第2讲 三角恒等变换与解三角形——小题备考 课件（共33张PPT）

(共33张PPT)
第2讲　三角恒等变换与解三角形——小题备考
微专题1　三角函数求值
微专题2　利用正弦、余弦定理解三角形
微专题3　与三角形有关的最值(范围)问题
微专题1　三角函数求值
『常考常用结论』
1．三角函数：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，则sin α＝y，cos α＝x，tan α＝.各象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦．
2．同角关系：sin2α＋cos2α＝1，＝tan α.
3．诱导公式：在＋α，k∈Z的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”．
4．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
(1)sin (α±β)＝sin αcos β±cos αsin β.
(2)cos (α±β)＝cos αcos β sin αsin β.
(3)tan (α±β)＝.
5．二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)sin 2α＝2sin αcos α.
(2)cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.
(3)tan2α＝.
6．常用公式
(1)降幂扩角公式：cos2α＝，sin2α＝.
(2)升幂公式：1＋cos 2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α.
(3)公式变形：tanα±tan β＝tan (α±β)(1 tan α·tan β)．
(4)辅助角公式：a sin x＋b cos x＝sin (x＋φ)，
其中sin φ＝，cos φ＝
『保分题组训练』
1．[2021·山东青岛一模]已知角θ终边上有一点P，则cos θ的值为(　　)
A． B．－
C．－ D．
答案：D
解析：因为角θ终边上有一点P，
所以可得r＝ ＝＝2，
所以cosθ＝＝.故选D.
2．[2021·山东德州一模]已知sin α＝sin ，则cos 的值为(　　)
A． B．－
C． D．－
答案：B
解析：∵sin α＝sin ，
∴sin α＝sin α＋cos α＋，
∴sin α－cos α＝，即－cos ＝，
∴cos ＝－.
故选B.
3．[2021·河北沧州二模]若cos ＝，则sin ＝
________．
－
解析：因为2α＋＝2，则sin ＝cos 2＝2cos 2－1＝－.
4．[2021·福州二模]已知tan (π－α)＝－，则sin 2α的值为
________．
解析：因tan (π－α)＝－，则tan α＝，
sin 2α＝2sin αcos α＝＝＝＝.
『提分题组训练』
1．已知sin α＝，sin β＝，且α，β为锐角，则α＋β为(　　)
A． B．或
C． D．
答案：A
解析：∵sin α＝，sin β＝，且α，β为锐角，∴cos α＝，cos β＝，∴cos (α＋β)＝＝，又0＜α＋β＜π，∴α＋β＝.
故选A.
2．黄金分割比是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值约为0.618，这一比值也可以表示为a＝2cos 72°，则＝(　　)
A．2　 B．1
C． D．
答案：C
解析：∵a＝2cos 72°，∴a2＝4cos272°，
可得4－a2＝4－4cos272°＝4sin272°，
∴＝2sin72°，
a＝2cos 72°·2sin 72°＝2sin 144°＝2sin 36°，
∴＝＝＝.
故选C.
3．已知θ∈，1＋sin2θ－cos 2θ＝sin θ，则sin 2θ＝(　　)
A．－ B．
C．－ D．
答案：A
解析：∵1－cos 2θ＋sin 2θ＝sin θ
∴2sin 2θ＋2sin θcos θ＝sin θ，因为θ∈，所以sin θ≠0，
即：sin θ＋cos θ＝，则2＝ sin 2θ＋cos 2θ＋2sin θcos θ＝，
∴sin 2θ＝－.
故选A.
4．已知sin α－cos α＝－，则cos 2α＝________．
±
解析：∵sin α－cos α＝－，
∴(sin α－cos α)2＝，即1－2sin αcos α＝，
∴2sin αcos α＝－，即sin 2α＝－，
∴cos 2α＝± ＝±＝±.
