北师大新版九年级（下）《第1章 直角三角形的边角关系》常考题套卷（1）（word版、含解析）
文档属性
| 名称 | 北师大新版九年级（下）《第1章 直角三角形的边角关系》常考题套卷（1）（word版、含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 557.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-05-15 21:32:59 | ||
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文档简介
北师大新版九年级（下）《第1章 直角三角形的边角关系》常考题套卷（1）
一、选择题（共10小题）
1．若锐角α满足cosα＜且tanα＜，则α的范围是（ ）
A．30°＜α＜45° B．45°＜α＜60° C．60°＜α＜90° D．30°＜α＜60°
2．如图，一把梯子靠在垂直水平地面的墙上，梯子AB的长是3米．若梯子与地面的夹角为α，则梯子顶端到地面的距离BC为（ ）
A．3sinα米 B．3cosα米 C．米 D．米
3．如图，小亮为了测量校园里教学楼AB的高度，将测角仪CD竖直放置在与教学楼水平距离为18m的地面上，若测角仪的高度是1.5m．测得教学楼的顶部A处的仰角为30°．则教学楼的高度是（ ）
A．55.5m B．54m C．19.5m D．18m
4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，则下列式子一定成立的是（ ）
A．sinA＝sinB B．cosA＝cosB C．tanA＝tanB D．sinA＝cosB
5．已知sinA＝0.9816，运用科学计算器求锐角A时（在开机状态下），按下的第一个键是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，△ABC的三个顶点均在格点上，则cosA的值为（ ）
A． B． C．2 D．
7．如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行30km至B港，然后再沿北偏西40°方向航行至C港，C港在A港北偏东20°方向，则A，C两港之间的距离为（ ）km．
A．30+30 B．30+10 C．10+30 D．30
8．如图，在平面直角坐标系中，点M的坐标为M（，2），那么cosα的值是（ ）
A． B． C． D．
9．如图是拦水坝的横断面，堤高BC为6米，斜面坡度为1：2，则斜坡AB的长为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．24米
10．在△ABC中，已知∠A、∠B均为锐角，且有|tan2B﹣3|+（2sinA﹣）2＝0，则△ABC是（ ）
A．等边三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．钝角三角形
二、填空题（共10小题）
11．如图，坡面CD的坡比为，坡顶的平地BC上有一棵小树AB，当太阳光线与水平线夹角成60°时，测得小树的在坡顶平地上的树影BC＝3米，斜坡上的树影CD＝米，则小树AB的高是 ．
12．正方形网格中，∠AOB如图放置，则tan∠AOB的值为 ．
13．在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则tanB＝ ．
14．2cos30°＝ ．
15．在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为BC上一点，∠DAC＝30°，BD＝2，，则AC的长是 ．
16．如图所示的网格是正方形网格，则∠AOB ∠COD．（填“＞”，“＝”或“＜”）
17．如图，一根竖直的木杆在离地面3.1m处折断，木杆顶端落在地面上，且与地面成38°角，则木杆折断之前高度约为 m．
（参考数据：sin38°≈0.62，cos38°≈0.79，tan38°≈0.78）
18．某轮船由西向东航行，在A处测得小岛P的方位是北偏东75°，又继续航行7海里后，在B处测得小岛P的方位是北偏东60°，则此时轮船与小岛P的距离BP＝ 海里．
19．如图，某校教学楼AC与实验楼BD的水平间距CD＝15米，在实验楼顶部B点测得教学楼顶部A点的仰角是30°，底部C点的俯角是45°，则教学楼AC的高度是 米（结果保留根号）．
20．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则tanA＝ ．
三、解答题（共10小题）
21．计算：2cos245°+tan60° tan30°﹣cos60°
22．图1是一辆在平地上滑行的滑板车，图2是其示意图．已知车杆AB长92cm，车杆与脚踏板所成的角∠ABC＝70°，前后轮子的半径均为6cm，求把手A离地面的高度（结果保留小数点后一位；参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）．
23．如图，某高速公路设计中需要测量某条江的宽度AB，测量人员使用无人机测量，在C处测得A，B两点的俯角分别为45°和30°．若无人机离地面的高度CD为1200米，且点A，B，D在同一水平直线上，求这条江的宽度AB长（结果保留根号）．
24．计算：4sin30°﹣cos45°﹣tan30°+2sin60°
