2019年高考数学真题（全国卷Ⅱ文科）

2019年高考数学真题（全国卷Ⅱ:文科）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则A∩B=（ ）
A．(1，+∞) B．(∞，2)
C．(1，2) D．
2．设z=i(2+i)，则=（ ）
A．1+2i B．1+2i
C．12i D．12i
3．已知向量a=(2，3)，b=(3，2)，则|ab|=（ ）
A． B．2
C．5 D．50
4．生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标，若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为（ ）
A． B．
C． D．
5．在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．
甲：我的成绩比乙高．
乙：丙的成绩比我和甲的都高．
丙：我的成绩比乙高．
成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为（ ）
A．甲、乙、丙 B．乙、甲、丙
C．丙、乙、甲 D．甲、丙、乙
6．设f(x)为奇函数，且当x0时，f(x)=，则当x<0时，f(x)=（ ）
A． B．
C． D．
7．设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是（ ）
A．α内有无数条直线与β平行
B．α内有两条相交直线与β平行
C．α，β平行于同一条直线
D．α，β垂直于同一平面
8．若x1=，x2=是函数f(x)=(>0)两个相邻的极值点，则=（ ）
A．2 B．
C．1 D．
9．若抛物线y2=2px（p>0）的焦点是椭圆的一个焦点，则p=（ ）
A．2 B．3
C．4 D．8
10．曲线y=2sinx+cosx在点(π，1)处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
11．已知α∈（0，），2sin2α=cos2α+1，则sinα=（ ）
A． B．
C． D．
12．设F为双曲线C：（a>0，b>0）的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P、Q两点．若|PQ|=|OF|，则C的离心率为（ ）
A． B．
C．2 D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若变量x，y满足约束条件则z=3x–y的最大值是___________.
14．我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为___________.
15．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知bsinA+acosB=0，则B=___________.
16．中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有________个面，其棱长为_________．（本题第一空2分，第二空3分．）
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17．（12分）
如图，长方体ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1．
（1）证明：BE⊥平面EB1C1；
（2）若AE=A1E，AB=3，求四棱锥的体积．
18．（12分）
已知是各项均为正数的等比数列，.
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和．
19．（12分）
某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了100个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y的频数分布表．
的分组
企业数 2 24 53 14 7
（1）分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例；
（2）求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．（精确到0.01）
附：.
20．（12分）
已知是椭圆的两个焦点，P为C上一点，O为坐标原点．
（1）若为等边三角形，求C的离心率；
（2）如果存在点P，使得，且的面积等于16，求b的值和a的取值范围．
21．（12分）
已知函数．证明：
（1）存在唯一的极值点；
（2）有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分．
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在极坐标系中，O为极点，点在曲线上，直线l过点且与垂直，垂足为P.
（1）当时，求及l的极坐标方程；
（2）当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程.
23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）
已知
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若时，，求的取值范围.
参考答案
一、选择题
1．C 【解析】A={x|x1}，B={x|x2}，A∩B={x|x1}∩{x|x2}=（1，2）．故选C．
2．D 【解析】∵z=i(2+i)==2i+i2=1+2i，∴=12i，故选D．
3．A 【解析】∵a=（2，3），b=（3，2），∴ab=（2，3）（3，2）=（1，1），∴|ab|==，
故选A．
4．B 【解析】从这5只兔子中随机取出3只的所有情况数为，恰有2只测量过该指标是指从3只测过
的里面选2，从未测的选1，组合数为．∴P==，故选B
5．A 【解析】由题意，三人预测有甲：甲＞乙；乙：丙＞乙且丙＞甲；丙：丙＞乙．∵只有一个人预测
正确，∴分析三人的预测，可知：乙、丙错误．如果乙正确，则丙正确，不符合题意．如果丙正
确，假设甲、乙错误，则有丙＞乙，乙＞甲，∵乙错误，而丙＞乙正确，∴只有丙＞甲错误，∴
甲＞丙，这与丙＞乙，乙＞甲矛盾．不符合题意．∴只有甲正确，乙、丙均错误，甲＞乙，乙＞
丙．故选A．
6．D 【解析】设x0，则x0，∴f（x）=e-x1，∵设f（x）为奇函数，∴f（x）=f（x），∴
f（x）=e-x1，即f（x）=e-x+1．故选D．
7．B 【解析】面面平行的判定定理为如果一个平面内有两条相交直线分别与另一个平面内两条相交直线
平行，那么这两个平面平行。A项、α内有无数条直线与β平行，α∩β或α∥β；B项、α内有两条相
交直线与β平行，α∥β；C项、α，β平行于同一条直线，α∩β或α∥β；D项、α，β垂直于同一平面，
α∩β或α∥β．故选B．
8．A 【解析】∵x1=，x2=是函数f（x）=sinωx（ω＞0）两个相邻的极值点，∴===，
∴ω=2，故选A．
9．D 【解析】由题意可得，抛物线焦点为（，0），则c2=a2b2=3pp=2p=()2，解得p=8．故选D.
