第2讲　圆锥曲线的方程与性质 课件（共89张PPT）

(共89张PPT)
上篇 专题五 解析几何
第2讲　圆锥曲线的方程与性质
高考定位
1.圆锥曲线的方程与几何性质是高考的重点，多以选择题、填空题或解答题的第一问的形式命题；2.直线与圆锥曲线的位置关系是命题的热点，尤其是有关弦长计算及存在性问题，运算量大，能力要求高，突出方程思想、转化化归与分类讨论思想方法的考查.
真题感悟 考点整合
热点聚焦 分类突破
专题训练 对接高考
内容索引
真题感悟 考点整合
1
B
2.(2021·全国甲卷)已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2＝60°，|PF1|＝3|PF2|，则C的离心率为(　　)
A
3.(2021·新高考Ⅰ卷)已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP.若|FQ|＝6，则C的准线方程为______________.
8
所以|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝64①.
由椭圆的对称性及|PQ|＝|F1F2|知，四边形PF1QF2是矩形.
在Rt△PF1F2中，由勾股定理得|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，所以|PF1|2＋|PF2|2＝48②.
由①－②得|PF1|·|PF2|＝8，
所以S四边形PF1QF2＝|PF1|·|PF2|＝8.
法三　由题意，得PF1⊥PF2，四边形PF1QF2是矩形，
∴S△PF1F2＝b2·tan 45°＝4，
∴S四边形PF1QF2＝S△PF1F2＝8.
(1)求C1的离心率；
解　由已知可设C2的方程为y2＝4cx，
(2)设M是C1与C2的公共点.若|MF|＝5，求C1与C2的标准方程.
C2的标准方程为y2＝12x.
1.圆锥曲线的定义
(1)椭圆：|MF1|＋|MF2|＝2a(2a＞|F1F2|)；
(2)双曲线：||MF1|－|MF2||＝2a(2a＜|F1F2|)；
(3)抛物线：|MF|＝d(d为M点到准线的距离).
温馨提醒　应用圆锥曲线定义解题时，易忽视定义中隐含条件导致错误.
2.圆锥曲线的标准方程
3.圆锥曲线的重要性质
4.弦长问题
2
热点聚焦 分类突破
热点一　圆锥曲线的定义及标准方程
【例1】 (1)已知A为抛物线C：y2＝2px(p>0)上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p＝(　　)
A.2 B.3 C.6 D.9
C
又因为点A到y轴的距离为9，即x＝9，
B
解析　由椭圆定义|MF1|＋|MF2|＝|NF1|＋|NF2|＝2a，
所以△MNF2的周长为|MN|＋|MF2|＋|NF2|＝|MF1|＋|NF1|＋|MF2|＋|NF2|＝4a＝8.
D
由l与一条渐近线平行，与一条渐近线垂直，得a＝1，b＝1.
故双曲线C的方程为x2－y2＝1.
1.此类问题求解的关键在于准确把握圆锥曲线的定义和标准方程，另外注意焦点在不同的坐标轴上，椭圆、双曲线、抛物线方程各有不同的表示形式.
2.求解圆锥曲线的标准方程的方法是“先定型，后计算”.所谓“定型”，就是指确定类型，所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的参数的值.
探究提高
A
ACD
(3)(2021·北京卷)已知抛物线C：y2＝4x，C的焦点为F，点M在C上，且|FM|＝6，则点M的横坐标是________；作MN⊥x轴于N，则S△FMN＝________.
5
热点二　圆锥曲线的几何性质
B
解析　因为N在y轴上，所以|NF1|＝|NF2|＝|MN|，
所以△MF1F2为直角三角形，
则MF2⊥F1F2且N是MF1的中点，
C
解析　法一　依题意，B(0，b)，设P(acos θ，bsin θ)，θ∈[0，2π)，因为|PB|≤2b，所以对任意θ∈[0，2π)，(acos θ)2＋(bsin θ－b)2≤4b2恒成立，
即(a2－b2)sin2θ＋2b2sin θ＋3b2－a2≥0对任意θ∈[0，2π)恒成立.
令sin θ＝t，t∈[－1，1]，f(t)＝(a2－b2)t2＋2b2t＋3b2－a2，
则原问题转化为对任意t∈[－1，1]，恒有f(t)≥0成立.
探究提高
2
所以c2－a2＝3ac－3a2，所以c2－3ac＋2a2＝0，
化简可得，e2－3e＋2＝0，解得e＝2或e＝1(舍去).
所以C的离心率e＝2.
4
A
即|FA|＝|FD|＝b，则|OA|＝|OD|＝a.
又|OF|＝|FB|，所以△OFB为等腰三角形，则D为OB的中点，|OB|＝2a.
