第1讲　三角函数的图象与性质——小题备考 课件（共51张PPT）

(共51张PPT)
第1讲　三角函数的图象与性质——小题备考
微专题1　三角函数图象的平移伸缩
微专题2　三角函数的性质
微专题3　由图象求三角函数的解析式
微专题1　
三角函数图象的平移伸缩
『常考常用结论』
1．“五点法”作图
设z＝ωx＋φ，令z＝0，，π，，2π，求出x的值与相应的y的值，描点、连线可得．
2．图象变换
y＝sin x向左(φ>0)或向右(φ<0),平移|φ|个单位y＝sin (x＋φ)
横坐标变为原来的(ω>0)倍,纵坐标不变y＝sin (ωx＋φ)
纵坐标变为原来的A(A>0)倍,横坐标不变y＝A sin (ωx＋φ)．
『保分题组训练』
1．将函数y＝sin x的图象向左平移个单位，得到的图象的函数解析式是(　　)
A．y＝sin B．y＝sin x－
C．y＝sin D．y＝sin x＋
答案：C
解析：函数y＝sin x的图象向左平移个单位，得到y＝sin (x＋)的图象．
故选C.
2．要得到函数y＝cos 的图象，只需将y＝cos 3x的图象(　　)
A．向右平移 B．向左平移
C．向右平移 D．向左平移
答案：C
解析：将y＝cos 3x的图象向右平移个长度单位，可得函数y＝cos ＝cos 的图象．
故选C.
3．[2021·河北保定一模]已知函数f(x)＝2sin x，为了得到函数g(x)＝2sin 的图象，只需(　　)
A．先将函数f(x)图象上点的横坐标变为原来的2倍，再向右平移个单位
B．先将函数f(x)图象上点的横坐标变为原来的，再向右平移个单位
C．先将函数f(x)图象向右平移个单位，再将点的横坐标变为原来的
D．先将函数f(x)图象向右平移个单位，再将点的横坐标变为原来的2倍
答案：B
解析：对于A：先将函数f(x)图象上点的横坐标变为原来的2倍，得到y＝2sin x，故A错误；
对于B：先将函数f(x)图象上点的横坐标变为原来的，得到y＝2sin 2x，再右移个单位，得到y＝2sin 2，即为y＝2sin ，故B正确；
对于C: 先将函数f(x)图象向右平移个单位，得到y＝2sin ，再将点的横坐标变为原来的，得到y＝2sin ，故C错误；
对于D: 先将函数f(x)图象向右平移个单位，得到y＝2sin ，再将点的横坐标变为原来的2倍，得到y＝2sin ，故D错误．
故选B.
4．(多选题)要得到函数y＝sin (2x＋)的图象，只要将函数y＝sin x的图象(　　)
A．每一点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得图象向左平移个单位长度
B．每一点的横坐标缩短到原来的 (纵坐标不变)，再将所得图象向左平移个单位长度
C．向左平移个单位长度，再将所得图象每一点的横坐标缩短到原来的 (纵坐标不变)
D．向左平移个单位长度，再将所得图象每一点的横坐标缩短到原来的 (纵坐标不变)
答案：BC
解析：(1)先伸缩后平移时：每一点的横坐标缩短到原来的 (纵坐标不变)，再将所得图象向左平移个单位长度，所以A选项错误，B选项正确．
(2)先平移后伸缩时：向左平移个单位长度，再将所得图象每一点的横坐标缩短到原来的 (纵坐标不变)，所以C选项正确，D选项错误．故选BC.
『提分题组训练』
1．[2021·河北张家口三模]为了得到函数f＝sin x＋cos x的图象，可以将函数g＝cos x的图象(　　)
A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度
答案：A
解析：f＝sin x＋cos x＝cos ＝cos .
故选A.
2．[2021·山东潍坊学情调研]将函数f(x)＝sin 的图象向右平移a(a>0)个单位得到函数g(x)＝cos 的图象，则a的值可以为(　　)
A．　　　　B．　　　　C．　　　　D．
答案：C
解析：由题意知，g(x)＝cos ＝sin ，
其图象向左平移a个单位得到函数f(x)＝sin ，
而函数f(x)＝sin ，所以有2a＋＝＋2kπ，
a＝－π＋kπ，取k＝1得a＝π.
