圆锥曲线专题

第二章专题讲解：
（一）知识专题讲解
专题一、利用圆锥曲线的定义求解：
专题详解：利用圆锥曲线的定义可以解决一大类的题目，所用的公式主要有：
（1）椭圆：（）；
（2）双曲线：（）；
（3）抛物线：（为点P到抛物线的准线的距离）。
【例1】椭圆上一点M到焦点F1的距离是2，N时MF1的中点。
求的长（O是坐标原点）。图2-3-19
解：由椭圆方程知，，因为（F2为另一个焦点坐标），又因为，所以，ON是三角形MF1F2的中位线，所以
即的长是4。
点拨：本题用到椭圆的定义和三角形的中位线的性质，解答本题的关键是求出点M到另一个焦点的距离。
【例2】双曲线的两个焦点为，点P在双曲线上，若，求点P的坐标。
解：由双曲线的方程知：，不妨设点P在第一象限，
坐标为，F1为左焦点，那么：
由①得：，所以，
在直角三角形PF1F2中，，所以代入双曲线的方程得：，即点P的坐标是，再根据双曲线的对称性得点P的坐标还可以是，，。
点拨：本题除了应用双曲线的定义解题，用到的数学思想方法还有（1）整体思想：不是求未知数，而是求这一个整体未知数的值；（2）利用三角形的面积公式解题。
【例3】点P是抛物线上的任意一点，F是抛物线的焦点，点M的坐标
是（2，3），求的最小值，并求出此时点P的坐标。
解：抛物线的准线方程是，那么点P到焦点F的距离等于到准线的距离，作准线，垂足为D，
那么
，所以当点M，P，D三点共线时，的值最小，即用点M的横坐标减去准线方程的数值得：，所以的最小值是4。此时点P的纵坐标为3，所以横坐标是，，即点P的坐标是。
点拨：若设点P的坐标，列出两个距离的和，则是一个含有两个根号的式子，再变形求解则很困难。本题的解法就是用抛物线的定义将转化为点P到准线的距离，进而再转化为点M到准线上的任意一点的距离的最小值，即点到直线的距离。
专题1强化练习题：
1．如图2-3-19，过抛物线的焦点F的直线与抛物线交于两点A，B，若A，B在抛物线的准线上的射影分别是A1，B1，则等于（ ）
A．　　　　B．　　　　C．　　　　D．
　　解：Ｂ
　　点拨：利用抛
物线的定义和平
面几何的知识解
题。
设准线与轴
的交点为K，
那么，,所以
，又因为AA1∥轴,所以，，同理可证，
所以
　　２．椭圆的焦点坐标是（－２，０）和（２，０），过作轴，交椭圆于Ｐ，Ｑ两点，且是等边三角形，求此椭圆的标准方程。
解：
　　点拨：本题根据椭圆的定义和等边三角形的性质解答。由椭圆的定义得：，又因为是等边三角形，所以，即，，
所以
，，
所以，所求的椭圆的标准方程是
3．已知双曲线的方程是，点P在双曲线上，且到其中一个焦点F1的距离为10，点N是PF1的中点，求的大小（O为坐标原点）。
解：ON是三角形PF1F2的中位线，所以，
因为，
所以，
点拨：焦点F1的位置不确定，所以有两解：点P与焦点F1在同一支上和不同支上。
拓展：（1）若将的条件改为呢，其它条件不变，此时就只有一解了。
（2）还可以求出点P的坐标，并得出点P的个数。
专题2．直线与圆锥曲线的位置关系：
详解：选修1-1只对直线与抛物线的位置关系作要求，因此重点掌握直线与抛物线的位置关系。以为例。
（1）过抛物线的焦点（）的直线，设直线与抛物线交于A，B两点。那么：
当斜率不存在时，直线方程是，与抛物线的交点AB，则；
当斜率存在时，设为，则直线方程是，设，，那么
，由抛物线的定义得：。
【例1】设直线与抛物线交于A，B两点，已知弦长
，点C为抛物线上一点,三角形的面积为30，求点C的坐标。
解：设，解方程组得：
所以因为
所以，
又因为
所以，
为点C到直线的距离,所以
，或
时，；时，
所以点C的坐标是或。
点拨：交点坐标转化为方程组的解，其中用到了根与系数的关系来表示两点间的距离公式；注意在解析几何中的三角形面积的计算方法，高可以找到点的坐标表示，也可以用点到直线的距离公式求出；底边通常是在坐标轴上找到一条边，或用弦长的公式求出来——两点间的距离公式。
【例2】点A为抛物线上一点，F为焦点，，求过点F且与OA垂直的直线的方程。
解：设点A的坐标是（），，所以，又因为，所以，，，
所以或，
所以或，因为，所以或2，
直线的方程是，
即所求直线的方程是：
或。
点拨：本题的方法主要是用抛物线的定义将弦长转化为点到准线的距离。
专题2强化练习题：
1．（2004，福建，14分）如图2-3-20，P是抛物线C：上一点，直线过点P且与抛物线C交于另一点Q.
