第1讲　函数的图象与性质 课件（共60张PPT）

(共60张PPT)
上篇 专题六 函数与导数
第1讲　函数的图象与性质
高考定位
1.以基本初等函数为载体，考查函数的定义域、值域、最值、奇偶性、单调性和周期性；2.利用函数的图象研究函数性质，能用函数的图象与性质解决简单问题；3.函数与方程思想、数形结合思想是高考的重要思想方法.
真题感悟 考点整合
热点聚焦 分类突破
专题训练 对接高考
内容索引
真题感悟 考点整合
1
A.f(x－1)－1 B.f(x－1)＋1
C.f(x＋1)－1 D.f(x＋1)＋1
B
对于选项C，D，显然定义域不关于原点对称，故为非奇非偶函数.
D
因为当x∈(0，＋∞)时，f(x)单调递增，且f(x)>0，
3.(2020·新高考山东卷)若定义在R上的奇函数f(x)在(－∞，0)单调递减，且f(2)＝0，则满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是(　　)
A.[－1，1]∪[3，＋∞) B.[－3，－1]∪[0，1]
C.[－1，0]∪[1，＋∞) D.[－1，0]∪[1，3]
D
解析　因为函数f(x)为定义在R上的奇函数，则f(0)＝0.又f(x)在(－∞，0)单调递减，且f(2)＝0，画出函数f(x)的大致图象如图(1)所示，则函数f(x－1)的大致图象如图(2)所示.
当x≤0时，要满足xf(x－1)≥0，则f(x－1)≤0，
得－1≤x≤0.
当x＞0时，要满足xf(x－1)≥0，则f(x－1)≥0，
得1≤x≤3.
故满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是[－1，0]∪[1，3].
故选D.
4.(2021·新高考Ⅰ卷)函数f(x)＝|2x－1|－2ln x的最小值为________.
1
解析　函数f(x)＝|2x－1|－2ln x的定义域为(0，＋∞).
综上，f(x)min＝1.
1.函数的图象
(1)对于函数的图象要会作图、识图和用图，作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换和对称变换.
(2)在研究函数性质特别是单调性、值域、零点时，要注意结合其图象研究.
(3)函数图象的对称性
①若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(a－x)，即f(x)＝f(2a－x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称；
②若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝－f(a－x)，即f(x)＝－f(2a－x)，则y＝f(x)的图象关于点(a，0)对称.
2.函数的性质
(1)单调性：单调性是函数在其定义域上的局部性质.证明函数的单调性时，规范步骤为取值、作差、变形、判断符号和下结论.复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则.
(2)奇偶性：①若f(x)是偶函数，则f(x)＝f(－x).
②若f(x)是奇函数，0在其定义域内，则f(0)＝0.
③奇函数在关于原点对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的单调区间内有相反的单调性.
2
热点聚焦 分类突破
热点一　函数及其表示
A.(1，2] B.(2，4] C.[1，2) D.[2，4)
B
D
综上，不等式f(x)≤5的解集为[－2，3].
1.(1)给出解析式的函数的定义域是使解析式有意义的自变量的集合，只需构建不等式(组)求解即可.
(2)抽象函数：根据f(g(x))中g(x)的范围与f(x)中x的范围相同求解.
2.对于分段函数求值或解不等式问题，一定要根据变量的取值条件进行分段讨论.
探究提高
A
解析　当x≥1时，f(x)＝2x－1≥1，
热点二　函数的图象及应用
B
当x∈(0，1)时，ln|x|＜0，x2＋2＞0，所以f(x)＜0，排除D.故选B.
(2)已知函数f(x)＝2x－x－1，则不等式f(x)＞0的解集是(　　)
A.(－1，1) B.(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C.(0，1) D.(－∞，0)∪(1，＋∞)
D
解析　在同一平面直角坐标系中画出h(x)＝2x，g(x)＝x＋1的图象如图.由图象得交点坐标为(0，1)和(1，2).
又f(x)＞0等价于2x＞x＋1，
结合图象，可得x＜0或x＞1.
