p1 + 2p2 + 3p3 ≤ 1，故 p2 + 2p3 ≤ p0.
f x
= 3p3x2 + 2p2x - p2 + p0 + p3 ，
因为 f 0
= - p2 + p0 + p3
< 0，f 1
= p2 + 2p3 - p0 ≤ 0，
故 f x
有两个不同零点 x1,x2，且 x1 < 0 < 1 ≤ x2，
且 x ∈ -∞ ,x1
∪ x2,+∞
时，f x
> 0；x ∈ x1,x2
时，f x
< 0；
故 f x
在 -∞ ,x1 ， x2,+∞
上为增函数，在 x1,x2
上为减函数，
若 x2 = 1，因为 f x
在 x2,+∞
为增函数且 f 1
= 0，
而当 x ∈ 0,x2
时，因为 f x
在 x1,x2
上为减函数，故 f x
> f x2
= f 1
= 0，
故 1 为 p0 + p1x + p2x2 + p3x3 = x 的一个最小正实根，
若 x2 > 1，因为 f 1
= 0 且在 0,x2
上为减函数，故 1 为 p0 + p1x + p2x2 + p3x3 = x 的一个最小正实根，
综上，若 E X
≤ 1，则 p = 1.
若 E X
> 1，则 p1 + 2p2 + 3p3 > 1，故 p2 + 2p3 > p0.
此时 f 0
= - p2 + p0 + p3
< 0，f 1
= p2 + 2p3 - p0 > 0，
故 f x
有两个不同零点 x3,x4，且 x3 < 0 < x4 < 1，
且 x ∈ -∞ ,x3
∪ x4,+∞
时，f x
> 0；x ∈ x3,x4
时，f x
< 0；
故 f x
在 -∞ ,x3 ， x4,+∞
上为增函数，在 x3,x4
上为减函数，
而 f 1
= 0，故 f x4
< 0，
又 f 0
= p0 > 0，故 f x
在 0,x4
存在一个零点 p，且 p < 1.
所以 p 为 p0 + p1x + p2x2 + p3x3 = x 的一个最小正实根，此时 p < 1，
故当 E X
> 1 时，p < 1.
(3) 意义：每一个该种微生物繁殖后代的平均数不超过 1，则若干代必然灭绝，若繁殖后代的平均数超过
1，则若干代后被灭绝的概率小于 1.
22. 已知函数 f (x) = (x - 1)ex - ax2 + b． (1) 讨论 f (x) 的单调性； (2) 从下面两个条件中选一个，证明：f (x) 有一个零点
① 1 < a ≤ e2 ,b > 2a；
2 2
② 0 < a < 1 ,b ≤ 2a．
2
【解析】：(1) 由函数的解析式可得：f ' x
= x ex - 2a ，
当 a ≤ 0 时，若 x ∈ -∞ ,0 ，则 f ' x
< 0,f x
单调递减，
若 x ∈ 0,+∞ ，则 f ' x
> 0,f x
单调递增；
(
2
)当 0 < a < 1 时，若 x ∈ -∞ ,ln 2a
，则 f ' x
> 0,f x
单调递增，
若 x ∈ ln 2a ,0 ，则 f ' x
< 0,f x
单调递减，
若 x ∈ 0,+∞ ，则 f ' x
> 0,f x
单调递增；
(
)当 a = 1 时，f ' x
2
≥ 0,f x
在 R 上单调递增；
(
2
)当 a > 1 时，若 x ∈ -∞ ,0 ，则 f ' x
> 0,f x
单调递增，
若 x ∈ 0,ln 2a
，则 f ' x
< 0,f x
单调递减，
若 x ∈ ln 2a ,+∞ ，则 f ' x
(2) 若选择条件①：
> 0,f x
单调递增；
由于 1 < a ≤ e2 ，故 1 < 2a ≤ e2，则 b > 2a > 1,f 0
= b - 1 > 0，
2
而 f -b
2
= -1 - b e-b - ab2 - b < 0，
而函数在区间 -∞ ,0
上单调递增，故函数在区间 -∞ ,0
上有一个零点 .
f ln 2a
= 2a ln 2a
- 1 - a ln 2a
2 + b
> 2a ln 2a
- 1 - a ln 2a
2 + 2a
= 2aln 2a
= aln 2a
- a ln 2a 2
2 - ln 2a ，
由于 1 < a ≤ e2 ，1 < 2a ≤ e2，故 aln 2a
2 - ln 2a
≥ 0，
2 2
结合函数的单调性可知函数在区间 0,+∞
综上可得，题中的结论成立 .
