拓展优化　隐形圆(阿波罗尼斯圆)问题(共19张PPT)

(共19张PPT)
上篇 专题五 解析几何
拓展优化　隐形圆(阿波罗尼斯圆)问题
近年来阿波罗尼斯圆及隐圆问题受到命题者的广泛青睐，难度为中档、高档题目.该类题目题设中没有明确给出圆的相关信息，而是隐含在题目中的，要通过分析、转化，发现圆(或圆的方程)，从而最终利用圆的知识来求解.对优化思维过程，提升数学解题能力，培养学生数学核心素养大有裨益.
【典例1】 (1)(2021·重庆联考)已知点A(－5，－5)在动直线mx＋ny－m－3n＝0上的射影为点B，若点C(5，－1)，那么|BC|的最大值为(　　)
A.16 B.14 C.12 D.10
C
解析　动直线方程化为m(x－1)＋n(y－3)＝0，知恒过定点Q(1，3).
又∵点A(－5，－5)在动直线mx＋ny－m－3n＝0上的射影为点B，
∴∠ABQ＝90°，则点B的轨迹是以AQ为直径的圆，
∴圆心为AQ的中点M(－2，－1)，
∴点C(5，－1)在圆M外，
故|BC|的最大值为r＋|MC|＝7＋5＝12.
B
∴(x＋12)x＋y(y－6)≤20，则(x＋6)2＋(y－3)2≤65，
则点P为圆O在圆(x＋6)2＋(y－3)2＝65内部及其上的点，
点津突破
【典例2】 已知圆C：x2＋y2＝9，点A(－5，0)，直线l：x－2y＝0.
(1)求与圆C相切，且与直线l垂直的直线方程；
解　设所求直线方程为y＝－2x＋b，即2x＋y－b＝0，因为直线与圆相切，
假设存在这样的点B(t，0)(t≠－5)，
则|PB|2＝λ2|PA|2，
(10λ2＋2t)x0＋34λ2－t2－9＝0对x0∈[－3，3]恒成立，
点津突破
解析　以线段AB的中点为原点，AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系.
C
则A(－1，0)，B(1，0)，设P(x，y).
化简得(x－2)2＋y2＝3为动点P满足的轨迹方程.
其中x2＋y2可以看作圆(x－2)2＋y2＝3上的点(x，y)到点(0，0)的距离的平方，
(2)在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：(x－a)2＋(y－a＋2)2＝1，点A(0，2)，若圆C上存在点M，满足|MA|2＋|MO|2＝10，则实数a的取值范围是________.
[0，3]
解析　设M(x，y)，由|MA|2＋|MO|2＝10，
可得x2＋(y－1)2＝4，
∴M点在圆x2＋(y－1)2＝4上，
故圆x2＋(y－1)2＝4和圆(x－a)2＋(y－a＋2)2＝1相交或相切，
1.两题均是利用直接法求动点的轨迹方程，求解轨迹，关键在于找准题目中凸显的或隐含的等量关系，并把这种关系“翻译”成与动点坐标(x，y)有关的等式，即可得到所求的轨迹方程.
2.重视数形结合与转化思想的应用：一是借形解题，即能画出满足题意的动点的大致轨迹；二是会转化，如本例第(1)题，把圆上的动点到定点的距离的最大值问题，转化为圆心到定点的距离加上半径.
点津突破
[跟踪演练]
1.若两定点A，B的距离为3，动点M满足|MA|＝2|MB|，则M点的轨迹围成区域的面积为(　　)
A.π B.2π C.3π D.4π
D
2.已知圆O：x2＋y2＝1，圆M：(x－a)2＋(y－2)2＝2.若圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点为A，B，使得PA⊥PB，则实数a的取值范围为(　　)
D
3.已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和两点A(－m，0)，B(m，0)，且m>0.若圆C上存在一点P，使得∠APB＝90°，则m的最大值是(　　)
A.7 B.6 C.5 D.4
B
解析　如图所示，圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1的半径为1，|OC|＝5.
所以圆C上的点到点O距离的最大值为6，最小值为4.
由∠APB＝90°知，以AB为直径的圆和圆C有交点，
所以m的最大值是6.
解析　如图，以AB的中点O为坐标原点，AB所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，则A(－1，0)，B(1，0)，设P(x，y).
过点O作OM⊥AC，垂足为点M，由题意知，线段AC与圆x2＋y2＝2λ有两个交点，