专题一 第3讲 利用导数研究函数的单调性、极值与最值 课件（共59张PPT）

(共59张PPT)
第3讲　利用导数研究函数的单调性、
极值与最值
专题一
内容索引
01
02
必备知识 精要梳理　
关键能力 学案突破　
必备知识 精要梳理　
1.导数的几何意义
函数f(x)在x=x0处的导数是曲线f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率,即曲线f(x)在点P处的切线的斜率k=f'(x0),相应的切线方程为y-f(x0)=f'(x0)(x-x0).
温馨提示求曲线的切线方程时,要注意是在点P处的切线还是过点P的切线,前者点P为切点,后者点P不一定为切点.
2.利用导数研究函数的单调性
(1)导数与函数单调性的关系.
①f'(x)>0是f(x)为增函数的充分不必要条件,如函数f(x)=x3在区间(-∞,+∞)上单调递增,但f'(x)≥0.
②f'(x)≥0是f(x)为增函数的必要不充分条件,如函数f(x)在某个区间内恒有f'(x)=0,则f(x)为常数函数.
(2)求单调区间(或证明单调性),只要在函数定义域内解(或证明)不等式f'(x)>0或f'(x)<0.
(3)若f(x)在区间D上单调递增,转化为在区间D上f'(x)≥0恒成立;若f(x)在区间D上单调递减,转
化为在区间D上f'(x)≤0恒成立(注意:f'(x)=0在区间D的任意子区间上不恒成立).
注意带“=”
(4)若f(x)在区间D上存在单调递增区间,转化为f'(x)>0在区间D上有解;若f(x)在区间D上存在单调递减区间,转化为f'(x)<0在区间D上有解.
注意不带“=”
3.利用导数研究函数的极值、最值
(1)若f'(x0)=0,且在x0附近左侧f'(x)>0,右侧f'(x)<0,则f(x0)为函数f(x)的极大值;若f'(x0)=0,且在x0附近左侧f'(x)<0,右侧f'(x)>0,则f(x0)为函数f(x)的极小值.
(2)设函数y=f(x)在区间[a,b]上连续,在区间(a,b)内可导,则f(x)在区间[a,b]上必有最大值和最小值,且在极值点或端点处取得.
(3)若函数在开区间或无穷区间上有唯一的极值,则其即为相应的最值.
这个条件不可少
易错提醒若函数的导数存在,则某点处的导数等于零是函数在该点取得极值的必要不充分条件,因此已知极值点求参数值时要注意检验.
关键能力 学案突破　
突破点一
导数的几何意义
答案 D　
[例1-2](2021·全国甲,理13)曲线y= 在点(-1,-3)处的切线方程为　　　　　　　　　　.
答案 5x-y+2=0　
方法总结利用导数的几何意义解决切线问题的方法
(1)已知切点(x0,y0),则曲线y=f(x)的切线方程为y-y0=f'(x0)(x-x0).
(2)已知曲线y=f(x)的切线斜率k,求切点坐标(x0,y0)时,可根据f'(x0)=k解方程得到.
(3)求曲线y=f(x)过点(x1,y1)的切线方程时,应设出切点(x0,y0),则切线方程为y-y0=f'(x0)(x-x0),再将点(x1,y1)的坐标代入切线方程,求出x0即得切线方程.
(4)解决曲线y=f(x)和y=g(x)的公切线问题时,通常有两种方法:一是利用其中一条曲线在某点处的切线与另一条曲线相切,列出关系式求解;二是分别
设出公切线与曲线y=f(x)和y=g(x)的切点P1(x1,y1),P2(x2,y2),则有
对点练1
(1)(2021·山东淄博月考)已知函数f(x)=ln x+ 图象的一条切线方程为y=kx+b,则k+b的最小值为(　　)
A.-1 B.0 C.1 D.2
(2)(2021·山东滨州期中)若曲线f(x)=x3-2x在点P处的切线与直线l:x-y-2=0平行,则点P的坐标为　　　　　.
(3)(2021·广东韶关一模)若曲线C1:y=ax2(a>0)与曲线C2:y=ex存在公共切线,则实数a的取值范围为　　　　　.
当m>1时,g'(m)>0,g(m)单调递增;
当0当x0=1时,点P(1,-1),则所求切线方程为y+1=x-1,即x-y-2=0,与直线l重合,不符合题意;当x0=-1时,点P(-1,1),则所求切线方程为y-1=x+1,即x-y+2=0,与直线l平行.
综上所述,点P的坐标为(-1,1).
(3)由y=ax2(a>0),得y'=2ax.由y=ex,得y'=ex.
