第1讲　直线与圆(共67张PPT)

(共67张PPT)
上篇 专题五 解析几何
第1讲　直线与圆
高考定位
考查重点是直线间的平行和垂直的条件、与距离有关的问题、直线与圆的位置关系(特别是弦长问题)，此类问题难度属于中低档，一般以选择题、填空题的形式出现.
真题感悟 考点整合
热点聚焦 分类突破
专题训练 对接高考
内容索引
真题感悟 考点整合
1
1.(2020·全国Ⅲ卷)点(0，－1)到直线y＝k(x＋1)距离的最大值为(　　)
B
2.(2020·全国Ⅰ卷)已知⊙M：x2＋y2－2x－2y－2＝0，直线l：2x＋y＋2＝0，P为l上的动点，过点P作⊙M的切线PA，PB，切点为A，B，当|PM|·|AB|最小时，直线AB的方程为(　　)
A.2x－y－1＝0 B.2x＋y－1＝0
C.2x－y＋1＝0 D.2x＋y＋1＝0
解析　由⊙M：x2＋y2－2x－2y－2＝0①，
得⊙M：(x－1)2＋(y－1)2＝4，所以圆心为M(1，1)，半径为2.
D
只需四边形PAMB的面积最小，即只需△PAM的面积最小.
因为|AM|＝2，所以只需|PA|最小.
由①②得，直线AB的方程为2x＋y＋1＝0，故选D.
3.(多选)(2021·新高考Ⅰ卷)已知点P在圆(x－5)2＋(y－5)2＝16上，点A(4，0)，B(0，2)，则(　　 )
ACD
解析　设圆(x－5)2＋(y－5)2＝16的圆心为M(5，5)，半径为4.
所以直线AB与圆M相离，
4.(2021·全国甲卷)抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点在x轴上，直线l：x＝1交C于P，Q两点，且OP⊥OQ.已知点M(2，0)，且⊙M与l相切.
(1)求抛物线C，⊙M的方程；
解　由题意，直线x＝1与C交于P，Q两点，且OP⊥OQ，设C的焦点为F，P在第一象限，则根据抛物线的对称性，得∠POF＝∠QOF＝45°，
所以P(1，1)，Q(1，－1).
设抛物线C的方程为y2＝2px(p＞0)，
所以抛物线C的方程为y2＝x.
由题意，圆心M(2，0)到l的距离即⊙M的半径，且距离为1，
所以⊙M的方程为(x－2)2＋y2＝1.
(2)设A1，A2，A3是C上的三个点，直线A1A2，A1A3均与⊙M相切.判断直线A2A3与⊙M的位置关系，并说明理由.
解　直线A2A3与⊙M相切，理由如下：
设A1(x1，y1)，A2(x2，y2)，A3(x3，y3)，
当A1，A2，A3中有一个为坐标原点，另外两个点的横坐标均为3时，A1A2，A1A3均与⊙M相切，此时直线A2A3与⊙M相切.
当x1≠x2≠x3时，直线A1A2的方程为x－(y1＋y2)y＋y1y2＝0，
所以直线A2A3与⊙M相切.
综上可得，直线A2A3与⊙M相切.
1.两条直线平行与垂直的判定
若两条不重合的直线l1，l2的斜率k1，k2存在，则l1∥l2 k1＝k2，l1⊥l2 k1k2＝－1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在.
2.两个距离公式
3.圆的方程
4.直线与圆的位置关系的判定
(1)几何法：把圆心到直线的距离d和半径r的大小加以比较：dr 相离.
(2)代数法：将圆的方程和直线的方程联立起来组成方程组，利用判别式Δ来讨论位置关系：Δ>0 相交；Δ＝0 相切；Δ<0 相离.
