拓展优化　概率与统计的综合创新(共20张PPT)

(共20张PPT)
上篇 专题四 概率与统计
拓展优化　概率与统计的综合创新
随着新课程的推进改革，概率与统计命题情境新颖、综合性强，综合考查学生数学建模、数据分析与数学运算等数学素养，掌握该类问题的解题策略愈加重要.
【典例1】 2020年10月16日是第40个世界粮食日.与此同时，中国工程院院士袁隆平海水稻团队完成了10万亩海水稻的测产收割，其中宁夏石嘴山海水稻示范种植基地编号为YC801的水稻亩产超过648.5千克.推广种植海水稻，能实现亿亩荒滩变粮仓，大大提高当地居民收入.某企业引进一条先进食品生产线，以海水稻为原料进行深加工，发明了一种新产品，若该产品的质量指标值为m(m∈[70，100])，其质量指标等级划分如下表：
质量指标值m [70，75) [75，80) [80，85) [85，90) [90，100]
质量指标等级 良好 优秀 良好 合格 废品
为了解该产品的经济效益并及时调整生产线，该企业先进行试生产.现从试生产的产品中随机抽取了1 000件，将其质量指标值m的数据作为样本，绘制如图所示的频率分布直方图.
(1)若将频率作为概率，从该产品中随机抽取3件产品，记“抽出的产品中至少有1件不是废品”为事件A，求事件A发生的概率；
(2)若从质量指标值m不低于85的样本中利用分层抽样的方法抽取7件产品，然后从这7件产品中任取3件产品，求质量指标值m∈[90，95)的件数X的分布列及数学期望；
解　由频率分布直方图可知，质量指标值不低于85的产品中，
m∈[85，90)的频率为0.08×5＝0.4；
m∈[90，95)的频率为0.04×5＝0.2；
m∈[95，100]的频率为0.02×5＝0.1.
故利用分层抽样的方法抽取的7件产品中，m∈[85，90)的有4件，m∈[90，95)的有2件，m∈[95，100]的有1件.
从这7件产品中任取3件产品，质量指标值m∈[90，95)的件数X的所有可能取值为0，1，2，
所以X的分布列为
(3)若每件产品的质量指标值m与利润Y(单位：元)的关系如下表(1试分析生产该产品能否盈利.若不能，请说明理由；若能，试确定t为何值时，每件产品的平均利润达到最大(参考数据：ln 2≈0.7，ln 5≈1.6).
解　由频率分布直方图可得该产品的质量指标值m与利润Y的关系如下表所示(1故每件产品的平均利润y＝0.3t＋0.8t＋0.6t＋0.8t－0.5et＝2.5t－0.5et(1则y′＝2.5－0.5et(1令y′＝0，得t＝ln 5.
故t∈(1，ln 5)时，y′>0，函数y＝2.5t－0.5et单调递增；
t∈(ln 5，4)时，y′<0，函数y＝2.5t－0.5et单调递减.
所以当t＝ln 5时，y取得最大值，为2.5×ln 5－0.5eln 5≈1.5>0.
所以生产该产品能够盈利，当t＝ln 5≈1.6时，每件产品的平均利润取得最大值1.5元.
1.本题以“粮食安全”为背景考查统计与概率、随机变量及概率分布、函数与导数等知识，意在考查数学建模、数据分析与数学运算等核心素养.
2.解题的突破口是读懂题意，提炼图表信息，盯住题眼，构建概率分布及函数模型.
点津突破
【典例2】 甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球.现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复n次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为Xn，恰有2个黑球的概率为pn，恰有1个黑球的概率为qn.
(1)求p1，q1和p2，q2；
(2)求2pn＋qn与2pn－1＋qn－1的递推关系式和Xn的数学期望E(Xn)(用n表示).
Xn的概率分布为
Xn 0 1 2
P 1－pn－qn qn pn
[跟踪演练]
一种掷骰子走跳棋的游戏：棋盘上标有第0站、第1站、第2站，…，第100站，共101站，设棋子跳到第n站的概率为Pn，一枚棋子开始在第0站，棋手每掷一次骰子，棋子向前跳动一次.若掷出奇数点，棋子向前跳一站；若掷出偶数点，棋子向前跳两站，直到棋子跳到第99站(获胜)或第100站(失败)时，游戏结束(骰子是用一种均匀材料做成的立方体形状的游戏玩具，它的六个面分别标有点数1，2，3，4，5，6).
(1)求P0，P1，P2，并根据棋子跳到第n站的情况，试用Pn－2和Pn－1表示Pn；
(2)求证：{Pn－Pn－1}(n＝1，2，…，99)为等比数列；
(3)求玩该游戏获胜的概率.
解　由(2)知，