专题二 数列：拓展优化 数列中的奇、偶项问题 课件（共25张PPT）

(共25张PPT)
上篇 专题二 数列
拓展优化　数列中的奇、偶项问题
1.数列中的奇、偶项问题的常见题型
(1)数列中连续两项和或积的问题(an＋an＋1＝f(n)或an·an＋1＝f(n))；
(2)含有(－1)n的类型；
(3)含有{a2n}，{a2n－1}的类型；
(4)已知条件明确的奇偶项问题.
2.对于通项公式分奇、偶项有不同表达式的数列{an}求Sn时，我们可以分别求出奇数项的和与偶数项的和，也可以把a2k－1＋a2k看作一项，求出S2k，再求S2k－1＝S2k－a2k.
当n为奇数且n≥3时，
可验证a1＝1也符合上式，
【典例2】 已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＋an＝4n.
(1)求数列{an}的前100项和S100；
解　∵a1＝1，an＋1＋an＝4n，
∴S100＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(a99＋a100)
＝4×1＋4×3＋…＋4×99＝4×(1＋3＋5＋…＋99)
＝4×502＝10 000.
(2)求数列{an}的通项公式.
解　由题意，an＋1＋an＝4n，①
an＋2＋an＋1＝4(n＋1)，②
由②－①得，an＋2－an＝4，
由a1＝1，a1＋a2＝4，所以a2＝3.
综上所述，an＝2n－1.
【典例3】 数列{an}中，a1＝1，a2＝2，数列{bn}满足bn＝an＋1＋(－1)nan，n∈N*.
(1)若数列{an}是等差数列，求数列{bn}的前100项和S100；
解　∵{an}为等差数列，且a1＝1，a2＝2，
∴公差d＝1，∴an＝n.
(2)若数列{bn}是公差为2的等差数列，求数列{an}的通项公式.
解　由题意得，b1＝a2－a1＝1，公差d＝2，
∴bn＝2n－1.
由②－①得，a2n＋1＋a2n－1＝2，
∴a2n＋1＝2－a2n－1，
又∵a1＝1，∴a1＝a3＝a5＝…＝1，
∴a2n－1＝1，∴a2n＝4n－2，
(1)判断数列{bn}是否为等比数列，并写出其通项公式；
(2)求数列{an}的通项公式；
(3)求Sn.
[跟踪演练]
1.数列{an}的通项公式为an＝(－1)n－1·(4n－3)，则它的前100项之和S100等于(　　)
A.200 B.－200 C.400 D.－400
解析　S100＝(4×1－3)－(4×2－3)＋(4×3－3)－…－(4×100－3)＝4×[(1－2)＋(3－4)＋…＋(99－100)]＝4×(－50)＝－200.
B
(1)求a3；
(2)求S1＋S2＋…＋S100.
当n≥2时，
②当n为奇数时，由*式可得
(1)令bn＝a2n－1，判断{bn}是否为等差数列，并求数列{bn}的通项公式；
解　因为[3＋(－1)n]an＋2－2an＋2[(－1)n－1]＝0，
所以[3＋(－1)2n－1]a2n＋1－2a2n－1＋2[(－1)2n－1－1]＝0，
即a2n＋1－a2n－1＝2，
又bn＝a2n－1，所以bn＋1－bn＝a2n＋1－a2n－1＝2，
所以{bn}是以b1＝a1＝1为首项，2为公差的等差数列.
所以bn＝1＋(n－1)×2＝2n－1，n∈N*.
(2)记数列{an}的前2n项和为T2n，求T2n.
解　对于[3＋(－1)n]an＋2－2an＋2[(－1)n－1]＝0，
当n为偶数时，可得(3＋1)an＋2－2an＋2(1－1)＝0，
当n为奇数时，可得(3－1)an＋2－2an＋2(－1－1)＝0，
即an＋2－an＝2，
所以a1，a3，a5，…是以a1＝1为首项，
2为公差的等差数列，所以
(1)求数列{an}的通项公式；
∵an≠0，∴an＝2n－1(n∈N*).
(1)问数列{an}是否为等差数列或等比数列？说明理由；
∵a3－a2＝2，a4－a3＝3，∴a3－a2≠a4－a3，
∴数列{an}不是等差数列.
∴数列{an}也不是等比数列.
证明　∵对任意正整数n，a2n＋1＝2a2n＋2n，
∴数列{a2n}的通项公式是a2n＝(n＋2)·2n－1(n∈N*).