第2讲 三角恒等变换与解三角形 课件（共81张PPT）

(共81张PPT)
上篇 专题一 三角函数与解三角形
第2讲　三角恒等变换与解三角形
高考定位
1.三角函数的化简与求值是高考的命题重点，其中关键是运用倍角公式、两角和与差公式进行恒等变换，“角”的变换是三角恒等变换的核心；2.正、余弦定理及应用是高考的必考内容，主要考查边、角、面积的计算及有关的范围问题，常与三角恒等变换交汇融合，解答题常处于第一题位置，注重基础知识、基本能力的考查.
真题感悟 考点整合
热点聚焦 分类突破
专题训练 对接高考
内容索引
真题感悟 考点整合
1
D
解析　法一　因为tan θ＝－2，所以角θ的终边在第二或第四象限，
C
法二　因为tan θ＝－2，
3.(2021·新高考Ⅰ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b2＝ac，点D在边AC上，BDsin ∠ABC＝asin C.
(1)证明：BD＝b.
证明　因为BDsin∠ABC＝asin C，
所以由正弦定理得，BD·b＝ac，
又b2＝ac，所以BD·b＝b2，
又b>0，所以BD＝b.
(2)若AD＝2DC，求cos ∠ABC.
解　如图，∠ADB＋∠BDC＝π，
所以cos ∠ADB＋cos ∠BDC＝0.
因为AD＝2DC，
4.(2020·北京卷)在△ABC中，a＋b＝11，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：
(1)a的值；
(2)sin C和△ABC的面积.
解　(从条件①②中任选一个即可)
若选条件①：∵a＋b＝11，∴b＝11－a，
(1)在△ABC中，由余弦定理，得
解得a＝8.
∵a＋b＝11，a＝8，∴b＝3，
若选条件②：
又∵a＋b＝11，∴a＝6，b＝5.
(2)sin C＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B
1.三角函数公式
2.正弦定理、余弦定理、三角形面积公式
2
热点聚焦 分类突破
热点一　三角恒等变换
C
D
1.三角恒等变换的基本思路：找差异，化同角(名)，化简求值.三角变换的关键在于对两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式，三角恒等变换公式的熟记和灵活应用，要善于观察各个角之间的联系，发现题目所给条件与恒等变换公式的联系.
2.求解三角函数中给值求角的问题时，要根据已知角求这个角的某种三角函数值，然后结合角的取值范围，求出角的大小.求解时，尽量缩小角的取值范围，避免产生增解.
探究提高
B
AD
对于B选项，cos(α＋β)＝cos(kπ)＝±1，故B错误；
对于D选项，sin2 α＋cos2 β＝sin2(kπ－β)＋cos2 β＝sin2 β＋cos2 β＝1，所以D正确.
故选AD.
热点二　正弦定理与余弦定理
解　选择条件①.
由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，
选择条件②.
(注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一个解答计分.)
1.高考的热点是利用正、余弦定理求三角形的边、角、面积等基本计算，或将两个定理与三角恒等变换相结合解三角形.
2.关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，这是使问题获得解决的突破口.
探究提高
已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，　　　　.
(1)求A；
解　选择条件①.
整理得，b2＋c2－a2＝－bc，
选择条件②.
热点三　以平面几何图形为背景的解三角形
(1)求AB的长；
又∠BAD＝60°，所以∠ADB＝75°，
(2)若∠BAD＋∠BCD＝180°，BC＝1，求四边形ABCD的面积.
解　由∠BAD＋∠BCD＝180°，可知∠BCD＝120°，
设CD＝x，
在△BCD中，由余弦定理得
BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD·cos ∠BCD，
则7＝1＋x2－2x·cos 120°，
化简x2＋x－6＝0，
解得x＝2或x＝－3(舍).
1.平面几何中解三角形问题的求解思路.
(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解.
(2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果.
2.解题过程中，要用到平面几何中的一些知识点，如相似三角形的边角关系、平行四边形的一些性质，要把这些性质与正弦、余弦定理有机结合，才能顺利解决问题.
