第3讲　圆锥曲线中的定点、定值问题——大题备考 课件（共20张PPT）

(共20张PPT)
第3讲　圆锥曲线中的定点、定值问题——大题备考
微专题1 圆锥曲线中的定点问题
微专题2 圆锥曲线中的定值问题
微专题1
圆锥曲线中的定点问题
『抢分题组训练』
1．已知P(1，2)在抛物线C：y2＝2px上．
(1)求抛物线C的方程；
(2)A，B是抛物线C上的两个动点，如果直线PA的斜率与直线PB的斜率之和为2，证明：直线AB过定点．
答案：(1)将P点坐标代入抛物线方程y2＝2px得4＝2p，即p＝2，
所以抛物线C的方程为y2＝4x；
(2)设AB：x＝my＋t，将AB的方程与y2＝4x联立得y2－4my－4t＝0，
Δ>0 16m2＋16t>0 m2＋t>0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4m，y1y2＝－4t，
kPA＝＝＝，同理：kPB＝，
由题意：＝2，4(y1＋y2＋4)＝2(y1y2＋2y1＋2y2＋4)，
解得y1y2＝4，有－4t＝4，即t＝－1，
故直线AB：x＝my－1恒过定点(－1，0)．
2．[2021·广东佛山模拟]已知椭圆C：＝1(a>b>0)的离心率为，且过点，直线l与椭圆相交于M、N两点，过点P(2，0)的直线PM、PN分别与椭圆相交于另外两点A、B，且直线AB的斜率为2.
(1)求椭圆C的方程．
(2)求证：直线l恒过定点．
答案：(1)由已知得，解得a2＝2，b2＝1，
所以椭圆方程为＋y2＝1；
(2)设M、N两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，A、B的坐标分别为(x3，y3)，(x4，y4)，直线l的方程为y＝kx＋t，
则直线PM的方程分别为y＝(x－2)，直线PN的方程分别为y＝(x－2)，
由消去y，整理得
，则x3＝，
代入y＝(x－2)得y3＝＝，
即A点坐标为；
同理可得到B点坐标为；
因为直线AB的斜率为2，所以＝2，即＝2，
则＝2，整理得＝2，
则t＝－1－k，
所以y＝kx－1－k＝k－1，则直线恒过点.
【技法领悟】
直线过定点问题的解题模型
微专题2
圆锥曲线中的定值问题
『抢分题组训练』
1．已知双曲线C：＝1(a>0，b>0) 过点(2，3)，两条渐近线的夹角为60°，直线l交双曲线于A、B两点．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若l过原点，P为双曲线上异于A、B的一点，且直线PA、PB的斜率kPA，kPB均存在，求证：kPA·kPB为定值．
答案：(1)由题意，双曲线C：＝1过点(2，3)，两条渐近线的夹角为60°，
可得，解得，或，无解．
所以双曲线的方程为x2－＝1.
(2)设A(x0，y0)，由双曲线的对称性，可得B(－x0，－y0)，设P(x，y)，
则kPA·kPB＝，因为
＝3，
即kPA·kPB为定值3.
2．[2021·河北秦皇岛二模]已知点P(－2，y0)为抛物线C：x2＝2py(p＞0)上一点，F为抛物线C的焦点，抛物线C在点P处的切线与y轴相交于点Q，且△FPQ面积为2.
(1)求抛物线C的方程；
(2)设直线l经过(2，5)交抛物线C于M，N两点(异于点P)，求证：∠MPN的大小为定值．
答案：(1)因为△FPQ面积为2.
所以|FQ|·2＝2，即|FQ|＝2，
x2＝2py即y＝的导数为y′＝，可得P处的切线的斜率为，
切线的方程为y－y0＝－(x＋2)，令x＝0，可得y＝y0－＝＝－，
所以＝2，解得p＝2，
所以抛物线的方程为x2＝4y.
(2)证明：设，
设直线l的方程为y＝k(x－2)＋5，
由可得x2－4kx＋8k－20＝0，
所以x1＋x2＝4k，x1x2＝8k－20，
因为P(－2，1)，＝＝，
所以·＝
x1x2＋2(x1＋x2)＋4＋＋1
＝8k－20＋8k＋＋5＝16k－15＋4k2－20k＋25－(4k2－4k＋10)＝0，
所以⊥，
所以∠PMN的大小为定值90°.
3.如图，F1，F2为椭圆C：＝1(a>b>0)的左右焦点，D，E是椭圆的两个顶点，|F1F2|＝2，|DE|＝，若点M(x0，y0)在椭圆C上，则点N称为点M的一个“椭点”，直线l与椭圆交于A，B两点，A，B两点的“椭点”分别为P，Q，已知以PQ为直径的圆经过坐标原点O.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)试探讨△AOB的面积S是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由．
答案：(1)由题可得，
解得，故椭圆C的标准方程为＋y2＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则P，Q，
由OP⊥OQ，即＋y1y2＝0.①
i当直线AB的斜率不存在时，x1＝x2，y1＝－y2，代入①及椭圆方程，求得x1＝x2＝，y1＝－y2＝，
S＝|x1|×|y1－y2|＝1.
②当直线AB的斜率存在时，设其直线为y＝kx＋m(m≠0)，联立得
(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，
则Δ＝16(4k2＋1－m2)，x1＋x2＝，x1x2＝，
同理y1y2＝，代入①，整理得4k2＋1＝2m2，此时Δ＝16m2>0，|AB|＝|x1－x2|＝＝，h＝，
因此S＝AB·h＝··＝1.
综上，△AOB的面积为定值1.
【技法领悟】
解答圆锥曲线的定值问题的策略
1．从特殊情形开始，求出定值，再证明该值与变量无关；
2．采用推理、计算、消元得定值．消元的常用方法为整体消元、选择消元、对称消元等．