2
热点聚焦 分类突破
热点一　直线的方程
【例1】 (1)若直线l1：x＋ay＋6＝0与l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0平行，则l1与l2间的距离为(　　)
B
解析　由l1∥l2得(a－2)a＝1×3，且a×2a≠3×6，
(2)直线ax＋y＋3a－1＝0恒过定点N，则直线2x＋3y－6＝0关于点N对称的直线方程为(　　)
A.2x＋3y－12＝0 B.2x＋3y＋12＝0
C.2x－3y＋12＝0 D.2x－3y－12＝0
B
解析　由ax＋y＋3a－1＝0可得a(x＋3)＋y－1＝0，
设直线2x＋3y－6＝0关于点N对称的直线方程为2x＋3y＋c＝0(c≠－6)，
解得c＝12或c＝－6(舍去).
∴所求直线方程为2x＋3y＋12＝0.
1.求解两条直线平行的问题时，在利用A1B2－A2B1＝0建立方程求出参数的值后，要注意代入检验，排除两条直线重合的可能性.
2.(1)要注意直线方程每种形式的局限性，点斜式、两点式、斜截式要求直线不能与x轴垂直，而截距式方程既不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线.
(2)讨论两直线的位置关系时，要注意直线的斜率是否存在.
探究提高
【训练1】 (1)(多选)光线自点(2，4)射入，经倾斜角为135°的直线l：y＝kx＋1反射后经过点(5，0)，则反射光线还经过下列哪些点(　　)
BD
(2)已知直线l1：kx－y＋4＝0与直线l2：x＋ky－3＝0(k≠0)分别过定点A，B，又l1，l2相交于点M，则|MA|·|MB|的最大值为________.
解析　由题意可知，直线l1：kx－y＋4＝0经过定点A(0，4)，
直线l2：x＋ky－3＝0经过定点B(3，0)，
注意到直线l1：kx－y＋4＝0和直线l2：x＋ky－3＝0始终垂直，点M又是两条直线的交点，
则有MA⊥MB，所以|MA|2＋|MB|2＝|AB|2＝25.
热点二　圆的方程
A.(x－2)2＋(y＋4)2＝4 B.(x＋2)2＋(y＋4)2＝16
C.(x－2)2＋(y－4)2＝4 D.(x－2)2＋(y－4)2＝16
D
解析　∵圆C的圆心在直线y＝2x上，
∴可设圆心C的坐标为(a，2a).
∵圆C与x轴正半轴相切于点A，
∴a>0，且圆C的半径r＝2a，A(a，0).
∴A(2，0)或A(6，0).
∵点A在直线x－y－4＝0的左上方，
∴A(2，0)，∴C(2，4)，r＝4，
∴圆C的标准方程为(x－2)2＋(y－4)2＝16.
B
解析　以甲、乙两地所在直线为x轴，甲、乙两地所连线段的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系.
1.求圆的方程主要方法有两种：(1)几何法求圆的方程，根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程.(2)待定系数法求圆的方程时，若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，否则选择圆的一般方程.
2.第(2)题是一道以阿波罗尼斯圆为背景的数学应用问题，解题关键是先利用题设条件给出的关系式，求出阿波罗尼斯圆的方程，然后应用圆中的几何量求解三角形信号覆盖区域的最大面积.
探究提高
温馨提醒　解答圆的方程问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质.
【训练2】 (1)(2020·北京卷)已知半径为1的圆经过点(3，4)，则其圆心到原点的距离的最小值为(　　)
A.4 B.5 C.6 D.7
A
x2＋(y－3)2＝10
AB的垂直平分线方程为l2：x＝0，
则圆心是l1与l2的交点M，联立l1与l2方程，
∴△PAB外接圆的标准方程为x2＋(y－3)2＝10.
热点三　直线(圆)与圆的位置关系
考向1　圆的切线问题
【例3】 (1)已知直线y＝kx＋b(k＞0)与圆x2＋y2＝1和圆(x－4)2＋y2＝1均相切，则k＝__________，b＝________.
