北师大新版九年级（下）《第1章 直角三角形的边角关系》常考题套卷（2）（word版、含解析）
文档属性
| 名称 | 北师大新版九年级（下）《第1章 直角三角形的边角关系》常考题套卷（2）（word版、含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 593.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-05-15 21:33:48 | ||
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文档简介
北师大新版九年级（下）《第1章 直角三角形的边角关系》常考题套卷（2）
一、选择题（共10小题）
1．如图，已知一商场自动扶梯的长l为13米，高度h为5米，自动扶梯与地面所成的夹角为θ，则tanθ的值等于（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝26°，BC＝5．若用科学计算器求边AC的长，则下列按键顺序正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知cosA＞，则锐角∠A的取值范围是（ ）
A．0°＜∠A＜30° B．30°＜∠A＜90° C．0°＜∠A＜60° D．60°＜∠A＜90°
4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，设∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，则（ ）
A．c＝bsinB B．b＝csinB C．a＝btanB D．b＝ctanB
5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinB＝，则tanA的值为（ ）
A． B． C． D．
6．“五一”期间，小明和妈妈到某景区游玩，小明想利用所学的数学知识，估测景区里的观景塔DE的高度．他从点D处的观景塔出来走到点A处．沿着斜坡AB从A点走了8米到达B点，此时回望观景塔，更显气势宏伟．在B点观察到观景塔顶端的仰角为45°且AB⊥BE，再往前走到C处，观察到观景塔顶端的仰角30°，测得BC之间的水平距离BC＝10米，则观景塔的高度DE约为（ ）米．（＝1.41，＝1.73）
A．14 B．15 C．19 D．20
7．如图，为了测量一条河流的宽度，一测量员在河岸边相距200米的P、Q两点分别测定对岸一棵树T的位置，T在P的正北方向，且T在Q的北偏西70°方向，则河宽（PT的长）可以表示为（ ）
A．200tan70°米 B．米
C．200sin 70°米 D．米
8．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，其中《方田》章给出计算弧田面积所用公式为：弧田面积＝（弦×矢+矢2），弧田（如图）是由圆弧和其所对的弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长AB，“矢”等于半径长与圆心O到弦的距离之差．在如图所示的弧田中，“弦”为8，“矢”为3，则cos∠OAB＝（ ）
A． B． C． D．
9．在△ABC中，若|sinA﹣|+（﹣cosB）2＝0，∠A，∠B都是锐角，则∠C的度数是（ ）
A．75° B．90° C．105° D．120°
10．如图，在平面直角坐标系xOy中，点P（4，3），OP与x轴正半轴的夹角为α，则tanα的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（共10小题）
11．轮船从B处以每小时50海里的速度沿南偏东30°方向匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏东75°方向上，轮船航行半小时到达C处，在观测灯塔A北偏东60°方向上，则C处与灯塔A的距离是 海里．
12．如图，在8×4的矩形网格中，每个小正方形的边长都是1，若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上，则tan∠ACB的值为 ．
13．在直角三角形ABC中，若2AB＝AC，则cosC＝ ．
14．如图，人字梯AB，AC的长都为2米，当α＝50°时，人字梯顶端离地面的高度AD是 米（结果精确到0.1m．参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）．
15．如图，一人乘雪橇沿坡比1：的斜坡笔直滑下72米，那么他下降的高度为 米．
