第3讲 排列、组合与二项式定理 课件（共26张PPT）
文档属性
| 名称 | 第3讲 排列、组合与二项式定理 课件（共26张PPT） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 802.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-05-10 11:29:03 | ||
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文档简介
(共26张PPT)
第3讲 排列、组合与二项式定理
微专题 1 排列与组合
微专题 2 二项式定理
微专题 1 排列与组合
『常考常用结论』
1．分类加法计数原理和分步乘法计数原理
如果每种方法都能将规定的事件完成，则要用分类加法计数原理将方法种数相加；如果需要通过若干步才能将规定的事件完成，则要用分步乘法计数原理将各步的方法种数相乘．
2．两个公式：＝＝＝.
『保分题组训练』
1．6本不同的书摆放在书架的同一层上，要求甲、乙两本书必须摆放在两端，丙、丁两本书必须相邻，则不同的摆放方法种数为( )
A．24 B．36
C．48 D．60
解析：第一步：甲、乙两本书必须摆放在两端，有种排法；
第二步：丙、丁两本书必须相邻视为整体与其他两本共三本，有种排法；
∴＝24.故选A.
答案：A
2．[2021·河北张家口一模]小明同学从9种有氧运动和3种无氧运动中选4种运动进行体育锻炼，则他至少选中1种无氧运动的选法有( )
A．261种 B．360种
C．369种 D．372种
解析：由题意，分有1种无氧运动，2种无氧运动，3种无氧运动，
则他至少选中1种无氧运动的选法有＝369(种)．
故选C.
答案：C
3．[2021·湖南永州三模]甲、乙、丙、丁和戊5名学生进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次．甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都没有得到冠军”；对乙说：“你当然不会是最差的”，则该5人可能的排名情况种数为( )
A．18 B. 36
C. 54 D. 64
解析：先看乙，在中间有一个名次中的一个，有种可能，然后是甲除第一名外剩下的3个名次中的一个，有，最后三人名次任意，有种可能，共有＝54种情况．
故选C.
答案：C
4．2021年某地电视台春晚的戏曲节目，准备了经典京剧、豫剧、越剧、粤剧、黄梅戏、评剧6个剧种的各一个片段．对这6个剧种的演出顺序有如下要求：京剧必须排在前三，且越剧、粤剧必须排在一起，则该戏曲节目演出顺序共有( )
A．120种 B．156种
C．188种 D．240种
解析：完成排戏曲节目演出顺序这件事，可以有两类办法：京剧排第一，越剧、粤剧排在一起作一个元素与余下三个作全排列有，越剧、粤剧有前后，共有：种；
京剧排二三之一有，越剧、粤剧排在一起只有三个位置并且它们有先后，有，余下三个有，共有：种；
由分类计数原理知，所有演出顺序有：＝120(种)
故选A.
答案：A
『提分题组训练』
1．[2021·山东泰安一模]2020年11月，中国国际进口博览会在上海举行，本次进博会设置了“云采访”区域，通过视频连线，帮助中外记者采访因疫情影响无法来沪参加进博会的跨国企业CEO或海外负责人．某新闻机构安排4名记者和3名摄影师对本次进博会进行采访，其中2名记者和1名摄影师负责“云采访”区域的采访，另外2名记者和2名摄影师分两组(每组记者和摄影师各1人)，分别负责“汽车展区”和“技术装备展区”的现场采访．如果所有记者、摄影师都能承担三个采访区域的相应工作，则所有不同的安排方案有( )
A．36种 B．48种 C．72种 D．144种
答案：C
解析：根据题意，分3步进行分析：
①在4名记者中任选2人，在3名摄影师中选出1人，安排到“云采访”区域采访，有＝18种情况，
②在剩下的2名记者中选出1人，在2名摄影师中选出1人，安排到“汽车展区”采访，有＝4种情况，
③将最后的1名记者和1名摄影师，安排到“技术装备展区”采访，有1种情况，
则有18×4＝72种不同的安排方案，
故选C.
