第1讲　函数的图象与性质——小题备考 课件（共34张PPT）

(共34张PPT)
第1讲　函数的图象与性质——小题备考
微专题1　函数及其表示
微专题2　函数的图象
微专题3　函数的性质
微专题1
空间几何体的表面积和体积
保分题组训练』
1．函数f(x)＝的定义域是(　　)
A．(－2，0]
B．(－2，1]
C．(－∞，－2)
D．(－∞，－2)
答案：A
解析：由题意，，即，所以－2所以函数f(x)的定义域为，故选A.
2．已知函数f(x)的定义域为[－1，0]，若g(x)＝f(x＋a)－f(x－a)有定义，则实数a的取值范围是(　　)
A． B．
C． D．
答案：D
解析：由题意可得，解得.
因为g(x)有定义，所以当a<0时，由－1－a≤a，得－≤a<0；
当a>0时，由a－1≤－a，得0当a＝0时，－1≤x≤0，恒成立．
综上，实数a的取值范围是.故选D.
3．已知定义在R上的函数f(x)满足，f(1－x)＋2f(x)＝x2＋1，则f(1)＝(　　)
A．－1 B．1
C．－ D．
答案：B
解析：∵定义在R上的函数f(x)满足，f(1－x)＋2f(x)＝x2＋1，
∴当x＝0时，f(1)＋2f(0)＝1，①
当x＝1时，f(0)＋2f(1)＝2，②
②×2－①，得3f(1)＝3，解得f(1)＝1.
故选B.
4. [2021·河北石家庄二模]已知函数f(x)＝,若f(a)＝1，则f＝(　　)
A．－1 B．－
C． D．1
答案：B
解析：∵f(x)＝，f＝1，
∴当a≤0时，2a－1＝1，解得a＝1(舍去)；
当a>0时＝1，解得a＋1＝2，即a＝1，
∴f＝f＝2－1－1＝－，故选B.
5．设函数f(x)＝则满足f(x＋1)A．(－∞，－1]　 B．(0，＋∞)
C．(－1，0) 　　 D．(－∞，0)
答案：D
解析：当x≤0时，函数f(x)＝2－x是减函数，
则f(x)≥f(0)＝1.作出f(x)的大致图象如图所示，
结合图象可知，要使f(x＋1)故选D.
6．[2021·浙江卷])已知a∈R，函数f(x)＝若f(f())＝3，则a＝________．
2
解析：由题意，得f()＝()2－4＝2.又f(f())＝3，所以f(2)＝3，即|2－3|＋a＝3，解得a＝2.
1．函数定义域的求法
求函数的定义域，其实质就是以函数解析式所含运算有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出解集即可．
2．分段函数问题的3种常见类型及解题策略
常见类型 解题策略
求函数值 弄清自变量所在区间，然后代入对应的解析式，求“层层套”的函数值，要从最内层逐层往外计算
解不等式 根据分段函数中自变量取值范围的界定，代入相应的解析式求解，但要注意取值范围的大前提
求参数 “分段处理”，采用代入法列出各区间上的方程
微专题2
与球有关的切、和接的问题
『常考常用结论』
　函数图象的变换规则
(1)平移变换将y＝f(x)的图象向左(a>0)或向右(a<0)平移|a|个单位长度得到y＝f(x＋a)的图象；
将y＝f(x)的图象向上(a>0)或向下(a<0)平移|a|个单位长度得到y＝f(x)＋a的图象．
(2)对称变换
①作y＝f(x)关于y轴的对称图象得到y＝f(－x)的图象；
②作y＝f(x)关于x轴的对称图象得到y＝－f(x)的图象；
③作y＝f(x)关于原点的对称图象得到y＝－f(－x)的图象；
④将y＝f(x)在x轴下方的图象翻折到上方，与y＝f(x)在x轴上方的图象，合起来得到y＝|f(x)|的图象；
⑤将y＝f(x)在y轴左侧部分去掉，再作右侧关于y轴的对称图象，合起来得到y＝f(|x|)的图象．
『保分题组训练』
1．函数f(x)＝的部分图象大致为(　　)
答案：B
解析：根据题意，f(x)＝，其定义域为R，
由f＝－＝－f(x)，即函数f(x)为奇函数，排除D，
由f＝>0，排除A，
当x→＋∞时，f(x)→0，排除C，故选B.
2．已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则此函数可能是(　　)
　


A.f(x)＝sin x·ln |x| B．f(x)＝－|sin x·ln x|
C．f(x)＝sin x·ln x D．f(x)＝|sin x·ln x|
答案：A
解析：图象关于原点对称，为奇函数，选项BCD中定义域都是{x|x>0}，不合，排除，选项A是奇函数．故选A.
