2019年高考数学真题及解析（天津卷：文科）

2019年高考数学真题（天津卷）
（数学：文科）
第Ⅰ卷
参考公式：
·如果事件A，B互斥，那么.
·圆柱的体积公式，其中表示圆柱的底面面积，表示圆柱的高.
·棱锥的体积公式，其中表示棱锥的底面面积，表示棱锥的高.
一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
（1）设集合，则（ ）
（A）{2} （B）{2，3} （C）{-1，2，3} （D）{1，2，3，4}
（2）设变量x，y满足约束条件则目标函数的最大值为（ ）
（A）2 （B）3 （C）5 （D）6
（3）设，则“”是“”的（ ）
（A）充分而不必要条件
（B）必要而不充分条件
（C）充要条件
（D）既不充分也不必要条件
（4）阅读下边的程序框图，运行相应的程序，输出S的值为（ ）
（A）5 （B）8 （C）24 （D）29
（5）已知，则a，b，c的大小关系为（ ）
（A） （B）
（c） （D）
（6）已知抛物线的焦点为F，准线为l.若l与双曲线的两条渐近线分别交于点A和点B，且（O为原点），则双曲线的离心率为（ ）
（A） （B） （C）2 （D）
（7）已知函数是奇函数，且的最小正周期为π，将的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为.若，则（ ）
（A）2 （B） （C） （D）2
（8）已知函数若关于x的方程恰有两个互异的实数解，则a的取值范围为（ ）
（A） （B） （C） （D）
第Ⅱ卷
二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．
（9）i是虚数单位，则的值为__________.
（10）设，使不等式成立的x的取值范围为__________.
（11）曲线在点处的切线方程为__________.
（12）已知四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长均为.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为__________.
（13）设，则的最小值为__________.
（14）在四边形中，，点E在线段的延长线上，且，则__________.
三．解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
（15）（本小题满分13分）
2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除.某单位老、中、青员工分别有人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况.
（Ⅰ）应从老、中、青员工中分别抽取多少人？
（Ⅱ）抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为.享受情况如下表，其中“○”表示享受，“×”表示不享受.现从这6人中随机抽取2人接受采访.
员工 项目 A B C D E F
子女教育 ○ ○ × ○ × ○
继续教育 × × ○ × ○ ○
大病医疗 × × × ○ × ×
住房贷款利息 ○ ○ × × ○ ○
住房租金 × × ○ × × ×
赡养老人 ○ ○ × × × ○
（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；
（ii）设M为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件M发生的概率.
（16）（本小题满分13分）
在中，内角所对的边分别为.已知，.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的值.
（17）（本小题满分13分）
如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为等边三角形，平面平面，.
（Ⅰ）设G，H分别为PB，AC的中点，求证：平面；
（Ⅱ）求证：平面；
（Ⅲ）求直线AD与平面所成角的正弦值.
（18）（本小题满分13分）
设是等差数列，是等比数列，公比大于0，已知.
（Ⅰ）求和的通项公式；
（Ⅱ）设数列满足求.
（19）（本小题满分14分）
设椭圆的左焦点为F，左顶点为A，上顶点为B.已知（O为原点）.
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）设经过点F且斜率为的直线l与椭圆在x轴上方的交点为P，圆C同时与x轴和直线l相切，圆心C在直线x=4上，且，求椭圆的方程.
（20）（本小题满分14分）
设函数，其中.
（Ⅰ）若a≤0，讨论的单调性；
（Ⅱ）若，
（i）证明恰有两个零点；
（ii）设为的极值点，为的零点，且，证明.
参考答案
一．选择题
1．D 【解析】设集合A={1，1，2，3，5}，集合C={x∈R|1x3}，则集合A∩C={1，2}，∵集合B={2，
3，4}，则集合（A∩C）∪B={1，2}∪{2，3，4}={1，2，3，4}；故选D．
2．C 【解析】由约束条件得可行域，由下图表示，联立解得A（1，1），
化目标函数z=4x+y为y=4x+z，由图可知，当直线y=4x+z过A时，z取最大值，=4+1=5．故
选C．
3．B 【解析】由x25x0可推出0x5，∵|x1|1，∴0x2，∵充分性：0x5推不出0x2，
充分性不成立；必要性：0x2 0x5，必要性成立，∴0x5是0x2的必要不充分条件，
即x25x0是|x1|1的必要不充分条件．故选B．
4．B 【解析】初始：i=1，s=0；第一次循环后，S=1，i=2，不满足条件；第二循环后，j=1，S=5，i=3，
不满足条件；第三次循环后，S=8，i=4，满足退出循环的条件；故输出S值为8，故选B．
5．A 【解析】由题意，可知，a=log27log24=2，b=log38log39=2，c=0.30.20.301，∴cba．故选
A．
6．D 【解析】∵抛物线y2=4x的焦点为F（1，0），准线为l：x=1，且l与双曲线=1（a0，
b0）的两条渐近线分别交于点A和点B，且|AB|=4|OF|=4（O为原点），∴|AB|=，|OF|=1，∴
=4，∴b=2a，∴c==a，∴e==．故选D．
7．C 【解析】∵f（x）是奇函数，∴f（0）=0，即sinφ=0，|φ|，∴φ=0，则f（x）横坐标伸长到原来
的2倍（纵坐标不变），得到g（x）．即g（x）=Asin（ωx）∵g（x）的最小正周期为2π，∴=2π，
得ω=2，则g（x）=Asinx，f（x）=Asin2x，若g（）=，则g（）=Asin=A=，即
A=2，则f（x）=2sin2x，则f（）=2sin(2)=2sin=2=，故选C．
8．D 【解析】作出函数的图象，以及直线y=x的图象，关于x的方程g（x）
=x+a（a∈R）恰有两个互异的实数解，即当y=f（x）和y=x+a的图象有两个交点时，平移直
线y=x，直线经过点（1，2）和（1，1），可得a=或a=；当g（x）与y=在x1相切时，
也满足条件，可得axx2=1，由=a21=0，解得a=1（a=1舍去），综上可得a的范围是[，
]∪{1}，故选D．
二．填空题
9． 【解析】∵f（x）是奇函数，∴f（0）=0，即sinφ=0，|φ|，∴φ=0，则f（x）横坐标伸长到原
来的2倍（纵坐标不变），得到g（x）．即g（x）=Asin（ωx）∵g（x）的最小正周期为2π，
∴=2π，得ω=2，则g（x）=Asinx，f（x）=Asin2x，若g（）=，则g（）=Asin=A=，
即A=2，则f（x）=2sin2x，则f（）=2sin(2)=2sin=2=，故选C．
10． 【解析】3x2+x20，将3x2+x2分解因式有(x+1)(3x2)0(x+1)(x)0，可得
1x；即.
