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第二章 二次函数
回顾与思考（第2课时）
二次函数的应用
一、最大值问题
(1)最大利润问题；
(2)最大面积问题
二、需建立坐标系的问题
三、二次函数与一元二次方程
解：设旅行团人数为x人,营业额为y元,则
y
例1：某旅行社组团去外地旅游,30人起组团,每人单价800元.旅行社对超过30人的团给予优惠,即旅行团每增加一人,每人的单价就降低10元.你能帮助分析一下,当旅行团的人数是多少时,旅行社可以获得最大营业额？
答：当旅行社的人数是55人时，旅行社可以获得最大的营业额。
最大利润问题
1、某商场销售某种品牌的纯牛奶,已知进价为每箱40元, 要求每箱售价在40元～70元之间.市场调查发现:若每箱按50元销售,平均每天可售出90箱,价格每降低1元,平均每天多销售3箱;价格每升高1元,平均每天少销售3箱.
(1)写出售价x(元/箱)与每天所得利润w(元)之间的函数关系式;
(2)每箱定价多少元时,才能使平均每天的利润最大 最大利润是多少
自我检测
方法1:(公式法)根据题意,h=-5t2+v0t顶点的纵坐标为15 .
例2：竖直向上发射物体的高度h(m)满足关系式h=-5t2+v0t，其中t(s)是物体运动的时间,v0(m/s)是物体被发射时的速度.某公园计划设计园内喷泉，喷水的最大高度要求达到15m,那么喷水的速度应该达到多少？(结果精确到0.01m/s).
答：喷水的速度应该达到17.32m/s.
最大高度问题
例2：竖直向上发射物体的高度h(m)满足关系式h=-5t2+v0t，其中t(s)是物体运动的时间,v0(m/s)是物体被发射时的速度.某公园计划设计园内喷泉，喷水的最大高度要求达到15m,那么喷水的速度应该达到多少？(结果精确到0.01m/s).
方法2:(用顶点式)根据题意,h=-5t2+v0t顶点的纵坐标为15.
方法1：解:如图,设矩形的一边AB=x m,那么另一边BC=(15-x) m,面积为S m2,则
例3：如图,假设篱笆(虚线部分)的长度是15m,如何围篱笆才能使其所围成矩形的面积最大
B
D
A
C
最大面积问题
方法2：解:如图,设矩形的一边AB=x m,那么另一边BC=(15-x) m,面积为S m2,则
例3：如图,假设篱笆(虚线部分)的长度是15m,如何围篱笆才能使其所围成矩形的面积最大
B
D
A
C
例4.小明的家门前有一块空地，空地外有一面长10米的围墙，为了美化生活环境，小明的爸爸准备靠墙修建一个矩形花圃，他买回了32米长的不锈钢管准备作为花圃的围栏，为了浇花和赏花的方便，准备在花圃的中间再围出一条宽为一米的通道及在左右花圃各放一个1米宽的门（木质）。花圃的宽AD究竟应为多少米才能使花圃的面积最大？
解：设AD=x,则AB=32-4x+2=34-4x
从而S=x(34-4x)-x=-4x2+34x
∵AB≤10 ∴6.25≤x
S=-4x2+34x，对称轴x=4.25,开口朝下
∴当x≥4.25时S随x的增大而减小
故当x=6.25时，S取最大值56.25
B
D
A
H
E
G
F
C
例5： 如图，一位运动员在距篮下4m处起跳投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离是2.5m时，球达到最大高度3.5m ,已知篮筐中心到地面的距离3.05m , 问球出手时离地面多高时才能投中？
球的出手点A的横坐标为-2.5，将x=-2.5代入抛物线表达式得y=2.25,即当出手高度为2.25m时，才能投中。
x
y
2.5m
4m
3.05
A
B
C
O
3.5
解：建立如图所示的直角坐标系，则球的最 高点和球篮的坐标分别为B(0,3.5),C(1.5,3.05).
3.5=c
3.05=1.52a+c
设所求的二次函数的表达式为y=ax2+c.
将点B和点C的坐标代入，得
解得
a= -02
c= 3.5
∴该抛物线的表达式为y=-0.2x2+3.5
此类问题需建立坐标系
解:建立如图所示的坐标系
例6：一座抛物线型拱桥如图所示,桥下水面宽度是4m,拱高是2m.当水面下降1m后,水面的宽度是多少 (结果精确到0.1m).