故f(x)＞0的解集为(－∞，0)∪(1，＋∞).
1.函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置.(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势.(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性.(4)从函数的特征点，排除不符合要求的图象.
2.(1)运用函数图象解决问题时，先要正确理解和把握函数图象本身的含义及其表示的内容，熟悉图象所能够表达的函数的性质.(2)图象形象地显示了函数的性质，因此，函数性质的确定与应用及一些方程、不等式的求解常与图象数形结合研究.
探究提高
A
所以f(x)是偶函数，图象关于y轴对称，排除C，D.
当0(2)已知函数f(x)在R上单调且其部分图象如图所示，若不等式－21
解析　由图象可知不等式－2即f(3)又y＝f(x)在R上单调递减，
所以0依题意，得t＝1.
热点三　函数的性质及应用
D
解析　由于f(x＋1)为奇函数，所以函数f(x)的图象关于点(1，0)对称，
即有f(x)＋f(2－x)＝0，
所以f(1)＋f(2－1)＝0，得f(1)＝0，即a＋b＝0　①.
由于f(x＋2)为偶函数，所以函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，
即有f(x)－f(4－x)＝0，
所以f(0)＋f(3)＝－f(2)＋f(1)＝－4a－b＋a＋b＝－3a＝6　②.
根据①②可得a＝－2，b＝2，
所以当x∈[1，2]时，f(x)＝－2x2＋2.
根据函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，且关于点(1，0)对称，可得函数f(x)的周期为4，
(2)(多选)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋1)是偶函数，f(x－1)是奇函数，则下列说法正确的是(　 　)
A.f(7)＝0 B.f(x)的一个周期为8
C.f(x)图象的一个对称中心为(3，0) D.f(x)图象的一条对称轴为直线x＝2 019
ABC
解析　依题意知，直线x＝1是f(x)图象的一条对称轴，(－1，0)是f(x)图象的一个对称中心，又因为f(x＋1)是偶函数，f(x－1)是奇函数，所以f(x＋1)＝f(－x＋1)，f(x－1)＝－f(－x－1)，所以f(x)＝f(－x＋2)，f(x)＝－f(－x－2)，所以f(－x＋2)＝－f(－x－2)，所以f(x＋2)＝－f(x－2)，所以f(x)＝－f(x－4)＝－[－f(x－8)]＝f(x－8)，所以f(x)是周期函数，且8为函数f(x)的一个周期，故B正确；
f(7)＝f(－1)＝0，故A正确；
因为f(x)图象上每隔4个单位长度出现一个对称中心，所以点(3，0)是函数f(x)图象的一个对称中心，故C正确；
x＝2 019＝8×252＋3，所以直线x＝2 019不是函数f(x)图象的对称轴，故D错误，故选ABC.
考向2　函数的单调性与奇偶性
AD
A.f(x)为奇函数 B.f(x)为偶函数
C.f(x)在R上单调递增 D.f(x)在R上单调递减
解析　由题意知函数f(x)的定义域为R，关于原点对称.对任意x∈R，
C
1.利用函数的奇偶性和周期性可以转化函数的解析式、图象和性质，把不在已知区间上的问题，转化到已知区间上求解.
2.函数单调性的应用：可以比较大小、求函数最值、解不等式、证明方程根的唯一性.
探究提高
【训练3】 (1)(2021·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)的定义域为R，f(x＋2)为偶函数，f(2x＋1)为奇函数，则(　　)
B
解析　因为函数f(x＋2)为偶函数，则f(2＋x)＝f(2－x)，可得f(x＋3)＝f(1－x).
因为函数f(2x＋1)为奇函数，则f(1－2x)＝－f(2x＋1)，
所以f(1－x)＝－f(x＋1)，
所以f(x＋3)＝－f(x＋1)＝f(x－1)，
即f(x)＝f(x＋4)，
故函数f(x)是以4为周期的周期函数.
因为函数F(x)＝f(2x＋1)为奇函数，则F(0)＝f(1)＝0，故f(－1)＝－f(1)＝0，其它三个选项未知，不能确定数值.
