第5讲　圆锥曲线中的证明、存在性问题——大题备考 课件（共23张PPT）

(共23张PPT)
第5讲　圆锥曲线中的证明、存在性问题——大题备考
微专题1 圆锥曲线中的证明问题
微专题2 圆锥曲线中的存在性问题
微专题1
圆锥曲线中的证明问题
『抢分题组训练』
1．[2020·八省联考] 双曲线C：＝1(a>0，b>0)的左顶点为A，右焦点为F，动点B在C上．当BF⊥AF时，|AF|＝|BF|.
(1)求C的离心率；
(2)若B在第一象限，证明：∠BFA＝2∠BAF.
答案：(1)设双曲线的半焦距为c，则F(c，0)，B，
因为|AF|＝|BF|，故＝a＋c，故c2－ac－2a2＝0，即e2－e－2＝0，
故e＝2.
(2)设B(x0，y0)，其中x0>a，y0>0.
因为e＝2，故c＝2a，b＝a，
故渐近线方程为：y＝±x，所以∠BAF∈，∠BFA∈，
当x0>a，x0≠2a时，
又tan ∠BFA＝－＝－，tan ∠BAF＝，
所以tan 2∠BAF＝＝＝
＝＝＝
＝－＝tan ∠BFA，
因为2∠BAF∈，
故∠BFA＝2∠BAF.
当x0＝2a，由(1)可得∠BFA＝，∠FAB＝，故∠BFA＝2∠BAF.
综上，∠BFA＝2∠BAF.
2．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线E：y2＝2px(p>0)的焦点为F，过点F的直线交E于A，B两点，设E的准线与x轴的交点为K，当S△KAF＝2S△KBF时，S△KBF＝.
(1)求抛物线E的标准方程；
(2)若点N(3，0)，M(－3，0)，过点N的直线l与E交于P，Q两点，求证：N点到直线MP和直线MQ的距离相等．
答案：(1)由题意，F，K，即|KF|＝p.
由题意知：直线AB的斜率不为0，设直线AB：x＝my＋，代入y2＝2px(p>0)，
消去x得：y2－2pmy－p2＝0，Δ>0成立，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y2＝－p2.
∵S△KAF＝2S△KBF，
∴y1＝－2y2，则y2＝－p，
又S△KBF＝×p×(－y2)＝，
∴p＝2，故抛物线E的标准方程为y2＝4x.
(2)设直线l：x＝ny＋3，代入y2＝4x消x得y2－4ny－12＝0，Δ>0成立，
设P(x3，y3)，Q(x4，y4)，则y3＋y4＝4n，y3y4＝－12，
∴kMP＋kMQ＝＝＝＝＝，
即kMP＋kMQ＝0，
∴kMP＝－kMQ，即∠PMN＝∠QMN，
∴N点到直线MP和直线MQ的距离相等．
3．已知椭圆C：＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1，F2，|F1F2|＝2，离心率e为.
(1)求椭圆C的标准方程．
(2)C的左顶点为A，过右焦点F2的直线l交椭圆C于D，E两点，记直线l，AD，AE的斜率分别为k，k1，k2，求证：k(k1＋k2)＝－.
答案：(1)因为|F1F2|＝2，所以c＝1.又因为离心率e＝＝，所以a＝2，则b＝，
所以椭圆C的标准方程是＝1.
(2)证明：如图，由题意知，A(－2，0)，F2(1，0)，则直线DE的解析式为y＝k(x－1)，
代入椭圆方程＝1，得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0.
设D(x1，y1)，E(x2，y2)，则.又因为－＝－＝－1，
k(k1＋k2)＝k＝k＝k2
＝k2＝－1，所以k(k1＋k2)＝－.