故选C.
3．函数y＝sin (ωx＋φ)(ω>0)的图象向左平移的单位，所得到的图象与原函数图象的对称轴重合，则ω的最小值是(　　)
A． B．1 C．2 D．
答案：D
解析：∵函数y＝sin (ωx＋φ)(ω>0)的图象向左平移个单位，所得到的图象与原函数图象的对称轴重合，
∴＝k·＝，即ω＝k，k∈Z，
令k＝1，可得ω的最小值为，
故选D.
4．[2021·山东青岛期末检测](多选题)要得到y＝cos 2x的图象C1，只要将y＝sin 的图象C2怎样变化得到(　　)
A．将y＝sin 的图象C2沿x轴方向向左平移个单位
B．将y＝sin 的图象C2沿x轴方向向右平移个单位
C．先作C2关于x轴对称图象C3，再将图象C3沿x轴方向向右平移个单位
D．先作C2关于x轴对称图象C3，再将图象C3沿x轴方向向左平移个单位
答案：ABC
解析：对于A，将y＝sin 的图象C2沿x轴方向向左平移个单位，可得y＝sin ＝sin ＝cos 2x的图象C1，故选项A正确；
对于B，将y＝sin 的图象C2沿x轴方向向右平移个单位也可得到，y＝sin ＝sin＝cos 2x的图象C1，故选项B正确；
对于C，先作C2关于x轴对称，得到y＝－sin 的图象C3，再将图象C3沿x轴方向向右平移个单位，得到y＝－sin ＝－sin ＝cos 2x的图象C1，故选项C正确；
对于D，先作C2关于x轴对称，得到y＝－sin 的图象C3，再将图象C3沿x轴方向向左平移个单位，得到的y＝－sin ＝－sin ＝－cos 2x图象，故选项D不正确．故选ABC.
在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换．变换只是相对于其中的自变量x而言的，如果x的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向．
微专题2　
三角函数的性质
『常考常用结论』
1．三角函数的单调区间
y＝sin x的单调递增区间是(k∈Z)，单调递减区间是(k∈Z)；
y＝cos x的单调递增区间是[2kπ－π，2kπ](k∈Z)，单调递减区间是[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)；
y＝tan x的递增区间是(k∈Z)．
2．三角函数的奇偶性与对称性
y＝A sin (ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数；
当φ＝kπ＋(k∈Z)时为偶函数；
对称轴方程可由ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)求得．
y＝A cos (ωx＋φ)，当φ＝kπ＋(k∈Z)时为奇函数；
当φ＝kπ(k∈Z)时为偶函数；
对称轴方程可由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)求得．
y＝A tan (ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数．
3．三角函数的周期
(1)y＝A sin (ωx＋φ)和y＝A cos (ωx＋φ)的最小正周期为，y＝A tan (ωx＋φ)的最小正周期为.
(2)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是个最小正周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个最小正周期；正切曲线相邻两对称中心之间的距离是个最小正周期．
『保分题组训练』
1．下列函数中，周期为π，且在区间单调递增的是(　　)
A．y＝ B．y＝sin |x|
C．y＝cos 2x D．y＝sin 2x
答案：C
解析：对于A，y＝的图象是将y＝sin x的图象中y轴下方的图象翻折到上方得到的，故最小正周期为π；
当x∈时，y＝sin x>0，∴y＝＝sin x在上单调递减，故A不正确；
对于B，当x＝－时，y＝sin |x|＝－1，当x＝－时，y＝sin |x|＝1≠－1，所以周期不是π，故B不正确；
对于C，y＝cos 2x的最小正周期为＝π，当x∈时，2x∈，y＝cos 2x单调递增，故C正确；
对于D，y＝sin 2x的最小正周期为＝π，当x∈时，2x∈，y＝sin 2x不是单调递增的，故D不正确．
故选C.
