专题三 立体几何：拓展优化 立体几何中的动态、最值问题 课件（共21张PPT）

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上篇 专题三 立体几何
拓展优化　立体几何中的动态、最值问题
立体几何着重研究空间点、线、面之间的位置关系，几何图形折叠、剪拼、拆合等动态问题，涉及空间图形有关的线段、角、体积的最值，是高考命题的热点.求解的关键是在平面图形直观认识的基础上，分析动态问题，把握空间位置关系.题目能较好地考查学生的空间想象能力、逻辑推理与数学运算等数学素养.
【典例1】 在如图1所示的长方形ABCD中，AB＝2，BC＝1，E为DC的中点，F为线段EC(端点除外)上一动点.现将△AFD沿AF折起，使平面ABD⊥平面ABCF，得到如图2中所示的四棱锥.在平面ABD内过点D作DK⊥AB，垂足为K.设AK＝t，则t的取值范围是________.
思路点拨　设FC＝x(0解析　过F作FM⊥AB，交AB于M，连接FK(图略).
设FC＝x，0易知AK在Rt△ADK中，DK2＝1－t2，
在Rt△FMK中，FK2＝1＋(2－t－x)2.
因为平面ABD⊥平面ABCF，平面ABD∩平面ABCF＝AB，DK⊥AB，DK 平面ABD，
所以DK⊥平面ABCF，所以DK⊥FK.
在Rt△DFK中，DF＝2－x，DK2＋FK2＝DF2，
所以1－t2＋1＋(2－t－x)2＝(2－x)2，
1.本题是一个动态的翻折问题，需要考生发现其中不变的垂直关系，从而得出相关变量间的关系，最终转化成函数的值域问题.
2.求解的关键是根据相关的定理对图形中位置关系进行精准判断，抓住不变量，另外注意变量x∈(0，1)的范围.
点津突破
【典例2】 (2021·大连检测)已知某圆锥的母线长为3，底面半径为1，则该圆锥的体积为________.设线段AB为该圆锥底面圆的一条直径，一质点从A出发，沿着该圆锥的侧面运动，到达B点后再沿侧面回到A点，则该质点运动路径的最短长度为________.
思路点拨　根据公式可求得圆锥的体积，将圆锥侧面展开，连接AB，A′B，则该质点运动路径的最短长度为AB＋A′B.
6
将圆锥侧面沿母线SA展开，如图所示.
由题意知点B是圆锥侧面展开后得到的扇形中弧AA′的中点，
可得AB＝A′B＝AS＝3.
所以该质点运动路径的最短长度为AB＋A′B＝6.
1.求解圆锥侧面上质点运动路径的最短长度问题时，通常将圆锥侧面沿一条母线展开成扇形，在平面图形中分析、解决问题.
2.化曲为直是求解曲面上路径长度最短问题的关键，如本题，将曲面上A→B→A的路线转化为平面上A→B→A′的路线，则最短路径长度为AB＋A′B.
点津突破
【典例3】 (2021·衡水调研)已知四面体ABCD的棱长满足AB＝AC＝BD＝CD＝2，BC＝AD＝1，现将四面体ABCD放入一个轴截面为等边三角形的圆锥中，使得四面体ABCD可以在圆锥中任意转动，则圆锥侧面积的最小值为________.
思路点拨　四面体ABCD可以在圆锥中任意转动可以转化为四面体ABCD在圆锥的内切球内，当圆锥的侧面积最小时，内切球也是四面体ABCD的外接球，故先求出四面体ABCD外接球的半径，再求出圆锥底面圆的半径及母线长即可得解.
解析　根据题意，只需四面体ABCD在圆锥的内切球内.
下面求四面体ABCD的外接球半径.
如图所示，分别取AD，BC的中点M，N，连接MN，MC.取MN的中点O，连接OB.
根据题意，可得O为四面体ABCD外接球的球心，且MN⊥BC，CM⊥AD.
本题将“四面体可以在圆锥中任意转动”转化为“四面体在圆锥的内切球内”，又通过“侧面积最小”将圆锥的内切球问题转化为四面体的外接球问题，从而转化为如何确定四面体外接球的球心及半径问题.灵活运用转化思想是求解本题的关键.
点津突破
[跟踪演练]
1.(多选)如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝2，P是A1B上的一动点，则(　　)
AD
连接A1C1，BC1，得△A1BC1，以A1B所在直线为轴，将△A1BC1所在平面旋转到平面ABB1A1，设点C1的新位置为C′，连接AC′(图略)，则AC′即为所求的最小值.
2.(2021·江南十校联考)设P，Q，R分别是长方体ABCDA1B1C1D1的棱AB，CC1，C1D1的中点，且BC＝CC1＝1，AB＝2，M是底面ABCD上的一个动点，若直线D1M与平面PQR没有公共点，则三角形BB1M面积的最小值为________.
解析　如图所示，分别取A1D1，AA1，BC的中点E，F，G，连接EF，FP，PG，QG，ER，易知平面EFPGQR与平面PQR共面.连接AD1，AC，CD1，易得平面AD1C∥平面EFPGQR，故M在线段AC上运动.
图1
在四面体ABCD中，三角形ABC和三角形DAC均为直角三角形，设点O为AC的中点，如图2，连接OB，OD，则AO＝OC＝OB＝OD＝1，即点O为四面体ABCD外接球的球心，则外接球的半径R＝1，
图2
因为二面角DACB的平面角为θ，
且BF⊥AC，DE⊥AC，
拼一个春夏秋冬，博高考无怨无悔！
本节内容结束