专题一 第1讲 函数的图象与性质 课件（共64张PPT）

(共64张PPT)
第1讲　函数的图象与性质
专题一
内容索引
01
02
必备知识 精要梳理　
关键能力 学案突破　
必备知识 精要梳理　
1.函数的概念
(1)求函数定义域的方法是依据含自变量x的代数式有意义列出相应的不等式(组)求解.
温馨提示函数的定义域必须写成集合或区间的形式.
(2)求函数的值域要优先考虑定义域,常用方法:配方法、分离常数法(分式函数)、换元法、单调性法、基本不等式法、数形结合法.
这是函数具有奇偶性的重要前提
2.函数的性质
(1)奇偶性:①定义:若函数的定义域关于原点对称,则有:f(x)是偶函数 f(-x)=f(x)=f(|x|);f(x)是奇函数 f(-x)=-f(x).
②判断方法:定义法、图象法、奇偶函数性质法(如奇函数×奇函数是偶函数).
(2)单调性的判断方法:定义法、图象法、导数法.
(3)周期性的常用结论:若f(x+a)=-f(x)或f(x+a)=± (a≠0),则T=2a;若f(x+a)=f(x-b),则T=a+b;若f(x)的图象有两条对称轴x=a和x=b(a≠b),则T=2|b-a|;若f(x)的图象有两个对称中心(a,0)和(b,0)(a≠b),则T=2|b-a|(可类比正、余弦函数).
特别提醒若f(x)是奇函数且在原点有定义,则f(0)=0;若函数f(x)是周期为T的奇函数,则必有f =0.
等式中自变量x的系数同号
3.函数的图象
(1)函数图象的判断方法:①找特殊点;②看性质:根据函数性质判断图象的位置、对称性、变化趋势等;③看变换:看函数是由基本初等函数经过怎样的变换得到的.
(2)若y=f(x)的图象关于直线x=a对称,则有f(a+x)=f(a-x)或f(2a-x)=f(x)或f(x+2a)=f(-x);若y=f(x)对 x∈R都有f(a-x)=f(b+x),则f(x)的图象关于直
　等式中自变量x的系数异号
(3)函数y=f(x)与y=f(-x)的图象关于y轴对称,函数y=f(a-x)与y=f(b+x)的图象关于直线x= 对称;y=f(x)与y=-f(x)的图象关于x轴对称;y=f(x)与y=-f(-x)的图象关于原点对称.
(4)利用图象可解决函数的最值、方程与不等式的解以及求参数的取值范围等问题.
关键能力 学案突破　
突破点一
函数的定义及其表示
答案 D　
[例1-1](2021·浙江金华期中)已知函数f(x)的定义域为[-2,1],则函数y= 的定义域为(　　)
A.[0,1] B.[0,1) C.(0,1] D.(0,1)
命题角度1　函数的定义域与值域
方法点拨确定函数定义域的基本方法
(1)对于给出解析式的函数,其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合,只需构建不等式(组)求解即可.
(2)对于复合函数,确定其定义域的一般步骤是:若已知f(x)的定义域为[a,b],则其复合函数f(g(x))的定义域可由不等式a≤g(x)≤b求得.
(3)对于含字母参数的函数,确定其定义域,要根据具体情况对字母参数进行分类讨论.
对点练1
答案 A　
命题角度2　分段函数及其应用
A.g(-1)=0
B.方程g(x)=2有3个实数根
C.方程g(x)=-2的所有实根之和为-1
D.当x<0时,f(x)≤g(x)
答案 ACD　
解析 对于A选项,由题意知f(-1)=0,则g(-1)=f(f(-1))=f(0)=0,所以选项A正确;
对于B选项,令f(x)=u,则求g(x)=f(f(x))=2的根,即求f(u)=2的根.因为方程f(u)=2没有实根,所以g(x)=2没有实根,所以选项B错误;
对于D选项,当x<0时,g(x)=f(x+1),则将函数f(x)在区间(-∞,1)上的图象向左平移1个单位长度可得函数g(x)的图象(如图),当x<0时,函数g(x)的图象在f(x)的图象的上方(可以部分点重合),所以选项D正确,故选ACD.
A.(-4,0) B.(-3,0)
C.[-4,0) D.[-3,0)
答案 B　
由图可知a+b=-4,0所以af(a)+bf(b)+cf(c)=(a+b+c)f(c)=(c-4)f(c)=(c-4)c3=c4-4c3.
令g(c)=c4-4c3(0因为0所以g(1)所以af(a)+bf(b)+cf(c)的取值范围是(-3,0).
方法总结解决分段函数问题的基本策略
(1)分类讨论:已知函数值(或范围)求自变量的值(或范围)时,常常先根据每一段的解析式分别求解,但要注意检验所求自变量的值(或范围)是否符合相应段的自变量的取值范围,然后综合各段的结果即可求解.
(2)数形结合:求解分段函数问题时,画出函数的图象,对代数问题进行转化,结合图形直观地分析判断,可以快速准确地解决问题.
