广东省深圳市龙华区高峰学校2021-2022学年九年级下学期第三次测试数学试卷（word版含答案）

2021-2022学年广东省深圳市龙华区高峰学校九年级（下）第三次测试数学试卷
一、选择题（共5题，每题5分，共25分）
1．（5分）的平方根是（　　）
A．±8 B．±4 C．±2 D．
2．（5分）下列各数1.414，，，，，，，2.10110010001中，无理数的个数是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．（5分）下列计算正确的是（　　）
A．3a3+2a2＝5a5
B．（m+2n）（m﹣n）＝m2﹣2n2
C．
D．（8x3y3﹣4x2y2）÷2xy2＝4x2y﹣2x
4．（5分）如图，AB为圆O的直径，点P在BA的延长线上，PC，PD与圆O相切，切点分别为C，D，若AB＝4，PC＝4，则sin∠CBD等于（　　）
A． B． C． D．
5．（5分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分如图所示．已知图象经过点（﹣1，0），其对称轴为直线x＝1．下列结论：①abc＞0；②4a+2b+c＜0；③若抛物线经过点（﹣3，n），则关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣n＝0（a≠0）的两根分别为﹣3，5；④3a+c＜0，上述结论中正确结论的个数为（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（共5题，每题5分，共25分）
6．（5分）若x2+2（b﹣1）x+4是完全平方式，且a＝﹣3，则ab＝　 　．
7．（5分）若某正多边形的一条边长是4，一个外角为45°，则该正多边形的周长为 　 　．
8．（5分）图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，⊙O是△ABC的内切圆，三个切点分别为D、E、F，若BF＝2，AF＝3，则△ABC的面积是 　 　．
9．（5分）如图，AB是⊙O的弦，且AB＝6，点C是弧AB中点，点D是优弧AB上的一点，∠ADC＝30°，则圆心O到弦AB的距离等于 　 　．
10．（5分）如图，E，F是正方形ABCD的边AD上的两个动点，满足AE＝DF，连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为6，则线段DH长度的最小值是 　 　．
三、解答题（第11题6+6＝12分，第12题12分，第13题12分，第14题6+8＝14分，共50分）
11．（12分）（1）计算：﹣12018|1|；
（2）先化简，再求值：（2x﹣3）2﹣（x+4）（x﹣4）+5x（2﹣x），其中x＝cos60°．
12．（12分）在“新冠”疫情期间，全国人民“众志成城，同心抗疫”，某商家决定将一个月获得的利润全部捐赠给社区用于抗疫．已知商家购进一批产品，成本为10元/件，拟采取线上和线下两种方式进行销售．调查发现，线下的月销量y（单位：件）与线下售价x（单位：元/件，12≤x＜24）满足一次函数的关系，部分数据如下表：
x（元/件） 12 13 14 15 16
y（件） 1200 1100 1000 900 800
（1）求y与x的函数关系式；
（2）若线上售价始终比线下每件便宜2元，且线上的月销量固定为400件．试问：当x为多少时，线上和线下月利润总和达到最大？并求出此时的最大利润．
13．（12分）如图，AB，AC分别是⊙O的直径和弦，半径OE⊥AC于点D．过点A作⊙O的切线与OE的延长线交于点P，PC，AB的延长线交于点F．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）若PC＝2AD，AB＝10．求图中阴影部分的面积．
14．（14分）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0，c＞0）与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，且以AB为直径的圆经过点C．