若选择条件②：
上没有零点 .
(
)由于 0 < a < 1 ，故 2a < 1，则 f 0
2
= b - 1 ≤ 2a - 1 < 0，
当 b ≥ 0 时，e2 > 4,4a < 2，f 2
= e2 - 4a + b > 0，
而函数在区间 0,+∞
上单调递增，故函数在区间 0,+∞
上有一个零点 .
当 b < 0 时，构造函数 H x
= ex - x - 1，则 H x
= ex - 1，
当 x ∈ -∞ ,0
当 x ∈ 0,+∞
时，H x
时，H x
< 0,H x
> 0,H x
单调递减， 单调递增，
注意到 H 0
= 0，故 H x
≥ 0 恒成立，从而有：ex ≥ x + 1，此时：
f x
= x - 1 ex - ax2 - b ≥ x - 1
x + 1
- ax2 + b = 1 - a x2 + b - 1 ，
(
)当 x > 1 - b 时， 1 - a x2 + b - 1
1 - a
> 0，
(
0
0
)取 x = 1 - b + 1，则 f x
1 - a
> 0，
即：f 0
< 0,f
1 - b + 1
1 - a
> 0，
而函数在区间 0,+∞
上单调递增，故函数在区间 0,+∞
上有一个零点 .
f ln 2a
= 2a ln 2a
- 1 - a ln 2a
2 + b
≤ 2a ln 2a
- 1 - a ln 2a
2 + 2a
= 2aln 2a
= aln 2a
- a ln 2a 2
2 - ln 2a ，
(
)由于 0 < a < 1 ，0 < 2a < 1，故 aln 2a
2
2 - ln 2a
< 0，
结合函数的单调性可知函数在区间 -∞ ,0
综上可得，题中的结论成立 .
上没有零点 .
2021 年全国统一高考数学试卷 ( 文科 ) ( 甲卷 )
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1. 设集合 M = {1，3，5，7，9}，N = {x|2x > 7}，则 M ∩ N = ( )
A. {7，9} B. {5，7，9} C. {3，5，7，9} D. {1，3，5，7，9}
2. 为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得 到如下频率分布直方图：
频率 组距
0.20
0.14
0.10
0.04
0.02
2.5 3.5 4.5 5.5 6.5 7.5 8.5 9.5 10.5 11.5 12.5 13.5 14.5 收入 / 万元
根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是 ( ) A. 该地农户家庭年收入低于 4.5 万元的农户比率估计为 6%
B. 该地农户家庭年收入不低于 10.5 万元的农户比率估计为 10%
C. 估计该地农户家庭年收入的平均值不超过 6.5 万元
D. 估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于 4.5 万元至 8.5 万元之间
3. 已知 (1 - i)2z = 3 + 2i，则 z = ( ) A. - 1 - 3 i B. - 1 + 3 i C. - 3 + i D. - 3 - i
2 2 2 2
4. 下列函数中是增函数的为 ( )
(
)A. f (x) = -x B. f (x) = 2
3
(
x
)C. f (x) = x2 D. f (x) = 3 x
(
2
)5. 点 (3,0) 到双曲线 x2 - y
= 1 的一条渐近线的距离为 ( )
A. 9
5
16 9
B. 8
5
C. 6
5
D. 4
5
6. 青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记
录视力数据，五分记录法的数据 L 和小数记录法的数据 V 满足 L = 5 + lgV．已知某同学视力的五分记 录法的数据为 4.9，则其视力的小数记录法的数据约为 (10 10 ≈ 1.259) ( )
A. 1.5 B. 1.2 C. 0.8 D. 0.6
7. 在一个正方体中，过顶点 A 的三条棱的中点分别为 E ，F ，G．该正方体截去三棱锥 A - EFG 后，所得多 面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是 ( )
