2019年高考数学真题及解析（浙江卷）

2019年高考数学真题及解析（浙江卷）
参考公式：
若事件A，B互斥，则
若事件A，B相互独立，则
若事件A在一次试验中发生的概率是p，则n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率
台体的体积公式
其中分别表示台体的上、下底面积，表示台体的高
柱体的体积公式,其中表示柱体的底面积，表示柱体的高;
锥体的体积公式,其中表示锥体的底面积，表示锥体的高;
球的表面积公式
球的体积公式
其中表示球的半径
选择题部分（共40分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知全集，集合，，则=（ ）
A． B．
C． D．
2．渐近线方程为x±y=0的双曲线的离心率是（ ）
A． B．1
C． D．2
3．若实数x，y满足约束条件，则z=3x+2y的最大值是（ ）
A． B．1
C．10 D．12
4．祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家.他提出的“幂势既同，则积不容易”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体体积公式V柱体=Sh，其中S是柱体的底面积，h是柱体的高.若某柱体的三视图如图所示，则该柱体的体积是（ ）
A．158 B．162
C．182 D．32
5．若a＞0，b＞0，则“a+b≤4”是 “ab≤4”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
6．在同一直角坐标系中，函数y =，y=loga(x+)，(a>0且a≠0)的图像可能是（ ）
7．设0＜a＜1，则随机变量X的分布列是（ ）
则当a在（0,1）内增大时
A．D（X）增大 B．D（X）减小
C．D（X）先增大后减小 D．D（X）先减小后增大
8．设三棱锥V-ABC的底面是正三角形，侧棱长均相等，P是棱VA上的点（不含端点），记直线PB与直线AC所成角为α，直线PB与平面ABC所成角为β，二面角P-AC-B的平面角为γ，则（ ）
A．β<γ，α<γ B．β<α，β<γ
C．β<α，γ<α D．α<β，γ<β
9．已知，函数，若函数恰有三个零点，则（ ）
A．a<1，b<0 B．a<1，b>0
C．a>1，b>0 D．a>1，b<0
10．设a，b∈R，数列{an}中an=a，an+1=an2+b， ,则（ ）
A．当b=，a10>10 B．当b=，a10>10
C．当b=2，a10>10 D．当b=4，a10>10
非选择题部分（共110分）
二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。
11．复数（为虚数单位），则=___________.
12．已知圆的圆心坐标是，半径长是.若直线与圆相切于点，则=_____，=______.
13．在二项式的展开式中，常数项是________，系数为有理数的项的个数是_______.
14．在中，，，，点在线段上，若，则____，________.
15．已知椭圆的左焦点为，点在椭圆上且在轴的上方，若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则直线的斜率是_______.
16．已知，函数，若存在，使得，则实数的最大值是____.
17．已知正方形的边长为1，当每个取遍时，的最小值是________，最大值是_______.
三、解答题：本大题共5小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
18.（本小题满分14分）设函数.
（1）已知函数是偶函数，求的值；
（2）求函数 的值域.
19.（本小题满分15分）如图，已知三棱柱，平面平面,，分别是AC，A1B1的中点.
（1）证明：；
（2）求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值.
20.（本小题满分15分）设等差数列的前n项和为，，，数列满足：对每个成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）记 证明：
21.（本小题满分15分）如图，已知点为抛物线，点为焦点，过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线上，使得的重心G在x轴上，直线AC交x轴于点Q，且Q在点F右侧.记的面积为.
（1）求p的值及抛物线的标准方程；
（2）求的最小值及此时点G的坐标.
22.（本小题满分15分）
已知实数，设函数
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）对任意均有 求的取值范围.
注：e=2.71828…为自然对数的底数.
参考答案
一、选择题
1.A 【解析】，则，故选A.
2.C 【解析】∵根据渐近线方程为，∴，则，双曲线的离
心率，故选C.
3.C 【解析】在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的以为顶点
的三角形区域（包含边界），当目标函数经过平面区域的点A时，直 线在y轴上的截距最大，取最大值，.故选C.
4.B 【解析】由三视图得该几何体为直五棱柱，底面五边形的面积可用两个直角梯形的面
积求解。该棱柱的高为6，底面可以看作是由两个直角梯形组合而成的，其中一个上
底为4，下底为6，高为3，另一个的上底为2，下底为6，高为3，则该棱柱的体积
为，故选B.