2．[2021·河北石家庄一模]2021年是巩固脱贫攻坚成果的重要一年，某县为响应国家政策，选派了6名工作人员到A，B，C三个村调研脱贫后的产业规划，每个村至少去1人，不同的安排方式共有( )
A．630种 B．600种
C．540种 D．480种
解析：把6名工作人员分为1，1，4三组，则不同的安排方式共有：·＝90种，
把6名工作人员分为2，2，2三组，不同的安排方式共有：＝90种，
把6名工作人员分为1，2，3三组，不同的安排方式共有：＝360种，
综上，不同的安排方式共有90＋90＋360＝540种，
故选C.
答案：C
3．[2021·河北衡水五校联考]党的十九大报告提出“乡村振兴战略”，要“推动城乡义务教育一体化发展，高度重视农村义务教育”．为了响应报告精神，某师范大学5名毕业生主动申请到某贫困山区的乡村小学工作，若将这5名毕业生分配到该山区的3所乡村小学，每所学校至少分配1人最多分配2人，则分配方案的总数为________．
解析：根据题意，将5名应届大学毕业生按2，2，1分组，则方法数为＝15种，再分配到该山区的3所乡村小学，共有＝6种，
根据分步计数原理，共有15×6＝90种，
答案：90
技法领悟
求解有限制条件排列问题的主要方法
1．间接法：对于分类过多的问题，一般利用正难则反、等价转化的方法．
2．捆绑法：相邻问题捆绑处理，即可以把相邻元素看作一个整体与其他元素进行排列，同时注意捆绑元素的内部排列．
3．插空法：不相邻问题插空处理，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列后的空中．
4．除法：对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以已定元素的全排列．
5．直接法：
(1)分类法：选定一个适当的分类标准，将要完成的事件分成几个类型，分别计算每个类型中的排列数，再由分类加法计数原理得出总数；
(2)分步法：选定一个适当的标准，将事件分成几个步骤来完成，分别计算出各步骤的排列数，再由分步乘法计数原理得出总数．
[提醒] 注意排列、组合问题的3个易错点
1．分类标准不明确，有重复或遗漏；
2．混淆排列问题与组合问题；
3．解决捆绑问题时，忘记“松绑”后的全排列．
微专题 2 二项式定理
『常考常用结论』
1．二项式定理：
(a＋b)n＝bn，n∈N*.
2．通项公式：Tk＋1＝an－kbk，(k＝0，1，2，…，n)．
3．二项式展开式的系数的性质：
＝2n.
＋…＝2n－1.
『保分题组训练』
1．[2021·河北唐山二模]在6的展开式中，常数项为( )
A．20 B. －20
C. 160 D. －160
解析：6展开式的通项Tk＋1＝Ck6xk(－)6－k＝x2k－6，令2k－6＝0，k＝3
常数项T3＋1＝＝－160，
故选D.
答案：D
2．(2－)8展开式中x4项的系数为( )
A．16 B．1
C．8 D．2
解析：(2－)8的展开式通项为：Tk＋1＝Ck8·28－k(－)k＝.
当＝4，即k＝8时，T9＝·20·(－1)8x4＝x4，
∴x4项的系数为1.
故选B.
答案：B
3．[2021·山东德州一模]若二项式(1＋2x)n(n∈N＋)的展开式中所有项的二项式系数和为32，则该二项式展开式中含有x3项的系数为________．
解析：∵(1＋2x)n(n∈N＋)的展开式中所有项的二项式系数和为32，
∴2n＝32，
解得n＝5，
∴该二项式展开式中含有x3项的系数为·23＝80.
答案：80
4．[2021·辽宁锦州一模]二项展开式6＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5＋a6x6，则a3＝________＋a6＝________．
解析：二项展开式1－3x6的通项公式为Tk＋1＝Ck6·－3k·xk，所以，ak＝·－3k，
所以，a3＝·(－3)3＝－540，
a2＋a4＋a6＝·(－3) 6＝2 079.