对点练2
(2)(2021·浙江嘉兴模拟)已知函数f(x)= 若f(f(a))≤0,则实数a的取值范围为　　　　　.
当x≥0时,f(x)的图象为开口向上的抛物线的一部分,对称轴为直线x=3,最小值为32-6×3+6=-3;当x<0时,f(x)为直线y=3x+4的一部分.
不妨设x1突破点二
函数的性质及其应用
命题角度1　函数的奇偶性、单调性及其应用
A.是奇函数,且在区间(0,+∞)上单调递增
B.是奇函数,且在区间(0,+∞)上单调递减
C.是偶函数,且在区间(0,+∞)上单调递增
D.是偶函数,且在区间(0,+∞)上单调递减
答案 A　
答案 B　
解析 设h(x)=f(x)-2=g(x)-g(-x)(x∈(-1,1)),因为对任意的x1,x2∈(-1,1),x1≠x2,恒有[f(x1)-f(x2)](x1-x2)>0,所以函数f(x)在区间(-1,1)上为增函数,则h(x)在区间(-1,1)上为增函数,又h(-x)=g(-x)-g(x)=-h(x),所以h(x)为奇函数.
又因为不等式f(3x+1)+f(x)>4可化为f(3x+1)-2+f(x)-2>0,即
[例2-3](2021·新高考Ⅰ,13)已知函数f(x)=x3(a·2x-2-x)是偶函数,则a=　　　　　.
答案1
解析 ∵函数f(x)=x3(a·2x-2-x)是偶函数,
∴对 x∈R,f(x)=f(-x),即x3(a·2x-2-x)=(-x)3[a·2-x-2-(-x)],
整理,得x3(2x+2-x)(a-1)=0,∴a-1=0,解得a=1.
名师点析函数单调性与奇偶性应用中应注意的问题
(1)判断函数的奇偶性,首先必须检验定义域是否关于原点对称,复合函数的奇偶性可回归到奇偶性的定义进行判断,分段函数的奇偶性,要分段讨论,也可以利用图象判断.
(2)已知奇偶性求参数值时,一般利用奇、偶函数的定义,也可采用特殊值法.特别地,若函数f(x)是奇函数且在x=0处有定义,则可利用f(0)=0求得参数值.
(3)奇偶性与单调性的应用主要涉及利用单调性求最值、进行大小比较、解抽象函数不等式等,解题时要注意几个方面:一是函数定义域的限制,二是函数单调性的判定,三是等价转化思想与数形结合思想的运用,如已知f(x)为偶函数且在区间[0,+∞)内单调递增,那么形如f(m)>f(n)的不等式均可转化为f(|m|)>f(|n|),从而有|m|>|n|,这样避免了分类讨论,可简化解题过程.
对点练3
(1)(2021·辽宁沈阳一模)下列函数中,既是奇函数又在区间(0,1)上单调递减的是(　　)
A.f(x)=ln(ex+e-x)-ln(ex-e-x)
答案 (1)B　(2) D
命题角度2　函数的奇偶性、周期性及其应用
答案 D　
解析 因为f(x+1)是奇函数,所以f(-x+1)=-f(x+1)①;
因为f(x+2)是偶函数,所以f(x+2)=f(-x+2)②.
因为当x∈[1,2]时,f(x)=ax2+b,所以当x=1时,由①得f(0)=-f(2)=-(4a+b),由②得f(3)=f(1)=a+b,
因为f(0)+f(3)=6,所以-(4a+b)+a+b=6 a=-2,
令x=0,由①得f(1)=-f(1) f(1)=0 a+b=0 b=2,所以当x∈[1,2]时,f(x)=-2x2+2.
(方法二)∵f(x+1)是奇函数,∴f(-x+1)=-f(x+1).
∴f(x+2)=f(x+1+1)=-f(-x).
∴f(2-x)=f(1-x+1)=-f(x).
∵f(x+2)是偶函数,∴f(x+2)=f(2-x),
∴-f(-x)=-f(x),即f(-x)=f(x),
∴f(x+4)=f[(x+2)+2]=f[-(x+2)+2]=f(-x)=f(x),
∴函数f(x)的周期为4.
名师点析函数奇偶性、周期性应用技巧
(1)具有奇偶性的函数,在关于原点对称的区间上,函数值、单调性、图象都有密切的联系,可通过原点一侧图象对应函数的性质得出另一侧图象对应函数的性质.
(2)根据函数的周期性,可以转化函数的解析式、图象、性质,将不在已知区间上的问题转化为已知区间上的问题进行求解.
(3)函数的周期性往往通过奇偶性与对称性得到,当函数有两条对称轴(或两个对称中心、一条对称轴和一个对称中心)时,都能推出函数的周期,例如,若函数f(x)有一条对称轴为直线x=a和相邻的一个对称中心(b,0),则4|a-b|就是f(x)的一个周期.