5.A 【解析】∵时，，∴当时，有，解得
，充分性成立；当时，满足，但此时，必要性不成
立，综上所述，“”是“”的充分不必要条件，故选A.
6.D 【解析】当时，函数过定点且单调递减，则函数过定点
且单调递增，函数过定点且单调递减，D项符合题意；当
时，函数过定点且单调递增，则函数过定点且单调递减，函
数过定点且单调递增，ABC项均不符合题意，故选D.
7.D 【解析】由分布列得，则
，则当在内增大时，先减小后增大，故
选D.
8.B 【解析】特殊位置法：取为正四面体，为中点，易得
，故选B.
9.D 【解析】有三个零点可转化为与有三个交点，当 时，，且，则当 时，与不可能有三个交点（实际上有一个），A，B项错误；当 ，即时，有三个零点，此时要求，D项正确，故选D.
10.A 【解析】A项、证明：当时，，
当时，，则，则
，正确；B项、不动点满足
时，若，错误；若为不动点则
，C项、不动点满足，不动点为，令，
则，错误；D项、不动点满足，不动点为
，令，则，错误；故选A.
二、填空题
11. 【解析】.
12. 【解析】可知，把代入得
，此时.
13.； 【解析】的通项为，当r=0时，可
得常数项为，因系数为有理数，当时，有
共5个项.
14.； 【解析】在△ABD中，正弦定理有：，而
,，
，所以，
.
15. 【解析】由题意可知，由中位线定理可得,设
可得，联立方程可解得（舍），
点在椭圆上且在轴的上方，求得，所以.
16. 【解析】，使得
,令，则原不等式转化为存在
,则只需，即，即的最大值是.
17. 0; 【解析】
，
要使的最小，只需要
，此时只需要取 ，
此时，
,等号成立当且仅当均非 负或者均非正，并且均非负或者均非正。如 ,
.
三、解答题
18.解：(1)由题意结合函数的解析式可得：，
函数为偶函数，则当时，，即，
结合可取，
相应的值为.
(2)由函数的解析式可得：
.
据此可得函数值域为.
19.解：(1)如图所示，连接，
等边中，，
则，
平面ABC⊥平面，且平面ABC∩平面，
由面面垂直的性质定理可得：平面，故，
由三棱柱的性质可知，而，
故，且，
由线面垂直的判定定理可得：平面，
结合 平面，
故.
(2)在底面ABC内作EH⊥AC，以点E为坐标原点，EH,EC,方向分别为x,y,z轴正方向建立空间直角坐标系.
设，则，,，
据此可得：，
由可得点的坐标为，
利用中点坐标公式可得：，由于，
故直线EF的方向向量为：
设平面的法向量为，则
据此可得平面的一个法向量为，
此时，
设直线EF与平面所成角为，则.
20.解：(1)由题意可得：，
解得，
则数列的通项公式为.
其前n项和.
则成等比数列，即：
，
据此有：
，
故.
(2)结合(1)中的通项公式可得：
，
则.
21.解：(1)由题意可得，则，抛物线方程为，准线方程为.
(2)设，
设直线AB的方程为，与抛物线方程联立可得：
，
故：，
，
设点C的坐标为，由重心坐标公式可得：
，，
令可得：，
则.即，
由斜率公式可得：，
直线AC的方程为：，
令可得：，
故，
且，
由于，代入上式可得：，
由可得，则，
则
.
当且仅当，即，时等号成立
此时，，则点G的坐标为.
22.解：(1)当时，，函数的定义域为，且
，
因此函数的单调递增区间是,单调递减区间是.
(2)构造函数，
则，
当时恒成立，满足；
当时，，不合题意，
且，解得：，故.
下面证明刚好是满足题意的实数a的取值范围.
分类讨论：
(Ⅰ)当时，，
令，则：
，
易知，则函数单调递减，，满足题意.
(Ⅱ)当时，等价于，
左侧是关于a的开口向下的二次函数,
其判别式，
令，注意到当时,，
于是在上单调递增,而，
于是当时命题成立,
而当时,此时的对称轴为随着递增,
于是对称轴在的右侧,而成立，(不等式等价于).
因此
综上可得：实数a的取值范围是.