正视图
A. B. C. D.
8. 在 ABC 中，已知 B = 120°，AC = 19 ，AB = 2，则 BC = ( )
A. 1 B. 2 C. 5 D. 3
9. 记 Sn 为等比数列 {an} 的前 n 项和．若 S2 = 4，S4 = 6，则 S6 = ( ) A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
10. 将 3 个 1 和 2 个 0 随机排成一行，则 2 个 0 不相邻的概率为 ( ) A. 0.3 B. 0.5 C. 0.6 D. 0.8
(
)11. 若 α ∈ 0, π
2
，tan2α = cosα
2 - sinα
，则 tanα = ( )
A. 15
15
B. 5
5
C. 5
3
D. 15
3
12. 设 f (x) 是定义域为 R 的奇函数，且 f (1 + x) = f (-x)．若 f - 1
= 1 ，则 f 5
= ( )
A. - 5
3
B. - 1
3
C. 1
3
3 3 3
D. 5
3
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13. 若向量 a，b 满足 |a| = 3，|a - b| = 5，a b = 1，则 |b| = ． y
14. 已知一个圆锥的底面半径为 6，其体积为 30π，则该圆锥的侧面积为 ． 2
(
)15. 已知函数 f (x) = 2cos(ωx + φ) 的部分图像如图所示，则 f π
2
= ．
O π
(
2
)3
13π x
12
(
2
)16. 已知 F1 ，F2 为椭圆 C : x
+ y = 1 的两个焦点，P ，Q 为 C 上关于坐标原点对
16 4
称的两点，且 |PQ| = |F1F2|，则四边形 PF1QF2 的面积为 ．
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题，每个试题考生都 必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。
( 一 ) 必考题：共 60 分。
17. (12 分 ) 甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量， 分别用两台机床各生产了 200 件产品，产品的质量情况统计如下表：
一级品 二级品 合计
甲机床 150 50 200
乙机床 120 80 200
合计 270 130 400
(1) 甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？
(2) 能否有 99% 的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？
(
P
(
K
2
≥
k
)
0.050
0.010
0
.0
0
1
k
3
.8
4
1
6.635
10.828
)2
附：K 2 = n(ad - bc) ．
(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)
18. (12 分 ) 记 Sn 为数列 {an} 的前 n 项和，已知 an > 0，a2 = 3a1 ，且数列 { Sn } 是等差数列 .
证明：{an} 是等差数列．
19. (12 分 ) 已知直三棱柱 ABC - A1B1C1 中，侧面 AA1B1B 为正方形，AB = BC = 2 ，E ，F 分别为 AC 和
CC1 的中点，BF ⊥ A1B1．
(1) 求三棱锥 F - EBC 的体积；
(2) 已知 D 为棱 A1B1 上的点，证明：BF ⊥ DE．
A1 D B1
C1
F
A B E
C
20. (12 分 ) 设函数 f (x) = a2x2 + ax - 3lnx + 1，其中 a > 0．
(1) 讨论 f (x) 的单调性；
(2) 若 y = f (x) 的图像与 x 轴没有公共点，求 a 的取值范围．
21. (12 分 ) 抛物线 C 的顶点为坐标原点 O ，焦点在 x 轴上，直线 l : x = 1 交 C 于 P ，Q 两点，且 OP ⊥ OQ． 已知点 M (2,0)，且 ⊙ M 与 l 相切．
(1) 求 C ，⊙ M 的方程；
(2) 设 A1 ，A2 ，A3 是 C 上的三个点，直线 A1A2 ，A1A3 均与 ⊙ M 相切．判断直线 A2A3 与 ⊙ M 的位置关 系，并说明理由．
( 二 ) 选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
[ 选修 4 - 4：坐标系与参数方程 ] (10 分 )
22. (10 分 ) 在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方 程为 ρ = 2 2cosθ．
(1) 将 C 的极坐标方程化为直角坐标方程；
(2) 设点 A 的直角坐标为 (1,0) ，M 为 C 上的动点，点 P 满足 AP = 2AM ，写出 P 的轨迹 C1 的参数方
程，并判断 C 与 C1 是否有公共点．
[ 选修 4 - 5：不等式选讲 ] (10 分 )
23. 已知函数 f (x) = |x - 2|，g(x) = |2x + 3|-|2x - 1|．
(1) 画出 y = f (x) 和 y = g(x) 的图像；