10．C 【解析】由y=2sinx+cosx，得y'=2cosxsinx，∴曲线y=2sinx+cosx在点（π，1）处的切线的斜率
k=π=2cosπsinπ=2，∴切线方程为y+1=2(xπ)，即2x+y2π+1=0．故选C．
11．B 【解析】∵2sin2α=cos2α+1，∴可得，4sinαcosα=2cos2α，∵α∈（0，），sinα0，cosα0，∴
cosα=2sinα，∵sin2α+cos2α=sin2α+(2sinα)2=5sin2α=1，∴解得，sinα=，故选B．
12．A 【解析】如图，以OF为直径的圆的方程为x2+y2cx=0，又圆O的方程为x2+y2=a2，
∴PQ所在直线方程为x=．把x=代入x2+y2=a2，得PQ=，再由
|PQ|=|OF|，得=c，即4a2(c2a2)=c4，∴e2=2，解得e=．故选A．
二、填空题
13．9 【解析】由题意作出可行域如图，化目标函数z=3xy为y=3xz，由图可
知，当直线y=3xz过A（3，0）时，直线在y轴上的截距最小，z有最大
值为9．
14．0.98 【解析】∵经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正
点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，∴经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计
值为=p1x1+p2x2+p3x3=++=0.98．
15． 【解析】∵bsinA+acosB=0，∴由正弦定理可得，sinAsinB+sinAcosB=0，∵A∈（0，π），sinA0，
∴可得，sinB+cosB=0，则tanB=1，∵B∈（0，π），∴B=．
16．26； 【解析】由题意得，该半正多面体共有8+8+8+2=26个面，设其棱长为x，则x+x+x=1，
解得x=1．
三、解答题
17．解：（1）由已知得B1C1⊥平面ABB1A1，BE平面ABB1A1，
故．
又，
∴BE⊥平面．
（2）由（1）知∠BEB1=90°.由题设知Rt△ABE≌Rt△A1B1E，
∴，故AE=AB=3，.
作，垂足为F，则EF⊥平面，且．
∴四棱锥的体积．
18．解：（1）设的公比为q，由题设得
，即．
解得（舍去）或q=4．
因此的通项公式为．
（2）由（1）得，
∴数列的前n项和为．
19．解：（1）根据产值增长率频数分布表得，所调查的100个企业中产值增长率不低于40%的企业频率为．
产值负增长的企业频率为．
用样本频率分布估计总体分布得这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例为21%，产值负增长的企业比例为2%．
（2），
，
，
所以，这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为30%，17%．
20．解：（1）连接，由为等边三角形可知在中，，，，则，故的离心率是.
（2）由题意可知，满足条件的点存在．当且仅当，，，即，①
，②
，③
由②③及得，又由①知，故．
由②③得，所以，从而故.
当，时，存在满足条件的点P．
∴，的取值范围为．
21．解：（1）的定义域为（0，+）.
.
∵单调递增，单调递减，
∴单调递增，
又，，
故存在唯一，使得.
又∵当时，，单调递减；当时，，单调递增.
∴存在唯一的极值点.
（2）由（1）知，又，
∴在内存在唯一根.
由得.
又∵，
故是在的唯一根.
综上，有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数．
22．解：（1）∵在C上，当时，.
由已知得.
设为l上除P的任意一点.在中，，
经检验，点在曲线上．
∴l的极坐标方程为．
（2）设，在中， 即．
∵P在线段OM上，且，
故的取值范围是.
∴P点轨迹的极坐标方程为 .
23．解：（1）当a=1时，.
当时，；当时，.
∴不等式的解集为.
（2）∵，
∴.
当，时，.
∴的取值范围是．