2．已知函数f(x)＝cos ，则下列说法错误的是(　　)
A．f(x)的最小正周期是π
B．f(x)的图象关于点对称
C．f(x)在上为减函数
D．f(x)的一条对称轴是x＝
答案：D
解析：对于函数f(x)＝cos ，它的最小正周期为＝π，故A正确；令x＝－，可得f(x)＝0，所以f(x)的图象关于点对称，故B正确；当x∈时，2x＋∈，故f(x)在上为减函数，故C正确；令x＝，可得f(x)＝0，故x＝不是f(x)的一条对称轴，故D错误．故选D.
3．[2021·山东济宁质量检测](多选题)将函数f(x)＝sin 2x的图象向右平移个单位后得到函数g(x)的图象，则函数g(x)具有性质(　　)
A．在上单调递增，为偶函数
B．最大值为1，图象关于直线x＝－对称
C．在上单调递增，为奇函数
D．周期为π，图象关于点对称
答案：ABD
解析：g(x)＝sin 2＝sin ＝－cos 2x，
x∈，则2x∈，g(x)＝－cos 2x单调递增，为偶函数，A正确，C错误；
最大值为1，当x＝－时2x＝－3π，为对称轴，B正确；
T＝＝π，取2x＝＋kπ，∴x＝，k∈Z，当k＝1时满足，图象关于点对称，D正确．
故选ABD.
4．[2021·辽宁朝阳二模] (多选题)已知函数f(x)＝|sin x||cos x|，则下列说法正确的是(　　)
A. f(x)的图象关于直线x＝对称
B. f(x)的周期为
C．(π，0)是f(x)的一个对称中心
D. f(x)在区间上单调递增
答案：AB
解析：因为函数f(x)＝|sin x||cos x|＝|sin x cos x|＝|sin 2x|，
画出函数图象，如图所示；

由图可知，f(x)的对称轴是x＝，k∈Z；
所以x＝是f(x)图象的一条对称轴， A正确；
f(x)的最小正周期是，所以B正确；
f(x)是偶函数，没有对称中心，C错误；
由图可知，f(x)＝|sin 2x|在区间上是单调减函数，D错误．
故选AB.
『提分题组训练』
1．[2021·淄博一模]已知f(x)＝cos x(cos x＋sin x)在区间[－，m]上的最大值是，则实数m的最小值是(　　)
A． B．
C．－ D．
答案：D
解析：f(x)＝cos x(cos x＋sin x)＝sin x cos x＋cos 2x＝sin 2x＝sin (2x＋)＋，
由x∈[－，m]得2x＋∈[－，2m＋]，
当2x＋＝2kπ＋，k∈Z时取得最大值，
故2m＋，即m≥.
则实数m的最小值是.
故选D.
2．将函数y＝sin 2x＋cos 2x的图象沿x轴向左平移φ个单位后，得到一个偶函数的图象，则的最小值为(　　)
A． B．
C． D．－
答案：A
解析：∵函数y＝sin 2x＋cos 2x＝2sin ，
将函数y＝sin 2x＋cos 2x的图象沿x轴向左平移φ个单位后，
得到函数y＝2sin ，函数关于y轴对称，
∴2φ＋＝kπ＋，∴φ＝，
当k＝0时，min＝.故选A.
3．[2021·湖南六校联考](多选题)已知函数f(x)＝2cos (ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜)的图象上，对称中心与对称轴x＝的最小距离为，则下列结论正确的是(　　)
A.函数f(x)的一个对称点为(，0)
B．当x∈时，函数f(x)的最小值为－
C．若sin4α－cos4α＝－，则f(α＋)的值为
D．要得到函数f(x)的图象，只需要将g(x)＝2cos2x的图象向右平移个单位
答案：BC
解析：函数f(x)＝2cos (ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜)的图象上，
对称中心与对称轴x＝的最小距离为＝，∴ω＝2.
再根据2×＋φ＝kπ，k∈Z，可得φ＝－，故 f(x)＝2cos .