25．如图，某市郊外景区内一条笔直的公路l经过A、B两个景点，景区管委会又开发了风景优美的景点C．经测量，C位于A的北偏东60°的方向上，C位于B的北偏东30°的方向上，且AB＝10km．
（1）求景点B与C的距离；
（2）求景点A与C的距离．（结果保留根号）
26．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，若AD＝6．tanC＝，BC＝12，求cosB的值．
27．如图，兰兰站在河岸上的G点，看见河里有一只小船沿垂直于岸边的方向划过来，此时，测得小船C的俯角是∠FDC＝30°，若兰兰的眼睛与地面的距离是1.5米，BG＝1米，BG平行于AC所在的直线，迎水坡的坡度i＝4：3，坡高BE＝8米，求小船C到岸边的距离CA的长？（参考数据：≈1.7，结果保留一位小数）
28．如图，某地有甲、乙两栋建筑物，小明于乙楼楼顶A点处看甲楼楼底D点处的俯角为45°，走到乙楼B点处看甲楼楼顶E点处的俯角为30°，已知AB＝6m，DE＝10m．求乙楼的高度AC的长．（参考数据：≈1.41，≈1.73，精确到0.1m．）
29．图1是某小型汽车的侧面示意图，其中矩形ABCD表示该车的后备箱，在打开后备箱的过程中，箱盖ADE可以绕点A逆时针方向旋转，当旋转角为60°时，箱盖ADE落在AD′E′的位置（如图2所示）．已知AD＝90厘米，DE＝30厘米，EC＝40厘米．
（1）求点D′到BC的距离；
（2）求E、E′两点的距离．
30．如图，台风中心位于点P，并沿东北方向PQ移动，已知台风移动的速度为30千米/时，受影响区域的半径为200千米，B市位于点P的北偏东75°方向上，距离点P点320千米处．
（1）说明本次台风会影响B市；
（2）求这次台风影响B市的时间．
北师大新版九年级（下）《第1章 直角三角形的边角关系》常考题套卷（1）
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题）
1．若锐角α满足cosα＜且tanα＜，则α的范围是（ ）
A．30°＜α＜45° B．45°＜α＜60° C．60°＜α＜90° D．30°＜α＜60°
【解答】解：∵α是锐角，
∴cosα＞0，
∵cosα＜，
∴0＜cosα＜，
又∵cos90°＝0，cos45°＝，
∴45°＜α＜90°；
∵α是锐角，
∴tanα＞0，
∵tanα＜，
∴0＜tanα＜，
又∵tan0°＝0，tan60°＝，
0＜α＜60°；
故45°＜α＜60°．
故选：B．
2．如图，一把梯子靠在垂直水平地面的墙上，梯子AB的长是3米．若梯子与地面的夹角为α，则梯子顶端到地面的距离BC为（ ）
A．3sinα米 B．3cosα米 C．米 D．米
【解答】解：由题意可得：sinα＝＝，
故BC＝3sinα（m）．
故选：A．
3．如图，小亮为了测量校园里教学楼AB的高度，将测角仪CD竖直放置在与教学楼水平距离为18m的地面上，若测角仪的高度是1.5m．测得教学楼的顶部A处的仰角为30°．则教学楼的高度是（ ）
A．55.5m B．54m C．19.5m D．18m
【解答】解：过D作DE⊥AB，
∵在D处测得教学楼的顶部A的仰角为30°，
∴∠ADE＝30°，
∵BC＝DE＝18m，
∴AE＝DE tan30°＝18m，
∴AB＝AE+BE＝AE+CD＝18+1.5＝19.5m，
故选：C．
4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，则下列式子一定成立的是（ ）
A．sinA＝sinB B．cosA＝cosB C．tanA＝tanB D．sinA＝cosB
【解答】解：∵∠C＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∴sinA＝cosB．
故选：D．
5．已知sinA＝0.9816，运用科学计算器求锐角A时（在开机状态下），按下的第一个键是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：∵已知sinA＝0.9816，运用科学计算器求锐角A时（在开机状态下）的按键顺序是：2ndF，sin，0.9816，
∴按下的第一个键是2ndF．
故选：D．
6．如图，△ABC的三个顶点均在格点上，则cosA的值为（ ）
A． B． C．2 D．
【解答】解：过B点作BD⊥AC，如图，
由勾股定理得，
AB＝＝，AC＝＝3，
∴S△ABC＝，
∴BD＝＝，
∴AD＝＝＝2，
cosA＝＝＝，
故选：D．
7．如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行30km至B港，然后再沿北偏西40°方向航行至C港，C港在A港北偏东20°方向，则A，C两港之间的距离为（ ）km．
A．30+30 B．30+10 C．10+30 D．30
【解答】解：根据题意得，∠CAB＝65°﹣20°＝45°，∠ACB＝40°+20°＝60°，AB＝30，
过B作BE⊥AC于E，
∴∠AEB＝∠CEB＝90°，
在Rt△ABE中，∵∠ABE＝45°，AB＝30，
∴AE＝BE＝AB＝30km，
在Rt△CBE中，∵∠ACB＝60°，
∴CE＝BE＝10km，
∴AC＝AE+CE＝30+10，
∴A，C两港之间的距离为（30+10）km，
故选：B．
8．如图，在平面直角坐标系中，点M的坐标为M（，2），那么cosα的值是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：如图，作MH⊥x轴于H．
