第4讲　圆锥曲线中的最值、范围问题——大题备考 课件（共26张PPT）

(共26张PPT)
第4讲　圆锥曲线中的最值、范围问题——大题备考
微专题1 圆锥曲线中的最值问题
微专题2 圆锥曲线中的范围问题
微专题1
圆锥曲线中的最值问题
『抢分题组训练』
1．已知双曲线＝1(a>0，b>0)，O为坐标原点，离心率e＝2，点M在双曲线上．
(1)求双曲线的方程；
(2)如图，若直线l与双曲线的左、右两支分别交于点Q，P，且·＝0，求|OP|2＋|OQ|2的最小值．
答案：(1)因为e＝＝2，所以c＝2a，b2＝c2－a2＝3a2.
所以双曲线的方程为＝1，即3x2－y2＝3a2.
因为点M()在双曲线上，所以15－3＝3a2，所以a2＝4.
所以所求双曲线的方程为＝1.
(2)由·＝0，得OP⊥OQ.设直线OP的方程为y＝kx(k≠0)，则直线OQ的方程为y＝－x，
由，得，
所以|OP|2＝x2＋y2＝.
同理可得，|OQ|2＝＝，
所以＝＝＝.
设|OP|2＋|OQ|2＝t，
则t·＝2＋＋≥2＋2＝4，
所以t≥＝24，即|OP|2＋|OQ|2≥24(当且仅当|OP|＝|OQ|＝2时取等号)．
所以当|OP|＝|OQ|＝2时，|OP|2＋|OQ|2取得最小值24.
2．[2021·福建龙岩模拟]已知a>b>0，曲线Γ由曲线C1：＝1(y≥0)和曲线C2：＝1(y<0)组成，其中曲线C1的右焦点为F1(2，0)，曲线C2的左焦点F2(－6，0)．
(1)求a，b的值；
(2)若直线l过点F2交曲线C1于点A，B，求△ABF1面积的最大值．
答案：(1)由题意：∵F1(2，0)，F2(－6，0)，
∴，解得即.
(2)由(1)知，曲线C1：＝1(y≥0)，点F2(－6，0)，
设直线l的方程为：x＝my－6(m>0)，
∴联立得：(5＋4m2)y2－48my＋64＝0，
∴Δ＝(48m)2－4×64×(5＋4m2)>0，又m>0，∴m>1，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∴y1＋y2＝，y1y2＝，
∴|y1－y2|＝＝，
∴△ABF1面积S＝|F1F2||y1－y2|＝×8×＝64，
令t＝>0，∴m2＝t2＋1，
∴S＝＝，
当且仅当t＝，即m＝时等号成立，
所以△ABF1面积的最大值为.
3.[2021·全国乙卷]已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F到准线的距离为2.
(1)求C的方程；
(2)已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足＝9，求直线OQ斜率的最大值．
答案：(1)由抛物线的定义可知，焦点F到准线的距离为p，故p＝2，所以C的方程为y2＝4x.
(2)由(1)知F(1，0)，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
则＝(x2－x1，y2－y1)，＝(1－x2，－y2)，
因为＝9 ，所以，
可得，
又点P在抛物线C上，所以＝4x1，即(10y2)2＝4(10x2－9)，化简得＝x2－，则点Q的轨迹方程为y2＝x－.
设直线OQ的方程为y＝kx，易知当直线OQ与曲线y2＝x－相切时，斜率可以取最大，
联立y＝kx与y2＝x－并化简，得k2x2－x＋＝0，
令Δ＝(－)2－4k2·＝0，解得k＝±，
所以直线OQ斜率的最大值为.