令x＝，可得f(x)＝－1≠0，故A错误；
当x∈时，2x－∈，故当2x－＝时，函数f(x)的最小值为－，故B正确；
若sin 4α－cos 4α＝sin 2α－cos 2α＝－cos 2α＝－，∴cos 2α＝，sin 2α＝＝，
则f＝2cos＝－2sin ＝－2sin 2αcos ＋2cos 2αsin ＝，故C正确；
将g(x)＝2cos 2x的图象向右平移个单位，可得y＝2cos 的图象，故D错误．故选BC.
4．[2021·山东烟台一模](多选题)已知函数f(x)＝2|sin x|＋|cos x|－1，则(　　)
A．f(x)在上单调递增
B．直线x＝是f(x)图象的一条对称轴
C．方程f(x)＝1在[0，π]上有三个实根
D．f(x)的最小值为－1
答案：BC
解析：A选项，当x∈，f(x)＝2sin x＋cos x－1，f(x)不单调，A错误，
B选项，f(π－x)＝2|sin (π－x)|＋|cos (π－x)|－1＝2|sin x|＋|cos x|－1＝f(x)，
∴x＝是它的一条对称轴，B正确．
C选项，f(x)＝1，即2|sin x|＋|cos x|＝2，当x∈，即2sin x＋cos x＝2，sin x＝1或sin x＝，有两个零点；当x∈，2sin x－cos x＝2，sin x＝，有1个零点，共3个零点；
D选项，若f(x)min＝－1，即2|sin x|＋|cos x|＝0，需要|sin x|＝0，且|cos x|＝0矛盾，D错误．
故选BC.
1．三角函数单调区间的求法：
(1)代换法：求形如y＝A sin (ωx＋φ)(或y＝A cos (ωx＋φ))(A、ω、φ为常数，A≠0，ω>0)的单调区间的一般思路是令ωx＋φ＝z，则y＝A sin z(或y＝A cos z)，然后由复合函数的单调性求得．
(2)图象法：画出三角函数的图象，结合图象求其单调区间．
2．三角函数值域的求法：
在求最值(或值域)时，一般要先确定函数的定义域，然后结合三角函数性质可得函数f(x)的最值．
3．判断对称中心与对称轴的方法：利用函数y＝A sin (ωx＋φ)的对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点这一性质，通过检验f(x0)的值进行判断．
微专题3　
由图象求三角函数的解析式
『保分题组训练』
1．函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象的一部分如图所示，则函数表达式可写成(　　)
A．y＝2sin B．y＝sin
C．y＝sin D．y＝2sin
答案：D
解析：由图可知A＝2，因为图象过点，所以2sin φ＝1，所以取φ＝，
因为图象过点，所以2sin ＝0，所以ω＋＝2kπ，k∈Z，
即ω＝k－，k∈Z，当k＝1时，ω＝2，所以y＝2sin .故选D.
2．函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(其中A>0，ω>0，|φ|<)的图象如图所示，为了得到f(x)的图象，只需将g(x)＝A sin ωx图象(　　)

A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
答案：C
解析：根据函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(其中A>0，ω>0，|φ|<)的图象，
可得A＝1，T＝＝，即T＝π，∴ω＝＝3.
将代入，可得f()＝sin (3×＋φ)＝0，
则3×＋φ＝kπ，k∈Z，∴φ＝kπ－，k∈Z，
又|φ|<，∴φ＝，故f(x)＝sin (3x＋)．
故把g(x)＝sin 3x的图象向左平移个单位长度，
即可得到f(x)＝sin (3x＋)的图象．故选C.
3．设函数f＝sin 的部分图象如图所示，且满足f＝0.则f的最小正周期为(　　)

A． B．16
C． D．
答案：A
解析：因为f＝0，
所以sin ＝0 2ω－＝kπ(k∈Z) ω＝kπ＋(k∈Z)，
设函数f＝sin 的最小正周期为T，由图可知，
因为ω>0，所以有， π<ω<，
因为ω＝kπ＋(k∈Z)，所以所以ω＝π，因此T＝＝，故选A.