(2) 若 f (x + a) ≥ g(x)，求 a 的取值范围．
y
1
O 1 x
2021 年全国统一高考数学试卷 ( 文科 ) ( 甲卷 ) 参考答案与试题解析
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1. 设集合 M = {1，3，5，7，9}，N = {x|2x > 7}，则 M ∩ N = ( )
A. {7，9} B. {5，7，9} C. {3，5，7，9} D. {1，3，5，7，9}
(
2
)【解析】：因为 N = {x|2x > 7} = x x > 7
，M = {1，3，5，7，9}，
所以 M ∩ N = {5，7，9}．故选：B．
2. 为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得 到如下频率分布直方图：
频率 组距
0.20
0.14
0.10
0.04
0.02
2.5 3.5 4.5 5.5 6.5 7.5 8.5 9.5 10.5 11.5 12.5 13.5 14.5 收入 / 万元
根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是 ( ) A. 该地农户家庭年收入低于 4.5 万元的农户比率估计为 6%
B. 该地农户家庭年收入不低于 10.5 万元的农户比率估计为 10%
C. 估计该地农户家庭年收入的平均值不超过 6.5 万元
D. 估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于 4.5 万元至 8.5 万元之间
【解析】：对于 A，该地农户家庭年收入低于 4.5 万元的农户比率为 (0.02 + 0.04) × 1 = 0.06 = 6%，故选项
A 正确；
对于 B，该地农户家庭年收入不低于 10.5 万元的农户比率为 (0.04 + 0.02 × 3) × 1 = 0.1 = 10%，故选项 B
正确；
对于 C ，估计该地农户家庭年收入的平均值为 3 × 0.02 + 4 × 0.04 + 5 × 0.1 + 6 × 0.14 + 7 × 0.2 + 8 × 0.2
+ 9 × 0.1 + 10 × 0.1 + 11 × 0.04 + 12 × 0.02 + 13 × 0.02 + 14 × 0.02 = 7.68 > 6.5 万元，故选项 C 错误； 对于 D，家庭年收入介于 4.5 万元至 8.5 万元之间的频率为 (0.1 + 0.14 + 0.2 + 0.2) × 1 = 0.64 > 0.5， 故估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于 4.5 万元至 8.5 万元之间，故选项 D 正确． 故选：C ．
3. 已知 (1 - i)2z = 3 + 2i，则 z = ( ) A. - 1 - 3 i B. - 1 + 3 i C. - 3 + i D. - 3 - i
2 2 2 2
【解析】：因为 (1 - i)2z = 3 + 2i，所以 z = 3 + 2i
= 3 + 2i = (3 + 2i)i = -2 + 3i = -1 + 3 i．
故选：B．
(1 - i)2
-2i
(-2i) i 2 2
4. 下列函数中是增函数的为 ( )
(
)A. f (x) = -x B. f (x) = 2
3
(
x
)C. f (x) = x2 D. f (x) = 3 x
【解析】：由一次函数性质可知 f (x) = -x 在 R 上是减函数，不符合题意；
(
)由指数函数性质可知 f (x) = 2
3
x
在 R 上是减函数，不符合题意；
由二次函数的性质可知 f (x) = x2 在 R 上不单调，不符合题意；
根据幂函数性质可知 f (x) = 3 x 在 R 上单调递增，符合题意．故选：D．
(
2
)5. 点 (3,0) 到双曲线 x2 - y
= 1 的一条渐近线的距离为 ( )
A. 9
5
16 9
B. 8
5
C. 6
5
2
D. 4
5
【解析】：由题意可知，双曲线的渐近线方程为 x2 y
= 0，即 3x ± 4y = 0，
16 9
结合对称性，不妨考虑点 (3,0) 到直线 3x - 4y = 0 的距离，
则点 (3,0) 到双曲线的一条渐近线的距离 d = 9 - 0
9 + 16
= 9 ．故选：A．
5
6. 青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记 录视力数据，五分记录法的数据 L 和小数记录法的数据 V 满足 L = 5 + lgV．已知某同学视力的五分记 录法的数据为 4.9，则其视力的小数记录法的数据约为 (10 10 ≈ 1.259) ( )
A. 1.5 B. 1.2 C. 0.8 D. 0.6
【解析】：在 L = 5 + lgV 中，L = 4.9，所以 4.9 = 5 + lgV，即 lgV = -0.1，
解得 V = 10-0.1 = 1
100.1
= 1
10 10
= 1
1.259
≈ 0.8，
所以其视力的小数记录法的数据约为 0.8．故选：C ．
7. 在一个正方体中，过顶点 A 的三条棱的中点分别为 E ，F ，G．该正方体截去三棱锥 A - EFG 后，所得多 面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是 ( )