答案：－540 2 079
『提分题组训练』
1．[2021·山东烟台一模](1－x2)(x－2)6展开式中含x2项的系数为( )
A．240 B．－240
C．176 D．－176
解析：(1－x2)(x－2)6＝(x－2)6－x2(x－2)6，
因为(x－2)6展开式x2的系数为 (－2)4＝15×16＝240，常数项为 (－2)6＝64，
所以展开式中含x2项的系数为240－64＝176.
故选C.
答案：C
2．[2021·河北沧州二模]5展开式中x的系数为( )
A．－3 B．3
C．－15 D．15
解析：∵5＝5＝(3x－1)4·x2＋…，
∴x的系数为(－1)4×3＝15.
故选D.
答案：D
3．[2021·山东潍坊一模]多项式(x2＋1)(x＋1)(x＋2)(x＋3)展开式中x3的系数为( )
A．6 B．8
C．12 D．13
解析：2×3＋1×2＋1×3＋1＝12
故选C.
答案：C
4．[2021·山东菏泽一模](x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为________．
答案：30
解析：法一 (x2＋x＋y)5可看作5个(x2＋x＋y)相乘，
从中选2个y，有种选法；
再从剩余的三个括号里边选出2个x2，最后一个括号选出x，有·种选法；
∴x5y2的系数为＝30；
法二 ∵(x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5，
其展开式的通项公式为Tk＋1＝·(x2＋x)5－k·yk，
令k＝2，得(x2＋x)3的通项公式为
·(x2)3－m·xm＝·x6－m，
再令6－m＝5，得m＝1，
∴(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为
＝30.
技法领悟
1．利用二项式定理求解的两种常用思路
(1)二项式定理中最关键的是通项公式，求展开式中特定的项或者特定项的系数均是利用通项公式和方程解决的．
(2)二项展开式的系数之和通常是通过对二项式及其展开式中的变量赋值得出的，注意根据展开式的形式给变量赋值．
2．[警示] 在应用通项公式时，要注意以下几点：
(1)它表示二项展开式的任意项，只要n与r确定，该项就随之确定；
(2)Tk＋1是展开式中的第k＋1项，而不是第k项；
(3)公式中，a，b的指数和为n，且a，b不能随便颠倒位置；
(4)对二项式(a－b)n展开式的通项公式要特别注意符号问题．
第3讲 排列、组合与二项式定理
微专题 1 排列与组合
微专题 2 二项式定理
微专题 1 排列与组合
『常考常用结论』
1．分类加法计数原理和分步乘法计数原理
如果每种方法都能将规定的事件完成，则要用分类加法计数原理将方法种数相加；如果需要通过若干步才能将规定的事件完成，则要用分步乘法计数原理将各步的方法种数相乘．
2．两个公式：＝＝＝.
『保分题组训练』
1．6本不同的书摆放在书架的同一层上，要求甲、乙两本书必须摆放在两端，丙、丁两本书必须相邻，则不同的摆放方法种数为( )
A．24 B．36
C．48 D．60
解析：第一步：甲、乙两本书必须摆放在两端，有种排法；
第二步：丙、丁两本书必须相邻视为整体与其他两本共三本，有种排法；
∴＝24.故选A.
答案：A
2．[2021·河北张家口一模]小明同学从9种有氧运动和3种无氧运动中选4种运动进行体育锻炼，则他至少选中1种无氧运动的选法有( )
A．261种 B．360种
C．369种 D．372种
解析：由题意，分有1种无氧运动，2种无氧运动，3种无氧运动，
则他至少选中1种无氧运动的选法有＝369(种)．
故选C.
答案：C
3．[2021·湖南永州三模]甲、乙、丙、丁和戊5名学生进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次．甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都没有得到冠军”；对乙说：“你当然不会是最差的”，则该5人可能的排名情况种数为( )
A．18 B. 36
C. 54 D. 64
解析：先看乙，在中间有一个名次中的一个，有种可能，然后是甲除第一名外剩下的3个名次中的一个，有，最后三人名次任意，有种可能，共有＝54种情况．
故选C.