探究提高
(2)求四边形OACB面积的最大值.
热点四　与解三角形相关的交汇问题
(1)求函数f(x)的最小正周期及f(x)的最大值；
解　由已知得a＝(－sin x，cos x)，
因为a2＝b2＋c2－2bccos A，
所以12＝b2＋c2－bc，所以b2＋c2＝bc＋12≥2bc，
1.该题求解的关键是利用向量的知识将条件“脱去向量外衣”，转化为三角函数的相关知识进行求解.
2.与解三角形有关的交汇问题的关注点
(1)根据条件恰当选择正弦、余弦定理完成边角互化.
(2)结合三角形内角和定理、面积公式等，灵活运用三角恒等变换公式.
探究提高
【训练4】 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知2a－b＝2c·cos B.
(1)求角C的大小；
解　因为2a－b＝2c·cos B，
利用正弦定理，得2sin A－sin B＝2sin C·cos B，①
又sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C，
代入①式，得2sin Bcos C－sin B＝0，
解　如图所示，
专题训练 对接高考
3
巩固提升
解析　法一　由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos B，得BC2＋2BC－15＝0，解得BC＝3或BC＝－5(舍去).故选D.
D
A
3.(2021·南京调研)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若2bcos C≤2a－c，则角B的取值范围是(　　)
A
4.(2021·海南模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若asin A＋2csin C＝2bsin Ccos A，则角A的最大值为(　　)
A
解析　因为asin A＋2csin C＝2bsin Ccos A，
由正弦定理可得，a2＋2c2＝2bccos A，①
由余弦定理得，a2＝b2＋c2－2bccos A，②
①＋②得2a2＝b2－c2，
5.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且A，B，C成等差数列，a＋c＝2，则b的取值范围是(　　)
A
解析　在△ABC中，由A，B，C成等差数列，得2B＝A＋C.
∴1≤4－3ac<4，即1≤b2<4，解得1≤b<2.
6.(多选)(2021·重庆调研)已知锐角△ABC中，A>B>C，则下列说法正确的是(　　)
AB
故选AB.
二、填空题
解析　在△ABD中，
∴在△FCB中，由余弦定理得
解　在△ABC中，B＝π－(A＋C)，
所以sin B＝sin(A＋C).
选择②，
选择③，
11.(2021·新高考Ⅱ卷)在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，b＝a＋1，c＝a＋2.
(1)若2sin C＝3sin A，求△ABC的面积；
解　因为2sin C＝3sin A，所以2c＝3a，又因为c＝a＋2，所以2(a＋2)＝3a，则a＝4，b＝a＋1＝5，c＝a＋2＝6，
(2)是否存在正整数a，使得△ABC为钝角三角形？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由.
解　显然c>b>a，若△ABC为钝角三角形，则C为钝角，
故由余弦定理可得
故解得0又由三角形三边关系可得a＋a＋1>a＋2，可得a>1，故1又a为正整数，故a＝2.
能力突破
12.(多选)(2021·湖北十一校一联)在数学史上，为了三角计算的简便并且更加追求计算的精确性，曾经出现过下列两种三角函数：定义1－cos θ为角θ的正矢，记作versin θ；定义1－sin θ为角θ的余矢，记作covers θ.则下列命题中正确的是(　　)
BD
所以函数f(x)的最大值为4，选项C错误；
(1)求A的值；
解　在△ABC中，由余弦定理得b2＋c2－bc＝3.
在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，S是△ABC的面积，若　　　　(填条件序号)，
(1)求角C的大小；
∴a(b－a)＝(b＋c)(b－c)，即a2＋b2－c2＝ab，
(2)点D在CA的延长线上，且A为CD的中点，线段BD的长度为2，求△ABC的面积S的最大值.
(注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一个解答计分.)
解　在△BCD中，由余弦定理知a2＋(2b)2－2×a×2b×cos 60°＝22，
∴a2＋4b2－2ab＝4≥2·a·2b－2ab＝2ab，
∴ab≤2，当且仅当a＝2b，即a＝2，b＝1时取等号，此时ab的最大值为2.