第2讲　平面向量与复数 课件（共27张PPT）

(共27张PPT)
第2讲　平面向量与复数
微专题 1 复数
微专题 2 平面向量
微专题 1 复数
本资料分享自高中数学同步资源大全QQ群483122854 专注收集同步资源期待你的加入与分享
联系QQ309000116加入百度网盘群2500G一线老师必备资料一键转存，自动更新，一劳永逸
『常考常用结论』
1．已知复数z＝a＋bi(a，b∈R)，则
(1)当b＝0时，z∈R；当b≠0时，z为虚数；当a＝0时，b≠0时，z为纯虚数．
(2)z的共轭复数＝a－bi.
(3)z的模|z|＝.
2．已知i是虚数单位，则
(1)(1±i)2＝±2i，＝i，＝－i.
(2)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i.
『保分题组训练』
1．[2021·山东菏泽一模]若z·(1＋i)＝2i，则z的虚部是(　　)
A．－1 B．1
C．i D．－i
解析：因为z·(1＋i)＝2i，
所以z＝＝＝i(1－i)＝1＋i，
故z的虚部是1.故选B.
答案：B
2．[2021·河北衡水中学第二次联考]已知复数z＝，则在复平面内对应的点位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：z＝＝＝i，所以＝i
所以其在复平面内对应的点位于第四象限．
故选D.
答案：D
3．[2021·湖南永州三模] 已知i为虚数单位，复数z＝(2＋i)(1＋ai)，a∈R，若z∈R，则a＝(　　)
A． B. －
C. 2 D. －2
解析：z＝(2＋i)(1＋ai)＝2－a＋i，
因为z∈R，所以1＋2a＝0，解得：a＝－.
故选B.
答案：B
4. [2021·辽宁锦州一模]已知复数z满足2z＋＝1－i，则＝________．
解析：设z＝a＋bi，(a，b∈R)，
因为2z＋＝1－i，所以2a＋2bi＋a－bi＝1－i，故3a＋bi＝1－i，
所以a＝，b＝－1，
则＝ ＝.
答案：
『提分题组训练』
1．[2021·河北唐山二模]设复数z满足|z－2i|＝1，在复平面内z对应的点到原点距离的最大值是(　　)
A．1 B.
C. D. 3
解析：设z＝x＋yi(x，y∈R)，
则|x＋(y－2)i|＝1，所以＝1，即x2＋(y－2)2＝1，
所以复数z对应的点的轨迹是以(0，2)为圆心，1为半径的圆，
所以|z|max＝2＋1＝3.
所以复平面内z对应的点到原点距离的最大值是3.
故选D.
答案：D
2．[2021·济南十一学校联考](多选题)欧拉公式exi＝cos x＋isin x(其中i为虚数单位，x∈R)是由瑞士著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天骄，依据欧拉公式，下列选项正确的是(　　)
A．复数e2i对应的点位于第三象限
为纯虚数
C．复数的模长等于
的共轭复数为i
答案：BC
解析：对于A，由于e2i＝cos 2＋isin 2，
∵2∈(，π)，
∴cos 2∈(－1，0)，sin 2∈(0，1)，
∴e2i表示的复数在复平面中位于第二象限，故A错误；
对于＝cos ＋isin ＝i，可得为纯虚数，故B正确；
对于C，＝＝＝i，
可得其模的长为＝，故C正确；
对于＝cos ＋isin ＝i，可得的共轭复数为i，故D错误．
故选BC.
3．[2021·河北石家庄一模](多选题)设z为复数，则下列命题中正确的是(　　)
A．|z|2＝z
B．z2＝|z|2
C．若|z|＝1，则|z＋i|的最大值为2
D．若|z－1|＝1，则0≤|z|≤2
答案：ACD
解析：设z＝a＋bi，
对于A，|z|2＝a2＋b2，z＝(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2，故选项A正确；
对于B，z2＝(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi，|z|2＝a2＋b2，故选项B错误；
对于C，|z|＝1表示z对应的点Z在单位圆上，|z＋i|表示点Z对应的点与(0，－1)的距离，故|z＋i|的最大值为2，故选项C正确；
对于D，|z－1|＝1表示z对应的点Z在以(1，0)为圆心，1为半径的圆上，|z|表示z对应的点Z与原点(0，0)的距离，故0≤|z|≤2，故选项D正确．
故选ACD.
技法领悟
掌握复数代数形式运算的方法
1．复数的乘法：复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类项，不含i的看作另一类项，分别合并同类项即可；
2．复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题时要注意把i的幂写成最简形式．复数的除法类似初中所学化简分数常用的“分母有理化”，其实质就是“分母实数化”．
微专题 2 平面向量
『常考常用结论』
1．向量平行(共线)：
(1)向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b＝λa.