●A(2,-2)
●B(X,-3)
二次函数与一元二次方程
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点有三种情况:有两个交点,有一个交点,没有交点.当二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴有交点时,交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值,即一元二次方程ax2+bx+c=0的根.
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴的交点 一元二次方程ax2+bx+c=0的根 一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式Δ=b2-4ac
有两个交点
有两个相异的实数根
b2-4ac > 0
有一个交点
有两个相等的实数根
b2-4ac = 0
没有交点
没有实数根
b2-4ac < 0
当y取定值时，二次函数即是一元二次方程。
思考与复习
二次函数 何时为一元二次方程 它们的关系如何
y=ax2+bx+c
例7：一个足球从地面向上踢出，它距地面的高度h（m）可以用公式 来表示。其中t（s）表示足球被踢出后经过的时间，图象如图所示：
（1）当t＝1和t＝2时，足球的高度分别是多少？
（2）方程 的根的实际意义是什么？你能在图象上表示出来吗？
（3）方程 的根的实际意义是什么？
你能在图象上表示出来吗？
解：（1）当t＝1时，
即当t＝1时，足球距离地面的高度是14.7m。
当t＝2时，
即当t＝2时，足球距离地面的高度是19.6m。
（2）是足球离开地面及落地的时间。
（3）是足球高度是14.7m时的时间。
1.理解问题;
2.分析问题中的变量和常量,以及它们之间的关系;
3.用数学的方式表示出它们之间的关系;
4.做数学求解;
5.检验结果的合理性,拓展等.
课堂小结
课本复习题
知识技能 第6、7题；
数学理解 第13、15、16题.
作业(共20张PPT)
第二章 二次函数
回顾与思考（第1课时）
回顾与思考
1.你在哪些情况下见到过抛物线的“身影” 用语言或图象来进行描述.
2.你能用二次函数的知识解决哪些实际问题 与同伴交流.
3.小结画二次函数图象的方法.
4.二次函数的图象有哪些性质 如何确定它的开口方向、对称轴和顶点坐标 请用具体例子进行说明.
5.用具体例子说明如何更恰当或更有效地利用二次函数的表达式、表格和图象刻画变量之间的关系.
6.用自己的语言描述二次函数y=ax2+bx+c的图象与方程ax2+bx+c=0的根之间的关系.
知识框架
二次函数
定义
图象
相关概念
抛物线
对称轴
顶点
性质和图象
开口方向、对称轴、顶点坐标
增减性
解析式的确定
一般式 y=ax2+bx+c
顶点式 y=a(x-h)2+k
交点式y=a(x-x1)(x-x2)
关联
二次函数与一元二次方程的关系
知识点1、二次函数的定义
定义：一般地,形如y=ax +bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的函数叫做x的二次函数.
提示:
(1)关于x的代数式一定是整式,a,b,c为常数,且a≠0.
(2)等式的右边最高次数为2,可以没有一次项
和常数项,但不能没有二次项.
下列函数中,哪些是二次函数？
怎么判断？
(1）y=3(x-1) +1;
(5)y=(x+3) -x .
随堂演练1
（是）
（是）
（不是）
（不是）
（不是）
(3) s=3- t .
（一）抛物线y =ax 2(a≠0)的图象特点
二次函数 开 口 方 向 对 称 轴 顶 点 坐 标
y = ax 2 a ＞ 0
a ＜ 0
向上
向下
x=0（y轴）
(0,0)
向上
向下
x=0（y轴）
（0，k）
知识点2、二次函数的图象与性质
（二）抛物线y=ax2+k(a≠0)的图象特点
二次函数 开口方向 对称轴 顶点坐标
y = ax 2+k a ＞ 0
a ＜ 0
二次函数 开口方向 对称轴 顶点坐标
y = a(x-h) 2 a ＞ 0
a ＜ 0
向上
向下
直线x=h
（h，0）
（三）抛物线y =a(x-h)2( a≠0 )的图象特点
(四) 抛物线y=a(x-h)2 +k(a ≠0)的图象特点
二次函数 开口方向 对称轴 顶点坐标
y = a(x-h) 2+k a ＞ 0
a ＜ 0
（h，k）
向上
向下
直线x=h
1、平移关系
2、顶点变化
当h>0时,向右平移
当h<0时,向左平移
y=ax2
y=a(x－h)2
（h,0)
（0,0)
当k>0时,向上平移
当k<0时,向下平移
y=a(x－h)2+k
（h,k)
知识点3、抛物线的平移
-1
-2
-3
-4
0
1
2
3
4
1
2
3
4
5
6
-1
-2
观察y=x2与y=x2-6x+7的函数图象，说说y=x2-6x+7的图象是怎样由y=x2的图象平移得到的？
y=x2-6x+7
=x2-6x+9-2
=(x-3)2-2
巩固练习1：
（1）抛物线y = x 2的开口向 ,对称轴是 ,顶点坐标是 ,图象过第_______象限 ；
（2)已知y =-nx2(n＞0),则图象 ( )（填“可能”或“不可能”）过点A（-2,3）.
