第2讲　基本初等函数、函数与方程——小题备考 课件（共30张PPT）

(共30张PPT)
第2讲　基本初等函数、函数与方程——小题备考
微专题1　基本初等函数的图象与性质
微专题2　函数零点与方程
微专题3　函数的实际应用
微专题1　
基本初等函数的图象与性质
『常考常用结论』
1．指数与对数式的七个运算公式
(1)am·an＝am＋n；
(2)(am)n＝amn；
(3)loga(MN)＝logaM＋logaN；
(4)loga＝logaM－logaN；
(5)logaMn＝nlogaM；
(6)alogaN＝N；
(7)logaN＝.
注：a>0且a≠1，b>0且b≠1，M>0，N>0.
2．指数函数与对数函数的图象和性质
指数函数y＝ax(a>0，a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，a≠1)的图象和性质，分01两种情况，当a>1时，两函数在定义域内都为增函数，当0『保分题组训练』
1．[2021·山东省实验中学二模]设a＝50.3，b＝log0.30.5，c＝log30.4，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．aC．c答案：D
解析：由a＝50.3>1>b＝log0.30.5>0>c＝log30.4，
∴c2．函数f(x)＝－loga(x－b)及g(x)＝bx＋a，则y＝f(x)及y＝g(x)的图象可能为(　　)
答案：B
解析：当00单调递减，f(t)＝logat单调递减，所以f(x)＝loga单调递增且定义域为(b，＋∞)，此时g(x)＝bx＋a与y轴的截距在(0，1)上，排除C.
当a>1时，t＝>0单调递减，f(t)＝logat单调递增，所以f(x)＝loga单调递减且定义域为(b，＋∞)，此时g(x)＝bx＋a与y轴的截距在(1，＋∞)上．
∴当b>0时，g(x)单调递增；当b<0时，g(x)单调递减，故只有B符合要求．
故选B.
3．已知函数f(x)＝ex－e－x－(　　)
A．是偶函数，且在(－∞，0)上单调递增
B．是奇函数，且在(－∞，0)上单调递减
C．是偶函数，且在(－∞，0)上单调递减
D．是奇函数，且在(－∞，0)上单调递增
答案：D
解析：因为f(x)＝ex－e－x－，x∈(－∞，0)
所以f(－x)＝e－x－ex＋＝－f(x)，即函数为奇函数，
当x<0时，f(x)＝ex－e－x－单调递增，
故选D.
4．[2021·湖南株洲二模]若函数f(x)＝2的大致图象如图所示，则(　　)

A．m>0，00，n>1
C．m<0，01
答案：B
解析：令f(x)＝0得emx＝n，即mx＝ln n，
解得x＝ln n，
由图象知x＝ln n>0，
当m>0时，n>1，当m<0时，0当m<0时，易知y＝emx是减函数，
当x→＋∞时，y→0，f(x)→n2，故排除C，故选B.
5．已知函数f(x)为R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝－x；若a＝0.3－0.25，b＝log0.250.3，c＝log0.32.5，则(　　)
A．f(b)C．f(c)答案：D
解析：当x>0时，f(x)＝－x，由奇函数的性质知，
f(x)＝－x，x∈R，函数单调递减；
又a＝0.3－0.25>1，b＝log0.250.3∈(0，1)，c＝log0.32.5<0
则a>b>c，
由函数单调递减知，f(a)故选D.
