第1讲　等差数列与等比数列——小题备考 课件（共26张PPT）

(共26张PPT)
第1讲　等差数列与等比数列——小题备考
微专题1　等差数列与等比数列的基本量计算
微专题2　数列的递推
微专题3　等差数列与等比数列的综合
微专题1　
等差数列与等比数列的基本量计算
『常考常用结论』
1．等差数列
(1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d；
(2)求和公式：Sn＝＝na1＋d；
(3)性质：
①若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq；
②an＝am＋(n－m)d；
③Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等差数列．
2．等比数列
(1)通项公式：an＝a1qn－1(q≠0)；
(2)求和公式：q＝1，Sn＝na1；q≠1，Sn＝＝；
(3)性质：
①若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq；
②an＝am·qn－m；
③Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…(Sm≠0)成等比数列．
温馨提醒　应用公式an＝Sn－Sn－1时一定注意条件n≥2，n∈N*.
『保分题组训练』
1．[2021·湖南怀化一模] 等差数列的前n项和为Sn，若a2＋a4＋a6＋a8＝44，则S9＝(　　)
A. 66　 　　B. 99　 　　C. 110　　　D. 198
答案：B
解析：a2＋a4＋a6＋a8＝44，得4a5＝44，解得a5＝11，
则S9＝＝9a5＝9×11＝99，
故选B.
2．[2021·河北沧州二模]已知等差数列的前n项和为Sn，2S8＝S7＋S10，则S21＝(　　)
A．21 B．11 C．－21 D．0
答案：D
解析：由2S8＝S7＋S10，得S8－S7＝S10－S8，所以a8＝a9＋a10，则a10＋a9－a8＝a11＝0，所以S21＝21a11＝0.
故选D.
3．[2021·山东淄博市·高三二模]已知为等比数列，Sn为其前n项和，若2S3＝a2＋a3＋a4，则公比q＝(　　)．
A． B． C．1 D．2
答案：D
解析：因为2S3＝a2＋a3＋a4，所以2＝a2＋a3＋a4，
即2a1＋a2＋a3＝a4，
因为a1≠0，所以2＋q＋q2＝q3，
即＝0，
因为q2＋q＋1≠0，所以q＝2.
故选D.
4．已知递增等比数列满足a1a3＝，a2＋a4＝15，则a1＋a3＋a5＝(　　)
A． B． C． D．
答案：A
解析：设等比数列的公比为q，由a1a3＝，得q2＝，即a1q＝±，
由a2＋a4＝15，可得a1q＝15，
当a1q＝时，1＋q2＝10 q＝±3，当q＝3时，a1＝，符合是递增等比数列，
当q＝－3时，a1＝－，不符合是递增等比数列，
当a1q＝－时，1＋q2＝－10，方程无实根，
因此a1＋a3＋a5＝a1＋a1q2＋a1q4＝×9＋×81＝.故选A.
5．[2021·山东济南一模]设等差数列的前n项和为Sn，若S7＝28，则a2＋a3＋a7的值为________．
12
解析：因为S7＝＝7a4＝28，所以a1＋3d＝4，
a2＋a3＋a7＝＝3＝3×4＝12.
6．[2021·河北石家庄二模]等比数列中，a5a9－2a7＝0，则a7＝________．
2
解析：由等比中项性质可得a5a9－2a7＝－2a7＝a7(a7－2)＝0，
又为等比数列，所以a7≠0，所以a7＝2.
1．等差、等比数列基本运算的关注点
(1)基本量：在等差或等比数列中，首项a1和公差d(公比q)是两个基本元素；
(2)解题思路：①设基本量a1和d(q)；②列、解方程(组)；把条件转化为关于a1和d(q)的方程(组)，然后求解，注意整体计算，减少计算量．
2．等差、等比数列性质问题的求解策略
(1)解决此类问题的关键是抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系，从这些特点入手选择恰当的性质进行求解．
(2)应牢固掌握等差、等比数列的性质，特别是等差数列中“若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq”这一性质与求和公式Sn＝的综合应用．
微专题2　数列的递推
『提分题组训练』
1．已知数列的前n项和为Sn，且a1＝1，Sn＝an＋1－3，若Sk≥125，则k的最小值为(　　)
A．5　　B．6
C．7 D．8
答案：B
解析：S1＝a1＝1，
Sn＝an＋1－3＝Sn＋1－Sn－3，Sn＋1＋3＝2(Sn＋3)，S1＋3＝4，
所以{Sn＋3}是等比数列，公比为2，所以Sn＋3＝4×2n－1＝2n＋1，Sn＝2n＋1－3，
Sk＝2k＋1－3≥125，k≥6.k的最小值为6.
故选B.