【技法领悟】
圆锥曲线证明问题的类型及求解策略
1．圆锥曲线中的证明问题，主要有两类：一是证明点、直线、曲线等几何元素中的位置关系，如：某点在某直线上，某直线经过某个点、某两条直线平行或垂直等；二是证明直线与圆锥曲线中的一些数量关系(相等或不等)．
2．解决证明问题时，主要根据直线与圆锥曲线的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等，通过相关性质的应用、代数式的恒等变形以及必要的数值计算等进行证明．
微专题2
圆锥曲线中的存在性问题
『抢分题组训练』
1．已知平面内动点P到点M(－1，0)的距离比它到直线x＝2的距离少1，记点P的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程；
(2)已知点A，B两点在曲线C上，满足·＝－4.直线AB是否经过定点？若经过定点，求M(－1，0)到直线AB距离的最大值；否则，请说明理由．
答案：(1)由题意知，点P到点M(－1，0)的距离与它到直线x＝1的距离相等，
故点P的轨迹是以M(－1，0)为焦点x＝1为准线的抛物线，则p＝2，
所以曲线C的方程为y2＝－4x.
(2)由于A，B两点在曲线C上，则直线AB的斜率不为0，
设AB：x＝my＋n，A(x1，y1)，B(x2，y2)
联立方程组，整理得y2＋4my＋4n＝0，
可得Δ＝16m2－16n>0，y1＋y2＝－4m，y1·y2＝4n
所以x1·x2＝＝n2，
而·＝x1·x2＋y1·y2＝n2＋4n，所以n2＋4n＝－4，得n＝－2，
因此直线AB：x＝my－2，故直线AB上经过定点N(－2，0)，
点M(－1，0)到直线AB距离的最大值为|MN|＝1.
2．已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)的离心率为，过双曲线C的右焦点F作渐近线的垂线，垂足为N，且△FON(O为坐标原点)的面积为.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)若P，Q是双曲线C上的两点，且P，Q关于原点对称，M是双曲线上异于P，Q的点．若直线MP和直线MQ的斜率均存在，则kMP·kMQ是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
答案：(1)双曲线C的渐近线方程为y＝±x，即bx±ay＝0，
所以点F(c，0)到渐近线的距离为＝＝b.
所以△FON的面积为|NF|·|ON|＝·b＝·ba＝
即ab＝2.
因为双曲线C的离心率为＝＝＝＝，
所以＝，即b＝a.
代入ab＝2，解得a＝2，
所以b＝，
故双曲线C的标准方程为＝1.
(2)kMP·kMQ是定值，理由如下：
设P(x1，y1)，M(x0，y0)，则
两式相减并整理得＝
所以kMP·kMQ＝·＝＝.
所以kMP·kMQ是定值，且该定值为.
3．[2021·广东佛山二模]已知椭圆C：＝1的某三个顶点形成边长为2的正三角形，O为C的中心．
(1)求椭圆C的方程；
(2)P在C上，过C的左焦点F且平行于OP的直线与C交于A，B两点，是否存在常数λ，使得|AF|·|BF|＝λ|OP|2？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．
答案：(1)当三顶点为长轴两顶点和短轴一顶点时，
此时边长为2a，a，a，此时不可能为正三角形，
所以正三角形的三顶点只能是短轴两顶点和长轴一顶点，
依题意可得b＝1，a＝×2b＝，
故椭圆的C的方程为＋y2＝1；
(2)椭圆C的左焦点F的坐标为(－，0)，
由题意可得直线AB的斜率不为0，
设直线AB的方程为x＝my－，
联立方程，
削去x可得(m2＋3)y2－2my－1＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则Δ＝12(m2＋1)>0，
y1＋y2＝，y1y2＝－，
所以|AF|·|BF|＝|y1－0|·|y2－0|＝(1＋m2)|y1y2|＝，
直线OP的方程为x＝my，
联立，削去x可得，
(m2＋3)y2－3＝0，
所以|OP|2＝＝，
故|AF|·|BF|＝|OP|2，
所以存在常数λ＝，使得|AF|·|BF|＝λ|OP|2.
【技法领悟】
存在性问题的解题策略
存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确，则存在，若结论不正确，则不存在．
1．当条件和结论不唯一时，要分类讨论；
2．当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；
3．当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要思维开放，采取另外的途径．