(2)(2021·衡水模拟)已知定义在R上的可导函数f(x)，对任意的实数x，都有f(x)－f(－x)＝2x，且当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>1恒成立，若不等式f(a)－f(1－a)≥2a－1恒成立，则实数a的取值范围是(　　)
A
解析　由f(x)－f(－x)＝2x，
得f(x)－x＝f(－x)－(－x).
设F(x)＝f(x)－x，则F(－x)＝F(x)，F(x)为偶函数.
由f′(x)>1，知F′(x)＝f′(x)－1>0，
∴函数F(x)在(0，＋∞)上单调递增.
由f(a)－f(1－a)≥2a－1，得f(a)－a≥f(1－a)－(1－a)，
∴F(a)≥F(1－a) F(|a|)≥F(|1－a|)，
专题训练 对接高考
3
巩固提升
一、选择题
1.(2021·北京卷)设函数f(x)的定义域为[0，1]，则“函数f(x)在[0，1]上单调递增”是“函数f(x)在[0，1]上的最大值为f(1)”的(　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
A
解析　显然f(－x)＝－f(x)，x∈[－π，π]，所以f(x)为奇函数，排除A；
D
3.(2021·广州模拟)已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋a，则g(2)＝(　　)
A.－4 B.4 C.－8 D.8
解析　依题意f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，
且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋a，①
所以f(－x)－g(－x)＝－x3＋x2＋a，
即f(x)＋g(x)＝－x3＋x2＋a，②
②－①得2g(x)＝－2x3，g(x)＝－x3，所以g(2)＝－23＝－8.故选C.
C
4.设f(x)是定义域为R的偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，则(　　)
C
解析　因为f(x)是定义域为R的偶函数，
5.(多选)(2021·辽宁五校期末)定义在实数集R上的函数f(x)满足f(1＋x)＝－f(1－x)，且x≥1时，函数f(x)单调递增，则(　　)
A.f(1)＝0 B.f(x)是周期函数
C.方程f(x)＝0有唯一实数解 D.函数f(x)在(－∞，0)上单调递减
AC
解析　∵x∈R，f(1＋x)＝－f(1－x)，
∴函数f(x)的图象关于点(1，0)成中心对称.
令x＝0，则f(1)＝－f(1)，即f(1)＝0.
又∵当x≥1时，函数f(x)单调递增，∴当x<1时，函数f(x)单调递增，∴f(x)不是周期函数，∴方程f(x)＝0有唯一实数解.
∴A，C正确，B，D错误.故选AC.
6.设函数f(x)＝ln|2x＋1|－ln|2x－1|，则f(x)(　　)
D
又f(－x)＝ln|－2x＋1|－ln|－2x－1|＝ln|2x－1|－ln|2x＋1|＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数，故排除A，C；
二、填空题
7.(2021·新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)＝x3(a·2x－2－x)是偶函数，则a＝________.
1
解析　法一　因为f(x)＝x3(a·2x－2－x)的定义域为R，且是偶函数，
所以f(－x)＝f(x)对任意的x∈R恒成立，
所以(－x)3(a·2－x－2x)＝x3(a·2x－2－x)对任意的x∈R恒成立，
所以x3(a－1)(2x＋2－x)＝0对任意的x∈R恒成立，所以a＝1.
法二　因为f(x)＝x3(a·2x－2－x)的定义域为R，且是偶函数，
经检验，f(x)＝x3(2x－2－x)为偶函数，所以a＝1.
法三　由题意知f(x)＝x3(a·2x－2－x)的定义域为R，且是偶函数.
设g(x)＝x3，h(x)＝a·2x－2－x，因为g(x)＝x3为奇函数，
所以h(x)＝a·2x－2－x为奇函数，
所以h(0)＝a·20－2－0＝0，解得a＝1，
经检验，f(x)＝x3(2x－2－x)为偶函数，所以a＝1.
－ln 4
解析　∵f(－1)＝f(1)，∴2－1＝log2(1－a)，
易知x<0时，f(x)＝2x∈(0，1)；
又x≥0时，f(x)＝log2(x－a)递增，
故f(x)≥f(0)＝log2(－a).