∵M（，2），
∴OH＝，MH＝2，
∴OM＝＝3，
∴cosα＝＝，
故选：D．
9．如图是拦水坝的横断面，堤高BC为6米，斜面坡度为1：2，则斜坡AB的长为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．24米
【解答】解：∵斜面坡度为1：2，BC＝6m，
∴AC＝12m，
则AB＝（m）．
故选：B．
10．在△ABC中，已知∠A、∠B均为锐角，且有|tan2B﹣3|+（2sinA﹣）2＝0，则△ABC是（ ）
A．等边三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．钝角三角形
【解答】解：由题意得，tan2B﹣3＝0，2sinA﹣＝0，
即tanB＝，sinA＝，
∠B＝60°，∠A＝60°，
则∠C＝180°﹣60°﹣60°＝60°．
故△ABC为等边三角形．
故选：A．
二、填空题（共10小题）
11．如图，坡面CD的坡比为，坡顶的平地BC上有一棵小树AB，当太阳光线与水平线夹角成60°时，测得小树的在坡顶平地上的树影BC＝3米，斜坡上的树影CD＝米，则小树AB的高是 米 ．
【解答】解：由已知得Rt△AFD，Rt△CED，如图，且得：∠ADF＝60°，FE＝BC，BF＝CE，
在Rt△CED中，设CE＝x，由坡面CD的坡比为，得：
DE＝x，则根据勾股定理得：
x2+＝，
得x＝±，﹣不合题意舍去，
所以，CE＝米，则，ED＝米，
那么，FD＝FE+ED＝BC+ED＝3+＝米，
在Rt△AFD中，由三角函数得：
＝tan∠ADF，
∴AF＝FD tan60°＝×＝米，
∴AB＝AF﹣BF＝AF﹣CE＝﹣＝4米，
故答案为：4米．
12．正方形网格中，∠AOB如图放置，则tan∠AOB的值为 2 ．
【解答】解：tan∠AOB＝＝2，
故答案为：2．
13．在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则tanB＝ ．
【解答】解：∵sinA＝＝，
∴设BC＝4x，AB＝5x，
由勾股定理得：AC＝＝3x，
∴tanB＝＝＝，
故答案为：．
14．2cos30°＝ ．
【解答】解：原式＝．
故答案为：．
15．在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为BC上一点，∠DAC＝30°，BD＝2，，则AC的长是 ．
【解答】解：设CD＝x，则AC＝＝x，
∵AC2+BC2＝AB2，AC2+（CD+BD）2＝AB2，
∴（ x）2+（x+2）2＝（2 ）2，
解得，x＝1，∴AC＝．
故答案为．
16．如图所示的网格是正方形网格，则∠AOB ＝ ∠COD．（填“＞”，“＝”或“＜”）
【解答】解：根据题意可知tan∠AOB＝2，tan∠COD＝2，
∴∠AOB＝∠COD，
故答案为：＝
17．如图，一根竖直的木杆在离地面3.1m处折断，木杆顶端落在地面上，且与地面成38°角，则木杆折断之前高度约为 8.1 m．
（参考数据：sin38°≈0.62，cos38°≈0.79，tan38°≈0.78）
【解答】解：如图：AC＝3.1m，∠B＝38°，
∴AB＝＝，
∴木杆折断之前高度＝AC+AB＝3.1+5＝8.1（m）
故答案为8.1
18．某轮船由西向东航行，在A处测得小岛P的方位是北偏东75°，又继续航行7海里后，在B处测得小岛P的方位是北偏东60°，则此时轮船与小岛P的距离BP＝ 7 海里．
【解答】解：过P作PD⊥AB于点D．
∵∠PBD＝90°﹣60°＝30°
且∠PBD＝∠PAB+∠APB，∠PAB＝90﹣75＝15°
∴∠PAB＝∠APB
∴BP＝AB＝7（海里）
故答案是：7．
19．如图，某校教学楼AC与实验楼BD的水平间距CD＝15米，在实验楼顶部B点测得教学楼顶部A点的仰角是30°，底部C点的俯角是45°，则教学楼AC的高度是 （15+15） 米（结果保留根号）．
【解答】解：过点B作BE⊥AB于点E，
在Rt△BEC中，∠CBE＝45°，BE＝15；可得CE＝BE×tan45°＝15米．
在Rt△ABE中，∠ABE＝30°，BE＝15，可得AE＝BE×tan30°＝15米．
故教学楼AC的高度是AC＝15米．
答：教学楼AC的高度是（15）米．
20．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则tanA＝ ．
【解答】解：由sinA＝＝知，可设a＝3x，则c＝5x，b＝4x．
∴tanA＝＝＝．
三、解答题（共10小题）
21．计算：2cos245°+tan60° tan30°﹣cos60°
【解答】解：原式＝2×（）2+×﹣
＝1+1﹣
＝．
22．图1是一辆在平地上滑行的滑板车，图2是其示意图．已知车杆AB长92cm，车杆与脚踏板所成的角∠ABC＝70°，前后轮子的半径均为6cm，求把手A离地面的高度（结果保留小数点后一位；参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）．
【解答】解：过点A作AD⊥BC于点D，延长AD交地面于点E，
∵sin∠ABD＝，
∴AD≈92×0.94＝86.48cm，
∵DE＝6cm，
∴AE＝AD+DE＝92.5cm，
∴把手A离地面的高度为92.5cm．