（1）若直线与过点P的P抛物线的切线垂直，求线段PQ中点M的轨迹方程；
（2）若直线不过原点且与轴交于点S,与轴交于T,试求的取值范围。
2．（2005，天津，14分）抛物线C的方程为,过抛物线C上一点作斜率为的两条直线分别交抛物线C于两点（三点P，A，B互不相同），且满足
（1）求抛物线C的焦点坐标和准线方程；
（2）设直线AB上一点M,满足证明线段PM的中点在轴上；（3）当时，若点P的坐标为（1，－1），求为钝角时,点A的纵坐标的取值范围。
1．解：（1）设，，且，设切线的斜率为，则，即
，
所以，此方程有两个相等的实根，
所以，即
，，所以直线的斜率，直线的方程为，
方法一、与抛物线方程联立，消去得：
，因为M为PQ的中点，所以，消去得：，
所以PQ的中点M的轨迹方程是：
。
方法二、由，，，所以
，则所以，将上式代入直线方程得：
所以PQ的中点M的轨迹方程是：
。
（2）设直线的方程是，则，则。分别作轴，轴，垂足分别是A，B，则：
解方程组得：
（3）
所以
方法一、
的取值范围是。
方法二、
当时
当时，
又因为方程（3）有两个相异实根，所以
，
所以，即
当时，可取一切正数。
综上可知，的取值范围是。
方法三、由P，Q，T三点共线得：
即，
所以，即
所以，所以
因为可以去一切不等于1的正数
所以的取值范围是。
点拨：本题主要考查直线、抛物线、不等式等基础知识，求轨迹方程的方法。注意体会题中的不同解法，特别是通过观察式子，如何进行化简变形。
2．解：（1）由抛物线C的方程
得：焦点坐标为（0，），准线方程为。
（2）证明：设直线PA的方程为
，直线PB的方程为
，点和点
的坐标是方程组：
的解
将②代入①得：
所以，即 ③
又点和点的坐标是方程组： 的解
将⑤代入④得：
所以，即
由已知得：，所以
⑥
设店M的坐标是（），由得：，将③⑥代入得：
，即，所以线段PM的中点在轴上。
（3）因为点P（1，－1）在抛物线上，所以，抛物线方程为，因为，所以，将代入⑥得：
，所以，所以直线PA，PB分别与抛物线C的交点A，B的坐标为：，
所以，
因为为钝角且三点P，A，B互不相同，所以
即
所以或，又点A的纵坐标满足，所以当时，；当时，，
所以当为钝角时,点A的纵坐标的取值范围是。
点拨:本题第一问是基本考查题，入手容易；后两问的运算量大，但是思路清楚，是训练运算能力的好题目。注意体会题中的换元法，即用一个未知数表示其它的未知数，还有一些运算技巧，例如。
（二）思想方法专题讲解
专题3．待定系数法
专题详解：求圆锥曲线的方程是一类重要的题型，因为有了方程就可以求其它的量。所用的方法就是待定系数法，椭圆方程和双曲线方程都有两个需要确定的系数，需要两个条件就可以求出，抛物线方程只有一个待定系数，由一个条件就可以求的。
由于椭圆和双曲线的焦点的位置有两种情况，抛物线的方程有四种情形（在一题中往往有两解或多解），这时再用标准方程的形式就需要分情况讨论。下面讨论几种“巧的”设法。
1．椭圆方程可以设为
（1）
（2）