16．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则tanB的值为 ．
17．如图，在热气球C上测得两建筑物A、B底部的俯角分别为30°和60°．如果这时气球的垂直高度CD为90米．且点A、D、B在同一直线上，则建筑物A、B间的距离为 米．
18．如图，A，B，C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长均为1，则tan∠BAC的值为 ．
19．在△ABC中，∠A、∠B为锐角，且|tanA﹣1|+（﹣cosB）2＝0，则∠C＝ °．
20．已知：实常数a、b、c、d同时满足下列两个等式：①asinθ+bcosθ﹣c＝0；②acosθ﹣bsinθ+d＝0（其中θ为任意锐角），则a、b、c、d之间的关系式是： ．
三、解答题（共10小题）
21．计算：3tan30°+cos245°﹣2sin60°．
22．某品牌太阳能热水器的实物图和横断面示意图如图所示．已知真空集热管DE与支架CB所在直线相交于点O，且OB＝OE；支架BC与水平线AD垂直．AC＝40cm，∠ADE＝30°，DE＝190cm，另一支架AB与水平线夹角∠BAD＝65°，求OB的长度（结果精确到1cm；温馨提示：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14）
23．在“停课不停学”期间，小明用电脑在线上课，图1是他的电脑液晶显示器的侧面图，显示屏AB可以绕O点旋转一定角度．研究表明：当眼睛E与显示屏顶端A在同一水平线上，且望向显示器屏幕形成一个18°俯角（即望向屏幕中心P的视线EP与水平线EA的夹角∠AEP）时，对保护眼睛比较好，而且显示屏顶端A与底座C的连线AC与水平线CD垂直时（如图2）时，观看屏幕最舒适，此时测得∠BCD＝30°，∠APE＝90°，液晶显示屏的宽AB为32cm．
（1）求眼睛E与显示屏顶端A的水平距离AE；（结果精确到1cm）
（2）求显示屏顶端A与底座C的距离AC．（结果精确到1cm）
（参考数据：sin18°≈0.3，cos18°≈0.9，≈1.4，≈1.7）
24．已知．在△ABC中，BC＝AC，∠BCA＝135°，求tanA的值．
25．计算：
（1）2sin30°+3cos60°﹣4tan45°
（2）+tan260°
26．如图，放置在水平桌面上的台灯的灯臂AB长为30cm，灯罩BC长为20cm，底座厚度为2cm，灯臂与底座构成的∠BAD＝60°．使用发现，光线最佳时灯罩BC与水平线所成的角为30°，此时灯罩顶端C到桌面的高度CE是多少cm？（结果精确到0.1cm，参考数据：≈1.732）
27．某高速公路建设中，需要确定隧道AB的长度．已知在离地面1800m高度C处的飞机上，测量人员测得正前方A，B两点处的俯角分别为60°和45°（即∠DCA＝60°，∠DCB＝45°）．求隧道AB的长．（结果保留根号）
28．为了丰富学生的文化生活，学校利用假期组织学生到红色文化基地A和人工智能科技馆C参观学习如图，学校在点B处，A位于学校的东北方向，C位于学校南偏东30°方向，C在A的南偏西15°方向（30+30）km处．学生分成两组，第一组前往A地，第二组前往C地，两组同学同时从学校出发，第一组乘客车，速度是40km/h，第二组乘公交车，速度是30km/h，两组同学到达目的地分别用了多长时间？哪组同学先到达目的地？请说明理由（结果保留根号）．
29．速滑运动受到许多年轻人的喜爱，如图，梯形BCDG是某速滑场馆建造的速滑台，已知CD∥EG，高DG为4米，且坡面BC的坡度为1：1．后来为了提高安全性，决定降低坡度，改造后的新坡面AC的坡度为1：．
（1）求新坡面AC的坡角度数；
（2）原坡面底部BG的正前方10米（EB的长）处是护墙EF，为保证安全，体育管理部门规定，坡面底部至少距护墙7米．请问新的设计方案能否通过，试说明理由．（参考数据：≈1.73）
30．如图①，②分别是某款篮球架的实物图和示意图，已知支架AB的长为2.3m，支架AB与地面的夹角∠BAC＝70°，BE的长为1.5m，篮板部支架BD与水平支架BE的夹角为46°，BC、DE垂直于地面，求篮板顶端D到地面的距离．（结果保留一位小数，参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，sin46°≈0.72，cos46°≈0.69，tan46°≈1.04）
北师大新版九年级（下）《第1章 直角三角形的边角关系》常考题套卷（2）
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题）
1．如图，已知一商场自动扶梯的长l为13米，高度h为5米，自动扶梯与地面所成的夹角为θ，则tanθ的值等于（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：∵商场自动扶梯的长l＝13米，高度h＝5米，