23．如图，某高速公路设计中需要测量某条江的宽度AB，测量人员使用无人机测量，在C处测得A，B两点的俯角分别为45°和30°．若无人机离地面的高度CD为1200米，且点A，B，D在同一水平直线上，求这条江的宽度AB长（结果保留根号）．
【解答】解：如图，∵CE∥DB，
∴∠CAD＝∠ACE＝45°，∠CBD＝∠BCE＝30°．
在Rt△ACD中，∵∠CAD＝45°，
∴AD＝CD＝1200米，
在Rt△DCB中，∵tan∠CBD＝，
∴BD＝＝＝1200（米）．
∴AB＝BD﹣AD＝1200﹣1200＝1200（﹣1）米．
故这条江的宽度AB长为1200（﹣1）米．
24．计算：4sin30°﹣cos45°﹣tan30°+2sin60°
【解答】解：4sin30°﹣cos45°﹣tan30°+2sin60°
＝4×﹣×﹣×+2×
＝2﹣1﹣1+
＝．
25．如图，某市郊外景区内一条笔直的公路l经过A、B两个景点，景区管委会又开发了风景优美的景点C．经测量，C位于A的北偏东60°的方向上，C位于B的北偏东30°的方向上，且AB＝10km．
（1）求景点B与C的距离；
（2）求景点A与C的距离．（结果保留根号）
【解答】解：（1）过点C作CD⊥直线l，垂足为D，如图所示．
根据题意，得：∠CAD＝30°，∠CBD＝60°．
设CD＝xkm．
在Rt△ACD中，cot∠CAD＝＝，
∴AD＝xkm；
在Rt△BCD中，cot∠CBD＝＝，sin∠CBD＝＝，
∴BD＝xkm，BC＝xkm．
∴AB＝AD﹣BD＝x＝10，
∴x＝5，
∴BC＝x＝10km．
（2）在Rt△ACD中，sin∠CAD＝＝，
∴AC＝2CD＝10km．
26．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，若AD＝6．tanC＝，BC＝12，求cosB的值．
【解答】解：∵tanC＝＝＝，
∴CD＝4．
∴BD＝12﹣4＝8．
在Rt△ABD中，
AB＝
＝10．
∴cosB＝＝．
27．如图，兰兰站在河岸上的G点，看见河里有一只小船沿垂直于岸边的方向划过来，此时，测得小船C的俯角是∠FDC＝30°，若兰兰的眼睛与地面的距离是1.5米，BG＝1米，BG平行于AC所在的直线，迎水坡的坡度i＝4：3，坡高BE＝8米，求小船C到岸边的距离CA的长？（参考数据：≈1.7，结果保留一位小数）
【解答】解：过点B作BE⊥AC于点E，延长DG交CA于点H，得Rt△ABE和矩形BEHG．
i＝＝，
∵BE＝8米，AE＝6米，DG＝1.5米，BG＝1米，
∴DH＝DG+GH＝1.5+8＝9.5（米），
AH＝AE+EH＝6+1＝7（米）．
在Rt△CDH中，
∵∠C＝∠FDC＝30°，DH＝9.5米，tan30°＝，
∴CH＝9.5（米）．
又∵CH＝CA+7，
即9.5＝CA+7，
∴CA≈9.15≈9.2（米）．
答：CA的长约是9.2米．
28．如图，某地有甲、乙两栋建筑物，小明于乙楼楼顶A点处看甲楼楼底D点处的俯角为45°，走到乙楼B点处看甲楼楼顶E点处的俯角为30°，已知AB＝6m，DE＝10m．求乙楼的高度AC的长．（参考数据：≈1.41，≈1.73，精确到0.1m．）
【解答】解：如图，过点E作EF⊥AC于F，则四边形CDEF为矩形，
∴EF＝CD，CF＝DE＝10m，
设AC＝xm，则CD＝EF＝xm，BF＝（x﹣16）m，
在Rt△BEF中，∠EBF＝60°，tan∠EBF＝，
∴＝，
∴x＝24+8≈37.8m
答：乙楼的高度AC的长约为37.8m．
29．图1是某小型汽车的侧面示意图，其中矩形ABCD表示该车的后备箱，在打开后备箱的过程中，箱盖ADE可以绕点A逆时针方向旋转，当旋转角为60°时，箱盖ADE落在AD′E′的位置（如图2所示）．已知AD＝90厘米，DE＝30厘米，EC＝40厘米．
（1）求点D′到BC的距离；
（2）求E、E′两点的距离．
【解答】解：（1）过点D′作D′H⊥BC，垂足为点H，交AD于点F，如图3所示．
由题意，得：AD′＝AD＝90厘米，∠DAD′＝60°．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠AFD′＝∠BHD′＝90°．
在Rt△AD′F中，D′F＝AD′ sin∠DAD′＝90×sin60°＝45厘米．
又∵CE＝40厘米，DE＝30厘米，
∴FH＝DC＝DE+CE＝70厘米，
∴D′H＝D′F+FH＝（45+70）厘米．
答：点D′到BC的距离为（45+70）厘米．
（2）连接AE，AE′，EE′，如图4所示．
由题意，得：AE′＝AE，∠EAE′＝60°，
∴△AEE′是等边三角形，
∴EE′＝AE．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADE＝90°．
在Rt△ADE中，AD＝90厘米，DE＝30厘米，
∴AE＝＝30厘米，
∴EE′＝30厘米．
答：E、E′两点的距离是30厘米．
30．如图，台风中心位于点P，并沿东北方向PQ移动，已知台风移动的速度为30千米/时，受影响区域的半径为200千米，B市位于点P的北偏东75°方向上，距离点P点320千米处．
（1）说明本次台风会影响B市；
（2）求这次台风影响B市的时间．
【解答】（1）如图所示：
∵台风中心位于点P，并沿东北方向PQ移动，B市位于点P的北偏东75°方向上，
∴∠QPG＝45°，∠NPB＝75°，∠BPG＝15°，
∴∠BPQ＝30°
作BH⊥PQ于点H，在Rt△BHP中，由条件知，PB＝320，