3．向杯中匀速注水时，如果杯中水面的高度h随时间t变化的图象如图所示，则杯子的形状为(　　)
答案：B
解析：由已知可得，第一段和第二段杯中水面高度h匀速上升，故杯子的水面面积不变，第二段上升的速度更快，说明第二段水面面积较小，故选B.
4．意大利画家列奥纳多·达·芬奇的画作《抱银鼠的女子》(如图所示)中，女士颈部的黑色珍珠项链与她怀中的白貂形成对比．光线和阴影衬托出人物的优雅和柔美．达·芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”．后人研究得出，悬链线并不是抛物线，而是与解析式为y＝的“双曲余弦函数”相关．下列选项为“双曲余弦函数”图象的是(　　)
答案：C
解析：令f(x)＝，则该函数的定义域为R，f＝＝f(x)，
所以，函数f(x)＝为偶函数，排除B选项．
由基本不等式可得f(x)≥×2＝1，当且仅当x＝0时，等号成立，
所以，函数f(x)的最小值为f(x)min＝f(0)＝1，排除A、D选项．故选C.
5．(多选题)关于函数f(x)＝|ln |2－x||，下列描述正确的有(　　)
A．函数f(x)在区间(1，2)上单调递增
B．函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称
C．若x1≠x2，但f(x1)＝f(x2)，则x1＋x2＝4
D．函数f(x)有且仅有两个零点
答案：ABD
解析：函数f(x)＝|ln |2－x||的图象如图所示：

由图可得：函数f(x)在区间(1，2)上单调递增，故A正确；
函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，故B正确；
若x1≠x2，但f(x1)＝f(x2)，则当x1>2，x2>2时，x1＋x2>4，故C错误；
函数f(x)的图象与x轴有且仅有两个交点，故D正确．故选ABD.
6．若当x∈(1，2)时，函数y＝(x－1)2的图象始终在函数y＝logax的图象的下方，则实数a的取值范围是________．
(1，2]
解析：如图，在同一平面直角坐标系中画出函数y＝(x－1)2和y＝logax的图象．
由于当x∈(1，2)时，函数y＝(x－1)2的图象恒在函数y＝logax的图象的下方，则解得1寻找函数图象与解析式对应关系的两种方法
　(1)知式选图“四维度”
①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；
②从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
③从函数的奇偶性，判断图象的对称性；
④从函数的周期性，判断图象的循环往复．
(2)知图选式“四维度”
①从图象的左右、上下分布，观察函数的定义域、值域；
②从图象的变化趋势，观察函数的单调性；
③从图象的对称性方面，观察函数的奇偶性；
④从图象的循环往复，观察函数的周期性．
微专题3
空间中的位置关系
『保分题组训练』
1．[2021·全国甲卷(文)]设f(x)是定义域为R的奇函数，且f(1＋x)＝f(－x)．若f＝，则f＝(　　)
A．－ B．－
C． D．
答案：C
解析：因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－x)＝－f(x)．又f(1＋x)＝f(－x)，所以f(2＋x)＝f[1＋(1＋x)]＝f[－(1＋x)]＝－f(1＋x)＝－f(－x)＝f(x)，所以函数f(x)是以2为周期的周期函数，f＝f＝f＝.故选C.
2．已知函数f(x)＝lg ，x∈(－∞，－1)＝b，则f(－a)＝(　　)
A．b B．－b
C． D．－
答案：B
解析：由题得x∈(－∞，－1)
f＝lg ＝lg ＝－lg ＝－f(x)，
所以函数f(x)是奇函数，
所以f(－a)＝－f(a)＝－b.
故选B.
3．已知f(x)是定义在(－∞，0]上的单调递增函数，且f(－2)＝3，则
满足f(2x－3)<3的x的取值范围是________．
解析：因为f(－2)＝3，所以f(2x－3)<3可转化为f(2x－3)又因为f(x)是定义在(－∞，0]上的单调递增函数，
所以2x－3<－2，解得x<.
4．函数f(x)＝ax＋是偶函数，则实数a＝________．
1
解析：因为f(x)＝ax＋(x≠0)，且f(x)是偶函数，则f(－x)＝f(x)，
－ax－＝ax＋，－a－＝a＋，　2a＋＝0，
即2a＝2，所以实数a＝1.
