微专题二　定值问题(共42张PPT)

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上篇 专题五 解析几何
微专题二　定值问题
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专题训练 对接高考
内容索引
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热点聚焦 分类突破
突破点一　长度与几何图形的面积为定值
(1)求椭圆E的标准方程；
又c2＝a2－b2，②
联立①②，得b＝1.
证明　当直线l的斜率不存在时，
设直线l：x＝t(－3得(9k2＋1)x2＋18kmx＋9m2－9＝0.
Δ＝(18km)2－4(9k2＋1)(9m2－9)＝36(9k2－m2＋1)>0，
化简得9k2＋1＝2m2，满足Δ>0.
探究提高
(1)求C的方程；
解得a2＝6，b2＝3.
(2)点M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D为垂足.证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值.
证明　设M(x1，y1)，N(x2，y2).
若直线MN与x轴不垂直，
故(x1－2)(x2－2)＋(y1－1)(y2－1)＝0，
整理得(k2＋1)x1x2＋(km－k－2)(x1＋x2)＋(m－1)2＋4＝0.
整理得(2k＋3m＋1)(2k＋m－1)＝0.
因为A(2，1)不在直线MN上，
所以2k＋m－1≠0，所以2k＋3m＋1＝0，k≠1.
若直线MN与x轴垂直，可得N(x1，－y1).
得(x1－2)(x1－2)＋(y1－1)(－y1－1)＝0.
突破点二　数学表达式或斜率为定值
【例2】 已知抛物线C：y2＝2px(p>0)经过点P(1，2).过点Q(0，1)的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N.
(1)求直线l的斜率的取值范围；
解　因为抛物线y2＝2px过点P(1，2)，
所以2p＝4，即p＝2.故抛物线C的方程为y2＝4x.
由题意知，直线l的斜率存在且不为0.
设直线l的方程为y＝kx＋1(k≠0).
依题意Δ＝(2k－4)2－4×k2×1>0，解得k<1，
又因为k≠0，故k<0或0又PA，PB与y轴相交，故直线l不过点(1，－2).
从而k≠－3.
所以直线l斜率的取值范围是(－∞，－3)∪(－3，0)∪(0，1).
证明　设A(x1，y1)，B(x2，y2).
1.求定值问题常见的方法有两种：
(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关.
(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.
2.定值问题求解的基本思路是使用参数表示要解决的问题，然后证明与参数无关，这类问题选择消元的方向是非常关键的.
探究提高
(1)求动点D的轨迹方程；
∵点D在线段AB的垂直平分线上，∴|DA|＝|DB|，
又|AC|＝|DA|＋|DC|＝|DB|＋|DC|，
(2)若过点Q(0，－1)的直线l斜率存在，且直线l与动点D的轨迹相交于M，N两点.试证明：直线PM与PN的斜率之积为定值.
证明　设l：y＝kx－1，M(x1，y1)，N(x2，y2)，
显然Δ＝(－4k)2＋8(2k2＋1)＝32k2＋8>0，
∵x1≠0，x2≠0，
∴设直线PM与PN的斜率分别为k1，k2，
故直线PM与PN的斜率之积为定值.
突破点三　定直线的方程
【例3】 (2021·福州检测)已知抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，过F且斜率为1的直线与C交于A，B两点，|AB|＝8.
(1)求抛物线C的方程；
解　设A(x1，y1)，B(x2，y2).
x2－2px－p2＝0，易知Δ>0.
则x1＋x2＝2p，y1＋y2＝x1＋x2＋p＝3p，
所以|AB|＝y1＋y2＋p＝4p＝8，解得p＝2.
于是抛物线C的方程为x2＝4y.
则Δ＝(－4k)2－4(4k－8)＝16(k2－k＋2)>0，
x3＋x4＝4k，x3x4＝4k－8，
得R(2k，k2)，R为QT的中点，所以T(2k，k－2).
因为2k－2(k－2)－4＝0，
所以动点T在定直线x－2y－4＝0上.
所以动点T在定直线x－2y－4＝0上.
1.将直线方程与抛物线方程联立，利用抛物线的焦点弦长公式求出p的值，即得抛物线C的方程.
2.本题第(2)问的解答给出了探求圆锥曲线中的定直线问题的两种方法：一是参数法，即先利用题设条件探求出动点T的坐标(包含参数)，再消去参数，即得动点T在定直线上；二是相关点法，即先设出动点T的坐标为(x，y)，根据题设条件得到已知曲线上的动点R的坐标，再将动点R的坐标代入已知的曲线方程，即得动点T在定直线上.
探究提高
【训练3】 (2021·宿州质检)已知点A(－1，0)，B(1，0)，动点P满足|PA|＋|PB|＝4，P点的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程；
解　由椭圆的定义知P点的轨迹是以A，B为焦点，长轴长为4的椭圆，
依题意，c＝1，2a＝4.
所以a＝2，b2＝a2－c2＝3.
联立方程①②，消y得3x0x＋4(1－x0)(x－1)－12＝0.
变形化简，得(4－x0)x＝4(4－x0)，则x＝4.
所以动点Q在定直线x＝4上，
y＝0，Q(4，0)，Q在直线x＝4上，
综上所述，动点Q在定直线x＝4上.
专题训练 对接高考
2
1.(2021·武汉质检)设抛物线E：y2＝2px(p>0)的焦点为点F，过点F作直线l交抛物线E于A，B两点.当l与x轴垂直时，△AOB的面积为8，其中O为坐标原点.
(1)求抛物线E的标准方程；
则抛物线E的标准方程为y2＝8x.
证明　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)，
即(y1＋y2)y－y1y2＝8x.
∵抛物线E的焦点F(2，0)在直线l上，∴－y1y2＝16.
设直线BD的方程为x＝ty＋3.
消去x并整理得y2－8ty－24＝0，
∴y2y4＝－24.
同理可得y1y3＝－24.
(1)求C的标准方程；
解　由y2＝4x，知焦点F(1，0)，则c＝1.
所以a2＝4，b2＝3，
(2)设A，B是椭圆C的左、右顶点，过点F作直线l与椭圆交于P，Q(不同于A，B)两点，设直线AP与直线BQ交于E点，求证：点E在定直线上.
证明　由(1)知F(1，0)，设直线PQ的方程为x＝my＋1，
显然Δ>0恒成立.
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
联立两方程可得，
解得x＝4，
故点E在定直线x＝4上.
(1)求椭圆C的方程；
所以a2－b2＝1.①
(2)过椭圆C的右焦点作一条斜率为k(k≠0)的直线交椭圆于A，B两点，交y轴于点E，P为弦AB的中点，过点E作直线OP的垂线交OP于点Q，问是否存在一定点H，使得QH的长度为定值？若存在，则求出点H；若不存在，请说明理由.
解　由题意知直线AB的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，
设A(x1，y1)，B(x2，y2).
消去y，得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0，
Δ＝144k2＋144>0，
在直线AB的方程y＝k(x－1)中，令x＝0，得y＝－k，
则点E的坐标为(0，－k).