得 BH＝320sin30°＝160＜200，
∴本次台风会影响B市．
（2）如图，若台风中心移动到P1时，台风开始影响B市，台风中心移动到P2时，台风影响结束．由（1）得BH＝160，由条件得BP1＝BP2＝200，
∴P1P2＝2＝240，
∴台风影响的时间t＝＝8（小时）．
第1页（共3页）
一、选择题（共10小题）
1．若锐角α满足cosα＜且tanα＜，则α的范围是（ ）
A．30°＜α＜45° B．45°＜α＜60° C．60°＜α＜90° D．30°＜α＜60°
2．如图，一把梯子靠在垂直水平地面的墙上，梯子AB的长是3米．若梯子与地面的夹角为α，则梯子顶端到地面的距离BC为（ ）
A．3sinα米 B．3cosα米 C．米 D．米
3．如图，小亮为了测量校园里教学楼AB的高度，将测角仪CD竖直放置在与教学楼水平距离为18m的地面上，若测角仪的高度是1.5m．测得教学楼的顶部A处的仰角为30°．则教学楼的高度是（ ）
A．55.5m B．54m C．19.5m D．18m
4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，则下列式子一定成立的是（ ）
A．sinA＝sinB B．cosA＝cosB C．tanA＝tanB D．sinA＝cosB
5．已知sinA＝0.9816，运用科学计算器求锐角A时（在开机状态下），按下的第一个键是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，△ABC的三个顶点均在格点上，则cosA的值为（ ）
A． B． C．2 D．
7．如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行30km至B港，然后再沿北偏西40°方向航行至C港，C港在A港北偏东20°方向，则A，C两港之间的距离为（ ）km．
A．30+30 B．30+10 C．10+30 D．30
8．如图，在平面直角坐标系中，点M的坐标为M（，2），那么cosα的值是（ ）
A． B． C． D．
9．如图是拦水坝的横断面，堤高BC为6米，斜面坡度为1：2，则斜坡AB的长为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．24米
10．在△ABC中，已知∠A、∠B均为锐角，且有|tan2B﹣3|+（2sinA﹣）2＝0，则△ABC是（ ）
A．等边三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．钝角三角形
二、填空题（共10小题）
11．如图，坡面CD的坡比为，坡顶的平地BC上有一棵小树AB，当太阳光线与水平线夹角成60°时，测得小树的在坡顶平地上的树影BC＝3米，斜坡上的树影CD＝米，则小树AB的高是 ．
12．正方形网格中，∠AOB如图放置，则tan∠AOB的值为 ．
13．在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则tanB＝ ．
14．2cos30°＝ ．
15．在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为BC上一点，∠DAC＝30°，BD＝2，，则AC的长是 ．
16．如图所示的网格是正方形网格，则∠AOB ∠COD．（填“＞”，“＝”或“＜”）
17．如图，一根竖直的木杆在离地面3.1m处折断，木杆顶端落在地面上，且与地面成38°角，则木杆折断之前高度约为 m．
（参考数据：sin38°≈0.62，cos38°≈0.79，tan38°≈0.78）
18．某轮船由西向东航行，在A处测得小岛P的方位是北偏东75°，又继续航行7海里后，在B处测得小岛P的方位是北偏东60°，则此时轮船与小岛P的距离BP＝ 海里．
19．如图，某校教学楼AC与实验楼BD的水平间距CD＝15米，在实验楼顶部B点测得教学楼顶部A点的仰角是30°，底部C点的俯角是45°，则教学楼AC的高度是 米（结果保留根号）．
20．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则tanA＝ ．
三、解答题（共10小题）
21．计算：2cos245°+tan60° tan30°﹣cos60°
22．图1是一辆在平地上滑行的滑板车，图2是其示意图．已知车杆AB长92cm，车杆与脚踏板所成的角∠ABC＝70°，前后轮子的半径均为6cm，求把手A离地面的高度（结果保留小数点后一位；参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）．
23．如图，某高速公路设计中需要测量某条江的宽度AB，测量人员使用无人机测量，在C处测得A，B两点的俯角分别为45°和30°．若无人机离地面的高度CD为1200米，且点A，B，D在同一水平直线上，求这条江的宽度AB长（结果保留根号）．
24．计算：4sin30°﹣cos45°﹣tan30°+2sin60°
25．如图，某市郊外景区内一条笔直的公路l经过A、B两个景点，景区管委会又开发了风景优美的景点C．经测量，C位于A的北偏东60°的方向上，C位于B的北偏东30°的方向上，且AB＝10km．
（1）求景点B与C的距离；
（2）求景点A与C的距离．（结果保留根号）
26．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，若AD＝6．tanC＝，BC＝12，求cosB的值．
