2022年高考数学二轮专题复习 专题2 概率与统计（解答题专项）（Word版含解析）

2022年高考数学二轮专题复习 专题2 概率与统计（解答题专项）
一、解答题
1．在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手（1至5号）登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手．各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名．观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中随机选3名歌手．
（1）求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；
（2）X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求X的分布列和数学期望．
2．2020年1月24日，中国疾控中心成功分离中国首株新型冠状病毒毒种.6月19日，中国首个新冠mRNA疫苗获批启动临床试验，截至2020年10月20日，中国共计接种了约6万名受试者，为了研究年龄与疫苗的不良反应的统计关系，现从受试者中采取分层抽样抽取100名，其中大龄受试者有30人，舒张压偏高或偏低的有10人，年轻受试者有70人，舒张压正常的有60人.
运算公式： ，
对照表：
( ) 0.100 0.050 0.010 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
（1）根据已知条件完成下面的 列联表，并据此资料你是否能够以99%的把握认为受试者的年龄与舒张压偏高或偏低有关？
　 大龄受试者 年轻受试者 合计
舒张压偏高或偏低 　 　 　
舒张压正常 　 　 　
合计 　 　 　
（2）在上述100人中，从舒张压偏高或偏低的所有受试者中采用分层抽样抽取6人，从抽出的6人中任取3人，设取出的大龄受试者人数为 ，求 的分布列和数学期望.
3．一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得30分，出现两次音乐获得50分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除100分（即获得-100分）.设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立.
（1）设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列与期望；
（2）玩2盘游戏，至少有一盘获得50分的概率为多少？
4．我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出．某市为了节约生活用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理（即确定一个居民月均用水量标准 用水量不超过a的部分按照平价收费，超过a的部分按照议价收费）．为了较为合理地确定出这个标准，通过抽样获得了 100位居民某年的月均用水量（单位：t），制作了频率分布直方图．
（1）由于某种原因频率分布直方图部分数据丢失，请在图中将其补充完整；
（2）用样本估计总体，如果希望80%的居民每月的用水量不超出标准 则月均用水量的最低标准定为多少吨，请说明理由；
（3）从频率分布直方图中估计该100位居民月均用水量的众数，中位数，平均数（同一组中的数据用该区间的中点值代表）．
5．为了认真贯彻落实北京市教委关于做好中小学生延期开学期间“停课不停学”工作要求，各校以教师线上指导帮助和学生居家自主学习相结合的教学模式积极开展工作，并鼓励学生积极开展锻炼身体和课外阅读活动．为了解学生居家自主学习和锻炼身体的情况，从某校高三年级随机抽取了100名学生，获得了他们一天中用于居家自主学习和锻炼身体的总时间分别在[2，3），[3，4），[4，5），…，[8，9），[9，10）（单位：小时）的数据，整理得到的数据绘制成频率分布直方图（如图）．
（Ⅰ）由图中数据求a的值，并估计从该校高三年级中随机抽取一名学生，这名学生该天居家自主学习和锻炼身体的总时间在[5，6）的概率；
（Ⅱ）为了进一步了解学生该天锻炼身体的情况，现从抽取的100名学生该天居家自主学习和锻炼身体的总时间在[2，3）和[8，9）的人中任选3人，求其中在[8，9）的人数X的分布列和数学期望；
（Ⅲ）假设同一时间段中的每个数据可用该时间段的中点值代替，试估计样本中的100名学生该天居家自主学习和锻炼身体总时间的平均数在哪个时间段？（只需写出结论）
6．某校为推进科技进校园活动组织了一次科技知识问答竞赛，组委会抽取了100名学生参加，得到的竞赛成绩作出如图所示频率分布直方图．已知成绩在 的学生有20人．
（1）求a，b的值，并估计本次竞赛学生成绩的中位数（结果保留一位小数）；
（2）从成绩在 与 学生中任取3人进行问卷调查．记这3名学生成绩在 内的人数为 ，求 的分布列与期望．
7．某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，对该流水线上的产品进行简单随机抽样，获得数据如下表：
分组区间(单位：克)
产品件数 3 4 7 5 1
包装质量在 克的产品为一等品，其余为二等品
（1）估计从该流水线任取一件产品为一等品的概率；
（2）从上述抽取的样本产品中任取2件，设X为一等品的产品数量，求X的分布列；
（3）从该流水线上任取2件产品，设Y为一等品的产品数量，求Y的分布列；试比较期望 与则望 的大小.(结论不要求证明)
8．某中学调查了某班全部 45 名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：（单位：人）
参加书法社团 未参加书法社团
参加演讲社团 8 5
未参加书法社团 2 30
（1）从该班随机选 1 名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率；
（2）在既参加书法社团又参加演讲社团的 8 名同学中，有 5 名男同学 ,3名女同学 .现从这 5 名男同学和 3 名女同学中各随机选 1 人，求 被选中且 未被选中的概率.