正视图
A1 B1
A. B.
D1 C1
G
A E B
F
C. D. D C
【解析】：由题意，作出正方体，截去三棱锥 A - EFG，根据正视图， 可得 A - EFG 在正方体左侧面，如图，根据三视图的投影， 可得相应的侧视图是 D 图形，故选：D．
8. 在 ABC 中，已知 B = 120°，AC = 19 ，AB = 2，则 BC = ( ) A. 1 B. 2 C. 5 D. 3
【解析】：设角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，
结合余弦定理，可得 19 = a2 + 4 2 × a × 2 × cos120°， 即 a2 + 2a 15 = 0，解得 a = 3(a = -5 舍去 )，
所以 BC = 3．故选：D．
9. 记 Sn 为等比数列 {an} 的前 n 项和．若 S2 = 4，S4 = 6，则 S6 = ( ) A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
【解析】：∵ Sn 为等比数列 {an} 的前 n 项和，S2 = 4，S4 = 6，
由等比数列的性质，可知 S2，S4 - S2，S6 - S4 成等比数列，
∴ 4，2，S6 - 6 成等比数列，∴ 22 = 4(S6 - 6)，解得 S6 = 7．故选：A．
10. 将 3 个 1 和 2 个 0 随机排成一行，则 2 个 0 不相邻的概率为 ( ) A. 0.3 B. 0.5 C. 0.6 D. 0.8
【解 析】：将 3 个 1 和 2 个 0 随机 排 成 一行 的 方 法可 以 是 ：00111 ，01011 ，01101 ，01110 ，10011 ，10101 ，
10110，11001，11010，11100，共 10 种排法，
其中 2 个 0 不相邻的排列方法可以是：01011，01101，01110，10101，10110，11010，共 6 种方法，
满足题意的概率为 6
10
= 0.6，故选：C ．
(
)11. 若 α ∈ 0, π
2
，tan2α = cosα
2 - sinα
，则 tanα = ( )
A. 15
15
B. 5
5
C. 5
3
D. 15
3
【解析】：由 tan2α = cosα
，得 sin2α = cosα ，
2 - sinα
即 2sinαcosα = cosα ，
cos2α
2 - sinα
1 - 2sin2α
2 - sinα
(
)∵ α ∈ 0, π
2
，∴ cosα ≠ 0，
则 2sinα(2 - sinα) = 1 - 2sin2α，解得 sinα = 1 ，
4
则 cosα = 1 - sin2α = 15 ，
4
∴ tanα = sinα =
cosα
1
4
15
4
= 15 ．故选：A．
15
12. 设 f (x) 是定义域为 R 的奇函数，且 f (1 + x) = f (-x)．若 f - 1
= 1 ，则 f 5
= ( )
A. - 5
3
B. - 1
3
C. 1
3
3 3 3
D. 5
3
【解析】：解法一：由题意得 f (-x) = -f (x)，
(
)又 f (1 + x) = f (-x) = -f (x)，所以 f (2 + x) = f (x)，又 f - 1
3
= 1 ，
3
(
)则 f 5
3
= f 2 - 1
(
)3
= f - 1
(
)3
= 1 ．故选：C ．
3
解法二：由 f (1 + x) = f ( x) 知函数 f (x) 的图象关于直线 x = 1 对称，
2
(
2
)又 f (x) 为奇函数，所以 f (x) 是周期函数，且 T = 4 0 - 1 = 2，
(
)则 f 5
3
= f 5 2
(
)3
= f 1
(
)3
= 1 ，故选 C .