(2)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，a∥b x1y2－x2y1＝0.
(3)＝λ＋μ(λ，μ为实数)，若A，B，C三点共线，则λ＋μ＝1.
2．平面向量的数量积
(1)数量积的定义：a·b＝|a||b|cos θ(其中θ为向量a，b的夹角)；
(2)坐标运算：a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)时，a·b＝x1x2＋y1y2.
3．平面向量的三个性质
(1)若a＝(x，y)，则|a|＝＝.
(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
||＝.
(3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为a与b的夹角，则cos θ＝＝.
『保分题组训练』
1. [2021·河北保定一模]已知平面向量m＝，n＝，且m∥n，则下列正确的是(　　)
A．x＝－1 B. x＝－1或4
C. x＝ D. x＝4
解析：因为m∥n，所以4＝x，所以x＝.
故选C.
答案：C
2．[2021·河北石家庄一模]设向量a＝(1，2)，b＝(m，－1)，且(a＋b)⊥a，则实数m＝(　　)
A．－3 B．
C．－2 D．－
解析：∵a＋b＝(m＋1，1)，a＝(1，2)，且(a＋b)⊥a，
∴(a＋b)·a＝m＋1＋2＝0，解得m＝－3.
故选A.
答案：A
3．[2021·山东滨州一模]在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则＝(　　)
A． B．
C． D．
解析：在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，
＝＝
＝)
＝，
故选A.
答案：A
4．[2021·福建龙岩三模]已知a，b是两个单位向量，且满足a⊥，那么向量a与b的夹角为________．
解析：由a⊥，得a·＝a2－2a·b＝0，
a，b是两个单位向量，所以a·b＝，
所以向量a与b的夹角的余弦为：＝，
所以向量a与b的夹角为.
答案：
『提分题组训练』
1．[2021·广东江门一模]已知点O为△ABC的外心，AB的边长为2，则·＝(　　)
A．－1 B．1
C．2 D．4
解析：∵点O为△ABC的外心，AB的边长为2，如图：
设AB的中点为D，连接OD，则OD⊥AB，
∴·＝()·＝··＝＋0＝×22＝2，
故选C.
答案：C
2．[2021·山东滨州一模]已知a＞0，b＞0，向量m＝(a＋2b，－9)，n＝(8，ab)，若m⊥n，则2a＋b的最小值为(　　)
A．9 B．8
C． D．5
答案：B
解析：根据题意，向量m＝(a＋2b，－9)，n＝(8，ab)，
若m⊥n，则m·n＝8(a＋2b)－9ab＝0，即8(a＋2b)＝9ab，变形可得＝，
则2a＋b＝(2a＋b)＝(2a＋b)＝，
又由a＞0，b＞0，则＝2≥4，当且仅当a＝b时等号成立，
则2a＋b＝×(5＋4)＝8，
则2a＋b的最小值为8，
故选B.
3．[2021·河北保定一模](多选题)已知P为△ABC所在平面内一点，则下列正确的是(　　)
A．若＋3＋2＝0，则点P在△ABC的中位线上
B．若＝0，则P为△ABC的重心
C. 若·>0，则△ABC为锐角三角形
D．若＝，则△ABC与△ABP的面积比为3∶2
答案：ABD
解析：对于A，设AB中点为D，BC中点为E，
∵＋3＋2＝0，∴＝－2，
∴2＝－4，即＝2，∴P，D，E三点共线，
又DE为△ABC的中位线，∴点P在△ABC的中位线上，A正确；
对于B，设AB中点为D，由＝0得：＝－＝，
又＝2，∴＝2，∴P在中线CD上，且＝2，
∴P为△ABC的重心，B正确；
对于C，∵·>0，∴与夹角为锐角，即A为锐角，但此时B，C有可能是直角或钝角，故无法说明△ABC为锐角三角形，C错误；
对于D，∵＝，∴P为线段BC上靠近C的三等分点，即＝，
∴S△ABC∶S△ABP＝BC∶BP＝3∶2，D正确．
故选ABD.
技法领悟
1．一般地，用向量方法解决模的问题的途径有三：一是利用公式|a|2＝a2，将模的平方转化为数量积问题；二是利用模的几何意义；三是坐标法．解决向量的夹角问题主要是利用公式“ cos 〈a，b〉＝”将向量的夹角问题转化为数量积及模的问题来解决．
2．求解向量数量积最值问题的两种思路
(1)直接利用数量积公式得出代数式，依据代数式求最值．
(2)建立平面直角坐标系，通过坐标运算得出函数式，转化为求函数的最值．