9．某班 名同学的数学小测成绩的频率分布表如图所示，其中 ，且分数在 的有 人.
（1）求 的值;
（2）若分数在 的人数是分数在 的人数的 ，求从不及格的人中任意选取3人，其中分数在50分以下的人数为 ，求 的数学期望.
10．某校积极响应习近平总书记关于共建学习型社会的号召，开展了“学党史，强信仰，跟党走”的主题学习活动.在一次“党史”知识竞赛活动中，给出了 、 、 三道题，答对 、 、 分别得2分、2分、4分，答错不得分.已知甲同学答对问题 、 、 的概率分别为 、 、 ，乙同学答对问题 、 、 的概率均为 ，甲、乙两位同学都需回答这三道题，且各题回答正确与否相互独立.
（1）求甲同学至少有一道题不能答对的概率；
（2）请结合统计的知识判断甲、乙两人在本次“党史”知识竞赛中，哪位同学得分高.
11．某社区为丰富居民的业余文化生活，打算在周一到周五连续为该社区居民举行“社区音乐会”，每晚举行一场，但若遇到风雨天气，则暂停举行.根据气象部门的天气预报得知，在周一到周五这五天的晚上，前三天每天出现风雨天气的概率均为 ，后两天每天出现风雨天气的概率均为 ，每天晚上是否出现风雨天气相互独立.已知前两天的晚上均出现风雨天气的概率为 ，且这五天至少有一天晚上出现风雨天气的概率为 .
（1）求该社区能举行4场音乐会的概率；
（2）求该社区举行音乐会场数X的数学期望.
12．近年来，空气质量成为人们越来越关注的话题，空气质量指数（，Air Quality Inder简称 ）是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照 大小分为六级， 为优； 为良； 为轻度污染； 为中度污染； 为重度污染；大于300为严重污染．环保部门记录了2017年某月哈尔滨市10天的 的茎叶图如下：
（1）利用该样本估计该地本月空气质量优良（ ）的天数；（按这个月总共30天计算）
（2）现工作人员从这10天中空气质量为优良的日子里随机抽取2天进行某项研究，求抽取的2天中至少有一天空气质量是优的概率；
（3）将频率视为概率，从本月中随机抽取3天，记空气质量优良的天数为 ，求 的概率分布列和数学期望.
13．2020年新型冠状病毒肺炎疫情期间，某医院随着医疗工作的有序开展，从2020年3月1日算第一天起，该医院每日治愈的新型冠状病毒肺炎人数 （人）的近5天的具体数据如下表：
第 天 1 2 3 4 5
治愈的新型冠状病毒肺炎人数 （人） 2 4 8 18
若在一定时间内，该医院每日治愈的新型冠状病毒肺炎病人数 与天数 具有相关关系，已知线性回归方程 恒过定点 ，且 ， .
（1）求 的值和线性回归方程 ；
（2）预测该医院3月11日能否可以实现“单日治愈人数突破40人”的目标？
参考公式： ， ， ， 为样本平均值.
14．为了解生猪市场与当地居民人均收入水平的关系，农业农村部对160城镇当月的猪肉价格(元/千克)与居民人均收入(元/月)进行了随机调研得到如下表格：
猪肉价格(元/千克) 人均收入(元/月)
6 15 0
2 27 5
9 45 16
0 16 19
附： ，其中 .
0.05 0.010 0.005
k 3.841 6.635 7.879
猪肉价格(元/千克) 人均收入(元/月) 合计
　 　 　
　 　 　
合计 　 　 　
（1）估计全国各地猪肉价格在 (元/千克)内的概率；
（2）估计这160个城镇的居民人均收入(元/月)的中位数(计算结果保留整数)；
（3）根据所给数据完成下面的列联表并根据列联表判断是否有99.5%的把握认为当月的猪肉价格与当地居民人均收入水平有关.