曲线C1:y=ax2(a>0)与曲线C2:y=ex存在公共切线,设公切线与曲线C1切于
突破点二
利用导数研究函数的单调性
命题角度1　求单调区间或判断单调性
[例2-1](2021·福建泉州期末)函数f(x)=2(x2-x)ln x-x2+2x的单调递增区间为(　　)
答案 D　
易错警示利用导数求函数的单调区间,其实质是转化为解不等式问题,但应注意以下几点
(1)首先确定函数的定义域,忽视定义域的限制容易导致错误.
(2)当函数在区间的端点处有定义时,单调区间可以写成闭区间也可以写成开区间,但当函数在区间的端点处没有定义时,单调区间只能写成开区间.
(3)当函数具有多个单调递增区间(递减区间)时,一般不能用“∪”联结,而应该用“和”“及”等联结.
对点练2
(2021·山东东营月考)已知函数f(x)与f'(x)的图象如图所示,则当0f'(x)的解集为(　　)
答案 A　
解析 若题图中实线部分曲线为函数y=f(x)的图象,则虚线部分曲线为导函数y=f'(x)的图象,由导函数y=f'(x)的图象可知,当0若题图中实线部分曲线为导函数y=f'(x)的图象,则当0f'(x)的解集为(0,1).故选A.
[例2-2](2021·山东德州期末)已知函数f(x)=ln x+ax2-(a+2)x+2(a为常数).
(1)若函数f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线与直线x+3y=0垂直,求a的值;
(2)若a>0,讨论函数f(x)的单调性.
名师点析分类讨论思想解决含参数函数单调性问题
利用导数求含参数函数的单调区间时,基本策略是分类讨论,注意以下几点
(1)注意确定函数的定义域,在定义域的限制条件下研究单调区间.
(2)注意观察f'(x)的表达式(或其中的某一部分、某个因式等)的取值是否恒为正(或恒为负),这往往是分类讨论的出发点.
(3)注意结合解含参数不等式中分类讨论的一些常用方法,例如:对二次项系数正负的讨论,对判别式Δ的讨论,对根的大小比较的讨论等.
(4)分类讨论要做到不重不漏,同时还要注意对结果进行综述.
对点练3
(2021·山东实验中学期中)已知函数f(x)= +aln x(a∈R,且a≠0),求函数f(x)的单调区间.
命题角度2　根据单调性求参数的取值范围
答案 A　
方法总结根据函数单调性求参数取值范围的类型及解法
已知函数f(x)在区间I上单调递增(或递减),f(x)中含参数 转化为f'(x)≥0(或f'(x)≤0)在I上恒成立,要注意“=”能否取到
已知函数f(x)在区间I上单调递增(或递减),I中含参数 先求出f(x)的单调区间,再令I是其单调区间的子集,建立不等式(组)求解
已知函数f(x)在区间I上存在单调递增(或递减)区间 转化为f'(x)>0(或f'(x)<0)在I上有解求解
已知函数f(x)在区间I上不单调 方法一:转化为f'(x)=0在I上有解求解;
方法二:运用补集思想,先求f(x)在区间I上单调时参数的取值范围,再取其补集
对点练4
答案 A　
[例2-4](2021·湖南长沙期中)已知函数f(x)=(1+x)ln(1+x)-ax2-(2a+1)x,若f(x)在定义域内是减函数,求a的最小值.
解 由题意知,f(x)的定义域为(-1,+∞),f'(x)=ln(1+x)-2a(x+1).
∵f(x)在定义域内是减函数,
∴f'(x)≤0在区间(-1,+∞)上恒成立,即ln(1+x)-2a(x+1)≤0对x∈(-1,+∞)恒成立,
令g'(x)=0,解得x=e-1.
当x∈(-1,e-1)时,g'(x)>0,当x∈(e-1,+∞)时,g'(x)<0.
∴g(x)在区间(-1,e-1)上单调递增,在区间(e-1,+∞)上单调递减,因此
方法点拨已知函数单调性求参数取值范围问题注意点
(1)已知函数单调性求参数取值范围问题主要采用等价转化法,但要注意函数在某一区间上单调递增(递减)与存在单调递增(递减)区间的区别,前者是恒成立问题,后者是不等式有解问题.
(2)解决这类问题主要与参数处理相关,因此尽量采取措施合理地规避分类讨论,简化求解过程,否则就要运用分类讨论的思想解决问题.
对点练5
(2021·福建龙岩月考)已知函数f(x)= ,若f(x)在区间(0,1)上单调递增,求实数a的取值范围.
突破点三
利用导数研究函数的极值与最值
命题角度1　利用导数求函数的极值与最值
[例3-1](2021·辽宁锦州期末)若x=-1是函数f(x)=(4x2-2ax-1)e2x-1的极值点,则f(x)的极小值为(　　)
A.-1 B.-2e-3 C.5e-3 D.1
答案 A　
解析 因为f(x)=(4x2-2ax-1)e2x-1,所以f'(x)=e2x-1[8x2+(8-4a)x-(2a+2)].