6．[2021·河北衡水中学三模]已知<1，则实数a的取值范围为(　　)
A． B．(0，1)
C．(1，＋∞) D．
答案：A
解析：由loga<1，得a>1或0由a<1，得a>0，
由<1，得0∴当<1同时成立时，取交集得01．三招破解指数、对数、幂函数值的大小比较
(1)底数相同，指数不同的幂用指数函数的单调性进行比较；
(2)底数相同，真数不同的对数值用对数函数的单调性比较；
(3)底数不同、指数也不同，或底数不同、真数也不同的两个数，常引入中间量或结合图象比较大小．
2．[警示]
(1)对于含参数的指数、对数问题，在应用单调性时，要注意对底数进行讨论；
(2)解决对数问题时，首先要考虑定义域，其次再利用性质求解．
微专题2　函数零点与方程
『常考常用结论』
1．函数的零点及其与方程根的关系
对于函数f(x)，使f(x)＝0的实数x叫做函数f(x)的零点．函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的根，即函数y＝f(x)的图象与函数y＝g(x)的图象交点的横坐标．
2．零点存在性定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．
『提分题组训练』
1．函数f(x)＝2sin x－sin 2x在[0，2π]的零点个数为(　　)
A．2 B．3
C．4 D．5
答案：B
解析：由f(x)＝2sin x－sin 2x＝2sin x－2sin x cos x＝2sin x(1－cos x)＝0，
得sin x＝0或cos x＝1，∵x∈[0，2π]，
∴x＝0、π或2π.
∴f(x)在[0，2π]的零点个数是3，故选B.
2．已知f(x)＝若f(x)＝1有两解，则a的取值范围是(　　)
A． B．
C．(1，2] D．(1，2)
答案：D
解析：由题意可知a>0且a≠1.
当1≤x<2时，由f(x)＝logax＝1，可得x＝a；
当0由于方程f(x)＝1有两解，则，解得1因此，实数a的取值范围是(1，2)．故选D.
3．[2021·福建福州第一中学模拟]若曲线y＝与x轴有且只有2个交点，则实数a的取值范围是(　　)
A．1≤a≤2 B．a≥3
C．1≤a≤2或a≥3 D．1≤a<2或a≥3
答案：D
解析：作出函数y＝2x－4与y＝(x－1)(x－3)的图象，

当a<1时，只有B一个零点；
当1≤a<2时，有A，B两个零点；
当2≤a<3时，有A一个零点；
当a≥3时，有A，C两个零点；
综上，实数a的取值范围是：1≤a<2或a≥3，故选D.
4．已知函数f(x)＝，若关于x的方程f(x)＝a有四个实数根，则实数a的取值范围为(　　)
A．(－∞，4) B．(0，3]
C．[3，4) D．(0，4)
答案：C
解析：作出函数f(x)的图象，

关于x的方程f(x)＝a有四个实数根，则函数y＝f(x)与y＝a有四个交点，
则3≤a<4，故选C.
5．已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且f(2－x)＝f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x，设函数g(x)＝f(x)－log5|x|，则g(x)的零点的个数为(　　)
A．6 B．7
C．8 D．9
答案：C
解析：由题意知：f(x)关于x＝1对称，而g(x)的
零点即为f(x)＝log5|x|的根，
又∵f(x)在R上的偶函数，知：f(x)∈[0，1]
且周期为2，关于y轴对称的函数，而－5≤x≤5
时log5|x|∈(－∞，1]且关于y轴对称，
∴f(x)与log5|x|在(0，＋∞)的图象如下，
∴共有4个交点，由偶函数的对称性知：在(－∞，0)上也有4个交点，所以共8个交点．故选C.
6．已知函数f(x)＝则函数y＝f(f(x))的所有零点之和为________．
解析：x≤0时，x＋1＝0，x＝－1，由f(x)＝－1，可得x＋1＝－1或log2x＝－1，∴x＝－2或x＝；
x>0时，log2x＝0，x＝1，由f(x)＝1，可得x＋1＝1或log2x＝1，∴x＝0或x＝2；
∴函数y＝f(f(x))的所有零点为－2，，0，2，所以所有零点的和为－2＋＋0＋2＝.