答案：C
4．2021年某地电视台春晚的戏曲节目，准备了经典京剧、豫剧、越剧、粤剧、黄梅戏、评剧6个剧种的各一个片段．对这6个剧种的演出顺序有如下要求：京剧必须排在前三，且越剧、粤剧必须排在一起，则该戏曲节目演出顺序共有( )
A．120种 B．156种
C．188种 D．240种
解析：完成排戏曲节目演出顺序这件事，可以有两类办法：京剧排第一，越剧、粤剧排在一起作一个元素与余下三个作全排列有，越剧、粤剧有前后，共有：种；
京剧排二三之一有，越剧、粤剧排在一起只有三个位置并且它们有先后，有，余下三个有，共有：种；
由分类计数原理知，所有演出顺序有：＝120(种)
故选A.
答案：A
『提分题组训练』
1．[2021·山东泰安一模]2020年11月，中国国际进口博览会在上海举行，本次进博会设置了“云采访”区域，通过视频连线，帮助中外记者采访因疫情影响无法来沪参加进博会的跨国企业CEO或海外负责人．某新闻机构安排4名记者和3名摄影师对本次进博会进行采访，其中2名记者和1名摄影师负责“云采访”区域的采访，另外2名记者和2名摄影师分两组(每组记者和摄影师各1人)，分别负责“汽车展区”和“技术装备展区”的现场采访．如果所有记者、摄影师都能承担三个采访区域的相应工作，则所有不同的安排方案有( )
A．36种 B．48种 C．72种 D．144种
答案：C
解析：根据题意，分3步进行分析：
①在4名记者中任选2人，在3名摄影师中选出1人，安排到“云采访”区域采访，有＝18种情况，
②在剩下的2名记者中选出1人，在2名摄影师中选出1人，安排到“汽车展区”采访，有＝4种情况，
③将最后的1名记者和1名摄影师，安排到“技术装备展区”采访，有1种情况，
则有18×4＝72种不同的安排方案，
故选C.
2．[2021·河北石家庄一模]2021年是巩固脱贫攻坚成果的重要一年，某县为响应国家政策，选派了6名工作人员到A，B，C三个村调研脱贫后的产业规划，每个村至少去1人，不同的安排方式共有( )
A．630种 B．600种
C．540种 D．480种
解析：把6名工作人员分为1，1，4三组，则不同的安排方式共有：·＝90种，
把6名工作人员分为2，2，2三组，不同的安排方式共有：＝90种，
把6名工作人员分为1，2，3三组，不同的安排方式共有：＝360种，
综上，不同的安排方式共有90＋90＋360＝540种，
故选C.
答案：C
3．[2021·河北衡水五校联考]党的十九大报告提出“乡村振兴战略”，要“推动城乡义务教育一体化发展，高度重视农村义务教育”．为了响应报告精神，某师范大学5名毕业生主动申请到某贫困山区的乡村小学工作，若将这5名毕业生分配到该山区的3所乡村小学，每所学校至少分配1人最多分配2人，则分配方案的总数为________．
解析：根据题意，将5名应届大学毕业生按2，2，1分组，则方法数为＝15种，再分配到该山区的3所乡村小学，共有＝6种，
根据分步计数原理，共有15×6＝90种，
答案：90
技法领悟
求解有限制条件排列问题的主要方法
1．间接法：对于分类过多的问题，一般利用正难则反、等价转化的方法．
2．捆绑法：相邻问题捆绑处理，即可以把相邻元素看作一个整体与其他元素进行排列，同时注意捆绑元素的内部排列．
3．插空法：不相邻问题插空处理，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列后的空中．
4．除法：对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以已定元素的全排列．
5．直接法：
(1)分类法：选定一个适当的分类标准，将要完成的事件分成几个类型，分别计算每个类型中的排列数，再由分类加法计数原理得出总数；
(2)分步法：选定一个适当的标准，将事件分成几个步骤来完成，分别计算出各步骤的排列数，再由分步乘法计数原理得出总数．
[提醒] 注意排列、组合问题的3个易错点
1．分类标准不明确，有重复或遗漏；
2．混淆排列问题与组合问题；
3．解决捆绑问题时，忘记“松绑”后的全排列．
微专题 2 二项式定理
『常考常用结论』
1．二项式定理：
(a＋b)n＝bn，n∈N*.