『提分题组训练』
1．[2021·全国乙卷(文)]设函数f(x)＝，则下列函数中为奇函数的是(　　)
A．f(x－1)－1 B．f(x－1)＋1
C．f(x＋1)－1 D．f(x＋1)＋1
答案：B
解析：通解　选项A：因为函数f(x)＝，所以f(x－1)－1＝－1＝－1＝－2，当x＝1，－1时，函数f(x－1)－1的值分别为0，－4.据此，结合函数奇偶性的定义可知该函数不具有奇偶性．
选项B：因为函数f(x)＝，所以f(x－1)＋1＝＋1＝＋1＝.据此，结合函数奇偶性的定义可知该函数为奇函数．
选项C：因为函数f(x)＝，所以f(x＋1)－1＝－1＝－－1＝－，当x＝1，－1时，函数f(x＋1)－1的值分别为－，0.据此，结合函数奇偶性的定义可知该函数不具有奇偶性．
选项D：因为函数f(x)＝，所以f(x＋1)＋1＝＋1＝－＋1＝，当x＝1，－1时，函数f(x＋1)＋1的值分别为，2.据此，结合函数奇偶性的定义可知该函数不具有奇偶性．
综上，所给函数中为奇函数的是选项B中的函数，故选B.
优解　因为函数f(x)＝＝＝－1＋，所以函数f(x)的图象关于点(－1，－1)对称．
选项A：因为将函数f(x)的图象先向右平移1个单位，再向下平移1个单位，可得到函数f(x－1)－1的图象，所以可知函数f(x－1)－1的图象关于点(0，－2)对称，从而该函数不是奇函数．
选项B：因为将函数f(x)的图象先向右平移1个单位，再向上平移1个单位，可得到函数f(x－1)＋1的图象，所以可知函数f(x－1)＋1的图象关于点(0，0)对称，从而该函数是奇函数．
选项C：因为将函数f(x)的图象先向左平移1个单位，再向下平移1个单位，可得到函数f(x＋1)－1的图象，所以可知函数f(x＋1)－1的图象关于点(－2，－2)对称，从而该函数不是奇函数．
选项D：因为将函数f(x)的图象先向左平移1个单位，再向上平移1个单位，可得到函数f(x＋1)＋1的图象，所以可知函数f(x＋1)＋1的图象关于点(－2，0)对称，从而该函数不是奇函数．
综上，所给函数中为奇函数的是选项B中的函数，故选B.
2．设函数f(x)的定义域为R，f(x＋1)为奇函数，f(x＋2)为偶函数，当x∈[1，2]时，f(x)＝ax2＋b.若f(0)＋f(3)＝6，则f＝(　　)
A．－ B．－
C． D．
答案：D
解析：因为f(x＋1)是奇函数，所以f(－x＋1)＝－f(x＋1)①；
因为f(x＋2)是偶函数，所以f(x＋2)＝f(－x＋2)②.
令x＝1，由①得：f(0)＝－f(2)＝－(4a＋b)，由②得：f(3)＝f(1)＝a＋b，
因为f(0)＋f(3)＝6，所以－(4a＋b)＋a＋b＝6 a＝－2，
令x＝0，由①得：f(1)＝－f(1) f(1)＝0 b＝2，所以f(x)＝－2x2＋2.
思路一：从定义入手．
f＝f＝f＝f，
f＝f＝－f＝－f，
－f＝－f＝－f＝－f，所以f＝－f＝.
思路二：从周期性入手．由两个对称性可知，函数f(x)的周期T＝4.
所以f＝f＝－f＝.故选D.
3．已知奇函数f(x)在R上单调递增，且f(1)＝2，则xf(x)<2的解集为(　　)
A．(0，1) B．[0，1)
C．(－1，1) D．(－1，0)
答案：C
解析：令F(x)＝xf(x)，
依题意f(x)是R上递增的奇函数，
所以F(－x)＝－xf(－x)＝xf(x)＝F(x)，即F(x)为偶函数，
任取x1>x2>0，则f(x1)>f(x2)>f(0)＝0，
则x1f(x1)>x2f(x2)，所以F(x1)－F(x2)＝x1f(x1)－x2f(x2)>0，
故F(x)在(0，＋∞)上递增，在(－∞，0)上递减，
由于f(1)＝2，所以xf(x)<2 xf(x)<1·f(1) F(x)所以－1所以xf(x)<2的解集为(－1，1)．故选C.
4．已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，f(2)＝0，若f(x－1)>0，则x的取值范围是(　　)
A．(3，＋∞) B．(－∞，－3)
C．(－∞，－1)
答案：D
解析：由偶函数f(x)在[0，＋∞)单调递减，f(2)＝0，得f(x)＝f(|x|)，
因为f(x－1)>0，则f(|x－1|)>f(2)，
即|x－1|<2，解得－1函数3个性质的解题策略
奇偶性 具有奇偶性的函数在关于原点对称的区间上其图象、函数值、解析式和单调性联系密切，研究问题时可转化到只研究部分(一半)区间上．尤其注意偶函数f(x)的性质：f(|x|)＝f(x)
单调性 可以比较大小、求函数最值、解不等式、证明方程根的唯一性
周期性 利用周期性可以转化函数的解析式、图象和性质，把不在已知区间上的问题，转化到已知区间上求解