15．某中学数学竞赛培训共开设有初等代数、初等几何、初等数论和微积分初步共四门课程，要求初等代数、初等几何都要合格，且初等数论和微积分初步至少有一门合格，才能取得参加数学竞赛复赛的资格，现有甲、乙、丙三位同学报名参加数学竞赛培训，每一位同学对这四门课程考试是否合格相互独立，其合格的概率均相同，（见下表），且每一门课程是否合格相互独立，
课
程 初等代数 初等几何 初等数论 微积分初步
合格的概率
（1）求甲同学取得参加数学竞赛复赛的资格的概率；
（2）记 表示三位同学中取得参加数学竞赛复赛的资格的人数，求 的分布列（只需列式无需计算）及期望 .
答案解析部分
1．【答案】（1）解：设事件A表示：“观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手”，
观众甲选中3号歌手的概率为 ，观众乙未选中3号歌手的概率为1﹣ = ，
∴P（A）= ，
∴观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率为 ；
（2）解：X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，则X可取0，1，2，3．
观众甲选中3号歌手的概率为 ，观众乙选中3号歌手的概率为 ，
当观众甲、乙、丙均未选中3号歌手时，这时X=0，P（X=0）=（1﹣ ）（1﹣ ）2= ，
当观众甲、乙、丙只有一人选中3号歌手时，这时X=1，
P（X=1）= （1﹣ ）2+（1﹣ ） （1﹣ ）+（1﹣ ）（1﹣ ） = ，
当观众甲、乙、丙只有二人选中3号歌手时，这时X=2，
P（X=2）= （1﹣ ）+（1﹣ ） + （1﹣ ） = ，
当观众甲、乙、丙都选中3号歌手时，这时X=3，
P（X=3）= （ ）2= ，
X的分布列如下：
X 0 1 2 3
P
∴数学期望EX=0× +1× +2× +3× = ．
2．【答案】（1）解： 列联表如下：
　 大龄受试者 年轻受试者 合计
舒张压偏高或偏低 10 10 20
舒张压正常 20 60 80
合计 30 70 100
所以，没有 的把握认为受试者的年龄与舒张压偏高或偏低有关．
（2）解：由题意得，采用分层抽样抽取的6人中，大龄受试者有3人，年轻受试者有3人，
所以大龄受试者人数为 的可能取值为 ，
所以 ， ，
， ，
所以 的分布列为：
0 1 2 3
所以 .
3．【答案】（1）解：所有可能取值为30，50，100，-100；
根据题意，有
，，
，．
所以的分布列为：
30 50 100 -100
P
期望.
（2）解：由（1）知，玩1盘游戏获得50分的概率为：，则玩1盘游戏没有获得50分的概率为：；
设事件A表示玩2盘游戏，至少有一盘获得50分，
所以，即玩2盘游戏，至少有一盘获得50分的概率为.
4．【答案】（1）解：根据题意得：1.5﹣2t的用户的 =0.4，如图所示：
（2）解：月均用水量的最低标准应定为2.5吨，理由为：
样本中月均用水量不低于2.5吨的居民有20位，占样本总体的20%，
由样本估计总体，要保证80%的居民每月的用水量不超出标准，月均用水量的最低标准应定为2.5吨
（3）解：这100位居民的月均用水量的众数2.25，中位数2，
平均数为0.5×（ ×0.10+ ×0.20+ ×0.30+ ×0.40+ ×0.60+ ×0.30+ ×0.10）=1.875
5．【答案】解：（Ⅰ）因为（0.05+0.1+0.18+a+0.32+0.1+0.03+0.02）×1＝1，所以a＝0.2．
因为0.2×1×100＝20，
所以该天居家自主学习和锻炼身体总时间在[5，6）的学生有20人．
所以从该校高三年级中随机抽取一名学生，这名学生该天居家自主学习和锻炼身体总时间在[5，6）的概率为 ．
（Ⅱ）由图中数据可知，该天居家自主学习和锻炼身体总时间在[2，3）和[8，9）的人分别为5人和3人．
所以X的所有可能取值为0，1，2，3．
P（X＝0） ，P（X＝1） ，
P（X＝2） ，P（X＝3） ．
所以X的分布列为：
0 1 2 3
所以数学期望E（X） ．
（III）样本中的100名学生该天居家自主学习和锻炼身体总时间的平均数在[5，6）．
6．【答案】（1）已知成绩在 的学生有20人，故其频率为 ，所以 ，
所以 ，得 ，
由题得左边第一个矩形的面积为0.03，第二个矩形的面积为0.17，第三个矩形的面积为0.2，第四个矩形的面积为0.3，
所以中位数在第四个矩形里面，设中位数为x，则 ，
所以 ，所以中位数为81.7.