27．如图，兰兰站在河岸上的G点，看见河里有一只小船沿垂直于岸边的方向划过来，此时，测得小船C的俯角是∠FDC＝30°，若兰兰的眼睛与地面的距离是1.5米，BG＝1米，BG平行于AC所在的直线，迎水坡的坡度i＝4：3，坡高BE＝8米，求小船C到岸边的距离CA的长？（参考数据：≈1.7，结果保留一位小数）
28．如图，某地有甲、乙两栋建筑物，小明于乙楼楼顶A点处看甲楼楼底D点处的俯角为45°，走到乙楼B点处看甲楼楼顶E点处的俯角为30°，已知AB＝6m，DE＝10m．求乙楼的高度AC的长．（参考数据：≈1.41，≈1.73，精确到0.1m．）
29．图1是某小型汽车的侧面示意图，其中矩形ABCD表示该车的后备箱，在打开后备箱的过程中，箱盖ADE可以绕点A逆时针方向旋转，当旋转角为60°时，箱盖ADE落在AD′E′的位置（如图2所示）．已知AD＝90厘米，DE＝30厘米，EC＝40厘米．
（1）求点D′到BC的距离；
（2）求E、E′两点的距离．
30．如图，台风中心位于点P，并沿东北方向PQ移动，已知台风移动的速度为30千米/时，受影响区域的半径为200千米，B市位于点P的北偏东75°方向上，距离点P点320千米处．
（1）说明本次台风会影响B市；
（2）求这次台风影响B市的时间．
北师大新版九年级（下）《第1章 直角三角形的边角关系》常考题套卷（1）
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题）
1．若锐角α满足cosα＜且tanα＜，则α的范围是（ ）
A．30°＜α＜45° B．45°＜α＜60° C．60°＜α＜90° D．30°＜α＜60°
【解答】解：∵α是锐角，
∴cosα＞0，
∵cosα＜，
∴0＜cosα＜，
又∵cos90°＝0，cos45°＝，
∴45°＜α＜90°；
∵α是锐角，
∴tanα＞0，
∵tanα＜，
∴0＜tanα＜，
又∵tan0°＝0，tan60°＝，
0＜α＜60°；
故45°＜α＜60°．
故选：B．
2．如图，一把梯子靠在垂直水平地面的墙上，梯子AB的长是3米．若梯子与地面的夹角为α，则梯子顶端到地面的距离BC为（ ）
A．3sinα米 B．3cosα米 C．米 D．米
【解答】解：由题意可得：sinα＝＝，
故BC＝3sinα（m）．
故选：A．
3．如图，小亮为了测量校园里教学楼AB的高度，将测角仪CD竖直放置在与教学楼水平距离为18m的地面上，若测角仪的高度是1.5m．测得教学楼的顶部A处的仰角为30°．则教学楼的高度是（ ）
A．55.5m B．54m C．19.5m D．18m
【解答】解：过D作DE⊥AB，
∵在D处测得教学楼的顶部A的仰角为30°，
∴∠ADE＝30°，
∵BC＝DE＝18m，
∴AE＝DE tan30°＝18m，
∴AB＝AE+BE＝AE+CD＝18+1.5＝19.5m，
故选：C．
4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，则下列式子一定成立的是（ ）
A．sinA＝sinB B．cosA＝cosB C．tanA＝tanB D．sinA＝cosB
【解答】解：∵∠C＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∴sinA＝cosB．
故选：D．
5．已知sinA＝0.9816，运用科学计算器求锐角A时（在开机状态下），按下的第一个键是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：∵已知sinA＝0.9816，运用科学计算器求锐角A时（在开机状态下）的按键顺序是：2ndF，sin，0.9816，
∴按下的第一个键是2ndF．
故选：D．
6．如图，△ABC的三个顶点均在格点上，则cosA的值为（ ）
A． B． C．2 D．
【解答】解：过B点作BD⊥AC，如图，
由勾股定理得，
AB＝＝，AC＝＝3，
∴S△ABC＝，
∴BD＝＝，
∴AD＝＝＝2，
cosA＝＝＝，
故选：D．
7．如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行30km至B港，然后再沿北偏西40°方向航行至C港，C港在A港北偏东20°方向，则A，C两港之间的距离为（ ）km．
A．30+30 B．30+10 C．10+30 D．30
【解答】解：根据题意得，∠CAB＝65°﹣20°＝45°，∠ACB＝40°+20°＝60°，AB＝30，
过B作BE⊥AC于E，
∴∠AEB＝∠CEB＝90°，
在Rt△ABE中，∵∠ABE＝45°，AB＝30，
∴AE＝BE＝AB＝30km，
在Rt△CBE中，∵∠ACB＝60°，
∴CE＝BE＝10km，
∴AC＝AE+CE＝30+10，
∴A，C两港之间的距离为（30+10）km，
故选：B．
8．如图，在平面直角坐标系中，点M的坐标为M（，2），那么cosα的值是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：如图，作MH⊥x轴于H．
∵M（，2），
∴OH＝，MH＝2，
∴OM＝＝3，
∴cosα＝＝，
故选：D．
9．如图是拦水坝的横断面，堤高BC为6米，斜面坡度为1：2，则斜坡AB的长为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．24米
【解答】解：∵斜面坡度为1：2，BC＝6m，