解析　由题意知，直线kx－y＋b＝0(k＞0)分别与圆心坐标为(0，0)，半径为1，及圆心坐标为(4，0)，半径为1的两圆相切，
因为|MQ|的最小值是点M到直线l的距离d，
1.过一点求圆的切线，要考虑此点是在圆上还是在圆外.若点(x0，y0)在圆上，则切线只有一条，此时过圆x2＋y2＝r2(r>0)上一点(x0，y0)的切线方程为x0x＋y0y＝r2，过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)上一点(x0，y0)的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2；若点(x0，y0)在圆外，则切线有两条.
2.直线与圆相切时利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径”建立关于切线斜率的等式，但一定要注意斜率不存在的情形.
探究提高
【训练3】 (1)(2021·杭州模拟)过点D(1，－2)作圆C：(x－1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则弦AB所在直线的方程为(　　)
A.2y－1＝0 B.2y＋1＝0
C.x＋2y－1＝0 D.x－2y＋1＝0
B
解析　由圆C：(x－1)2＋y2＝1的方程可知其圆心为C(1，0)，半径为1.
连接CD，以线段CD为直径的圆的方程为(x－1)(x－1)＋(y＋2)(y－0)＝0，
整理得(x－1)2＋(y＋1)2＝1.
将两圆的方程相减，可得公共弦AB所在直线的方程为2y＋1＝0.
(2)(多选)在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－4x＝0.若直线y＝k(x＋1)上存在一点P，使过点P所作的圆的两条切线相互垂直，则实数k的值可以是(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
AB
考向2　直线与圆的弦长问题
【例4】 在直角坐标系xOy中，曲线y＝x2＋mx－2与x轴交于A，B两点，点C的坐标为(0，1).当m变化时，解答下列问题：
(1)能否出现AC⊥BC的情况？说明理由；
解　不能出现AC⊥BC的情况，理由如下：
设A(x1，0)，B(x2，0)，则x1，x2满足方程x2＋mx－2＝0，
所以x1x2＝－2.
又C的坐标为(0，1)，
所以不能出现AC⊥BC的情况.
(2)证明过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.
由(1)可得x1＋x2＝－m，
探究提高
【训练4】 (1)(2021·长沙诊断)已知圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝9，过点M(1，1)的直线l与圆C交于A，B两点，则弦长|AB|最短时直线l的方程为(　　)
A.2x－y－1＝0 B.x＋2y－8＝0
C.2x－y＋1＝0 D.x＋2y－3＝0
D
解析　根据题意，圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝9的圆心C为(2，3)，半径r＝3，
当CM与AB垂直时，即M为AB的中点时，弦长|AB|最短，
ACD
专题训练 对接高考
3
巩固提升
一、选择题
1.设λ∈R，则“λ＝－3”是“直线2λx＋(λ－1)y＝1与直线6x＋(1－λ)y＝4平行”的(　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
A
解析　若直线2λx＋(λ－1)y＝1与直线6x＋(1－λ)y＝4平行，
又“λ＝－3”是“λ＝－3或λ＝1”的充分不必要条件，
则“λ＝－3”是“直线2λx＋(λ－1)y＝1与直线6x＋(1－λ)y＝4平行”的充分不必要条件.
A.圆 B.椭圆 C.抛物线 D.直线
解析　以AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，
设点A，B分别为(－a，0)，(a，0)(a>0)，点C为(x，y)，
A
因此点C的轨迹为圆.故选A.
3.(多选)已知直线l过点A(a，0)且斜率为1，若圆x2＋y2＝4上恰有3个点到l的距离为1，则a可能的取值为(　　)
AD
4.若过点(2，1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x－y－3＝0的距离为(　　)
B
解析　因为圆与两坐标轴都相切，且点(2，1)在圆上，
所以可设圆的方程为(x－a)2＋(y－a)2＝a2(a＞0)，
则(2－a)2＋(1－a)2＝a2，解之得a＝1或a＝5.