　　此种设法用于已知椭圆上的点的坐标，但是焦点的位置不确定时。
2．双曲线的方程可以设为：
（１）
（２）有相同的渐近线的双曲线方程可以设为：
（３）与双曲线有共同的渐近线的双曲线的方程可以设为：
２．有相同对称轴的抛物线的方程可以设为：
对称轴为轴：
对称轴为轴：
【例１】求中心在原点，对称轴为坐标轴，且过点（）和（）的椭圆的方程。
　　解：设椭圆的方程是：
，将已知点的坐标代入得：，所以，即所求的椭圆方程是：
　　点拨：使用这样的设法避免了分类讨论。同学们可以用第（１）中设法，比较量中设法的优劣。
【例２】求与双曲线有相同的渐近线，且过点（12，－6）的双曲线的方程。
解:因为所求双曲线与已知双曲线有相同的渐近线，设所求的双曲线的方程是，
将点（12，）代入得：所以，所求的双曲线的方程是：。
点拨：本题有多种解法，请同学们用其它不同的解法，求解，比作比较。
【例3】求顶点在原点，对称轴是坐标轴，且过点（－2，3）的抛物线的方程。
解：设抛物线的方程是
或，那么：
，或，
所求抛物线的方程是：或。
点拨：按照一般思路，要分焦点在轴的正半轴、负半轴等四种情形。本题也可以数形结合，判断出焦点位置后，再设抛物线的方程。
专题3强化练习题：
1．已知椭圆的焦距是，且经过点P，求椭圆的标准方程。
2．若双曲线的渐近线方程为，它的一个焦点是，则双曲线的方程是 。
3．求顶点在原点，对称轴是轴，并且经过点（―6，―3）的抛物线的方程。
解：（1）或
；
（2）；
（3）
点拨：本题的三个小题，都有几种不同的设法，试用各种解法，体会各自的特点，进一步熟练待定系数法。
第二章专题讲解：
（一）知识专题讲解
专题一、利用圆锥曲线的定义求解：
专题详解：利用圆锥曲线的定义可以解决一大类的题目，所用的公式主要有：
（1）椭圆：（）；
（2）双曲线：（）；
（3）抛物线：（为点P到抛物线的准线的距离）。
【例1】椭圆上一点M到焦点F1的距离是2，N时MF1的中点。
求的长（O是坐标原点）。图2-3-19
解：由椭圆方程知，，因为（F2为另一个焦点坐标），又因为，所以，ON是三角形MF1F2的中位线，所以
即的长是4。
点拨：本题用到椭圆的定义和三角形的中位线的性质，解答本题的关键是求出点M到另一个焦点的距离。
【例2】双曲线的两个焦点为，点P在双曲线上，若，求点P的坐标。
解：由双曲线的方程知：，不妨设点P在第一象限，
坐标为，F1为左焦点，那么：
由①得：，所以，
在直角三角形PF1F2中，，所以代入双曲线的方程得：，即点P的坐标是，再根据双曲线的对称性得点P的坐标还可以是，，。
点拨：本题除了应用双曲线的定义解题，用到的数学思想方法还有（1）整体思想：不是求未知数，而是求这一个整体未知数的值；（2）利用三角形的面积公式解题。
【例3】点P是抛物线上的任意一点，F是抛物线的焦点，点M的坐标
是（2，3），求的最小值，并求出此时点P的坐标。
解：抛物线的准线方程是，那么点P到焦点F的距离等于到准线的距离，作准线，垂足为D，
那么