解得－1≤a<0.
10.设函数f(x)＝ex＋ae－x(a为常数).若f(x)为奇函数，则a＝________；若f(x)是R上的增函数，则a的取值范围是________.
－1
(－∞，0]
解析　奇函数f(x)＝ex＋ae－x(a为常数)的定义域为R，
∴f(0)＝e0＋ae－0＝1＋a＝0，∴a＝－1(经验证符合题意).
∵f(x)是R上的增函数，∴f′(x)≥0在R上恒成立，
又e2x>0，∴a≤0，即a的取值范围是(－∞，0].
(1)求f(0)；
(2)探究f(x)的单调性，并证明你的结论；
解　f(x)在R上单调递增，证明如下：
∵f(x)的定义域为R，∴任取x1，x2∈R且x1∵y＝2x在R上单调递增且x1∴0<2x1<2x2，∴2x1－2x2<0，2x1＋1>0，2x2＋1>0，
∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)∴f(x)在R上单调递增.
(3)若f(x)为奇函数，解不等式f(ax)解　∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
∴f(ax)又∵f(x)在R上单调递增，∴x<2.
∴不等式的解集为(－∞，2).
能力突破
12.(多选)(2021·济南统考)设函数f(x)＝min{|x－2|，x2，|x＋2|}，其中min{x，y，z}表示x，y，z中的最小者，则下列说法正确的是(　 　)
A.函数f(x)为偶函数 B.当x∈[1，＋∞)时，f(x－2)≤f(x)
C.当x∈R时，f(f(x))≤f(x) D.当x∈[－4，4]时，|f(x)－2|≥f(x)
ABC
解析　在同一平面直角坐标系中分别画出函数y＝|x－2|，y＝x2，y＝|x＋2|的图象如图所示，
显然f(－x)＝f(x)，故f(x)为偶函数，故A正确；
当x≥1时，f(x)＝|x－2|，f(x－2)的图象可由f(x)的图象向右平移2个单位长度得到，显然当x≥1时，f(x)的图象不在f(x－2)图象的下方，即当x∈[1，＋∞)时，f(x－2)≤f(x)，故B正确；
由图可知，当x∈R时，f(x)≥0，令t＝f(x)，t≥0，由y＝f(t)和y＝t(t≥0)的图象可知，当t≥0时，直线y＝t不在曲线y＝f(t)的下方，所以当t≥0时，t≥f(t)，即f(f(x))≤f(x)，故C正确；
当x∈[－4，4]时，f(－4)＝2，f(－4)－2＝0，显然f(－4)>|f(－4)－2|，故D不正确.故选ABC.
解析　因为函数f(x)为奇函数，所以f(x)＝－f(－x)，
所以f(2－x)＋f(x)＝－f(x－2)＋f(x)＝0，
即f(x－2)＝f(x)，
所以f(x)是以2为周期的周期函数.
14.已知函数f(x＋1)是定义在R上的偶函数， x1，x2∈[1，＋∞)，且x1≠x2，都有(x1－x2)[f(x2)－f(x1)]＜0，则不等式f(－2x＋1＋1)＜f(5)的解集为________.
(－∞，1)
解析　因为函数f(x＋1)是定义在R上的偶函数，
所以f(x＋1)的图象关于y轴对称.
因为f(x)的图象向左平移1个单位长度得到f(x＋1)的图象，
所以f(x)的图象关于直线x＝1对称.
因为 x1，x2∈[1，＋∞)，且x1≠x2，
都有(x1－x2)[f(x2)－f(x1)]＜0，
所以函数f(x)在[1，＋∞)上单调递增，
由此可得函数f(x)在(－∞，1)上单调递减.
因为f(－2x＋1＋1)＜f(5)，
且f(5)＝f(－3)，－2x＋1＋1＜1，
所以－2x＋1＋1＞－3，即2x＋1＜4，解得x＜1，
所以所求不等式的解集为(－∞，1).