所以圆心的坐标为(1，1)或(5，5)，
解析　取AB中点D(2，－3)，
C
又由题意知，圆C的圆心C(1，2)，半径为2，
ABD
6.(多选)(2021·新高考Ⅱ卷)已知直线l：ax＋by－r2＝0与圆C：x2＋y2＝r2，点A(a，b)，则下列说法正确的是(　 　)
A.若点A在圆C上，则直线l与圆C相切
B.若点A在圆C内，则直线l与圆C相离
C.若点A在圆C外，则直线l与圆C相离
D.若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
D
二、填空题
8.(2021·湖北联考)已知△ABC的顶点坐标分别为A(3，4)，B(6，0)，C(－5，－2)，则内角A的平分线所在直线的方程为______________________.
7x－y－17＝0
解析　法一　由题意，得|AC|＝10，|AB|＝5.
9.已知圆C的方程是x2＋y2－8x－2y＋8＝0，直线l：y＝a(x－3)被圆C截得的弦长最短时，直线l的方程为________________.
x＋y－3＝0
解析　圆C的标准方程为(x－4)2＋(y－1)2＝9，
∴圆C的圆心C(4，1)，半径r＝3.
又直线l：y＝a(x－3)过定点P(3，0)，
则当直线l与直线CP垂直时，被圆C截得的弦长最短.
故所求直线l的方程为y＝－(x－3)，即x＋y－3＝0.
11.(2021·淮安模拟)已知圆O：x2＋y2＝1，设点P(t，4)为直线y＝4上一点，过点P作圆O的切线，切点分别为M，N，则直线MN所过定点的坐标为________.
解析　设M(x1，y1)，N(x2，y2).
因为M是切点，在圆上，所以以点M为切点的切线方程为x1x＋y1y＝1，
因为P(t，4)在切线PM上，所以tx1＋4y1＝1，
所以切点M(x1，y1)在直线tx＋4y＝1上，
同理，切点N(x2，y2)也在直线tx＋4y＝1上，
所以直线MN的方程为tx＋4y＝1，
三、解答题
12.已知以点A(－1，2)为圆心的圆与直线m：x＋2y＋7＝0相切，过点B(－2，0)的动直线l与圆A相交于M，N两点.
(1)求圆A的方程；
解　易知点A(－1，2)到直线x＋2y＋7＝0的距离为圆A的半径r，
∴圆A的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝20.
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝－2，显然x＝－2符合题意，
当直线l的斜率存在时，设动直线l的方程为y＝k(x＋2)，
∴所求l的方程为3x－4y＋6＝0或x＝－2.
能力突破
AC
14.已知点A，B关于坐标原点O对称，|AB|＝4，⊙M过点A，B且与直线x＋2＝0相切.
(1)若A在直线x＋y＝0上，求⊙M的半径；
解　因为⊙M过点A，B，所以圆心M在AB的垂直平分线上.
又已知A在直线x＋y＝0上，且A，B关于坐标原点O对称，
所以M在直线y＝x上，故可设M(a，a).
因为⊙M与直线x＋2＝0相切，
所以⊙M的半径为r＝|a＋2|.
连接MA，OM，由已知得|AO|＝2.
又MO⊥AO，得2a2＋4＝(a＋2)2，解得a＝0或a＝4.
故⊙M的半径r＝2或r＝6.
(2)是否存在定点P，使得当A运动时，|MA|－|MP|为定值？并说明理由.
解　存在定点P(1，0)，使得|MA|－|MP|为定值.
理由如下：
设M(x，y)，由已知得⊙M的半径为r＝|x＋2|，|AO|＝2.
由于MO⊥AO，故得x2＋y2＋4＝(x＋2)2, 化简得M的轨迹方程为y2＝4x.
因为曲线C：y2＝4x是以点P(1，0)为焦点，以直线x＝－1为准线的抛物线，
所以|MP|＝x＋1.
因为|MA|－|MP|＝r－|MP|＝x＋2－(x＋1)＝1，
所以存在满足条件的定点P.