探究四　高考数学文化与人文价值 课件（共25张PPT）

(共25张PPT)
探究四　高考数学文化与人文价值
考点1
立体几何中的数学文化
数学文化解读　1.教育部考试中心函件《关于2017年普通高考考试大纲修订内容的通知》要求“增加中华优秀传统文化的考核内容，积极培育和践行社会主义核心价值观，充分发挥高考命题的育人功能和积极导向作用．比如，在数学中增加数学文化的内容．”
2．中国古代数学取得了极其辉煌的成就，出现了刘徽、祖冲之、秦九韶等伟大的数学家及众多数学名著，《九章算术》和《数学九章》便是其中的代表作．这些中国古代数学名著是中华优秀传统文化的重要组成部分．中国古代数学遵循“经世济用”的准则，研究的内容大多与实际生活、生产紧密结合，具有浓厚的实际背景，体现了明显的综合性和算法化的特征．从中国古代数学中挖掘素材，考查高中数学有关知识，既符合考生的认知水平，又可以引导考生关注中华优秀传统文化．本文选取一些数学文化题加以赏析，希望对大家有些许启示．
[例1]　[2021·浙江卷]我国古代数学家赵爽用弦图给出了勾股定理的证明．弦图是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示)．若直角三角形直角边的长分别为3，4，记大正方形的面积为S1，小正方形的面积为S2，则＝________
25
解析：由题意，得大正方形的面积S1＝()2＝25，小正方形的面积S2＝S1－×4＝25－24＝1，所以＝25.
立体几何中的数学文化题一般以我国古代发现的球的体积公式、圆柱的体积公式、圆锥的体积公式、圆台的体积公式和“牟合方盖”“阳马”“鳖臑”“堑堵”“刍薨”等中国古代几何名词为背景考查空间几何体的三视图、几何体的体积与表面积等．
『对接训练』
1.[2020·全国卷Ⅰ]埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥．以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为(　　)
　
A． B．
C． D．
答案：C
解析：如图，设正四棱锥的底面边长BC＝a，侧面等腰三角形底边上的高PM＝h，则正四棱锥的高PO＝，
∴以|PO|为边长的正方形面积为h2－，一个侧面三角形面积为ah，
∴h2－＝ah，∴4h2－2ah－a2＝0，
两边同除以a2可得4－2·－1＝0，解得＝，
又∵>0，∴＝.故选C.
考点2
数列中的数学文化
[例2]　[2020·全国卷Ⅱ]北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层．上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块．下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块．已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)(　　)
A．3 699块 B．3 474块
C．3 402块 D．3 339块
答案：C
解析：由题意可设每层有n个环，则三层共有3n个环，∴每一环扇面形石板的块数构成以a1＝9为首项、9为公差的等差数列{an}，且项数为3n.不妨设上层扇面形石板总数为S1，中层总数为S2，下层总数为S3，∴S3－S2＝[9(2n＋1)·n＋×9]－[9(n＋1)·n＋×9]＝9n2＝729，解得n＝9(负值舍去)．则三层共有扇面形石板(不含天心石)27×9＋×9＝27×9＋27×13×9＝27×14×9＝3 402(块)．故选C.
1．数列中的数学文化题一般以古代数学名著中的数列问题为背景，考查等差数列和等比数列的概念、通项公式和前n项和公式及递推关系．
2．解决这类问题的关键是将古代实际问题转化为现代数学问题，掌握等比(差)数列的概念、通项公式和前n项和公式．
『对接训练』
2．[2021·山东泰安质量检测]我国古代的天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷(guǐ)长损益相同(晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度)，夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪是连续十二个节气，其日影子长依次成等差数列，经记录测算，夏至、处暑、霜降三个节气日影子长之和为16.5尺，这十二节气的所有日影子长之和为84尺，则夏至的日影子长为________尺．
1.5
解析：设此等差数列{an}的公差为d，
由题意即
解得
所以夏至的日影子长为1.5.
考点3
概率中的数学文化
[例3]　[2019·全国卷Ⅲ]《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著．某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为(　　)
A．0.5 B．0.6
C．0.7 D．0.8
答案：C
解析：方法一　设调查的100位学生中阅读过《西游记》的学生人数为x，则x＋80－60＝90，解得x＝70，
所以该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为＝0.7.故选C.
方法二　用Venn图表示调查的100位学生中阅读过《西游记》和《红楼梦》的人数之间的关系如图：
易知调查的100位学生中阅读过《西游记》的学生人数为70，
所以该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为＝0.7.故选C.
概率中的数学文化题一般以优秀传统文化为背景，考查古典概型．解决此类问题的关键是从实际问题背景中概括出相关的概率模型求解．
『对接训练』
3．[2021·山东日照模拟]齐王有上等、中等、下等马各一匹；田忌也有上等、中等、下等马各一匹．田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马．现从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛，若有优势的马一定获胜，则齐王的马获胜的概率为(　　)
A． B．
C． D．
答案：C
解析：
　　　　齐王的马 田忌的马　　　　 上 中 下
上 (上，上) (上，中) (上，下)
中 (中，上) (中，中) (中，下)
下 (下，上) (下，中) (下，下)
由表可知基本事件数共有9种，其中符合题意的有6种，则P(齐王的马获胜)＝＝，故选C.
考点4
三角函数中的数学文化
[例4]　《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系．其中《方田》章有弧田面积计算问题，术曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一．其大意是，弧田面积计算公式为：弧田面积＝ (弦×矢＋矢×矢)．弧田是由圆弧(弧田弧)和以圆弧的端点为端点的线段(弧田弦)围成的平面图形，公式中的“弦”指的是弧田弦的长，“矢”指的是弧田弧所在圆的半径与圆心到弧田弦的距离之差．现有一弧田，其弧田弦AB等于6米，其弧田弧所在圆为圆O，若用上述弧田面积计算公式算得该弧田的面积为平方米，则cos ∠AOB＝(　　)
A． B．
C． D．
答案：D
解析：如右图，依题意AB＝6，设CD＝x(x>0)，则(6x＋x2)＝，解得x＝1.设OA＝y，则(y－1)2＋9＝y2，解得y＝5.
由余弦定理得cos ∠AOB＝＝，故选D.
弧田术给出了弓形面积的近似计算公式，本题以弧田术为背景考查解三角形问题，要求考生能够正确理解题意，画出图形．
『对接训练』
4．[2021·全国乙卷理]魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海岛的高．如图，点E，H，G在水平线AC上，DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，EG称为“表距”，GC和EH都称为“表目距”，GC与EH的差称为“表目距的差”则海岛的高AB＝(　　)
A．＋表高 B．－表高
C．＋表距 D．－表距
答案：A
解析：因为FG∥AB，所以＝，所以GC＝·CA.因为DE∥AB，所以＝，所以EH＝·AH.又DE＝FG，所以GC－EH＝(CA－AH)＝×HC＝×(HG＋GC)＝×(EG－EH＋GC)．由题设中信息可得，表目距的差为GC－EH，表高为DE，表距为EG，则上式可化为，表目距的差＝×(表距＋表目距的差)，所以AB＝×(表距＋表目距的差)＝＋表高，故选A.