(共18张PPT)
第三章 圆
回顾与思考（第1课时）
一、知识结构
圆
基本概念与性质
与圆有关的位置关系
与圆有关的计算
定义
对称性
点与圆的位置关系
弧长
确定圆的条件
圆周角与圆心角的关系
垂径定理
圆心角、弧、弦的关系
直线与圆的位置关系
圆的内接四边形
扇形面积
切线长定理
内接正多边形
圆是 对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的 ；圆又是 对称图形， 是它的对称中心.
二、知识点回顾
圆的对称性
轴
对称轴
中心
圆心
O
垂径定理
垂直于弦的直径平分 ，并且平分 ；
平分弦（不是直径）的 垂直于弦，并且平分 .
·
O
A
B
D
E
这条弦
弦所对的两条弧
直径
弦所对的两条弧
∵ CD是直径,
∴AE=BE,
⌒
⌒
AC =BC,
⌒
⌒
AD=BD.
CD⊥AB,
C
证明线段或弧相等的重要定理
在同圆或等圆中，如果两个 ，两条 ，两条 ，中有一组量 ，那么它们所对应的其余各组量都分别 .
圆心角、弧、弦的关系
·
O
A
B
A′
B′
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的 相等，所对的 相等。
弧
弦
圆心角
弧
弦
相等
相等
同弧或等弧所对的圆周角 ，都等于它所对弧的圆心角 .
圆周角定理
·
A
C
B
O
·
A
C1
O
C2
C3
B
相等
度数的一半
直径所对的圆周角是 ，90°所对的弦是 .
直角
直径
点与圆的位置关系
① d r，
② d r
③ d r.
2. 直线与圆的位置关系
① d r，
② d r
③ d r.
与圆有关的位置关系
r
·
O
A
P
P
P
·
l
O
r
l
l
点P在圆外
点P在圆上
点P在圆内
>
=
<
直线和⊙O相交
直线和⊙O相切
直线和⊙O相离
<
=
>
圆的切线的性质
圆的切线 过切点的半径；
经过 的外端，并且 这条
的直线是圆的切线.
·
O
l
A
∵l是⊙O的切线，
切点为A，OA是⊙O的直径，
∴OA⊥l
圆的切线的判定
垂直于
·
O
A
l
半径
垂直于
半径
∵OA是⊙O的半径, l⊥OA于A,
∴ l是⊙O的切线.
切线长定理
A
P
O
。
B
从圆外一点所画的圆的两条切线的长相等。
∵PA、PB分别切⊙O于A、B，
∴PA=PB
圆的内接多边形
A
B
C
D
圆的内接四边形对角互补
圆的内接正多边形
弧长与扇形面积的计算
·
O
n°
1°
n°的圆心角所对的弧长计算公式为 .
n°的圆心角所在的扇形面积为 。
三、精选精练
1．如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠ACO=30°，∠B=_______．
『要点』通过辅助线的添加，建立同弧所对的圆周角及圆心角或直径所对的圆周角，实现所求对象的转换。
60 °
B
A
O
C
B
A
O
C
D
法一：连接OA
法二：延长CO交⊙O于D，连接DA
2. 如图2，在⊙O中，弦AB=1.8cm，圆周角∠ACB=30°，则⊙O的直径等于______cm.
B
C
O
A
D
3.6
『要点』当所求对象非显性存在时，可先将其作出，并寻找与之相关的已知条件
连接AO，并延长交⊙O于D，连接BD，
∴∠D=∠C=30° ，
∵AD是直径，∴∠B=90° ，
3、已知：如图，AB是⊙O的弦，半径OC、OD分别交AB于点E、F, 且AE=BF，请你找出线段OE与OF的数量关系，并给予证明。
『要点』图形呈轴对称性时，可利用垂径定理求解，也可利用半径和弦组成的等腰三角形的对称性求解
O
A
B
C
D
E
F
O
A
B
C
D
E
F
4、某宾馆大堂要铺设圆环形地毯，如图，工人王师傅只测量了与小圆相切的大圆的弦AB的长就计算出了圆环的面积，王师傅是怎样算的？请你用圆的相关知识加以解释。
『要点』遇到相切问题经常需要作出过切点的半径，垂径定理往往需要建立的直角三角形，并利用勾股定理求解三边。
O
A
B
C
连接圆心O与切点C，连接AO ，
∵OC⊥AB,
∴在△AOC中，AO2-OC2=AC2,
∴S圆环面积=π(AO2-OC2)=πAC2,
60 °
『要点』过圆外一点可作两条与圆相切的直线，该点与两切点的距离相等，且OO’平分∠AOB
5、如图，过圆外一点O作⊙O′的两条切线OA、OB，A、B是切点，且OO′长是⊙O′半径的两倍，则∠AOB=______
O
A
B
O’
6、如图，Rt△ABC内接于⊙O，∠A=30°，延长斜边AB到D，使BD等于⊙O半径，求证：DC是⊙O切线。
『要点』求证圆的切线问题除了需要作出过切点的半径，还要注意观察图形的特征，例如包涵的特殊三角形的性质。
O
A
B
C
D
证明：连OC，如图， ∵∠A=30°，OA=OC， ∴∠COB=60°， ∴△COB为等边三角形，∴BC=BO， 而BD等于⊙O半径， ∴BC=BO=BD， ∴△OCD为直角三角形，即∠OCD=90°， 所以DC是⊙O切线．
四、课堂小结
1.本章知识结构和重点内容；
2.观察——猜想——关联；
3.转化的数学思想在解决圆的问题时的相关应用。
五、课后作业
完成课本复习题知识技能1-14题.(共14张PPT)
第三章 圆
回顾与思考（第2课时）
一、问题开放
如图，已知在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过D作DE⊥AC于点E，
CD＝ ，∠ACB＝30°.