上
y轴
(0,0)
一、二
不可能
（3）抛物线y=x2+3的开口向 ,对称轴是 ,顶点坐标是 ,是由抛物线y =x 2向 平移 个单位得到的；
上
x=0
（0，3）
上
3
（5）抛物线 y = 2 (x - ) 2+1 的开口向 , 对称轴 , 顶点坐标是______
（6）若抛物线y = a (x+m) 2+n开口向下，顶点在第四象限，则a 0, m 0, n 0。
上
＜
＜
＜
（4）已知（如图）抛物线y = ax 2+k的图象，则a 0，k 0；若图象过A (0,-2) 和B (2,0) ，则a = ,k = ；函数关系式是y = 。
＞
＜
-2
a>0
a<0
开口方向
向上
向下
顶点
对称轴
增减性
最 值
当 时
当 时
当 时
y随x的增大而减少
y随x的增大而增大
当 时
y随x的增大而减少
当 时
y随x的增大而增大
当 时
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质
1.若无论x取何实数，二次函数y=ax2+bx+c的值总为负，那么a、c应满足的条件是（ ）
A.a>0且b2-4ac≥0 B.a>0且b2-4ac>0
C.a<0且b2-4ac<0 D.a<0且b2-4ac≤0
2.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，请根据图象判断下列各式的符号：a 0 ,b 0,
c 0 , 0 ,
a-b+c 0,a+b+c 0
<
<
>
>
>
=
C
3.函数y=ax+b和y=ax2+bx+c在同一直角坐标系内的图象大致是（ ）
4.已知二次函数y=ax2+bx+c中a>0,b<0,c<0,请画一个能反映这样特征的二次函数草图.
C
2、已知抛物线顶点坐标（h, k），通常设抛物线解析式为_______________
3、已知抛物线与x 轴的两个交点(x1,0)、 (x2,0),通常设解析式为_____________
1、已知抛物线上的三点，通常设解析式为________________
y=ax2+bx+c(a≠0)
y=a(x-h)2+k(a≠0)
y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0)
二次函数解析式的三种表示方式
1、二次函数y=ax2+bx+c的最大值是2，图象顶点在直线y=x+1上，并且图象经过点（3，-6），求a、b、c。
解：∵二次函数的最大值是2
∴抛物线的顶点纵坐标为2
又∵抛物线的顶点在直线y=x+1上
∴当y=2时，x=1 ∴顶点坐标为（ 1 ， 2）
∴设二次函数的解析式为y=a(x-1)2+2
又∵图象经过点（3，-6）
∴-6=a (3-1)2+2 ∴a=-2
∴二次函数的解析式为y=-2(x-1)2+2
即： y=-2x2+4x
2.若a+b+c=0,a 0,把抛物线y=ax2+bx+c向下
平移4个单位,再向左平移5个单位所得到的新
抛物线的顶点是(-2,0),求原抛物线的解析式.
分析:
(1)由a+b+c=0可知,原抛物线的图象经过(1,0)
(2) 新抛物线向右平移5个单位,
再向上平移4个单位即得原抛物线
答案:y=-x2+6x-5
3、已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴正、负半轴分别交于A、B两点，与y轴负半轴交于点C。若OA=4，OB=1，∠ACB=90°，求抛物线解析式。
解： ∵点A在正半轴，OA=4，
∴点A（4，0）
∵点B在负半轴， OB=1，
∴点B（-1，0）
又 ∵ ∠ACB=90°
∴OC2=OA·OB=4
∴OC=2，点C（0，-2）
抛物线的解析式为
A
B
x
y
O
C
4、已知二次函数y=ax2-5x+c的图象如图。
(1)当x为何值时，y随x的增大而增大？
(2)当x为何值时，y<0？
y
O
x
(3)求它的解析式和顶点坐标。
作业：课本复习题1－5