2．通项公式：Tk＋1＝an－kbk，(k＝0，1，2，…，n)．
3．二项式展开式的系数的性质：
＝2n.
＋…＝2n－1.
『保分题组训练』
1．[2021·河北唐山二模]在6的展开式中，常数项为( )
A．20 B. －20
C. 160 D. －160
解析：6展开式的通项Tk＋1＝Ck6xk(－)6－k＝x2k－6，令2k－6＝0，k＝3
常数项T3＋1＝＝－160，
故选D.
答案：D
2．(2－)8展开式中x4项的系数为( )
A．16 B．1
C．8 D．2
解析：(2－)8的展开式通项为：Tk＋1＝Ck8·28－k(－)k＝.
当＝4，即k＝8时，T9＝·20·(－1)8x4＝x4，
∴x4项的系数为1.
故选B.
答案：B
3．[2021·山东德州一模]若二项式(1＋2x)n(n∈N＋)的展开式中所有项的二项式系数和为32，则该二项式展开式中含有x3项的系数为________．
解析：∵(1＋2x)n(n∈N＋)的展开式中所有项的二项式系数和为32，
∴2n＝32，
解得n＝5，
∴该二项式展开式中含有x3项的系数为·23＝80.
答案：80
4．[2021·辽宁锦州一模]二项展开式6＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5＋a6x6，则a3＝________＋a6＝________．
解析：二项展开式1－3x6的通项公式为Tk＋1＝Ck6·－3k·xk，所以，ak＝·－3k，
所以，a3＝·(－3)3＝－540，
a2＋a4＋a6＝·(－3) 6＝2 079.
答案：－540 2 079
『提分题组训练』
1．[2021·山东烟台一模](1－x2)(x－2)6展开式中含x2项的系数为( )
A．240 B．－240
C．176 D．－176
解析：(1－x2)(x－2)6＝(x－2)6－x2(x－2)6，
因为(x－2)6展开式x2的系数为 (－2)4＝15×16＝240，常数项为 (－2)6＝64，
所以展开式中含x2项的系数为240－64＝176.
故选C.
答案：C
2．[2021·河北沧州二模]5展开式中x的系数为( )
A．－3 B．3
C．－15 D．15
解析：∵5＝5＝(3x－1)4·x2＋…，
∴x的系数为(－1)4×3＝15.
故选D.
答案：D
3．[2021·山东潍坊一模]多项式(x2＋1)(x＋1)(x＋2)(x＋3)展开式中x3的系数为( )
A．6 B．8
C．12 D．13
解析：2×3＋1×2＋1×3＋1＝12
故选C.
答案：C
4．[2021·山东菏泽一模](x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为________．
答案：30
解析：法一 (x2＋x＋y)5可看作5个(x2＋x＋y)相乘，
从中选2个y，有种选法；
再从剩余的三个括号里边选出2个x2，最后一个括号选出x，有·种选法；
∴x5y2的系数为＝30；
法二 ∵(x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5，
其展开式的通项公式为Tk＋1＝·(x2＋x)5－k·yk，
令k＝2，得(x2＋x)3的通项公式为
·(x2)3－m·xm＝·x6－m，
再令6－m＝5，得m＝1，
∴(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为
＝30.
技法领悟
1．利用二项式定理求解的两种常用思路
(1)二项式定理中最关键的是通项公式，求展开式中特定的项或者特定项的系数均是利用通项公式和方程解决的．
(2)二项展开式的系数之和通常是通过对二项式及其展开式中的变量赋值得出的，注意根据展开式的形式给变量赋值．
2．[警示] 在应用通项公式时，要注意以下几点：
(1)它表示二项展开式的任意项，只要n与r确定，该项就随之确定；
(2)Tk＋1是展开式中的第k＋1项，而不是第k项；
(3)公式中，a，b的指数和为n，且a，b不能随便颠倒位置；
(4)对二项式(a－b)n展开式的通项公式要特别注意符号问题．
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