3
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
(
)13. 若向量 a，b 满足 |a| = 3，|a - b| = 5，a b = 1，则 |b| = 3 2 ．
2 2
【解析】：由题意，可得 (a b)2 = a 2a b + b = 25，
(
) 2
因为 |a| = 3，a b = 1，所以 9 2 × 1 + b = 25，
所以 b2 = 18,|b| = b2 = 3 2．故答案为：3 2．
14. 已知一个圆锥的底面半径为 6，其体积为 30π，则该圆锥的侧面积为 39π ．
【解析】：由圆锥的底面半径为 6，其体积为 30π，
设圆锥的高为 h，则 1 × (π × 62) × h = 30π，解得 h = 5 ，
3
所以圆锥的母线长 l =
2
(
) (
2
)5 + 62 = 13 ，
2 2
所以圆锥的侧面积 S = πrl = π × 6 × 13 = 39π．故答案为：39π．
2
(
)15. 已知函数 f (x) = 2cos(ωx + φ) 的部分图像如图所示，则 f π
2
= - 3 ． y
2
【解析】：由图可知，f (x) 的最小正周期 T = 4 13π - π
= π，
3 12 3
所以 ω = 2π = 2，因为 f 13 π
= 2cos 13 π + φ
= 2，得 φ = - π + 2kπ， O π
13π x
T
所以 f (x) = 2cos 2x - π
12
，则 f π
6
= 2cos 2 × π - π
6 3 12
= -2cos π = - 3.
故答案为：- 3．
6 2
2 y2
2 6 6
(
1
2
)16. 已知 F ，F 为椭圆 C : x +
16 4
= 1 的两个焦点，P，Q 为 C 上关于坐标原点对称的两点，且 |PQ| =
|F1F2|，则四边形 PF1QF2 的面积为 8．
【解析】：解法一：因为 P，Q 为 C 上关于坐标原点对称的两点，且 |PQ| = |F1F2|， 所以四边形 PF1QF2 为矩形，
设 |PF1| = m，|PF2| = n，
由椭圆的定义可得 ||PF1|+|PF2|| = m + n = 2a = 8，所以 m2 + 2mn + n2 = 64， 因为 |PF1|2 + |PF2|2 = |F1F2|2 = 4c2 = 4(a2 - b2) = 48，即 m2 + n2 = 48，所以 mn = 8， 所以四边形 PF1QF2 的面积为 |PF1||PF2| = mn = 8．故答案为：8．
解法二：因为四边形 PF1QF2 的对角线 PQ
= F1F2 ，所以四边形 PF1QF2 为矩形，
则由焦点三角形面积公式得 SF QF P = 2b2tan π = 2 × 4 × 1 = 8.
1 2 4
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题，每个试题考生都 必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。
( 一 ) 必考题：共 60 分。
17. (12 分 ) 甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量， 分别用两台机床各生产了 200 件产品，产品的质量情况统计如下表：
一级品 二级品 合计
甲机床 150 50 200
乙机床 120 80 200
合计 270 130 400
(1) 甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？
(2) 能否有 99% 的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？
(
P
(
K
2
≥
k
)
0.050
0.010
0
.0
0
1
k
3
.8
4
1
6.635
10.828
)2
附：K 2 = n(ad - bc) ．
(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)
【解析】：由题意，可得甲机床、乙机床生产总数均为 200 件，
因为甲的一级品的频数为 150，所以甲的一级品的频率为 150 = 3 ；
200 4
因为乙的一级品的频数为 120，所以乙的一级品的频率为 120 = 3 ；
(
2
)(2) 根据 2 × 2 列联表，可得 K 2 = n(ad - bc)
200 5
(
2
)= 400(150 × 80 - 50 × 120)
270 × 130 × 200 × 200
(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)
≈ 10.256 > 6.635．
所以有 99% 的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异．
18. (12 分 ) 记 Sn 为数列 {an} 的前 n 项和，已知 an > 0，a2 = 3a1 ，且数列 { Sn } 是等差数列 .