4．[2021·全国乙卷]把函数y＝f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数y＝sin 的图象，则f(x)＝(　　)
A．sin B. sin
C. sin D. sin
答案：B
解析：依题意，将y＝sin 的图象向左平移个单位长度，再将所得曲线上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，得到f(x)的图象，所以y＝sin y＝sin 的图象f(x)＝sin 的图象．
『提分题组训练』
1．智能主动降噪耳机工作的原理如图1所示，是通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪音，然后通过听感主动降噪芯片生成相等的反向波抵消噪音．
已知某噪音的声波曲线y＝A sin (A>0，ω>0)在上大致如图2所示，则通过听感主动降噪芯片生成相等的反向波曲线可以为(　　)
A．y＝2sin
B．y＝sin
C．y＝sin
D．y＝2sin
答案：D
解析：由题图2可知：y＝f(x)＝A sin 过(0，1)，两点，
所以有y＝f(0)＝A sin ＝1 A＝1 A＝2，
f＝2sin ＝0 ω＋＝kπ(k∈Z) ω＝(k－)π(k∈Z)，
当k＝1时，y＝f(x)＝2sin ，显然A不符合题意，此时函数的周期为＝2，要想抵消噪音，只需函数y＝f(x)＝2sin 向左或向右平移一个单位长度即可，
即得到y＝f(x＋1)＝2sin ＝－2sin ，
或y＝f(x－1)＝2sin ＝2sin ，故选项D符合，
显然选项B，C的振幅不是2，不符合题意，
故选D.
2．[2021·山东德州一模](多选题)已知函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π)的部分图象如图所示，将函数f(x)的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，再将所得函数图象向右平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，则下列关于函数g(x)的说法正确的是(　　)
A．g(x)的最小正周期为
B．g(x)在区间上单调递增
C．g(x)的图象关于直线x＝对称
D．g(x)的图象关于点成中心对称
答案：AC
解析：根据函数的图象：周期T＝＝，解得T＝π，
故ω＝2.进一步求得A＝2.
当x＝时，f＝2sin ＝－1，由于|φ|＜π，
所以φ＝.所以f(x)＝2sin ，
函数f(x)的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，再将所得函数图象向右平移个单位长度，得到函数g(x)＝2sin 的图象，
故对于A：函数的最小正周期为T＝，故A正确；
对于B：由于x∈，所以3x＋∈，故函数g(x)在区间上单调递减，故B错误；
对于C：当x＝时，g＝2sin ＝－2，故函数g(x)的图象关于直线x＝对称，故C正确；
对于D：当x＝时，g＝2，故D错误．故选AC.
3．[2021·石家庄一模](多选题)函数f(x)＝2sin (ωx＋φ)(ω＞0，0＜φ＜π)的图象如图，把函数f(x)的图象上所有的点向右平移个单位长度，可得到函数y＝g(x)的图象，下列结论正确的是(　　)

A．φ＝
B．函数g(x)的最小正周期为π
C．函数g(x)在区间上单调递增
D．函数g(x)关于点中心对称
答案：BC
解析：根据函数f(x)＝2sin (ωx＋φ)(ω＞0，0＜φ＜π)的图象，
可得T＝＞，且T＜，∴ω∈.
把(0，)代入，可得2sin φ＝，∴φ＝，或 φ＝.
再把根据图象经过最高点，可得ω·＋φ＝2kπ＋，k∈Z.
当φ＝时，ω·＝2kπ＋，k∈Z，求得ω＝，不满足条件ω∈，
故φ＝，故A错误．
此时，由ω·＝2kπ＋，k∈Z，求得ω＝－，
令k＝1，可得ω＝2，满足条件ω∈，故f(x)＝2sin .
把函数f(x)的图象上所有的点向右平移个单位长度，
可得到函数y＝g(x)＝2sin 的图象，
故g(x)的最小正周期为＝π，故B正确．
当x∈，2x＋∈，故g(x)单调递增，故C正确．
令x＝－，求得g(x)＝－≠0，故g(x)的图象不关于点中心对称，故D错误．
故选BC.
确定y＝A sin (ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)的解析式的方法
已知函数y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A；由函数的周期确定ω；确定φ常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置．