，所以当点M，P，D三点共线时，的值最小，即用点M的横坐标减去准线方程的数值得：，所以的最小值是4。此时点P的纵坐标为3，所以横坐标是，，即点P的坐标是。
点拨：若设点P的坐标，列出两个距离的和，则是一个含有两个根号的式子，再变形求解则很困难。本题的解法就是用抛物线的定义将转化为点P到准线的距离，进而再转化为点M到准线上的任意一点的距离的最小值，即点到直线的距离。
专题1强化练习题：
1．如图2-3-19，过抛物线的焦点F的直线与抛物线交于两点A，B，若A，B在抛物线的准线上的射影分别是A1，B1，则等于（ ）
A．　　　　B．　　　　C．　　　　D．
　　解：Ｂ
　　点拨：利用抛
物线的定义和平
面几何的知识解
题。
设准线与轴
的交点为K，
那么，,所以
，又因为AA1∥轴,所以，，同理可证，
所以
　　２．椭圆的焦点坐标是（－２，０）和（２，０），过作轴，交椭圆于Ｐ，Ｑ两点，且是等边三角形，求此椭圆的标准方程。
解：
　　点拨：本题根据椭圆的定义和等边三角形的性质解答。由椭圆的定义得：，又因为是等边三角形，所以，即，，
所以
，，
所以，所求的椭圆的标准方程是
3．已知双曲线的方程是，点P在双曲线上，且到其中一个焦点F1的距离为10，点N是PF1的中点，求的大小（O为坐标原点）。
解：ON是三角形PF1F2的中位线，所以，
因为，
所以，
点拨：焦点F1的位置不确定，所以有两解：点P与焦点F1在同一支上和不同支上。
拓展：（1）若将的条件改为呢，其它条件不变，此时就只有一解了。
（2）还可以求出点P的坐标，并得出点P的个数。
专题2．直线与圆锥曲线的位置关系：
详解：选修1-1只对直线与抛物线的位置关系作要求，因此重点掌握直线与抛物线的位置关系。以为例。
（1）过抛物线的焦点（）的直线，设直线与抛物线交于A，B两点。那么：
当斜率不存在时，直线方程是，与抛物线的交点AB，则；
当斜率存在时，设为，则直线方程是，设，，那么
，由抛物线的定义得：。
【例1】设直线与抛物线交于A，B两点，已知弦长
，点C为抛物线上一点,三角形的面积为30，求点C的坐标。
解：设，解方程组得：
所以因为
所以，
又因为
所以，
为点C到直线的距离,所以
，或
时，；时，
所以点C的坐标是或。
点拨：交点坐标转化为方程组的解，其中用到了根与系数的关系来表示两点间的距离公式；注意在解析几何中的三角形面积的计算方法，高可以找到点的坐标表示，也可以用点到直线的距离公式求出；底边通常是在坐标轴上找到一条边，或用弦长的公式求出来——两点间的距离公式。
【例2】点A为抛物线上一点，F为焦点，，求过点F且与OA垂直的直线的方程。
解：设点A的坐标是（），，所以，又因为，所以，，，
所以或，
所以或，因为，所以或2，
直线的方程是，
即所求直线的方程是：
或。
点拨：本题的方法主要是用抛物线的定义将弦长转化为点到准线的距离。
专题2强化练习题：
1．（2004，福建，14分）如图2-3-20，P是抛物线C：上一点，直线过点P且与抛物线C交于另一点Q.