∴AC＝12m，
则AB＝（m）．
故选：B．
10．在△ABC中，已知∠A、∠B均为锐角，且有|tan2B﹣3|+（2sinA﹣）2＝0，则△ABC是（ ）
A．等边三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．钝角三角形
【解答】解：由题意得，tan2B﹣3＝0，2sinA﹣＝0，
即tanB＝，sinA＝，
∠B＝60°，∠A＝60°，
则∠C＝180°﹣60°﹣60°＝60°．
故△ABC为等边三角形．
故选：A．
二、填空题（共10小题）
11．如图，坡面CD的坡比为，坡顶的平地BC上有一棵小树AB，当太阳光线与水平线夹角成60°时，测得小树的在坡顶平地上的树影BC＝3米，斜坡上的树影CD＝米，则小树AB的高是 米 ．
【解答】解：由已知得Rt△AFD，Rt△CED，如图，且得：∠ADF＝60°，FE＝BC，BF＝CE，
在Rt△CED中，设CE＝x，由坡面CD的坡比为，得：
DE＝x，则根据勾股定理得：
x2+＝，
得x＝±，﹣不合题意舍去，
所以，CE＝米，则，ED＝米，
那么，FD＝FE+ED＝BC+ED＝3+＝米，
在Rt△AFD中，由三角函数得：
＝tan∠ADF，
∴AF＝FD tan60°＝×＝米，
∴AB＝AF﹣BF＝AF﹣CE＝﹣＝4米，
故答案为：4米．
12．正方形网格中，∠AOB如图放置，则tan∠AOB的值为 2 ．
【解答】解：tan∠AOB＝＝2，
故答案为：2．
13．在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则tanB＝ ．
【解答】解：∵sinA＝＝，
∴设BC＝4x，AB＝5x，
由勾股定理得：AC＝＝3x，
∴tanB＝＝＝，
故答案为：．
14．2cos30°＝ ．
【解答】解：原式＝．
故答案为：．
15．在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为BC上一点，∠DAC＝30°，BD＝2，，则AC的长是 ．
【解答】解：设CD＝x，则AC＝＝x，
∵AC2+BC2＝AB2，AC2+（CD+BD）2＝AB2，
∴（ x）2+（x+2）2＝（2 ）2，
解得，x＝1，∴AC＝．
故答案为．
16．如图所示的网格是正方形网格，则∠AOB ＝ ∠COD．（填“＞”，“＝”或“＜”）
【解答】解：根据题意可知tan∠AOB＝2，tan∠COD＝2，
∴∠AOB＝∠COD，
故答案为：＝
17．如图，一根竖直的木杆在离地面3.1m处折断，木杆顶端落在地面上，且与地面成38°角，则木杆折断之前高度约为 8.1 m．
（参考数据：sin38°≈0.62，cos38°≈0.79，tan38°≈0.78）
【解答】解：如图：AC＝3.1m，∠B＝38°，
∴AB＝＝，
∴木杆折断之前高度＝AC+AB＝3.1+5＝8.1（m）
故答案为8.1
18．某轮船由西向东航行，在A处测得小岛P的方位是北偏东75°，又继续航行7海里后，在B处测得小岛P的方位是北偏东60°，则此时轮船与小岛P的距离BP＝ 7 海里．
【解答】解：过P作PD⊥AB于点D．
∵∠PBD＝90°﹣60°＝30°
且∠PBD＝∠PAB+∠APB，∠PAB＝90﹣75＝15°
∴∠PAB＝∠APB
∴BP＝AB＝7（海里）
故答案是：7．
19．如图，某校教学楼AC与实验楼BD的水平间距CD＝15米，在实验楼顶部B点测得教学楼顶部A点的仰角是30°，底部C点的俯角是45°，则教学楼AC的高度是 （15+15） 米（结果保留根号）．
【解答】解：过点B作BE⊥AB于点E，
在Rt△BEC中，∠CBE＝45°，BE＝15；可得CE＝BE×tan45°＝15米．
在Rt△ABE中，∠ABE＝30°，BE＝15，可得AE＝BE×tan30°＝15米．
故教学楼AC的高度是AC＝15米．
答：教学楼AC的高度是（15）米．
20．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则tanA＝ ．
【解答】解：由sinA＝＝知，可设a＝3x，则c＝5x，b＝4x．
∴tanA＝＝＝．
三、解答题（共10小题）
21．计算：2cos245°+tan60° tan30°﹣cos60°
【解答】解：原式＝2×（）2+×﹣
＝1+1﹣
＝．
22．图1是一辆在平地上滑行的滑板车，图2是其示意图．已知车杆AB长92cm，车杆与脚踏板所成的角∠ABC＝70°，前后轮子的半径均为6cm，求把手A离地面的高度（结果保留小数点后一位；参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）．
【解答】解：过点A作AD⊥BC于点D，延长AD交地面于点E，
∵sin∠ABD＝，
∴AD≈92×0.94＝86.48cm，
∵DE＝6cm，
∴AE＝AD+DE＝92.5cm，
∴把手A离地面的高度为92.5cm．
23．如图，某高速公路设计中需要测量某条江的宽度AB，测量人员使用无人机测量，在C处测得A，B两点的俯角分别为45°和30°．若无人机离地面的高度CD为1200米，且点A，B，D在同一水平直线上，求这条江的宽度AB长（结果保留根号）．
【解答】解：如图，∵CE∥DB，
∴∠CAD＝∠ACE＝45°，∠CBD＝∠BCE＝30°．
在Rt△ACD中，∵∠CAD＝45°，
∴AD＝CD＝1200米，
在Rt△DCB中，∵tan∠CBD＝，