三角函数求值的类型及方法
(1)给角求值
解决给角求值问题的关键是两种变换：一是角的变换，注意各角之间是否具有和差关系、互补(余)关系、倍半关系，从而选择相应公式进行转化，把非特殊角的三角函数相约或相消，从而转化为特殊角的三角函数；二是结构变换，在熟悉各种公式的结构特点、符号特征的基础上，结合所求式子的特点合理地进行变形．
(2)给值求值
给值求值的关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异，一般可以适当变换已知式，求得另外某些函数式的值，以备应用．同时也要注意变换待求式，便于将已知求得的函数值代入，从而达到解题的目的．
(3)给值求角
实质上是转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角，有时要压缩角的取值范围．
微专题2　
利用正弦、余弦定理解三角形
『常考常用结论』
1．正弦定理及其变形
在△ABC中，＝＝＝2R(R为△ABC的外接圆半径)．变形：a＝2R sin A，sin A＝，a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C等．
2．余弦定理及其变形
在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bc cos A；
变形：b2＋c2－a2＝2bc cos A，cos A＝.
3．三角形面积公式
S△ABC＝ab sin C＝bc sin A＝ac sin B．
4．三角形中的有关结论
(1)sin A＝sin (B＋C)，cos A＝－cos (B＋C)；
(2)A>B sin A>sin B ，cos A『保分题组训练』
1．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝2，b＝，c＝，则C＝(　　)
A． B．
C． D．
答案：D
解析：由余弦定理得cos C＝＝＝－，
∵C∈，∴C＝.
故选D.
2．在△ABC中，a，b，c是角A，B，C所对的边，且a＝3，b＝，∠B＝45°，则∠A等于(　　)
A．60° B．120°
C．60°或120° D．135°
答案：C
解析：∵a＝3，b＝，∠B＝45°，由正弦定理得sin A＝＝＝，
∵a>b，∴A>B，∴45°故选C.
3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b2＋c2＝a2＋bc，若sin B·sin C＝sin 2A，则△ABC的形状是(　　)
A．等腰且非等边三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
答案：C
解析：根据余弦定理可知cos A＝＝，因为0°根据正弦定理可知sin B sin C＝sin 2A bc＝a2，
所以b2＋c2＝a2＋bc＝2bc 2＝0，所以b＝c，
则△ABC的形状是等边三角形．
故选C.
4．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的
面积为，则cos A＝________．
解析：∵S△ABC＝bc sin A＝，∴sin A＝＝cos A，∴tan A＝，又A∈，tan A>0，∴A∈，∴cos A＝.
『提分题组训练』
1．[2021·山东省实验中学模拟]在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，且2S＝(a＋b)2－c2，则tan C＝(　　)
A．　　　　B．　　　　C．－　　　D．－
答案：C
解析：△ABC中，∵S△ABC＝ab·sin C，由余弦定理：c2＝a2＋b2－2ab cos C，
且2S＝(a＋b)2－c2，∴ab sin C＝(a＋b)2－(a2＋b2－2ab cos C)，
整理得sin C－2cos C＝2，∴(sin C－2cos C)2＝4.
∴＝4，化简可得3tan2C＋4tanC＝0.
∵C∈(0，π)，∴tan C＝－，故选C.
2．(多选题)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a2＝b2＋bc，则(　　)
A．sin 2A－sin 2B＝sin B sin C
B．c＝b
C．A＝B
D．△ABC可能为锐角三角形
答案：ABD
解析：因为a2＝b2＋bc，由正弦定理可得，sin2A＝sin2B＋sinB sin C，即A正确；
又由a2＝b2＋bc＝b2＋c2－2bc cos A可得b＝c－2b cos A，即c＝b，所以B正确；由b＝c－2b cos A可得sin B＝sin －2sin B cos A＝sin A cos B－sin B cos A＝sin ，所以A＝2B或B＋A－B＝π(舍)，故C不正确；
由上推导可知，A＝2B a2＝b2＋bc，所以△ABC可能为锐角三角形，如：A＝80°，B＝40°，C＝60°，所以D正确．
故选ABD.
