专题二 数列：拓展优化 构造法求数列的通项公式 课件（共15张PPT）

(共15张PPT)
上篇 专题二 数列
拓展优化　构造法求数列的通项公式
已知数列的递推关系求解通项公式是命题的热点，可以很好地考查学生逻辑推理与数学运算核心素养.一般地，对于递推式形如an－an－1＝manan－1(n≥2，m为常数，m≠0)，an＝Aan－1＋B(n≥2，A，B是常数，B≠0，A≠1且A≠0)和bn＋2＝mbn＋1－(m－1)bn(m为常数，m≠1且m≠0)的数列，可以通过将递推式进行适当的变形，构造出等差数列或等比数列，从而求得原数列的通项公式.
【典例1】 (2021·南京质检)在数列{an}中，a1＝1，an＝2an－1＋ln 3(n≥2)，则数列{an}的通项an＝____________________________.
(1＋ln 3)·2n－1－ln 3(n∈N*)
因此由an＝2an－1＋ln 3得到an＋ln 3＝2(an－1＋ln 3).
则{an＋ln 3}是以a1＋ln 3为首项，2为公比的等比数列，
所以an＋ln 3＝(1＋ln 3)·2n－1，
因此an＝(1＋ln 3)·2n－1－ln 3(n∈N*).
点津突破
【典例2】 设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＋1－2Sn＝1，n∈N*.
(1)求{an}的通项公式；
思路点拨　利用递推式Sn＋1－2Sn＝1构造等比数列求得Sn，进而得an；
解　因为Sn＋1－2Sn＝1，所以Sn＋1＝2Sn＋1.
因为a1＝S1＝1，S1＋1＝2，
所以{Sn＋1}是首项为2，公比为2的等比数列.
所以Sn＋1＝2n，Sn＝2n－1.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1，a1＝1也满足此式.
故an＝2n－1，n∈N*.
思路点拨　运用错位相减法求得Tn，构造函数f(x)＝2x－x－26(x≥1)，借助导数工具及f(5)·f(4)<0可判断出n不存在.
所以f(x)＝2x－x－26在[1，＋∞)上为增函数.
而f(5)·f(4)<0，故不存在正整数n使得Tn·2n－1＝n＋50成立.
1.本题中的Sn＋1－2Sn＝1属于线性递推式an＝Aan－1＋B(n≥2，A，B是常数，B≠0，A≠0且A≠1)的形式，可以转化、构造出一个等比数列{Sn＋1}，求Sn，进而求出{an}的通项公式.
2.题目将数列、函数导数交汇在一起，考查学生综合解决问题的能力.
点津突破
经验证a1＝1不符合上式，
点津突破
[跟踪演练]
1.数列{an}的首项a1＝2，且an＋1＝3an＋2(n∈N*)，令bn＝log3(an＋1)，则bn＝________.
n
解析　由an＋1＝3an＋2(n∈N*)可知an＋1＋1＝3(an＋1)，
又a1＝2，知an＋1≠0，
所以数列{an＋1}是以3为首项，3为公比的等比数列，
因此an＋1＝3·3n－1＝3n，故bn＝log3(an＋1)＝n.
2.已知数列{an}满足：a1＝1，a2＝3，an＋2＝an＋1＋2an.某同学已经证明了数列{an＋1－2an}和数列{an＋1＋an}都是等比数列，则数列{an}的通项公式是an＝__________________________.
解析　因为an＋2＝an＋1＋2an，
所以当n＝1时， a3＝a2＋2a1＝5.
令bn＝an＋1－2an，则{bn}为等比数列.
又b1＝a2－2a1＝1，b2＝a3－2a2＝－1，
所以bn＝(－1)n－1，即an＋1－2an＝(－1)n－1.①
令cn＝an＋1＋an，则{cn}为等比数列，
c1＝a2＋a1＝4，c2＝a3＋a2＝8，