在Rt△OAB中，|OB|＝2|OA|，知∠AOB＝60°，
探究提高
A.4 B.8 C.16 D.32
B
因为D，E分别为直线x＝a与双曲线C的两条渐近线的交点，
所以不妨设D(a，b)，E(a，－b).
故曲线C的焦距2c的最小值为8.
A
(1)若|AF|＋|BF|＝4，求l的方程；
探究提高
由对称性知，不妨分析直线AB的斜率大于0的情形，作出图象.
如图所示，设点B，F在准线上的射影分别是点G，K.
根据抛物线的定义可知，原点O是线段KF的中点，
所以Q是线段PF的中点，
|PQ|＝|QF|.
因为|KF|＝2，所以|GB|＝3，
热点三　直线与圆锥曲线的位置关系
(1)求椭圆的离心率e；
由①可知x1x2＋5y1y2＝0，
求解此类问题往往要设出直线方程，将直线方程与椭圆方程联立，利用根与系数的关系求解.解题时要注意：(1)用好圆锥曲线的几何性质；(2)注意几何关系与代数关系之间的转化.
探究提高
(1)求椭圆C的方程；
解　当直线l的斜率不存在时，显然不合题意.
设直线l：y＝k(x＋4)，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
专题训练 对接高考
3
巩固提升
一、选择题
1.设抛物线的顶点为O，焦点为F，准线为l，P是抛物线上异于O的一点，过P作PQ⊥l于Q.则线段FQ的垂直平分线(　　)
A.经过点O B.经过点P
C.平行于直线OP D.垂直于直线OP
解析　不妨设抛物线的标准方程为y2＝2px(p＞0)，
如图所示，连接PF，则|PF|＝|PQ|，则△QPF为等腰三角形，
∴QF的垂直平分线过点P.
B
A.13 B.12 C.9 D.6
C
C
B
如图，因为|OF1|＝|OF2|＝|OP|＝2，所以点P在以F1F2为直径的圆上，故PF1⊥PF2，则|PF1|2＋|PF2|2＝(2c)2＝16.
由双曲线的定义知||PF1|－|PF2||＝2a＝2，
所以|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|＝4，所以|PF1||PF2|＝6，
5.(2021·河北联考)已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，P为C在第一象限上的一点，若PF的中点到y轴的距离为3，则直线PF的斜率为(　　)
C
解析　由y2＝8x，知p＝4，焦点F(2，0).
又|PF|＝xP＋2，
BC
二、填空题
7.(2021·湖北二联)写出一个渐近线的倾斜角为60°且焦点在y轴上的双曲线的标准方程________________________________.
(1，2]
4
三、解答题
10.(2021·海南质检)如图，已知抛物线Γ：y2＝8x的焦点为F，准线为l，O为坐标原点，A为抛物线Γ上一点，直线AO与l交于点C，直线AF与抛物线Γ的另一个交点为B.
(1)证明：直线BC∥x轴；
证明　由y2＝8x知焦点F(2，0)，准线l为x＝－2.
设直线AB为x＝my＋2，代入y2＝8x，
得y2－8my－16＝0，所以y1y2＝－16.
(2)设准线l与x轴的交点为E，连接BE，且BE⊥BF，证明：||AF|－|BF||＝8.
证明　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由BE⊥BF，则|BE|2＋|BF|2＝|EF|2，
由于AB与x轴不垂直，设直线AB的方程为y＝k(x－2).
故||AF|－|BF||＝|x1－x2|＝8.
(1)求椭圆E的标准方程；
解　因为椭圆E过点A(0，－2)，所以b＝2.
(2)过点P(0，－3)的直线l斜率为k，交椭圆E于不同的两点B，C，直线AB，AC交y＝－3于点M，N，若|PM|＋|PN|≤15，求k的取值范围.
解　由题意可得，直线l的方程为y＝kx－3，设B(x1，y1)，C(x2，y2).
消去y整理得(5k2＋4)x2－30kx＋25＝0，
由Δ＝(－30k)2－4(5k2＋4)×25＝400(k2－1)>0，
故k>1或k<－1.由根与系数的关系，得
即|k|≤3，解得－3≤k≤3.
综上，k的取值范围为[－3，－1)∪(1，3].
能力突破
D
即m＋4＝2m，解得m＝4，所以P(4，2).
易知双曲线的右焦点为A(4，0)，连接PA，
(1)求椭圆的方程；
解　易知点F(c，0)，B(0，b)，
(2)直线l与椭圆有唯一的公共点M，与y轴的正半轴交于N，过N与BF垂直的直线交x轴于点P.若MP∥BF，求直线l的方程.