3．[2021·山东潍坊一模]某市为表彰在脱贫攻坚工作中做出突出贡献的先进单位，制作了一批奖杯，奖杯的剖面图形如图所示，其中扇形OAB的半径为10，∠PBA＝∠QAB＝60°，AQ＝QP＝PB，若按此方案设计，工艺制造厂发现，当OP最长时，该奖杯比较美观，此时
∠AOB＝__________．
解析：设∠ABO＝θ，则AB＝20cos θ，PB＝10cos θ，
故OP2＝100＋100cos2θ－2×10×10cosθcos (60°＋θ)＝100＋50sin 2θ，
故当2θ＝时，OP取最大值，此时∠AOB＝.
1．正、余弦定理的适用条件
(1)“已知两角和一边”或“已知两边和其中一边的对角”应采用正弦定理．
(2)“已知两边和这两边的夹角”或“已知三角形的三边”应采用余弦定理．
2．三角形面积公式的应用原则
(1)对于面积公式S＝ab sin C＝ac sin B＝bc sin A，一般是已知哪一个角就使用含哪个角的公式．
(2)与面积有关的问题，一般要利用正弦定理或余弦定理进行边和角的互化．
微专题3　
与三角形有关的最值(范围)问题
『提分题组训练』
1．[2021·山东省潍坊学情调研]已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2b cos B＝a cos C＋c cos A，b＝2，则△ABC面积的最大值是(　　)
A．1　　　B．
C．2　 D．4
答案：B
解析：由题意知B＝60°，由余弦定理，4＝a2＋c2－ac，故ac＝a2＋c2－4≥2ac－4，有ac≤4，故S△ABC＝ac sin B≤.
故选B.
2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且A，B，C成等差，b＝1，则a＋c的取值范围是(　　)
A． B．
C． D．
答案：A
解析：在△ABC中，由A，B，C成等差，可得2B＝A＋C，
由A＋B＋C＝π，得3B＝π，B＝.由余弦定理b2＝a2＋c2－2ac·cos B，
可得1＝a2＋c2－2ac·cos ，即1＝a2＋c2－ac＝(a＋c)2－3ac，
则(a＋c)2－1＝3ac≤(a＋c)2，解得－2≤a＋c≤2.又a＋c>b＝1.
∴a＋c的取值范围是(1，2].
故选A.
3．已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c且b＝2a
sin B，则cos B＋sin C的取值范围为__________．
解析：依题意b＝2a sin B，由正弦定理得sin B＝2sin A sin B，∵sin B≠0，∴sin A＝，
由于三角形ABC是锐角三角形，所以A＝.由，可得所以cos B＋sin C＝cos B＋sin ＝cos B＋cos B＋sin B＝cos B＋sin B＝sin ，
由于4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若(2c－a)sin C＝(b2＋c2－a2)，且b＝2，则△ABC周长的取值范围为
___________．
(4，6].
解析：∵(2c－a)sin C＝(b2＋c2－a2)，
∴由正弦定理可得：(2c－a)c＝b2＋c2－a2＝2bc cos A，
∴可得：2c－a＝2b cos A，可得：cos A＝，
∴由余弦定理可得：cos A＝＝，整理可得：c2＋a2－b2＝ac，
∴cos B＝＝＝，
∵B∈(0，π)，可得：B＝，且b＝2，
∴由正弦定理＝＝＝4，可得：a＝4sin A，c＝4sin C＝4sin ，
∴△ABC周长L＝b＋a＋c＝2＋4sin A＋4sin ＝2＋4sin A＋4＝4sin (A＋)＋2，
∵A∈，A＋∈，sin ∈，
∴△ABC周长L＝4sin ＋2∈(4，6].
与三角形有关的最值问题主要涉及求三角函数值最值，边长的最值，面积、向量的最值．解决这类的问题方法有：一、将所给条件转化为三角函数，利用三角函数求解最值；二、将所给条件转化为边，利用基本不等式或者函数求解最值．