11． 【解析】由题意，可知，y'=sinx，∵曲线在点（0,1）处的斜率y'|x=0=sin0=，
∴切线方程为y1=x，整理，得x+2y2=0．
12． 【解析】由题可知，四棱锥底面是边长为的正方形，且对角线垂直相交平分，∴对角线长为
2，由勾股定理得，正四棱锥的高为=2，由于圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱
的中点，有圆柱的上底面直径为底面正方形对角线的一半等于1，即半径等于；由相似比可得
圆柱的高为正四棱锥高的一半等于1，则圆柱的体积为V=sh=π()21=.
13． 【解析】x0，y0，x+2y=4，则===2+；由基本不等式
有2+2+=；当且仅当2=时，即xy=2，x+2y=4，x=2，y=1时，等号成立，故
的最小值为.
14． 【解析】∵AE=BE，AD∥BC，∠A=30°，∴在等腰三角形ABE中，∠BEA=120°，又AB=2，
∴AE=2，∴=，∵=+，∴=，又=++，
∴ =(+) ()=+ =+ cosA
=12+5225=1.
三.解答题
15．（13分）
解：（Ⅰ）由已知，老、中、青员工人数之比为，
∵采用分层抽样的方法从中抽取25位员工，
∴应从老、中、青员工中分别抽取6人，9人，10人.
（Ⅱ）（i）从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为
，共15种.
（ii）由表格知，符合题意的所有可能结果为
，共11种.
所以，事件M发生的概率.
16．（13分）
（Ⅰ）解：在中，由正弦定理，得，
又∵，
∴得，即.
又∵，
∴得到，.
由余弦定理可得.
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可得，
∴，，
故.
17．（13分）
（Ⅰ）证明：连接，易知，.
又∵，∴.
又∵平面PAD，平面PAD，∴平面PAD.
（Ⅱ）证明：取棱PC的中点N，连接DN.依题意，得DN⊥PC，
又∵平面平面PCD，平面 平面，
∴平面PAC，
又∵平面PAC，
故.
又∵，，
∴平面PCD.
（Ⅲ）解：连接AN，由（Ⅱ）中平面PAC，可知为直线与平面PAC所成的角，
∵为等边三角形，CD=2且N为PC的中点，
∴.又，
在中，.
∴直线AD与平面PAC所成角的正弦值为.
18．（13分）
（Ⅰ）解：设等差数列的公差为，等比数列的公比为.
依题意，得解得故.
∴的通项公式为，的通项公式为.
（Ⅱ）解：
.
记
则
② ①得，.
∴.
19．（14分）
（Ⅰ）解：设椭圆的半焦距为c，由已知有，
又∵，消去得，解得.
∴椭圆的离心率为.
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，，故椭圆方程为.
由题意，，则直线的方程为 ，点P的坐标满足
消去并化简，得到，
解得.
代入到的方程，解得.
∵点在轴上方，
∴.由圆心在直线上，
可设.∵，且由（Ⅰ）知，
∴，解得.
∵圆与轴相切，
∴圆的半径长为2，
又∵圆与相切，得，可得.
∴椭圆的方程为.
20．（14分）
（Ⅰ）解：由已知，的定义域为，且.
∴当a≤0时，，从而，
∴在内单调递增.
（Ⅱ）证明：（i）由（Ⅰ）知.
令，由，
可知在内单调递减，又，且.
故在内有唯一解，
从而在内有唯一解，
不妨设为，则.
当时，，
∴在内单调递增；
当时，，
∴在内单调递减，因此是的唯一极值点.
令，则当时，，
故在内单调递减，
从而当时，，
∴，从而，
又∵，∴在内有唯零点.又在内有唯一零点1，
从而，在内恰有两个零点.
（ii）由题意，即
从而，即.
∵当时，，
又，故，
两边取对数，得，于是，
整理得.