2019年高考数学真题及解析（天津卷：理科）

2019年高考数学真题（天津卷）
（数学：理科）
第Ⅰ卷
参考公式：
·如果事件、互斥，那么．
·如果事件、相互独立，那么．
·圆柱的体积公式，其中表示圆柱的底面面积，表示圆柱的高．
·棱锥的体积公式，其中表示棱锥的底面面积，表示棱锥的高．
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．设变量满足约束条件则目标函数的最大值为（ ）
A．2 B．3 C．5 D．6
3．设，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．阅读下边的程序框图，运行相应的程序，输出的值为（ ）
A．5 B．8 C．24 D．29
5．已知抛物线的焦点为，准线为，若与双曲线的两条渐近线分别交于点和点，且（为原点），则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
6．已知，，，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数是奇函数，将的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为．若的最小正周期为，且，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知，设函数若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷
二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．
9．是虚数单位，则的值为_____________．
10．的展开式中的常数项为_____________．
11．已知四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长均为．若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为_____________．
12．设，直线和圆（为参数）相切，则的值为_____________．
13．设，则的最小值为_____________．
14．在四边形中，，点在线段的延长线上，且，则_____________．
三．解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）
在中，内角所对的边分别为．已知，．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的值．
16．（本小题满分13分）
设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为．假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立．
（Ⅰ）用表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量的分布列和数学期望；
（Ⅱ）设为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件发生的概率．
17．（本小题满分13分）
如图，平面，，．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；
（Ⅲ）若二面角的余弦值为，求线段的长．
18．（本小题满分13分）
设椭圆的左焦点为，上顶点为．已知椭圆的短轴长为4，离心率为．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设点在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点为直线与轴的交点，点在轴的负半轴上．若（为原点），且，求直线的斜率．
19．（本小题满分14分）
设是等差数列，是等比数列．已知．
（Ⅰ）求和的通项公式；
（Ⅱ）设数列满足其中．
（i）求数列的通项公式；
（ii）求．
20．（本小题满分14分）
设函数为的导函数．
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）当时，证明；
（Ⅲ）设为函数在区间内的零点，其中，证明．
参考答案
一．选择题
1．D 【解析】设集合A={1，1，2，3，5}，集合C={x∈R|1x3}，则集合A∩C={1，2}，∵集合B={2，
3，4}，则集合（A∩C）∪B={1，2}∪{2，3，4}={1，2，3，4}；故选D．
2．C 【解析】由约束条件得可行域，由下图表示，联立解得A（1，1），
化目标函数z=4x+y为y=4x+z，由图可知，当直线y=4x+z过A时，z取最大值，=4+1=5．故
选C．
3．B 【解析】由x25x0可推出0x5，∵|x1|1，∴0x2，∵充分性：0x5推不出0x2，
充分性不成立；必要性：0x2 0x5，必要性成立，∴0x5是0x2的必要不充分条件，
即x25x0是|x1|1的必要不充分条件．故选B．
4．B 【解析】初始：i=1，s=0；第一次循环后，S=1，i=2，不满足条件；第二循环后，j=1，S=5，i=3，
不满足条件；第三次循环后，S=8，i=4，满足退出循环的条件；故输出S值为8，故选B．
5．D 【解析】∵抛物线y2=4x的焦点为F（1，0），准线为l：x=1，且l与双曲线=1（a0，
b0）的两条渐近线分别交于点A和点B，且|AB|=4|OF|=4（O为原点），∴|AB|=，|OF|=1，∴
=4，∴b=2a，∴c==a，∴e==．故选D．
6．A 【解析】由题意，可知：0a=log52=，b=log0.50.2===log25log24=2，
c=0.50.21，∴b最大，a、c都小于1．且ac，∴acb．故选A．
7．C 【解析】∵f（x）是奇函数，∴f（0）=0，即sinφ=0，|φ|，∴φ=0，则f（x）横坐标伸长到原来
的2倍（纵坐标不变），得到g（x）．即g（x）=Asin（ωx）∵g（x）的最小正周期为2π，∴=2π，
得ω=2，则g（x）=Asinx，f（x）=Asin2x，若g（）=，则g（）=Asin=A=，即
A=2，则f（x）=2sin2x，则f（）=2sin(2)=2sin=2=，故选C．
8．C 【解析】当x1时，f（x）=x22ax+2a0恒成立；则f（x）=x22ax+2a0 2a恒成立，
令h（x）=====
=0，∴2ah（x）max=0，∴a0．当x1时，f（x）=xalnx0 a恒
成立，令g（x）=，则g'（x）==，当xe时，g'（x）0，g（x）递增，当
1xe时，g'（x）0，g（x）递减，∴x=e时，g（x）取得最小值g（e）=e，∴ag（x）min=e，
综上a的取值范围是[0，e]．故选C．
二．填空题
9． 【解析】由题意，得===23i，∴||=|23i|==.
