拓展优化　洛必达法则 课件（共12张PPT）

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上篇 专题六 函数与导数
拓展优化　洛必达法则
若函数f(x)和g(x)的导函数分别为f′(x)和g′(x)，当g(x)≠0，且g′(x)≠0时，则：
(1)求a，b的值；
当x≠1时，h′(x)<0，h(x)递减.而h(1)＝0，
故h′(x)>0，而h(1)＝0，
③若k≥1，此时(k－1)(x2＋1)＋2x>0，
即h′(x)>0，而h(1)＝0，
与题设矛盾.
综上，k的取值范围为(－∞，0].
再令h(x)＝(x2＋1)ln x－x2＋1(x>0，x≠1)，
故当x∈(0，1)时，h″(x)<0，当x∈(1，＋∞)时，h″(x)>0.
∴h′(x)在(0，1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数，
故h′(x)>h′(1)＝0，
∴h(x)在(0，＋∞)上为增函数，
又h(1)＝0，∴当x∈(0，1)时，h(x)<0，当x∈(1，＋∞)时，h(x)>0，
∴当x∈(0，1)时，g′(x)<0，当x∈(1，＋∞)时，g′(x)>0，
∴g(x)在(0，1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数.
∴k≤0，即k的取值范围为(－∞，0].
在恒成立问题中求参数取值范围时，参数与变量分离较易理解，但有些题中的求分离出来的函数式的最值有点麻烦，利用洛必达法则可以较好的处理它的最值，是一种值得借鉴的方法.
点津突破
[跟踪演练]
已知函数f(x)＝(x＋1)ln x－a(x－1)，若当x∈(1，＋∞)时，f(x)>0，求a的取值范围.
解　法一　(分离参数法)
于是K(x)在(1，＋∞)上单调递增，
所以K(x)>K(1)＝0，于是H′(x)>0，
从而H(x)在(1，＋∞)上单调递增.
法二　(最值法)
(1)当1－a≥0，即a≤1时，f′(x)>0，
所以f(x)在(1，＋∞)上单调递增，所以f(x)>f(1)＝0.
①若2－a≥0，即10，于是f(x)在(1，＋∞)上单调递增，于是f(x)>f(1)＝0.
②若2－a<0，即a>2时，存在x0∈(1，＋∞)，使得当1综上所述，a的取值范围是(－∞，2].