微专题一　定点问题(共41张PPT)

(共41张PPT)
上篇 专题五 解析几何
压轴突破　圆锥曲线中的热点问题
微专题一　定点问题
热点聚焦 分类突破
专题训练 对接高考
内容索引
1
热点聚焦 分类突破
突破点一　直线过定点
(1)求E的方程；
解　由题设得A(－a，0)，B(a，0)，G(0，1).
解得a＝3或a＝－3(舍去).
(2)证明：直线CD过定点.
证明　设C(x1，y1)，D(x2，y2)，P(6，t).
若t≠0，设直线CD的方程为x＝my＋n，
由题意可知－3由①②可得27y1y2＝－(x1＋3)(x2＋3)，
结合x＝my＋n，
得(27＋m2)y1y2＋m(n＋3)(y1＋y2)＋(n＋3)2＝0.③
得(m2＋9)y2＋2mny＋n2－9＝0.
代入③式
得(27＋m2)(n2－9)－2m(n＋3)mn＋(n＋3)2(m2＋9)＝0，
1.动直线l过定点问题.首先设动直线方程(斜率存在)为y＝kx＋t，再由题设条件将t用k表示为t＝mk，得y＝k(x＋m)，故动直线过定点(－m，0).
2.从特殊情况入手，求出定点，再证明定点与变量无关.
探究提高
【训练1】 (2021·株洲质检)在平面直角坐标系中，已知圆心为点Q的动圆恒过点F(1，0)，且与直线x＝－1相切，设动圆的圆心Q的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程；
(2)过点F的两条直线l1，l2与曲线C分别相交于A，B与C，D四点，且M，N分别为AB，CD的中点.设l1与l2的斜率依次为k1，k2，若k1＋k2＝－1，求证：直线MN恒过定点.
证明　由题意设l1，l2的方程分别为y＝k1(x－1)(k1≠0)，y＝k2(x－1)(k2≠0).
由k1＋k2＝－1，得kMN＝－k1k2＝－k1(－1－k1)＝k1(1＋k1)，
整理，得y＋2＝k1(1＋k1)(x－1)，
所以直线MN恒过定点(1，－2).
突破点二　曲线过定点
(1)求椭圆C的方程；
当AB⊥y轴时，以线段AB为直径的圆的方程为x2＋y2＝1.
可得两圆交点为Q(－1，0).
由此可知，若以线段AB为直径的圆过定点，则该定点为Q(－1，0).
下证Q(－1，0)符合题意.
设直线l的斜率存在，且不为0，
综上，以线段AB为直径的圆恒过定点(－1，0).
1.定点问题，先猜后证，可先考虑运动图形是否有对称性及特殊(或极端)位置猜想，如直线的水平位置、竖直位置，即k＝0或k不存在时.
2.以曲线上的点为参数，设点P(x1，y1)，利用点在曲线f(x，y)＝0上，即f(x1，y1)＝0消参.
探究提高
(1)求椭圆C的方程；
所以|AF1|·|AF2|＝4.
在△F1AF2中，利用余弦定理得4c2＝|AF1|2＋|AF2|2－2|AF1||AF2|cos 60°，
所以4c2＝(|AF1|＋|AF2|)2－3|AF1||AF2|＝4a2－12.
则a2－c2＝3，从而a2＝4，c2＝1，∴b2＝3.
(2)设动直线l：y＝kx＋m与椭圆C有且只有一个公共点P，且与直线x＝4相交于点Q.请问在x轴上是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.
得(4k2＋3)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，
Δ＝(8km)2－4(4k2＋3)(4m2－12)＝0，
设在x轴上存在满足题意的点M，坐标为(x1，0)，
因为以PQ为直径的圆恒过定点M，所以·＝0.
故存在定点M(1，0)符合题意.
突破点三　圆锥曲线中定点探索性问题
(1)求椭圆C的标准方程；
从而a2－b2＝3.②
由①②可得a2＝4，b2＝1.
(2)过点M(4，0)的直线l与C交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，且y1y2≠0，问在x轴上是否存在定点N，使得直线NA，NB与y轴围成的三角形始终为底边在y轴上的等腰三角形？若存在，求出定点N的坐标；若不存在，请说明理由.
解　显然直线l的斜率存在且不为0，
设直线l的方程为y＝k(x－4).
设A(x1，y1)，B(x2，y2).
假设存在点N(t，0)，因为直线NA，NB与y轴围成的三角形始终为底边在y轴上的等腰三角形，
所以kNA＋kNB＝0，
则2x1x2－(t＋4)(x1＋x2)＋8t＝0.
于是在x轴上存在定点N(1，0)，使得直线NA，NB与y轴围成的三角形始终为底边在y轴上的等腰三角形.
1.本题给出了求解圆锥曲线中定点的探索性问题的基本思路和方法：一肯定，二顺推.
2.第一步肯定定点的存在，此时要做好两件工作：(1)设出定点的坐标，(2)明白定点满足什么条件.如本题，假设在x轴上存在定点N(t，0)，由直线NA，NB与y轴围成的三角形始终为底边在y轴上的等腰三角形，得到kNA＋kNB＝0.第二步依据满足的条件进行代数推理，此时也要完成两件工作：(1)将点的坐标代入条件等式，(2)将直线方程与圆锥曲线方程联立，得到根与系数的关系，进而解出定点.
探究提高
(1)求椭圆M的标准方程；
解　在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝CA2＋CB2－2CA·CB·cos C＝(CA＋CB)2－3CA·CB＝4.(*)
解　设直线方程为y＝k(x－1)，E(x1，y1)，F(x2，y2)，
消去y得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－2＝0，Δ＝8k2＋8>0，
专题训练 对接高考
2
(1)求C的方程；
解　因为|F1F2|＝4＝2c，所以c＝2，
所以a2－b2＝4.
(2)若A，B为C上的两个动点，过F2且垂直x轴的直线平分∠AF2B，求证：直线AB过定点.
证明　由题意知，直线AB的斜率存在，F2(2，0).
设直线AB的方程为y＝kx＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2).
则Δ＝16k2m2－4(1＋2k2)(2m2－8)＝64k2－8m2＋32>0，
设直线F2A，F2B的倾斜角分别为α，β，
所以y1(x2－2)＋y2(x1－2)＝0，
即(kx1＋m)(x2－2)＋(kx2＋m)(x1－2)＝0，
所以2kx1x2＋(m－2k)(x1＋x2)－4m＝0，
化简，得m＝－4k，
所以直线AB的方程为y＝kx－4k，即y＝k(x－4)，
故直线AB过定点(4，0).
2.已知抛物线C：x2＝－2py(p>0)经过点(2，－1).
(1)求抛物线C的方程及其准线方程；
解　由抛物线C：x2＝－2py经过点(2，－1)得p＝2.
所以抛物线C的方程为x2＝－4y，其准线方程为y＝1.
(2)设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y＝－1分别交直线OM，ON于点A和点B.求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点.
证明　由(1)知抛物线C的焦点为F(0，－1).
设直线l的方程为y＝kx－1(k≠0).
设点D(0，n)，
得n＝1或n＝－3.
综上，以AB为直径的圆经过y轴上的定点(0，1)和(0，－3).
(1)求椭圆的标准方程；
解　直线MN斜率不存在时，不合题意.
设直线MN方程为y＝kx＋m，M(x1，y1)，N(x2，y2).
Δ＝(4km)2－4(1＋2k2)(2m2－16)＝128k2＋64－8m2>0，