10． 【解析】由题意，可知，此二项式的展开式的通项为Tr+1=(2x)8-r()r= 28-r ()r x8-r
()r= (1)r28-4r x8-4r．∴当84r=0，即r=2时，此时常数项T2+1= (1)228-4×2=28．
11． 【解析】由题可知，四棱锥底面是边长为的正方形，且对角线垂直相交平分，∴对角线长为2，
由勾股定理得，正四棱锥的高为=2，由于圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中
点，有圆柱的上底面直径为底面正方形对角线的一半等于1，即半径等于；由相似比可得圆柱的
高为正四棱锥高的一半等于1，则圆柱的体积为V=sh=π()21=.
12． 【解析】∵a∈R，直线axy+2=0和圆（θ为参数）相切，∴圆心（2，1）到直线
axy+2=0的距离r==2，解得a=．
13． 【解析】x0，y0，x+2y=5，则===2+；由基
本不等式有2+2=4；当且仅当2=时，即xy=3，x+2y=5
时，即x=3，y=1或x=2，时，等号成立，故的最小值为4.
14． 【解析】∵AE=BE，AD∥BC，∠A=30°，∴在等腰三角形ABE中，∠BEA=120°，又AB=2，
∴AE=2，∴=，∵=+，∴=，又=++，
∴ =(+) ()=+ =+ cosA
=12+5225=1.
三．解答题
15．（13分）
（Ⅰ）解：在中，由正弦定理，得，
又∵，
∴，即．
又∵，
∴，．
由余弦定理可得．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可得，
∴，
，
∴．
16．（13分）
（Ⅰ）解：因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7：30之前到校的概率均为，故，从而．
∴随机变量的分布列为
0 1 2 3
随机变量的数学期望．
（Ⅱ）解：设乙同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数为，
则，且．
由题意知事件与互斥，
且事件与，事件与均相互独立，
从而由（Ⅰ）知
．
17．（13分）
依题意，可以建立以为原点，分别以的方向为轴，轴，轴正方向的空间直角坐标系（如图），可得，．设，则．
（Ⅰ）证明：依题意，是平面的法向量，
又，
∴，
又∵直线平面，
∴平面．
（Ⅱ）解：依题意，．
设为平面的法向量，
则即不妨令，
可得．
∴．
∴直线与平面所成角的正弦值为．
（Ⅲ）解：设为平面的法向量，
则即
不妨令，可得．
由题意，有，
解得．经检验，符合题意．
∴线段的长为．
18．（13分）
（Ⅰ）解：设椭圆的半焦距为，依题意，，
又∵，可得，．
∴椭圆的方程为．
（Ⅱ）解：由题意，设．
设直线的斜率为，又，
则直线的方程为，
与椭圆方程联立
整理得，
可得，代入得，
进而直线的斜率．
在中，令，得．
由题意得，
∴直线的斜率为．
由，得，
化简得，从而．
∴直线的斜率为或．
19．（14分）
（Ⅰ）解：设等差数列的公差为，等比数列的公比为．
依题意得解得
故．
∴的通项公式为的通项公式为．
（Ⅱ）（i）解：．
∴数列的通项公式为．
（ii）解：
．
20．（14分）
（Ⅰ）解：由已知，有．
∴当时，有，得，则单调递减；
当时，有，得，则单调递增．
∴的单调递增区间为，
的单调递减区间为．
（Ⅱ）证明：记．
依题意及（Ⅰ），有，
∴．
当时，，
故．
∴在区间上单调递减，
进而．
∴当时，．
（Ⅲ）证明：依题意，，即．
记，则，
且．
由及（Ⅰ），得．
由（Ⅱ）知，当时，，
∴在上为减函数，
∴．
又由（Ⅱ）知，，
故．
∴．