微专题三　最值与范围问题 课件（共46张PPT）

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上篇 专题五 解析几何
微专题三　最值与范围问题
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专题训练 对接高考
内容索引
1
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突破点一　距离与面积的最值(范围)
(1)求椭圆C的方程；
解　由已知得b2＝3，a＋c＝3，a2＝b2＋c2.
联立以上3个式子，可得a2＝4，
解　法一　因为过F(1，0)的直线与椭圆C交于A，B两点(A，B不在x轴上)，所以设l的方程为x＝ty＋1，
所以四边形AOBE为平行四边形，
所以S＝S AOBE＋S△OGB＝3S△AOB.
当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝k(x－1)，k≠0.
1.本题求四边形AGBE面积的最值，首先分割，借助三角形面积转化为函数的最值问题；求解最值应用了两个技巧：一是换元，运用函数的性质；二是利用已知或隐含的不等关系构造不等式求解.
2.若题目中的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质数形结合求解.
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【训练1】 (2021·全国乙卷)已知抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，且F与圆M：x2＋(y＋4)2＝1上点的距离的最小值为4.
(1)求p的值；
(2)若点P在M上，PA，PB是C的两条切线，A，B是切点，求△PAB面积的最大值.
解　由(1)知，抛物线方程为x2＝4y，
则Δ＝16k2＋16b>0　(※)，x1＋x2＝4k，x1x2＝－4b，
即P(2k，－b).因为点P在圆M上，
所以4k2＋(4－b)2＝1　①，
且－1≤2k≤1，－1≤4－b≤1，
突破点二　斜率与某些参数(式子)的范围(最值)
(1)求椭圆C的标准方程；
联立以上3个式子，可得a2＝16，b2＝12，c2＝4.
解　由(1)得A(4，0).易知直线l不与x轴平行.
当直线l⊥x轴时，不妨设点E在点F上方.
因为AE⊥AF，所以直线AE的倾斜角为135°，
所以直线AE的方程为y＝－x＋4.
因为AE⊥AF，
即7t2＋32kt＋16k2＝0，
探究提高
探究提高
(1)求直线AP斜率的取值范围；
解　设直线AP的斜率为k，
所以直线AP斜率的取值范围是(－1，1).
令f(k)＝－(k－1)(k＋1)3，
因为f′(k)＝－(4k－2)(k＋1)2，
突破点三　范围(最值)的探索性问题
(1)求椭圆C的标准方程；
解　设椭圆C的半焦距为c.
(2)设斜率存在的直线PF2与C的另一个交点为Q，是否存在点T(t，0)，使得|TP|＝|TQ|？若存在，求出t的取值范围；若不存在，请说明理由.
解　假设存在点T(t，0)，使得|TP|＝|TQ|.
由直线PQ过F2(1，0)，设直线PQ的方程为y＝k(x－1)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，PQ的中点为N(x0，y0).
当k＝0时，t＝0，符合题意.
得(4k2＋3)x2－8k2x＋4k2－12＝0，
Δ＝(－8k2)2－4(4k2＋3)(4k2－12)＝144k2＋144>0，
连接TN，因为|TP|＝|TQ|，所以TN⊥PQ，
则kTN·k＝－1(kTN为直线TN的斜率).
1.探索性问题的求解步骤：假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在，否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在.
2.本题的求解体现了数形结合思想在解答圆锥曲线问题中的应用.解题关键是如何将题设条件中的几何关系“|TP|＝|TQ|”转化成代数关系“kTN·k＝－1”，由此建立t关于k的函数关系式，进而求出t的取值范围.
探究提高
(1)求该抛物线的方程；
又抛物线x2＝2py(p>0)的焦点是椭圆的一个焦点，
于是抛物线的方程为x2＝4y.
(2)过抛物线焦点F的直线l交抛物线于A，B两点，分别在点A，B处作抛物线的切线，两条切线交于P点，则△PAB的面积是否存在最小值？若存在，求出这个最小值及此时对应的直线l的方程；若不存在，请说明理由.
解　△PAB的面积存在最小值，理由如下：
由抛物线方程x2＝4y知，F(0，1).
易知直线l的斜率存在，则设直线l的方程为y＝kx＋1.
且Δ＝(－4k)2－4(－4)＝16k2＋16>0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝4k，x1x2＝－4.
当且仅当k＝0时等号成立.
故△PAB的面积存在最小值4，此时直线l的方程为y＝1.
专题训练 对接高考
2
1.(2021·全国乙卷)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F到准线的距离为2.
(1)求C的方程；
解　由抛物线的定义可知，焦点F到准线的距离为p，故p＝2，
所以C的方程为y2＝4x.
解　由(1)知F(1，0)，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
(2)若M，N，O三点共线，直线NF1与椭圆C交于N，P两点，求△PMN面积的最大值.
由题意知－2(2)若F1，F2分别是椭圆E的上、下焦点，经过点F1的直线l与椭圆E交于M，N两点，O为坐标原点，则△OF2N与△OF2M的面积之和是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时直线l的方程；若不存在，请说明理由.
所以△OF2N与△OF2M的面积之和
令t＝1＋k2，则t≥1，