拓展优化　隐零点问题 课件（共17张PPT）

(共17张PPT)
上篇 专题六 函数与导数
拓展优化　隐零点问题
隐零点问题是指一个函数的零点存在但无法直接求解出来.在函数、不等式与导数的综合题目中常会遇到.涉及隐零点问题，一般对函数的零点设而不求，借助整体代换和过渡，再结合题目条件，利用函数的性质巧妙求解.
(1)求f(x)的最大值；
令g(x)＝x－ex(x>0)，则g′(x)＝1－ex<0，
所以g(x)在(0，＋∞)上单调递减，
故g(x)当x∈(0，1)时，f′(x)>0，f(x)在(0，1)上单调递增；
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)在(1，＋∞)上单调递减.
所以f(x)max＝f(1)＝1－e.
所以h(x)在(0，1)上存在零点x0，
由于y＝xex在(0，＋∞)上单调递增，
所以φ(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，＋∞)上单调递增，
因此b≤2，即实数b的取值范围是(－∞，2].
点津突破
【典例2】 已知函数f(x)＝xex－a(x＋ln x).
(1)讨论f(x)极值点的个数；
①当a≤0时，f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)上为增函数，不存在极值点；
②当a>0时，令h(x)＝xex－a，h′(x)＝(x＋1)ex>0，
显然函数h(x)在(0，＋∞)上是增函数，
又因为当x→0时，h(x)→－a<0，h(a)＝a(ea－1)>0，
必存在x0>0，使h(x0)＝0.
当x∈(0，x0)时，h(x)<0，f′(x)<0，f(x)为减函数；
当x∈(x0，＋∞)时，h(x)>0，f′(x)>0，f(x)为增函数，
所以，x＝x0是f(x)的极小值点.
综上，当a≤0时，f(x)无极值点，当a>0时，f(x)有一个极值点.
证明　由(1)得，f′(x0)＝0，即x0ex0＝a，
f(x0)＝x0ex0－a(x0＋ln x0)＝x0ex0(1－x0－ln x0)，
因为f(x0)>0，所以1－x0－ln x0>0，
g(x)在(0，＋∞)上是减函数，且g(1)＝0，
由g(x)>g(1)得x<1，所以x0∈(0，1)，
设φ(x)＝ln x－x＋1，x∈(0，1)，
当x∈(0，1)时，φ′(x)>0，所以φ(x)为增函数，
φ(x)<φ(1)＝0，即φ(x)<0，
即ln x1－x，
所以ln(x＋1)x＋1>0，则ex0>x0＋1.
因为x0∈(0，1)，所以1－x0－ln x0>1－x0＋1－x0＝2(1－x0)>0.
相乘得ex0(1－x0－ln x0)>(x0＋1)(2－2x0)，
所以f(x0)＝x0ex0(1－x0－ln x0)
1.满足f′(x0)＝0的x0是y＝f(x)取得极值的必要不充分条件，因此以零点x0为分界点，要判定f′(x)的正负.
2.求解该类题目，虚设零点，将零点方程适当变形，必要时要将零点的范围适当缩小.本题第(2)问运用两个重要不等式ex≥x＋1>0及x－1≥ln x和不等式的性质，思维能力要求较高.
点津突破
[跟踪演练]
1.已知函数f(x)＝2x＋xln x(x>1)，若不等式f(x)>t(x－1)＋1恒成立，求正整数t的最大值.
解　不等式f(x)>t(x－1)＋1化为2x＋xln x－1>t(x－1)，
则由题意知t再令h(x)＝x－2－ln x(x>1)，
又h(3)＝1－ln 3<0，h(4)＝2－ln 4>0，
所以存在唯一的x0∈(3，4)，使得h(x0)＝0，即x0－2＝ln x0，
当x∈(1，x0)时，h(x)<0，g′(x)<0，所以g(x)在(1，x0)上单调递减；
当x∈(x0，＋∞)时，h(x)>0，g′(x)>0，所以g(x)在(x0，＋∞)上单调递增，
所以t又3因为t为正整数，所以t的最大值为4.
(1)讨论f(x)的单调性，并证明f(x)有且仅有两个零点；
解　f(x)的定义域为(0，1)∪(1，＋∞).
所以f(x)在(0，1)，(1，＋∞)上单调递增.
所以f(x)在(1，＋∞)上有唯一零点x1(e即f(x1)＝0.
综上，f(x)有且仅有两个零点.
(2)设x0是f(x)的一个零点，证明曲线y＝ln x在点A(x0，ln x0)处的切线也是曲线y＝ex的切线.
所以曲线y＝ln x在点A(x0，ln x0)处的切线也是曲线y＝ex的切线.