（1）若点A（﹣4，0），点B（16，0），求C点坐标和函数关系式．
（2）若点D是圆与抛物线的交点（D与A、B、C不重合），在（1）的条件下，坐标轴上是否存在一点P，使得以P、B、C为顶点的三角形与△CBD相似？若存在，请求点P坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案与详解
一、选择题（共5题，每题5分，共25分）
1．（5分）的平方根是（　　）
A．±8 B．±4 C．±2 D．
【解答】解：∵4
∴的平方根即4的平方根是±2．
故选：C．
2．（5分）下列各数1.414，，，，，，，2.10110010001中，无理数的个数是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【解答】解：1.414是有限小数，所以1.414是有理数；
是无限不循环小数，所以是无理数；
是无限不循环小数，所以是无理数；
2是无限不循环小数，所以2是无理数；
11.是无限循环小数，所以是有理数；
无限不循环小数，所以是无理数；
6是整数，所以是有理数；
2.10110010001是有限小数，所以2.10110010001是有理数．
所以无理数有：，，2，共4个．
故选：C．
3．（5分）下列计算正确的是（　　）
A．3a3+2a2＝5a5
B．（m+2n）（m﹣n）＝m2﹣2n2
C．
D．（8x3y3﹣4x2y2）÷2xy2＝4x2y﹣2x
【解答】解：∵3a3与2a2不是同类项，不能加减，故选项A计算错误；
（m+2n）（m﹣n）＝m2+2mn﹣mn﹣2n2＝m2+mn﹣2n2≠m2﹣2n2，故选项B计算错误；
（m）2＝m2﹣mm2，故选项C计算错误；
（8x3y3﹣4x2y2）÷2xy2＝4x2y﹣2x，故选项D计算正确．
故选：D．
4．（5分）如图，AB为圆O的直径，点P在BA的延长线上，PC，PD与圆O相切，切点分别为C，D，若AB＝4，PC＝4，则sin∠CBD等于（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：连接OC、OD、CD，CD交PB于E，如图，
∵PC，PD与⊙O相切，切点分别为C，D，
∴OC⊥CP，PC＝PD，OP平分∠CPD，
∴OP⊥CD，
∴，
∴∠COA＝∠DOA，
∵∠CBD∠COD，
∴∠COA＝∠CBD，
在Rt△OCP中，OP2，
∴sin∠COP，
∴sin∠CBD．
故选：C．
5．（5分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分如图所示．已知图象经过点（﹣1，0），其对称轴为直线x＝1．下列结论：①abc＞0；②4a+2b+c＜0；③若抛物线经过点（﹣3，n），则关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣n＝0（a≠0）的两根分别为﹣3，5；④3a+c＜0，上述结论中正确结论的个数为（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：∵抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，
∴a＜0，c＞0．
∵对称轴为直线x＝1，
∴1，
∴b＝﹣2a＞0．
∴abc＜0，
∴①错误．
∵抛物线经过点（﹣1，0），对称轴为x＝1，
∴抛物线经过点（3，0）．
∴当x＝2时，y＞0，
∴4a+2b+c＞0，
∴②错误．
∵抛物线过（﹣3，n），
∴点（﹣3，n）关于对称轴x＝1对称的点（5，n）也在抛物线上．
∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣n＝0（a≠0）的两根分别为﹣3，5．
∴③正确．
∵抛物线过点（3，0），
∴9a+3b+c＝0．
∴9a﹣6a+c＝0．
∴3a+c＝0，
∴④错误．
故选：A．
二、填空题（共5题，每题5分，共25分）
6．（5分）若x2+2（b﹣1）x+4是完全平方式，且a＝﹣3，则ab＝　﹣27或　．