2．[2021·河北石家庄一模]已知数列{an}的通项公式为an＝n sin ，则a1＋a2＋a3＋…＋a2021＝(　　)
A．1 011 B．－
C． D．－1 011
答案：D
解析：∵数列{an}的通项公式为an＝n sin ，且y＝sin 的周期为6，
故a6n＋1＋a6n＋2＋a6n＋3＋a6n＋4＋a6n＋5＋a6n＋6
＝(6n＋1)·sin ＋(6n＋2)sin ＋(6n＋3)·sin ＋(6n＋4)·sin ＋(6n＋5)·sin ＋(6n＋6)·sin
＝(6n＋1)·sin ＋(6n＋2)sin ＋(6n＋3)·sin ＋(6n＋4)·sin ＋(6n＋5)·sin ＋(6n＋6)·sin
＝(6n＋1)×＋(6n＋2)×＋(6n＋3)×0＋(6n＋4)×(－)＋(6n＋5)×(－)＋(6n＋6)×0
＝－3，又因为2021＝6×336＋5＝6×337－1，
∴a1＋a2＋a3＋…＋a2021＝337×(－3)－a6＝－1 011，故选D.
3．[2021·山东潍坊一模](多选题)南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”．“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设各层球数构成一个数列，则(　　)
A.a4＝12 B．an＋1＝an＋n＋1
C．a100＝5 050 D．2an＋1＝an·an＋2
答案：BC
解析：由题意知an＝1＋2＋3＋…＋n＝，所以a4＝10，A错误；an＋1＝，则an＋1－an＝n＋1，故B正确；a100＝＝5050，C正确；a2＝3，a3＝6，a4＝10，即2a3≠a2·a4，D错误．
故选BC.
4．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a2＝4，2Sn＝(n＋1)an(n∈N*)，则an＝________．
2n
解析：当n＝2时，2S2＝3a2，∴2(a1＋a2)＝3a2，
∴2a1＝a2＝4，∴a1＝2.
因为2Sn＝(n＋1)an，所以2Sn－1＝nan－1(n≥2)，
两式相减得2an＝(n＋1)an－nan－1，
∴(n－1)an＝nan－1，∴＝，
∴an＝×…××a1＝×…××2＝2n，
∴an＝2n.
求数列的通项公式的基本类型
1．利用an＝直接求解，或者据此得出数列的递推式求解，特别是已知Sn＝kan＋b(k≠0，1，b≠0)时可得数列{an}一定是等比数列；
2．三种简单的递推数列：an＋1－an＝f(n)，＝f(n)，an＋1＝pan＋q(p≠0，1，q≠0)，第一个使用累加的方法，第二个使用累积的方法，第三个可以使用待定系数法化为等比数列(设an＋1＋λ＝p(an＋λ)，展开比较系数得出λ)；
3．周期数列，通过验证或者推理得出数列的周期性后得出其通项公式．
微专题3　
等差数列与等比数列的综合
『提分题组训练』
1．[2021·湖北宜昌一模]数列是各项均为正数的等比数列，3a2是a3与a4的等差中项，则的公比等于(　　)
A．2　　B．
C．3 D．
答案：A
解析：因为3a2是a3与a4的等差中项，所以a3＋a4＝6a2，所以a1q2＋a1q3＝6a1q，
又因为a1>0，q≠0，所以q2＋q－6＝0，所以q＝2或q＝－3，
又因为an>0，所以q>0，所以q＝2，故选A.
2．[2021·山东泰安期末]在公差不为0的等差数列中成公比为4的等比数列，则k3＝(　　)
A．84 B．86
C．88 D．96
答案：B
解析：设等差数列的公差为d.
因为成公比为4的等比数列，
所以a2＝4a1，所以a1＋d＝4a1，得d＝3a1.
所以＝44a1＝256a1，所以a1＋d＝256a1.
即·3a1＝255a1，解得k3＝86.故选B.
3．[2021·江苏江阴成化高级中学模拟](多选题)已知等比数列{an}的公比q＝－，等差数列{bn}的首项b1＝12，若a9＞b9且a10＞b10，则以下结论正确的有(　　)
A．a9·a10＜0 B．a9＞a10
C．b10＞0 D．b9＞b10
答案：AD
解析：数列{an}是公比q为－的等比数列，{bn}是首项为12，公差设为d的等差数列，
则a9＝a1(－)8，a10＝a1(－)9，∴a9·a10＝(－)17＜0，故A正确；
∵a1正负不确定，故B错误；
∵a10正负不确定，∴由a10＞b10，不能求得b10的符号，故C错误；
由a9＞b9且a10＞b10，则a1(－)8＞12＋8d，a1(－)9＞12＋9d，
可得等差数列{bn}一定是递减数列，即d＜0，即有b9＞b10，故D正确．
故选AD.
4．已知公差不为0的等差数列的前n项和为Sn，若a3，a5，a10成
等比数列，则＝________．
解析：由题得＝a3·a10，∴(a1＋4d)2＝(a1＋2d)(a1＋9d)，
∵d≠0，∴a1＝－d，
所以＝＝.
等差、
等比数列综合问题的求解策略
对于等差数列与等比数列交汇的问题，要从两个数列的特征入手，理清它们的关系，常用“基本量法”求解，但有时灵活地运用等差中项、等比中项等性质，可使运算简便．