∴BD＝＝＝1200（米）．
∴AB＝BD﹣AD＝1200﹣1200＝1200（﹣1）米．
故这条江的宽度AB长为1200（﹣1）米．
24．计算：4sin30°﹣cos45°﹣tan30°+2sin60°
【解答】解：4sin30°﹣cos45°﹣tan30°+2sin60°
＝4×﹣×﹣×+2×
＝2﹣1﹣1+
＝．
25．如图，某市郊外景区内一条笔直的公路l经过A、B两个景点，景区管委会又开发了风景优美的景点C．经测量，C位于A的北偏东60°的方向上，C位于B的北偏东30°的方向上，且AB＝10km．
（1）求景点B与C的距离；
（2）求景点A与C的距离．（结果保留根号）
【解答】解：（1）过点C作CD⊥直线l，垂足为D，如图所示．
根据题意，得：∠CAD＝30°，∠CBD＝60°．
设CD＝xkm．
在Rt△ACD中，cot∠CAD＝＝，
∴AD＝xkm；
在Rt△BCD中，cot∠CBD＝＝，sin∠CBD＝＝，
∴BD＝xkm，BC＝xkm．
∴AB＝AD﹣BD＝x＝10，
∴x＝5，
∴BC＝x＝10km．
（2）在Rt△ACD中，sin∠CAD＝＝，
∴AC＝2CD＝10km．
26．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，若AD＝6．tanC＝，BC＝12，求cosB的值．
【解答】解：∵tanC＝＝＝，
∴CD＝4．
∴BD＝12﹣4＝8．
在Rt△ABD中，
AB＝
＝10．
∴cosB＝＝．
27．如图，兰兰站在河岸上的G点，看见河里有一只小船沿垂直于岸边的方向划过来，此时，测得小船C的俯角是∠FDC＝30°，若兰兰的眼睛与地面的距离是1.5米，BG＝1米，BG平行于AC所在的直线，迎水坡的坡度i＝4：3，坡高BE＝8米，求小船C到岸边的距离CA的长？（参考数据：≈1.7，结果保留一位小数）
【解答】解：过点B作BE⊥AC于点E，延长DG交CA于点H，得Rt△ABE和矩形BEHG．
i＝＝，
∵BE＝8米，AE＝6米，DG＝1.5米，BG＝1米，
∴DH＝DG+GH＝1.5+8＝9.5（米），
AH＝AE+EH＝6+1＝7（米）．
在Rt△CDH中，
∵∠C＝∠FDC＝30°，DH＝9.5米，tan30°＝，
∴CH＝9.5（米）．
又∵CH＝CA+7，
即9.5＝CA+7，
∴CA≈9.15≈9.2（米）．
答：CA的长约是9.2米．
28．如图，某地有甲、乙两栋建筑物，小明于乙楼楼顶A点处看甲楼楼底D点处的俯角为45°，走到乙楼B点处看甲楼楼顶E点处的俯角为30°，已知AB＝6m，DE＝10m．求乙楼的高度AC的长．（参考数据：≈1.41，≈1.73，精确到0.1m．）
【解答】解：如图，过点E作EF⊥AC于F，则四边形CDEF为矩形，
∴EF＝CD，CF＝DE＝10m，
设AC＝xm，则CD＝EF＝xm，BF＝（x﹣16）m，
在Rt△BEF中，∠EBF＝60°，tan∠EBF＝，
∴＝，
∴x＝24+8≈37.8m
答：乙楼的高度AC的长约为37.8m．
29．图1是某小型汽车的侧面示意图，其中矩形ABCD表示该车的后备箱，在打开后备箱的过程中，箱盖ADE可以绕点A逆时针方向旋转，当旋转角为60°时，箱盖ADE落在AD′E′的位置（如图2所示）．已知AD＝90厘米，DE＝30厘米，EC＝40厘米．
（1）求点D′到BC的距离；
（2）求E、E′两点的距离．
【解答】解：（1）过点D′作D′H⊥BC，垂足为点H，交AD于点F，如图3所示．
由题意，得：AD′＝AD＝90厘米，∠DAD′＝60°．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠AFD′＝∠BHD′＝90°．
在Rt△AD′F中，D′F＝AD′ sin∠DAD′＝90×sin60°＝45厘米．
又∵CE＝40厘米，DE＝30厘米，
∴FH＝DC＝DE+CE＝70厘米，
∴D′H＝D′F+FH＝（45+70）厘米．
答：点D′到BC的距离为（45+70）厘米．
（2）连接AE，AE′，EE′，如图4所示．
由题意，得：AE′＝AE，∠EAE′＝60°，
∴△AEE′是等边三角形，
∴EE′＝AE．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADE＝90°．
在Rt△ADE中，AD＝90厘米，DE＝30厘米，
∴AE＝＝30厘米，
∴EE′＝30厘米．
答：E、E′两点的距离是30厘米．
30．如图，台风中心位于点P，并沿东北方向PQ移动，已知台风移动的速度为30千米/时，受影响区域的半径为200千米，B市位于点P的北偏东75°方向上，距离点P点320千米处．
（1）说明本次台风会影响B市；
（2）求这次台风影响B市的时间．
【解答】（1）如图所示：
∵台风中心位于点P，并沿东北方向PQ移动，B市位于点P的北偏东75°方向上，
∴∠QPG＝45°，∠NPB＝75°，∠BPG＝15°，
∴∠BPQ＝30°
作BH⊥PQ于点H，在Rt△BHP中，由条件知，PB＝320，
得 BH＝320sin30°＝160＜200，
∴本次台风会影响B市．
（2）如图，若台风中心移动到P1时，台风开始影响B市，台风中心移动到P2时，台风影响结束．由（1）得BH＝160，由条件得BP1＝BP2＝200，
∴P1P2＝2＝240，
∴台风影响的时间t＝＝8（小时）．
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