【解答】解：∵x2+2（b﹣1）x+4是完全平方式，
∴2（b﹣1）x＝±2 x 2，
解得：b＝3或﹣1，
当a＝﹣3，b＝3时，ab＝（﹣3）3＝﹣27，
当a＝﹣3，b＝﹣1时，ab＝（﹣3）﹣1，
故答案为：﹣27或．
7．（5分）若某正多边形的一条边长是4，一个外角为45°，则该正多边形的周长为 　32　．
【解答】解：设正多边形是n边形．
由题意：45°，
∴n＝8，
∴这个正多边形的周长＝8×4＝32，
故答案为32．
8．（5分）图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，⊙O是△ABC的内切圆，三个切点分别为D、E、F，若BF＝2，AF＝3，则△ABC的面积是 　6　．
【解答】解：连接DO，EO，
∵⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，
∴OE⊥AC，OD⊥BC，CD＝CE，BD＝BF＝2，AF＝AE＝3，
又∵∠C＝90°，
∴四边形OECD是矩形，
又∵EO＝DO，
∴矩形OECD是正方形，
设EO＝x，
则EC＝CD＝x，
在Rt△ABC中
BC2+AC2＝AB2，
故（x+2）2+（x+3）2＝52，
解得：x＝1，
∴BC＝3，AC＝4，
∴S△ABC3×4＝6，
故答案为：6．
9．（5分）如图，AB是⊙O的弦，且AB＝6，点C是弧AB中点，点D是优弧AB上的一点，∠ADC＝30°，则圆心O到弦AB的距离等于 　　．
【解答】解：如图，
连接OA、OC，OC交AB于点E，
∵点C是弧AB中点，AB＝6，
∴OC⊥AB，且AE＝BE＝3，
∵∠ADC＝30°，
∴∠AOC＝2∠ADC＝60°，
∴∠OAE＝30°，
∴OE＝AE tan30°＝3，
故圆心O到弦AB的距离为．
故答案为：．
10．（5分）如图，E，F是正方形ABCD的边AD上的两个动点，满足AE＝DF，连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为6，则线段DH长度的最小值是 　33　．
【解答】解：取AB的中点O，连接OH、OD，如图：
在正方形ABCD中，AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠CDA，∠ADG＝∠CDG，
在△ABE和△DCF中，
，
∴△ABE≌△DCF（SAS），
∴∠1＝∠2，
在△ADG和△CDG中，
，
∴△ADG≌△CDG（SAS），
∴∠2＝∠3，
∴∠1＝∠3，
∵∠BAH+∠3＝∠BAD＝90°，
∴∠1+∠BAH＝90°，
∴∠AHB＝180°﹣90°＝90°，
∵O为AB的中点，
∴OH＝AOAB＝3，
在Rt△AOD中，OD＝3，
根据三角形的三边关系，OH+DH＞OD，
∴当O、D、H三点共线时，DH的长度最小，
最小值＝OD﹣OH＝33．
故答案为：33．
三、解答题（第11题6+6＝12分，第12题12分，第13题12分，第14题6+8＝14分，共50分）
11．（12分）（1）计算：﹣12018|1|；
（2）先化简，再求值：（2x﹣3）2﹣（x+4）（x﹣4）+5x（2﹣x），其中x＝cos60°．
【解答】解：（1）原式＝﹣1+5﹣（1）﹣2﹣3
＝41﹣5
．
（2）原式＝4x2﹣12x+9﹣（x2﹣16）+10x﹣5x2
＝4x2﹣12x+9﹣x2+16+10x﹣5x2
＝﹣2x2﹣2x+25，
当x＝cos60°时，
原式＝﹣2225
1+25
．
12．（12分）在“新冠”疫情期间，全国人民“众志成城，同心抗疫”，某商家决定将一个月获得的利润全部捐赠给社区用于抗疫．已知商家购进一批产品，成本为10元/件，拟采取线上和线下两种方式进行销售．调查发现，线下的月销量y（单位：件）与线下售价x（单位：元/件，12≤x＜24）满足一次函数的关系，部分数据如下表：
x（元/件） 12 13 14 15 16
y（件） 1200 1100 1000 900 800
（1）求y与x的函数关系式；
