2019年高考数学真题及解析（全国卷I：文科）

2019年高考文科数学真题及解析（全国卷I）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设，则=（ ）
A．2 B． C． D．1
2．已知集合，则=（ ）
A． B． C． D．
3．已知，则（ ）
A． B． C． D．
4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105 cm，头顶至脖子下端的长度为26 cm，则其身高可能是（ ）
A．165 cm B．175 cm C．185 cm D．190 cm
5．函数f(x)=在[π，π]的图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
6．某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验.若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是（ ）
A．8号学生 B．200号学生 C．616号学生 D．815号学生
7．tan255°=（ ）
A．2 B．2+ C．2 D．2+
8．已知非零向量a，b满足=2，且（ab）b，则a与b的夹角为（ ）
A． B． C． D．
9．如图是求的程序框图，图中空白框中应填入（ ）
A．A= B．A= C．A= D．A=
10．双曲线C：的一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率为（ ）
A．2sin40° B．2cos40° C． D．
11．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinAbsinB=4csinC，cosA=，则=（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
12．已知椭圆C的焦点为，过F2的直线与C交于A，B两点.若，，则C的方程为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．曲线在点处的切线方程为___________．
14．记Sn为等比数列{an}的前n项和.若，则S4=___________．
15．函数的最小值为___________．
16．已知∠ACB=90°，P为平面ABC外一点，PC=2，点P到∠ACB两边AC，BC的距离均为，那么P到平面ABC的距离为___________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：60分。
17．（12分）
某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：
满意 不满意
男顾客 40 10
女顾客 30 20
（1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；
（2）能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？
附：．
P（K2k） 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
18．（12分）
记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S9=a5．
（1）若a3=4，求{an}的通项公式；
（2）若a1>0，求使得Snan的n的取值范围．
19．（12分）
如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点.
（1）证明：MN∥平面C1DE；
（2）求点C到平面C1DE的距离．
20．（12分）
已知函数f（x）=2sinxxcosxx，f ′（x）为f（x）的导数．
（1）证明：f ′（x）在区间（0，π）存在唯一零点；
（2）若x∈[0，π]时，f（x）ax，求a的取值范围．
21.（12分）
已知点A，B关于坐标原点O对称，│AB│ =4，⊙M过点A，B且与直线x+2=0相切．
（1）若A在直线x+y=0上，求⊙M的半径；
（2）是否存在定点P，使得当A运动时，│MA││MP│为定值？并说明理由．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修4 4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．
（1）求C和l的直角坐标方程；
（2）求C上的点到l距离的最小值．
23．[选修4 5：不等式选讲]（10分）
已知a，b，c为正数，且满足abc=1．证明：
（1）；
（2）．
参考答案
一、选择题
1．C 【解析】由题可得，，∴，故选C.
2．C 【解析】∵U={1，2，3，4，5，6，7}，A={2，3，4，5}，B={2，3，6，7}，∴CUA={1，6，7}，
则={6，7}，故选C．
3．B 【解析】∵a=log20.2log21=0，∴a0，又∵b=20.220=1，∴b1，∵00.20.30.20=1，∴0c1，
∴acb，故选B．
4．B 【解析】头顶到脖子下端的长度为26cm，说明头顶到咽喉的长度小于26cm，由头顶到咽喉的长度
与咽喉到肚脐的长度之比是≈0.618，可得咽喉到肚脐的长度小于≈42cm，由头顶到
肚脐的长度与肚脐到足底的长度之比是，可得肚脐到足底的长度小于=110，即有该
人的身高小于110+68=178cm，又肚脐到足底的长度大于105cm，可得头顶到肚脐的长度大于
1050.618≈65cm，即该人的身高大于65+105=170cm，故选B．　
5．D 【解析】∵f(x)==f(x)，∴函数f(x)=是奇函数，又∵f()=，
f()==，故选D.　
6．C 【解析】∵从1000名学生从中抽取一个容量为100的样本，∴系统抽样的组距为1000100=10，∵46
号学生被抽到，则根据系统抽样的性质可知，第一组随机抽取一个号码为6，以后每个号码都比前一
个号码增加10，所有号码数是以6为首项，以10为公差的等差数列，∴可以抽到616．故选C．
7．D 【解析】tan255°=tan(180°+75°)=tan75°=tan(45°+30°)==．故选D．
8．B 【解析】∵b，∴b=abb2=b2=0，∴，即夹角为，
故选B.
