专题二 数列：规范答题——数列解答题 课件（共12张PPT）

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上篇 专题二 数列
规范答题示范课——数列解答题
求解数列问题的基本策略在于“归”——化归与归纳，对于非等差或等比数列，可从特殊情景出发，归纳出一般性的方法、规律；将已知数列化归为等差(比)数列，然后借助等差(比)数列的性质或基本量运算求解.
(12分)设{an}是公比不为1的等比数列，a1为a2，a3的等差中项.
(1)求{an}的公比；
解　设等比数列{an}的公比为q，且q≠1，
依题意，2a1＝a2＋a3，即2a1＝a1q＋a1q2. 2分
所以q2＋q－2＝0，解得q＝1(舍去)或q＝－2. 4分
故{an}的公比为－2. 5分
(2)若a1＝1，求数列{nan}的前n项和.
解　记Sn为{nan}的前n项和.
依题意及(1)知，{an}是首项为1，公比为－2的等比数列，所以an＝(－2)n－1，7分
所以Sn＝1＋2×(－2)＋3×(－2)2＋…＋n·(－2)n－1，
－2Sn＝－2＋2×(－2)2＋…＋(n－1)·(－2)n－1＋n·(－2)n. 9分
两式相减，得
得步骤分：对于解题过程中踩分点的步骤有则给分，无则没分，如第(1)问中，写出2a1＝a2＋a3及公比q≠1.
得关键分：数列解答题要严谨，如第(2)问“首先明确指出数列{an}的首项和公比(基本量)，求出an＝(－2)n－1，再写出Sn＝1＋2×(－2)＋3×(－2)2＋…＋n·
(－2)n－1.
(1)记bn＝a2n，写出b1，b2，并求数列{bn}的通项公式；
所以b1＝a2＝a1＋1＝2，
b2＝a4＝a3＋1＝a2＋2＋1＝5.
因为bn＝a2n，
所以bn＋1＝a2n＋2＝a2n＋1＋1＝a2n＋1＋1＝a2n＋2＋1＝a2n＋3，
所以bn＋1－bn＝a2n＋3－a2n＝3，
所以数列{bn}是以2为首项，3为公差的等差数列，
所以bn＝2＋3(n－1)＝3n－1，n∈N*.
(2)求{an}的前20项和.
所以k∈N*时，a2k＝a2k－1＋1＝a2k－1＋1，
即a2k＝a2k－1＋1，①
a2k＋1＝a2k＋2，②
a2k＋2＝a2k＋1＋1＝a2k＋1＋1，即a2k＋2＝a2k＋1＋1，③
所以①＋②得a2k＋1＝a2k－1＋3，即a2k＋1－a2k－1＝3，
所以数列{an}的奇数项是以1为首项，3为公差的等差数列；
②＋③得a2k＋2＝a2k＋3，即a2k＋2－a2k＝3，
又a2＝2，所以数列{an}的偶数项是以2为首项，3为公差的等差数列.
2.已知数列{an}与{bn}满足：a1＋a2＋a3＋…＋an＝2bn(n∈N*)，若{an}是各项为正数的等比数列，且a1＝2，b3＝b2＋4.
(1)求数列{an}与{bn}的通项公式；
解　由题意知，a1＋a2＋a3＋…＋an＝2bn，①
当n≥2时，a1＋a2＋a3＋…＋an－1＝2bn－1，②
①－②可得an＝2(bn－bn－1)
a3＝2(b3－b2)＝2×4＝8，
∵a1＝2，an＞0，设{an}的公比为q，
∴a1q2＝8 q＝2，
∴an＝2×2n－1＝2n(n∈N*).
∴bn＝2n－1(n∈N*).