（2）若线上售价始终比线下每件便宜2元，且线上的月销量固定为400件．试问：当x为多少时，线上和线下月利润总和达到最大？并求出此时的最大利润．
【解答】解：（1）∵y与x满足一次函数的关系，
∴设y＝kx+b，
将x＝12，y＝1200；x＝13，y＝1100代入得：，
解得：，
∴y与x的函数关系式为：y＝﹣100x+2400（12≤x＜24）；
（2）设线上和线下月利润总和为m元，
则m＝400（x﹣2﹣10）+y（x﹣10）＝400x﹣4800+（﹣100x+2400）（x﹣10）＝﹣100（x﹣19）2+7300，
∴当x为19元/件时，线上和线下月利润总和达到最大，此时的最大利润为7300元．
13．（12分）如图，AB，AC分别是⊙O的直径和弦，半径OE⊥AC于点D．过点A作⊙O的切线与OE的延长线交于点P，PC，AB的延长线交于点F．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）若PC＝2AD，AB＝10．求图中阴影部分的面积．
【解答】（1）证明：连接OC．
∵PA是⊙O的切线，AB是⊙O的直径，
∴∠PAO＝90°，
∵OE⊥AC于点D，
∴，
∴∠AOE＝∠COE，
在△AOP和△COP中，
，
∴△AOP≌△COP（SAS），
∴∠PCO＝∠PAO＝90°，
∴OC⊥PC，
∵OE是⊙O的半径，
∴PC是⊙O的切线；
（2）解：∵OE⊥AC于点D，
∴AD＝CDAC，
∵PA，PC是⊙O的切线，
∴PA＝PC，
∵PC＝2AD，
∴PA＝PC＝AC，
∴∠PAC＝60°，
∴∠CAF＝∠PAO﹣∠PAC＝30°，
∵OA＝OC，
∴∠CAF＝∠ACO＝30°，
∴∠COF＝2∠CAF＝60°，
∴∠F＝90°﹣∠COF＝30°．
∴OF＝2OC＝10，
在Rt△OCF中，CF5，
∴S阴影＝S△COF﹣S扇形BOC55．
14．（14分）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0，c＞0）与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，且以AB为直径的圆经过点C．
（1）若点A（﹣4，0），点B（16，0），求C点坐标和函数关系式．
（2）若点D是圆与抛物线的交点（D与A、B、C不重合），在（1）的条件下，坐标轴上是否存在一点P，使得以P、B、C为顶点的三角形与△CBD相似？若存在，请求点P坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵A（﹣4，0），B（16，0），
∴AB＝20，AB的中点G（6，0），
∴CG＝10，
令x＝0，则y＝c，
∴C（0，c），
∴36+c2＝100，
∴c＝±8，
∵c＞0，
∴c＝8，
∴C（0，8），
将A（﹣4，0），B（16，0）代入y＝ax2+bx+8，
∴，
解得，
∴yx2x+8；
（2）坐标轴上存在一点P，使得以P、B、C为顶点的三角形与△CBD相似，理由如下：
∵yx2x+8（x﹣6）2，
∴抛物线的对称轴为直线x＝6，
∵⊙G的圆心为（6，0），
∴C点与D点关于直线x＝6对称，
∴D（12，8），
∴CD＝12，
∵B（16，0），C（0，8），
∴BD＝4，BC＝8，
当P点在x轴上，BP∥CD，
∴∠BCD＝∠CBP，
①如图1，当∠CPB＝∠CDB时，△BCD∽△CBP，
∴∠DBC＝∠BCP，
∴四边形CDBP是平行四边形，
∴CD＝BP＝12，
∴P（4，0）；
②如图2，当∠CDB＝∠CPB时，△BCD∽△PBC，
∴，
∴，
∴PB，
∴P（，0）；
当P点在y轴上时，
∵A、B、C、D四点共圆，
∴∠CAB+∠CDB＝180°，
∵CO⊥AB，AC⊥BC，
∴∠CAO＝∠BCO，
∴∠OCB+∠CDB＝180°，
∴∠PCB＝∠CDB，
③如图3，当P点在BD的延长线上时，△BCD∽△BPC，
∴，
∴，
∴CP＝48，
∴P（0，56）；
④如图4，当∠DCB＝∠PBC时，△BCD∽△PBC，
∴，
∴，
∴PC，
∴P（，0）；
综上所在：P点坐标为（4，0）或（，0）或（0，56）或（，0）．