（2）由题意知，成绩在 的学生人数为3人，成绩在 的学生人数为5人，
所有可能的取值为0，1，2，3，
， ，
， ，
故 的发布列为
0 1 2 4
服从超几何分布所以 的期望为 ．
7．【答案】（1）解：样本中一共有 件产品，包装质量在 克的产品有 件，故从该流水线任取一件产品为一等品的概率
（2）解：依题意 的可能取值为 、 、 ；
， ，
故 的分布列为：
0 1 2
（3）解：由（2）可得
依题意 ，则 的可能取值为 ， ，
， ，
故 的分布列为：
0 1 2
所以
所以
8．【答案】（1）解：从45个人中随机选一人的可能结果有45种，参加社团的同学共有8+5+2=15人，故所求概率
为
（2）解：从5名男同学和3名女同学中各随机选取一人，则所有的可能结果有：
共15种，
其中 选中 未被选中的结果有2种，故所求概率为
9．【答案】（1）解：依题意得
因为，在 的有 人，所以
故 的值为
（2）解：由 ，于是，分数在 及 内的人数分别为3人与9人，即不及格的人数为12人。从中任选3人，其中分数在50分以下的人数为 ，则 的可取值分别为：
所以， 的分布列如下：
故 的数学期为
10．【答案】（1）解：设甲同学三道题都答对的事件为 ，则 ，
所以甲同学至少有一道题不能答对的概率为 .
（2）设甲同学本次竞赛中得分为 ，则 的可能取值为 分，
则 ， ，
，
所以 的概率分布列为：
0 2 4 6 8
所以 （分）
设乙同学本次竞赛中得分为 ，由 的可能取值为 分
， ，
，
所以 的概率分布列为：
0 2 4 6 8
所以
由于 ，
所以乙同学的得分高.
11．【答案】（1）解：依题意 .
所以该社区能举行4场音乐会的概率为:
（2）解： 的可能取值为 ，
，
，
，
，
， ，
所以 的分布列为：
0 1 2 3 4 5
.
12．【答案】（1）解：从茎叶图中可发现该样本中空气质量优的天数为2，空气质量良的天数为4，
故该样本中空气质量优良的频率为 ，从而估计该月空气质量优良的天数为
（2）解：由题意可知，10天中有6天是优良，其中2天优，所以
（3）解：由（1）估计某天空气质量优良的概率为 ， 的所有可能取值为0,1,2,3
，
，
故 的分布列为：
显然 ，
13．【答案】（1）解：由题意， ， ，
∴ ，解得 ，
∵ ， ，
所以， ，
，
所以线性回归方程为
（2）解：在 中，3月11日即 ，
取 . .
∵ ，
∴该医院3月11日能实现“单日治愈人数突破40人”的目标
14．【答案】（1）解：因为这160个城镇的猪肉价格在 (元/千克)内的频率为 ，
所以据此得全国各地猪肉价格在 (元/千克)内的概率约为 ；
（2）解：因为居民人均收入(元/月)在 的频率为 ，
居民人均收入(元/月)在 内的频率为 ，
所以居民人均收入(元/月)的中位数在 之间，
因为 .
所以中位数约为4357；
（3）解：列联表如下：
猪肉价格(元/千克) 人均收人(元/月) 合计
50 5 55
70 35 105
合计 120 40 160
因为 ，
所以有99.5%的把握认为当月的猪肉价格与当地居民人均收入水平有关.
15．【答案】（1）解：分别记甲对这四门课程考试合格为事件 ，则“甲能修得该课程学分”的概率为 ，事件 相互独立，
（2）解： ， ，
，
因此， 的分布列如下：
0 1 2 3
因为 ～
所以
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