证明：{an} 是等差数列．
【解答】证明：设等差数列 { Sn } 的公差为 d，
由题意得 S1 = a1 ； S2 = a1 + a2 = 4a1 = 2 a1 ，
则 d = S2 - S1 = 2 a1 - a1 = a1 ，所以 Sn = a1 + (n - 1) a1 = n a1 ， 所以 Sn = n2a1 ①；
当 n ≥ 2 时，有 Sn-1 = (n - 1)2a1 ②．
由①②，得 an = Sn - Sn-1 = n2a1 - (n - 1)2a1 = (2n - 1)a1 ③， 经检验，当 n = 1 时也满足③．
所以 an = (2n - 1)a1，n ∈ N+，
当 n ≥ 2 时，an - an-1 = (2n - 1)a1 - (2n - 3)a1 = 2a1， 所以数列 {an} 是等差数列．
19. (12 分 ) 已知直三棱柱 ABC - A1B1C1 中，侧面 AA1B1B 为正方形，AB = BC = 2，E ，F 分别为 AC 和
CC1 的中点，BF ⊥ A1B1．
(1) 求三棱锥 F - EBC 的体积；
(2) 已知 D 为棱 A1B1 上的点，证明：BF ⊥ DE．
【解析】：(1) 在直三棱柱 ABC - A1B1C1 中，BB1 ⊥ A1B1， 又 BF ⊥ A1B1，BB1 ∩ BF = B，BB1，BF 平面 BCC1B1，
∴ A1B1 ⊥ 平面 BCC1B1，
∵ AB A1B1，∴ AB ⊥ 平面 BCC1B1，∴ AB ⊥ AC ，
A1 D B1
C1
F
A B
又 AB = AC ，故 AC = 22 + 22 = 2 2， E G C
∴ CE = 2 = BE，而侧面 AA1B1B 为正方形，
∴ CF = 1 CC1 = 1 AB = 1，
2 2
∴ V = 1 SEBC CF = 1 × 1 × 2 × 2 × 1 = 1 ，即三棱锥 F - EBC 的体积为 1 ；
3 3 2 3 3
(2) 证明：如图，取 BC 中点 G，连接 EG，B1G，设 B1G ∩ BF = H ，
∵ 点 E 是 AC 的中点，点 G 时 BC 的中点，
∴ EG AB，∴ EG AB B1D，
∴ E、G、B1、D 四点共面，由 (1) 可得 AB ⊥ 平面 BCC1B1，
∴ EG ⊥ 平面 BCC1B1，∴ BF ⊥ EG，
∵ tan∠CBF = CF = 1 ,tan∠BB1G = BG
= 1 ，且这两个角都是锐角，∴ ∠CBF = ∠BB1G，
BC 2
BB1 2
∴ ∠BHB1 = ∠BGB1 + ∠CBF = ∠BGB1 + ∠BB1G = 90°，∴ BF ⊥ B1G， 又 EG ∩ B1G = G，EG，B1G 平面 EGB1D，
∴ BF ⊥ 平面 EGB1D，又 DE 平面 EGB1D，
∴ BF ⊥ DE．
20. (12 分 ) 设函数 f (x) = a2x2 + ax - 3lnx + 1，其中 a > 0．
(1) 讨论 f (x) 的单调性；
(2) 若 y = f (x) 的图像与 x 轴没有公共点，求 a 的取值范围．
【解析】：(1)f ′ (x) = 2a2x + a - 3 = 2a2x2 + ax - 3 = (2ax + 3) (ax - 1) ，x > 0，
因为 a > 0，所以 - 3
2a
x x x
< 0 < 1 ，
a
(
)所以在 0, 1
a
上，f ′ (x) < 0，f (x) 单调递减，在 1 ，+∞
(
)a
上，f ′ (x) > 0，f (x) 单调递增．
(
)综上所述，f (x) 在 0, 1
a
上单调递减，在 1 ，+∞
(
)a
上 f (x) 单调递增．
(2) 由 (1) 可知，f (x)min = f 1
= a2 × 1
2 + a × 1 - 3ln 1 + 1 = 3 + 3lna，
a a a a
因为 y = f (x) 的图像与 x 轴没有公共点，所以 3 + 3lna > 0，所以 a > 1 ，