【技法领悟】
解圆锥曲线中最值问题的解题模型
微专题2
圆锥曲线中的范围问题
『抢分题组训练』
1．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在第一象限且为抛物线C上一点，点N(5，0)在点F右侧，且△MNF恰为等边三角形．
(1)求C的方程；
(2)若直线l：x＝ky＋m与C交于A，B两点，∠AOB＝120°(其中O为坐标原点)，求实数m的取值范围．
答案：(1)由题意知：xM＝＝，|NF|＝5－，
由抛物线的定义知：|MF|＝xM＋，由|NF|＝|MF|，得p＝2，
∴抛物线C的方程为y2＝4x.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由，得y2－4ky－4m＝0，Δ＝16k2＋16m>0，
∴，而x1＋x2＝k(y1＋y2)＋2m＝4k2＋2m，x1x2＝＝m2，
又∠AOB＝120°，即cos ∠AOB＝＝＝＝＝－，
∴m2－4m<0且4(m－4)2＝m2＋16k2＋8m＋16，
∴，得02.[2021·湖北高三二模]过双曲线Γ：＝1(a>0，b>0)左焦点F1的动直线l与Γ的左支交于A，B两点，设Γ的右焦点为F2.
(1)若三角形ABF2可以是边长为4的正三角形，求此时Γ的标准方程；
(2)若存在直线l，使得AF2⊥BF2，求Γ离心率的取值范围．
答案：(1)依题意得：
|AF1|＝2，|AF2|＝4，|F1F2|＝2.∴2a＝|AF2|－|AF1|＝2，a＝1，
2c＝|F1F2|＝2，c＝，b2＝c2－a2＝2，
此时Γ的方程为x2－＝1.
(2)设l的方程为x＝my－c，与＝1联立，得(b2m2－a2)y2－2b2cmy＋b4＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝，y1y2＝，由AF2⊥BF2，·＝0，(x1－c)(x2－c)＋y1y2＝0，
(my1－2c)(my2－2c)＋y1y2＝0 (m2＋1)b4－4m2c2b2＋4c2(b2m2－a2)＝0
(m2＋1)b4＝4a2c2 (m2＋1)＝≥1 4a2c2≥(c2－a2)2，
∴c4＋a4－6a2c2≤0 e4－6e2＋1≤0，
又∵e>1，∴1∴1又A、B在左支且l过F1，
∴y1y2<0，<0 m2< m2＋1＝<＋1.
∴4a25.
综上所述3．[2021·山东临沂二模]已知椭圆C：＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆C上，以PF1为直径的圆E：x2＋2＝过焦点F2.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若椭圆C的右顶点为A，与x轴不垂直的直线l交椭圆C于M，N两点(M，N与A点不重合)，且满足AM⊥AN，点Q为MN中点，求直线MN与AQ的斜率之积的取值范围．
答案：(1)在圆E的方程中，令y＝0，得x2＝3，解得x＝±，所以，F1，F2的坐标分别为(－，0)，(，0)．
∵E，又因为OE＝F2P，OE∥F2P，所以点P的坐标为，
所以，2a＝|PF1|＋|PF2|＝2×＝4，得a＝2，b＝1，
即椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)右顶点为A(2，0)，由题意可知直线AM的斜率存在且不为0，
设直线AM的方程为y＝k(x－2)，由MN与x轴不垂直，故k≠±1.
由得：(1＋4k2)x2－16k2x＋16k2－4＝0，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，又点A(2，0)，
则由根与系数的关系可得：2x1＝，得x1＝，y1＝k(x1－2)＝，
∵AM⊥AN，∴直线AN的方程为y＝－(x－2)，
用－替换k可得：x2＝，y2＝，
∴点Q坐标为，
∴直线AQ的斜率k1＝＝，
直线MN的斜率k2＝＝＝，
∴k1k2＝＝，
∵k2>0且k2≠1，∴2k2＋＋1>2＝4，
∴0<<.即k1k2∈.
∴直线MN与AQ的斜率之积的取值范围是.
【技法领悟】
范围问题的解题策略
解决有关范围问题时，先要恰当地引入变量(如点的坐标、角、斜率等)，寻找不等关系，其方法有：
1．利用判别式或几何性质来构造不等式，从而确定所求范围；
2．利用已知参数的取值范围，求新参数的范围，解此类问题的核心是在两个参数之间建立相等关系；
3．利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出所求范围；
4．利用已知不等关系构造不等式，从而求出所求范围；
5．利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定所求范围；
6．利用已知，将条件转化为n个不等关系，从而求出参数的范围．