B
A
D
O
C
E
请同学们根据题目条件尝试设计问题。
二、提出问题
如图，已知在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过D作DE⊥AC于点E，
CD＝ ，∠ACB＝30°.
问题1：求证点D是BC的中点；
问题2：求⊙O的半径；
问题3：求点O到BD的距离；
问题4：求证DE是⊙O的切线 .
……
B
A
D
O
C
E
如图，已知在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过D作DE⊥AC于点E，
CD＝ ，∠ACB＝30°.
问题1：求证点D是BC的中点；
B
A
D
O
C
E
解：连接AD
∵AB是直径
∴∠ADB＝90 ，即AD⊥BC
∵AB＝AC
∴CD＝BD，即点D是BC的中点。
知识连接：直径所对的圆周角是直角
常见辅助线作法：构造直径所对的圆周角
如图，已知在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过D作DE⊥AC于点E，
CD＝ ，∠ACB＝30°.
B
A
D
O
C
E
解：∵AB＝AC，∠C＝30 ，
∴∠B＝∠C＝30
根据问题1，在Rt△ABD中，AB＝2AD
又CD＝BD＝
知识连接：圆的基本概念
问题2：求⊙O的半径；
∴AB＝2
∴AO＝1
类似地，还可以求出DE、AE、AD的长度
如图，已知在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过D作DE⊥AC于点E，
CD＝ ，∠ACB＝30°.
B
A
D
O
C
E
解:作OF⊥BD于点F，O是中点，
知识连接：垂径定理
问题3：求点O到BD的距离；
F
∵AB＝2,∴AD＝1
如图，已知在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过D作DE⊥AC于点E，
CD＝ ，∠ACB＝30°.
B
A
D
O
C
E
证法1：连接AD、OD
∵AB是直径 ∴∠ADB＝90
∴∠3＝90 －∠B＝90 －30 ＝60
∵OD＝OA
∴∠2＝∠3＝60
∵DE⊥AC， AD⊥CD
易证∠1＝∠C＝30
∴∠ODE＝∠1＋∠2＝90
∴OD⊥DE
∴DE切于点D
问题4：求证DE是⊙O的切线 .
1
常见辅助线作法：连半径→证垂直
知识连接：切线的判定
4
3
2
如图，已知在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过D作DE⊥AC于点E，
CD＝ ，∠ACB＝30°.
B
A
D
O
C
E
证法2：连接AD、OD
∵OB＝OD，AB＝AC
∴∠5＝∠B，∠C＝∠B
∴∠5＝∠C
∴OD∥AC
∵∠ODE＝∠DEC=90
∴OD⊥DE
∴DE切⊙O于点D
问题4：求证DE是⊙O的切线 .
5
常见辅助线作法：连半径→证垂直
知识连接：切线的判定
如图，已知在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过D作DE⊥AC于点E，
CD＝ ，∠ACB＝30°.
B
A
D
O
C
E
证法3：连接OD
∵BO=AO，BD=CD
∴OD∥AC
∵∠ODE＝∠DEC=90
∴OD⊥DE
∴DE切于点D
问题4：求证DE是⊙O的切线 .
常见辅助线作法：连半径→证垂直
知识连接：切线的判定
三、变式练习
如图，已知⊙O的直径AB＝2，∠ABC＝30°,
BC＝2 ，D是BC的中点，试判断点D与⊙O的位置关系.
B
A
D
O
C
解：连接OD、AD,
∵AB是直径
∴∠ADB＝90
∵AO=BO
∴点D在圆上
请判断以下解题过程正确吗？
错误，因为不能确定∠ADB是圆周角
B
A
D
O
C
F
如图，已知⊙O的直径AB＝2，∠ABC＝30°,
BC＝2 ，D是BC的中点，试判断点D与⊙O的位置关系
解：连接OD，作OF⊥BC于点F,
∴BD= BC= . BO= AB=1.
在Rt△BOF中，∠B=30°,
∴BD=2BF,DF=BF=
在Rt△DOF中，OD=
∴OD=OB，点D在圆上
四、课堂小结
通过开放问题情景，从多角度提出问题，逐步培养提出问题，解决问题能力；
《圆》的内容综合性较强，在具体应用中，进一步完善知识体系构建。
五、课后作业
完成本章课后复习题
谢谢！