e
(
)所以 a 的取值范围为 1 ，+∞ ．
e
21. (12 分 ) 抛物线 C 的顶点为坐标原点 O，焦点在 x 轴上，直线 l : x = 1 交 C 于 P，Q 两点，且 OP ⊥ OQ． 已知点 M (2,0)，且 ⊙ M 与 l 相切．
(1) 求 C ，⊙ M 的方程；
(2) 设 A1 ，A2 ，A3 是 C 上的三个点，直线 A1A2 ，A1A3 均与 ⊙ M 相切．判断直线 A2A3 与 ⊙ M 的位置关 系，并说明理由．
【解析】：(1) 因为 x = 1 与抛物线有两个不同的交点，故可设抛物线 C 的方程为：y2 = 2px(p > 0)，
令 x = 1，则 y = ± 2p，
根据抛物线的对称性，不妨设 P 在 x 轴上方，Q 在 X 轴下方，故 P(1, 2p) ,Q(1, 2p)，
因为 OP ⊥ OQ，故 1 + 2p × ( 2p) = 0 p = 1 ，
2
抛物线 C 的方程为：y2 = x，
因为 ⊙ M 与 l 相切，故其半径为 1，故 ⊙ M : (x - 2)2 + y2 = 1．
(2) 设 A1(x1，y1)，A2(x2，y2)，A3(x3，y3)．
当 A1，A2，A3 其中某一个为坐标原点时 ( 假设 A1 为坐标原点时 )，
设直线 A1A2 方程为 kx - y = 0，根据点 M (2,0) 到直线距离为 1 可得 2k
1 + k2
= 1，解得 k = ± 3 ，
3
联立直线 A1A2 与抛物线方程可得 x = 3，
此时直线 A2A3 与 ⊙ M 的位置关系为相切，
当 A1，A2，A3 都不是坐标原点时，即 x1 ≠ x2 ≠ x3，直线 A1A2 的方程为 x (y1 + y2)y + y1y2 = 0，
此时有， |2 + y1y2|
= 1，即 (y2 1)y2 + 2y y + 3 y2 = 0，
1 + (y1 + y2)2
1 2 1 2 1
同理，由对称性可得，(y2 1)y2 + 2y y + 3 y2 = 0，
1 3 1 3 1
所以 y2，y3 是方程 (y2 1)t2 + 2y t + 3 y2 = 0 的两根，
1 1 1
依题意有，直线 A2A3 的方程为 x (y2 + y3)y + y2y3 = 0，
(2 + y2y3)2
3 - y2 2
(
y
2
-
1
) 2 + 1
(
2
)1
令 M 到直线 A2A3 的距离为 d，则有 d2 =
=
1 + (y2 + y3)2
1 + -2y1
(
) (
y
2
)1 - 1
= 1，
此时直线 A2A3 与 ⊙ M 的位置关系也为相切， 综上，直线 A2A3 与 ⊙ M 相切．
( 二 ) 选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
[ 选修 4 - 4：坐标系与参数方程 ] (10 分 )
22. (10 分 ) 在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方 程为 ρ = 2 2cosθ．
(1) 将 C 的极坐标方程化为直角坐标方程；
(2) 设点 A 的直角坐标为 (1,0) ，M 为 C 上的动点，点 P 满足 AP = 2AM ，写出 P 的轨迹 C1 的参数方
程，并判断 C 与 C1 是否有公共点．
【解析】：(1) 由极坐标方程为 ρ = 2 2cosθ，得 ρ2 = 2 2ρcosθ， 化为直角坐标方程是 x2 + y2 = 2 2x，
即 (x - 2)2 + y2 = 2，表示圆心为 C ( 2，0)，半径为 2 的圆．
(2) 设点 P 的直角坐标为 (x,y)，M (x1，y1)，因为 A(1,0)，
所以 AP = (x - 1,y)，AM = (x1 - 1，y1)，
由 AP = 2AM ，
(
)即 x -
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