依题意有f'(-1)=0,解得a=1,于是f(x)=(4x2-2x-1)e2x-1,f'(x)=4e2x-1(2x2+x-1).
[例3-2](2021·新高考Ⅰ,15)函数f(x)=|2x-1|-2ln x的最小值为　　　　　.
答案 1　
方法点拨1.利用导数求函数f(x)在区间[a,b]上的最值的一般步骤
(1)求函数f(x)在区间(a,b)内的极值;(2)求函数f(x)在区间端点处的函数值f(a),f(b);(3)将函数f(x)的各极值与f(a),f(b)比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值.
2.求函数在无穷区间(或开区间)上的最值,不仅要研究其极值情况,还要研究其单调性,并通过单调性和极值情况,画出函数的大致图象,然后借助图象得到函数的最值.
对点练6
(1)(2021·江苏镇江期中)已知函数f(x)=ex-3,g(x)=1+ln x,若f(m)=g(n),则n-m的最小值为(　　)
A.-ln 2 B.ln 2 C.2 D.-2
(2)(2021·山东泰安月考)若方程x3-3x+m=0在区间[0,2]上有解,则实数m的取值范围是(　　)
A.[-2,2]
B.[0,2]
C.[-2,0]
D.(-∞,-2)∪(2,+∞)
答案 (1)D　(2) A
解析 (1)令t=f(m)=g(n)(t>0),
则em-3=t,1+ln n=t,所以m=3+ln t,n=et-1,所以n-m=et-1-3-ln t.
当0当t>1时,h'(t)>0,h(t)单调递增.
所以h(t)min=h(1)=e0-3-ln 1=-2,即n-m的最小值为-2.故选D.
(2)由题意得-m=x3-3x,x∈[0,2].
令y=x3-3x,x∈[0,2],则y'=3x2-3.
令y'=0,解得x=1(x=-1舍去),当x∈[0,1)时,y'<0;当x∈(1,2]时,y'>0,因此函数y=x3-3x,x∈[0,2]在区间[0,1]上单调递减,在区间[1,2]上单调递增.
又x=1时,y=-2;x=2时,y=2;x=0时,y=0,所以函数y=x3-3x,x∈[0,2]的值域是
[-2,2],因此-m∈[-2,2],即m∈[-2,2].故选A.
命题角度2　根据函数的极值或最值求参数
答案 A　
思想方法等价转化思想在解决极值与最值问题中的应用
利用导数研究函数的极值与最值问题,多与“参数处理”问题有关,解决这类问题时,基本策略是等价转化,通过对问题的不断转化进行求解.
(1)函数f(x)在某一区间上有极值(点),可转化为方程f'(x)=0有满足某种条件的解.
(2)求函数的极值、最值问题,可转化为研究函数的单调性问题.
(3)求函数的极值、最值问题,可转化为解方程、不等式问题,而某些方程有解、不等式有解、不等式恒成立问题则可转化为研究函数的最值问题.
对点练7
(2021·天津和平区月考)已知f(x)=(x2+2x+a)ex,若f(x)存在极小值,则实数a的取值范围是　　　　　.
答案 (-∞,2)　
解析 由题意得f'(x)=(2x+2)ex+(x2+2x+a)ex=ex(x2+4x+a+2),若f(x)存在极小值,则方程f'(x)=0有两个不相等的实根,即方程x2+4x+a+2=0有两个不相等的实根,所以Δ=16-4(a+2)>0,解得a<2,所以实数a的取值范围是(-∞,2).
名师点析根据函数极值情况求参数取值范围的方法
(1)若函数f(x)在区间I上有极值点,则f'(x)在区间I上有变号零点,亦即方程f'(x)=0有满足相应条件的实数根,从而可转化为方程有解问题,也可转化为直线与曲线的交点问题进行求解.
(2)若问题与极大值、极小值有关,则应将极值用极值点表示出来,充分利用极值点满足的条件对代数式进行转化整理,特别注意一元二次方程根与系数关系的运用,将极值点消去,保留参数,然后再进行求解.
(3)若问题经转化后,需要确定一个代数式的最值或范围,则往往需要构造函数,转化为函数的最值,借助导数解决.
对点练8
(2021·江西上饶模拟)已知函数f(x)=x2-1+aln(1-x)(a∈R).
(1)当a=2时,求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;
(2)若f(x)存在两个极值点x1,x2(x1mx2,求实数m的取值范围.
解 (1)由题意当a=2时,f(x)=x2-1+2ln(1-x),
所以f'(x)=2x- ,因此所求切线斜率k=f'(0)=-2.
又f(0)=-1,所以所求切线方程是y+1=-2x,即2x+y+1=0.