9．A 【解析】模拟程序的运行，可得，第一步：A=，k=1；满足条件k2，执行循环体，第二步，A=，
k=2；满足条件k2，执行循环体，第三步，A=，k=3；此时，不满足条件k2，退出循环，
输出A的值为，观察A的取值规律可知图中空白框中应填入A=．故选A．　
10．D 【解析】 双曲线C：的渐近线方程为y=x，由双曲线的一条渐近线的倾斜
角为130°，得=tan130°=tan50°，则=tan50°=，∴==1=，
∴e2=，∴e2=，则e=．故选D．
11．A 【解析】∵△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，asinAbsinB=4csinC，cosA=，∴a2b2=4c2，
∴a2=b2+4c2，由余弦定理得，cosA==，解得=6．故选A．
12．B 【解析】∵|AF2|=2|BF2|，∴|AB|=3|BF2|，又|AB|=|BF1|，∴|BF1|=3|BF2|，又由椭圆定义得|BF1|+|BF2|=2a，
∴|BF2|=，∴|AF2|=a，|BF1|=a，∵|AF1|+|AF2|=2a，∴|AF1|=a，∴|AF1|=|AF2|，∴A在y轴上．在
Rt△AF2O和△BF1F2中，cos∠AF2O=，cos∠BF2F1=，根据cos∠AF2O+
cos∠BF2F1=0，可得+=0，解得a2=3，∴a=，b2=a2c2=31=2．∴椭圆C的方程为
=1．故选B．
二、填空题
13．y=3x 【解析】∵y=3(x2+x)ex，∴求导得y'=3(x2+3x+1)ex，∴当x=0时，y'=3，∴y=3(x2+x)ex在点（0，
0）处的切线斜率=3，∴切线方程为y=3x．
14． 【解析】 ∵等比数列{an}的前n项和，a1=1，S3=，∴q1，=，整理可得，q2+q+=0，
可得，q=，则S4=S3+a4==．
15． 4 【解析】∵=cos2x3cosx=2cos2x3cosx+1=，又∵
1cosx1，∴cosx=1时，函数有最小值4．
16． 【解析】∠ACB=90°，P为平面ABC外一点，PC=2，点P到∠ACB两边AC，
BC的距离均为，过点P作PE⊥AC，交AC于E，作PF⊥BC，交BC于F，
过P作PP'⊥平面ABC，交平面ABC于P'，连接P'D，P'C，则PE=PF=，
∴CE=CF=P'E=P'F==1，∴PP'===．∴
P到平面ABC的距离为．
三、解答题
17．解：
（1）由调查数据，男顾客中对该商场服务满意的比率为，因此男顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.8．
女顾客中对该商场服务满意的比率为，因此女顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.6．
（2）．
由于，故有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异.
18．解：
（1）设的公差为d．
由得．
由a3=4得．
于是．
因此的通项公式为．
（2）由（1）得，故.
由知，故等价于，解得1≤n≤10．
所以n的取值范围是．
19．解：
（1）连接.
∵M，E分别为的中点，
∴，且.
又∵N为的中点，∴.
由题设知，可得，故，
∴四边形MNDE为平行四边形，.
又平面，
∴MN∥平面.
（2）过C作C1E的垂线，垂足为H.
由已知可得，，∴DE⊥平面，故DE⊥CH.
从而CH⊥平面，故CH的长即为C到平面的距离，
由已知可得CE=1，C1C=4，∴，故.
从而点C到平面的距离为.
20．解：
（1）设，则.
当时，；当时，，
∴在单调递增，在单调递减.
又，故在存在唯一零点.
∴在存在唯一零点.
（2）由题设知，可得a≤0.
由（1）知，在只有一个零点，设为，
且当时，；当时，，
∴在单调递增，在单调递减.
又，∴当时，.
又当时，ax0，故.
因此，a的取值范围是.
21．解：（1）∵过点，
∴圆心M在AB的垂直平分线上.由已知A在直线上，且关于坐标原点O对称，
∴M在直线上，故可设.
∵与直线x+2=0相切，∴的半径为.
由已知得，又，故可得，解得或.
故的半径或.
（2）存在定点，使得为定值.
理由如下：
设，由已知得的半径为.
由于，故可得，化简得M的轨迹方程为.
∵曲线是以点为焦点，以直线为准线的抛物线，
∴.
∵，
∴存在满足条件的定点P.
22．解：（1）∵，且，
∴C的直角坐标方程为.
的直角坐标方程为.
（2）由（1）可设C的参数方程为（为参数，）.
C上的点到的距离为.
当时，取得最小值7，故C上的点到距离的最小值为.
23．解：（1）∵，又，故有
.
∴.
（2）∵为正数且，故有
=24.
∴.