（1）若直线与过点P的P抛物线的切线垂直，求线段PQ中点M的轨迹方程；
（2）若直线不过原点且与轴交于点S,与轴交于T,试求的取值范围。
2．（2005，天津，14分）抛物线C的方程为,过抛物线C上一点作斜率为的两条直线分别交抛物线C于两点（三点P，A，B互不相同），且满足
（1）求抛物线C的焦点坐标和准线方程；
（2）设直线AB上一点M,满足证明线段PM的中点在轴上；（3）当时，若点P的坐标为（1，－1），求为钝角时,点A的纵坐标的取值范围。
1．解：（1）设，，且，设切线的斜率为，则，即
，
所以，此方程有两个相等的实根，
所以，即
，，所以直线的斜率，直线的方程为，
方法一、与抛物线方程联立，消去得：
，因为M为PQ的中点，所以，消去得：，
所以PQ的中点M的轨迹方程是：
。
方法二、由，，，所以
，则所以，将上式代入直线方程得：
所以PQ的中点M的轨迹方程是：
。
（2）设直线的方程是，则，则。分别作轴，轴，垂足分别是A，B，则：
解方程组得：
（3）
所以
方法一、
的取值范围是。
方法二、
当时
当时，
又因为方程（3）有两个相异实根，所以
，
所以，即
当时，可取一切正数。
综上可知，的取值范围是。
方法三、由P，Q，T三点共线得：
即，
所以，即
所以，所以
因为可以去一切不等于1的正数
所以的取值范围是。
点拨：本题主要考查直线、抛物线、不等式等基础知识，求轨迹方程的方法。注意体会题中的不同解法，特别是通过观察式子，如何进行化简变形。
2．解：（1）由抛物线C的方程
得：焦点坐标为（0，），准线方程为。
（2）证明：设直线PA的方程为
，直线PB的方程为
，点和点
的坐标是方程组：
的解
将②代入①得：
所以，即 ③
又点和点的坐标是方程组： 的解
将⑤代入④得：
所以，即
由已知得：，所以
⑥
设店M的坐标是（），由得：，将③⑥代入得：
，即，所以线段PM的中点在轴上。
（3）因为点P（1，－1）在抛物线上，所以，抛物线方程为，因为，所以，将代入⑥得：
，所以，所以直线PA，PB分别与抛物线C的交点A，B的坐标为：，
所以，
因为为钝角且三点P，A，B互不相同，所以
即
所以或，又点A的纵坐标满足，所以当时，；当时，，
所以当为钝角时,点A的纵坐标的取值范围是。
点拨:本题第一问是基本考查题，入手容易；后两问的运算量大，但是思路清楚，是训练运算能力的好题目。注意体会题中的换元法，即用一个未知数表示其它的未知数，还有一些运算技巧，例如。
（二）思想方法专题讲解
专题3．待定系数法
专题详解：求圆锥曲线的方程是一类重要的题型，因为有了方程就可以求其它的量。所用的方法就是待定系数法，椭圆方程和双曲线方程都有两个需要确定的系数，需要两个条件就可以求出，抛物线方程只有一个待定系数，由一个条件就可以求的。
由于椭圆和双曲线的焦点的位置有两种情况，抛物线的方程有四种情形（在一题中往往有两解或多解），这时再用标准方程的形式就需要分情况讨论。下面讨论几种“巧的”设法。
1．椭圆方程可以设为
（1）
（2）
　　此种设法用于已知椭圆上的点的坐标，但是焦点的位置不确定时。
2．双曲线的方程可以设为：
（１）
（２）有相同的渐近线的双曲线方程可以设为：
（３）与双曲线有共同的渐近线的双曲线的方程可以设为：
２．有相同对称轴的抛物线的方程可以设为：
对称轴为轴：
对称轴为轴：
【例１】求中心在原点，对称轴为坐标轴，且过点（）和（）的椭圆的方程。
　　解：设椭圆的方程是：
，将已知点的坐标代入得：，所以，即所求的椭圆方程是：
　　点拨：使用这样的设法避免了分类讨论。同学们可以用第（１）中设法，比较量中设法的优劣。
【例２】求与双曲线有相同的渐近线，且过点（12，－6）的双曲线的方程。
解:因为所求双曲线与已知双曲线有相同的渐近线，设所求的双曲线的方程是，
将点（12，）代入得：所以，所求的双曲线的方程是：。
点拨：本题有多种解法，请同学们用其它不同的解法，求解，比作比较。
【例3】求顶点在原点，对称轴是坐标轴，且过点（－2，3）的抛物线的方程。
解：设抛物线的方程是
或，那么：
，或，
所求抛物线的方程是：或。
点拨：按照一般思路，要分焦点在轴的正半轴、负半轴等四种情形。本题也可以数形结合，判断出焦点位置后，再设抛物线的方程。
专题3强化练习题：
1．已知椭圆的焦距是，且经过点P，求椭圆的标准方程。
2．若双曲线的渐近线方程为，它的一个焦点是，则双曲线的方程是 。
3．求顶点在原点，对称轴是轴，并且经过点（―6，―3）的抛物线的方程。
解：（1）或
；
（2）；
（3）
点拨：本题的三个小题，都有几种不同的设法，试用各种解法，体会各自的特点，进一步熟练待定系数法。