1．判断函数零点个数的方法
(1)直接法：解方程f(x)＝0，方程有几个解，函数f(x)就有几个零点．
(2)图象法：画出函数f(x)的图象，函数f(x)的图象与x轴的交点个数即为函数f(x)的零点个数．
(3)将函数f(x)拆成两个常见函数h(x)和g(x)的差，从而f(x)＝0 h(x)－g(x)＝0 h(x)＝g(x)，则函数f(x)的零点个数即为函数y＝h(x)与函数y＝g(x)的图象的交点个数．
(4)二次函数的零点问题，通过相应的二次方程的判别式Δ来判断．
2．已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法
(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围．
(2)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．
(3)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决．
微专题3　函数的实际应用
『保分题组训练』
1．[2021·全国甲卷(文)]青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L＝5＋lg V．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为(≈1.259)(　　)
A．1.5 B．1.2
C．0.8 D．0.6
答案：C
解析：由题意知4.9＝5＋lg V，得lg V＝－0.1，得V＝≈0.8，所以该同学视力的小数记录法的数据约为0.8.
2．[2021·广东模拟]核酸检测分析是用荧光定量PCR法，通过化学物质的荧光信号，对在PCR扩增进程中成指数级增加的靶标DNA实时监测，在PCR扩增的指数时期，荧光信号强度达到阈值时，DNA的数量Xn与扩增次数n满足lg Xn＝n lg (1＋p)＋lg X0，其中p为扩增效率，X0为DNA的初始数量．已知某被测标本DNA扩增10次后，数量变为原来的100倍，那么该样本的扩增效率p约为(参考数据：100.2≈1.585，10－0.2≈0.631)(　　)
A．0.369 B．0.415
C．0.585 D．0.631
答案：C
解析：由题意知，lg (100X0)＝10lg (1＋p)＋lg X0，
即2＋lg X0＝10lg (1＋p)＋lg X0，
所以1＋p＝100.2≈1.585，解得p≈0.585.故选C.
3．“绿水青山就是金山银山”，党的十九大以来，城乡深化河道生态环境治理，科学治污．某乡村一条污染河道的蓄水量为v立方米，每天的进出水量为k立方米．已知污染源以每天r个单位污染河水，某一时段t(单位：天)河水污染质量指数为m(t)(每立方米河水所含的污染物)满足m(t)＝(m0为初始质量指数)，经测算，河道蓄水量是每天进出水量的80倍．若从现在开始关闭污染源，要使河水的污染水平下降到初始时的10%，需要的时间大约是(参考数据：ln 10≈2.30)(　　)
A．1个月 B．3个月
C．半年 D．1年
答案：C
解析：由题可知：m(t)＝＝0.1m0
＝0.1，
∴－t＝ln 0.1≈－2.30，
∴t≈184(天)
∴要使河水的污染水平下降到初始时的10%，需要的时间大约是半年．
故选C.
4．[2021·湖南衡阳模拟]“一骑红尘妃子笑，无人知是荔枝来”描述了封建统治者的骄奢生活，同时也讲述了古代资源流通的不便利．如今我国物流行业蓬勃发展，极大地促进了社会经济发展和资源整合．已知某类果蔬的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝eax＋b(a，b为常数)，若该果蔬在6 ℃的保鲜时间为216小时，在24 ℃的保鲜时间为8小时，那么在12 ℃时，该果蔬的保鲜时间为________小时．(　　)
A．72 B．36
C．24 D．16
答案：A
解析：当x＝6时，e6a＋b＝216；当x＝24时，e24a＋b＝8，
则＝＝27，整理可得e6a＝，于是eb＝216×3＝648，
当x＝12时，y＝e12a＋b＝(e6a)2·eb＝×648＝72.
故选A.
解决函数实际应用题的两个关键点
(1)认真读题，缜密审题，准确理解题意，明确问题的实际背景，然后进行科学地抽象概括，将实际问题归纳为相应的数学问题．
(2)要合理选取变量，设定变量之后，就要寻找它们之间的内在联系，选用恰当的代数式表示问题中的关系，建立相应的函数模型，最终求解数学模型使实际问题获解．