规范答题示范课——函数与导数解答题 课件（共15张PPT）

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上篇 专题六 函数与导数
规范答题示范课——函数与导数解答题
函数与导数问题一般以函数为载体，以导数为工具，重点考查函数的一些性质，如含参函数的单调性、极值或最值的探求与讨论，复杂函数零点的讨论，函数不等式中参数范围的讨论，恒成立和能成立问题的讨论等，是近几年高考试题的命题热点.对于这类综合问题，一般是先求导，再变形、分离或分解出基本函数，再根据题意处理.
(2)若曲线y＝f(x)与直线y＝1有且仅有两个交点，求a的取值范围.
解　曲线y＝f(x)与直线y＝1有且仅有两个交点，
当0＜x＜e时，g′(x)＞0，函数g(x)单调递增，
当x＞e时，g′(x)＜0，函数g(x)单调递减，
故a的取值范围为(1，e)∪(e，＋∞). 12分
得计算分：解题过程中计算准确是得满分的根本保证.如第(1)问中，求导f′(x)准确，否则全盘皆输；第(2)问中正确求g′(x)及g(x)max，数形结合得不等式组，并准确计算出a>1，且a≠e，否则导致失分.
1.已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝x＋m(m∈R).
(1)若f(x)≤g(x)恒成立，求实数m的取值范围；
解　令F(x)＝f(x)－g(x)＝ln x－x－m(x>0)，
当x>1时，F′(x)<0，当00，
所以F(x)在(1，＋∞)上单调递减，在(0，1)上单调递增.
所以F(x)在x＝1处取得最大值－1－m.
若f(x)≤g(x)恒成立，则－1－m≤0，即m≥－1.
故m的取值范围为[－1，＋∞).
(2)已知x1，x2是函数F(x)＝f(x)－g(x)的两个零点，且x1证明　由(1)可知，若函数F(x)＝f(x)－g(x)有两个零点，有F(1)>0，则m<－1，0由F(x1)＝F(x2)＝0，m＝ln x1－x1，
故h(x)在(0，1)上单调递增，
h(x)所以x1x2<1.
2.(2021·天津卷)已知a＞0，函数f(x)＝ax－xex.
(1)求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；
解　f′(x)＝a－(x＋1)ex，则f′(0)＝a－1，
又f(0)＝0，则所求切线方程为y＝(a－1)x(a＞0).
(2)证明函数y＝f(x)存在唯一的极值点；
证明　令f′(x)＝a－(x＋1)ex＝0，则a＝(x＋1)ex.
令g(x)＝(x＋1)ex，则g′(x)＝(x＋2)ex.
当x∈(－∞，－2)时，g′(x)＜0，g(x)单调递减；当x∈(－2，＋∞)时，g′(x)＞0，g(x)单调递增.
又当x→－∞时，g(x)＜0，当x→＋∞时，g(x)＞0，
又g(－1)＝0，故画出g(x)的大致图象如下：
所以当a＞0时，y＝a与y＝g(x)的图象仅有一个交点.
令g(m)＝a，则m＞－1，且f′(m)＝a－g(m)＝0.
当x∈(－∞，m)时，a＞g(x)，则f′(x)＞0，f(x)单调递增；当x∈(m，＋∞)时，a＜g(x)，则f′(x)＜0，f(x)单调递减，
所以x＝m为f(x)的极大值点，
故f(x)存在唯一的极值点.
(3)若存在实数a，使得f(x)≤a＋b对任意x∈R成立，求实数b的取值范围.
解　由(2)知f(x)max＝f(m)，此时a＝(1＋m)em，且m＞－1，
所以(f(x)－a)max＝f(m)－a
＝(m2－m－1)em，m＞－1.
令h(x)＝(x2－x－1)ex(x＞－1)，
若存在a，使得f(x)≤a＋b对任意x∈R成立，等价于存在x∈(－1，＋∞)，使得h(x)≤b，即b≥h(x)min.
h′(x)＝(x2＋x－2)ex＝(x－1)(x＋2)ex，x＞－1，
当x∈(－1，1)时，h′(x)＜0，h(x)单调递减；当x∈(1，＋∞)时，h′(x)＞0，h(x)在(1，＋∞)上单调递增，
所以h(x)min＝h(1)＝－e，故b≥－e，
所以实数b的取值范围为[－e，＋∞).