对点练4
(2021·湖南岳阳一模)已知定义在R上的函数f(x)满足:f(x)=
则f(2 020)+f(2 021)的值等于(　　)
A.-5 B.-4 C.-3 D.-2
答案 D　
解析 当x>0时,f(x)=f(x-1)-f(x-2),所以f(x+1)=f(x)-f(x-1),所以f(x+1)=-f(x-2),所以f(x+6)=-f(x+3)=f(x),所以当x>0时,f(x)是周期为6的周期函数,所以f(2 020)=f(6×336+4)=f(4)=-f(1)=-f(0)+f(-1)=-1,f(2 021)=f(6×336+5)=f(5)
=f(-1)=-1,故f(2 020)+f(2 021)=-2.
命题角度3　函数性质的综合应用
B.|f(x)|≤5|x|
C.曲线y=f(x)存在对称轴
D.曲线y=f(x)存在对称中心
答案 ABC　
对于选项D,若存在一点(a,b),使得f(x)关于点(a,b)对称,则f(a-x)+f(a+x)=2b,通过分析f(a-x)+f(a+x)不可能为常数,所以曲线y=f(x)不存在对称中心,即D错误,故选ABC.
规律总结关于函数图象对称性的一些结论
(1)若f(a-x)=f(a+x)或f(2a-x)=f(x)或f(2a+x)=f(-x),则函数f(x)的图象关于直线x=a对称.
(2)若f(a-x)=-f(a+x)或f(2a-x)=-f(x)或f(2a+x)=-f(-x),则函数f(x)的图象关于点(a,0)对称.
(3)若f(a-x)+f(a+x)=2b,则函数f(x)的图象关于点(a,b)对称.
(4)若f(a-x)=f(b+x),则函数f(x)的图象关于直线x= 对称.
对点练5
(多选题)(2021·山东济南月考)若函数f(x)=ex-e1-x,则下述结论正确的有(　　)
A.f(x)在R上单调递增
B.f(x)的值域为(0,+∞)
答案 AC　
解析 因为y=ex是定义在R上的增函数,y=e1-x是定义在R上的减函数,所以f(x)=ex-e1-x在R上单调递增,故A正确;
因为f(0)=e0-e=1-e<0,故B错误;
突破点三
函数的图象及其应用
命题角度1　根据解析式识别函数图象
答案 A　
解析 首先分析函数f(x)的定义域,设g(x)=x2-cos x,当x>0时,y=x2单调递增,y=cos x在区间(0,π)上单调递减,则g(x)在区间(0,π)上单调递增,而
g(0)=-1,g(1)=1-cos 1>0,所以存在x0∈(0,1)使得g(x0)=0,故x0不属于函数f(x)的定义域,排除C,D,又因为当x= 时,f(x)>0,排除B,故选A.
方法总结根据函数解析式识别图象的基本方法
根据函数解析式识别图象的基本方法是由解析式研究函数的性质,诸如:定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、特殊点处的函数值等,由此确定图象应该满足的几何特征,诸如:对称性、变化趋势、范围等,从而对照选项作出判断,通常从以下几方面入手
(1)从函数的定义域,判断图象的左右位置.
(2)从函数的值域,判断图象的上下位置.
(3)从函数的单调性,判断图象的变化趋势.
(4)从函数的奇偶性,判断图象的对称性.
(5)从函数在特殊点处的函数值,排除不符合要求的图象.
对点练6
(2021·广东珠海月考)函数f(x)= 的大致图象为(　　)
答案 A　
命题角度2　由图象确定函数解析式
答案 C　
方法技巧由函数图象确定其解析式的基本方法
(1)将图象的左右、上下分布情况与函数的定义域、值域进行对照.
(2)从图象的变化趋势,分析函数的单调性,与解析式对照.
(3)从图象的对称性特征,分析函数的奇偶性,与解析式对照.
(4)从图象的循环往复特征,分析函数的周期性,与解析式对照.
对点练7
(2021·陕西咸阳月考)已知某函数的图象如图所示,则下列函数中,与图象最契合的是(　　)
A.y=sin(ex+e-x) B.y=sin(ex-e-x)
C.y=cos(ex-e-x) D.y=cos(ex+e-x)
答案 D　
解析 由题图可知,当x=0时,y<0,而当x=0时,y=sin(ex+e-x)=sin 2>0,故排除A;
当x=0时,y=sin(ex-e-x)=sin 0=0,故排除B;
当x=0时,y=cos(ex-e-x)=cos 0=1>0,故排除C;
当x=0时,y=cos(ex+e-x)=cos 2<0,满足题意,故选D.
命题角度3　利用图象解决不等式问题
A.(-∞,-1]∪[0,+∞) B.[0,1]
C.[-1,0] D.(-1,0)
答案 C　
方法总结函数图象在解决不等式恒成立、解不等式问题中的应用
(1)不等式的恒成立问题可以转换为函数图象的高低,例如不等式f(x)>g(x)恒成立,亦即函数f(x)的图象始终在函数g(x)图象的上方,不等式f(x)(2)利用函数图象解不等式时,先画出函数f(x),g(x)的图象,那么f(x)>g(x)的解集就是函数f(x)的图象在g(x)图象上方的部分所对应的函数自变量的取值集合,不等式f(x)对点练8
A.(0,1] B.(0,2]
C.[1,4] D.[1,6]
答案 C