∴m＝＝＝12米，
∴tanθ＝；
故选：A．
2．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝26°，BC＝5．若用科学计算器求边AC的长，则下列按键顺序正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：由tan∠B＝，得
AC＝BC tanB＝5×tan26．
故选：D．
3．已知cosA＞，则锐角∠A的取值范围是（ ）
A．0°＜∠A＜30° B．30°＜∠A＜90° C．0°＜∠A＜60° D．60°＜∠A＜90°
【解答】解：∵cos60°＝，余弦函数随角增大而减小，
∴0°＜∠A＜60°．
故选：C．
4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，设∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，则（ ）
A．c＝bsinB B．b＝csinB C．a＝btanB D．b＝ctanB
【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，
∴sinB＝，即b＝csinB，故A选项不成立，B选项成立；
tanB＝，即b＝atanB，故C选项不成立，D选项不成立．
故选：B．
5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinB＝，则tanA的值为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：由Rt△ABC中，∠C＝90°，sinB＝，得
cosA＝sinB＝．
由sin2A+cos2A＝1，得sinA＝＝，
tanA＝＝＝．
故选：D．
6．“五一”期间，小明和妈妈到某景区游玩，小明想利用所学的数学知识，估测景区里的观景塔DE的高度．他从点D处的观景塔出来走到点A处．沿着斜坡AB从A点走了8米到达B点，此时回望观景塔，更显气势宏伟．在B点观察到观景塔顶端的仰角为45°且AB⊥BE，再往前走到C处，观察到观景塔顶端的仰角30°，测得BC之间的水平距离BC＝10米，则观景塔的高度DE约为（ ）米．（＝1.41，＝1.73）
A．14 B．15 C．19 D．20
【解答】解：作BF⊥DE于F，AH⊥BF于H，
∵∠EBF＝45°，
∴∠ABH＝45°，
∴AH＝BH＝8×＝4，
在Rt△ECF中，tan∠ECF＝，
则CF＝EF，
在Rt△EBF中，∠EBF＝45°，
∴BF＝EF，
由题意得，EF﹣EF＝10，
解得，EF＝5+5，
则DE＝EF+DF＝5+5+4≈19，
故选：C．
7．如图，为了测量一条河流的宽度，一测量员在河岸边相距200米的P、Q两点分别测定对岸一棵树T的位置，T在P的正北方向，且T在Q的北偏西70°方向，则河宽（PT的长）可以表示为（ ）
A．200tan70°米 B．米
C．200sin 70°米 D．米
【解答】解：在Rt△PQT中，
∵∠QPT＝90°，∠PQT＝90°﹣70°＝20°，
∴∠PTQ＝70°，
∴tan70°＝，
∴PT＝＝，
即河宽米，
故选：B．
8．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，其中《方田》章给出计算弧田面积所用公式为：弧田面积＝（弦×矢+矢2），弧田（如图）是由圆弧和其所对的弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长AB，“矢”等于半径长与圆心O到弦的距离之差．在如图所示的弧田中，“弦”为8，“矢”为3，则cos∠OAB＝（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：如图，作OH⊥AB于H．
由题意：AB＝8，OA﹣OH＝3，
∵OH⊥AB，
∴AH＝BH＝4，
∵AH2+OH2＝OA2，
∴42＝（OA+OH）（OA﹣OH），
∴OA+OH＝，
∴OA＝，OH＝，
∴cos∠OAB＝＝＝，
故选：B．
9．在△ABC中，若|sinA﹣|+（﹣cosB）2＝0，∠A，∠B都是锐角，则∠C的度数是（ ）
A．75° B．90° C．105° D．120°
【解答】解：∵|sinA﹣|＝0，（﹣cosB）2＝0，
∴sinA﹣＝0，﹣cosB＝0，
∴sinA＝，＝cosB，
∴∠A＝45°，∠B＝30°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝105°．
故选：C．
10．如图，在平面直角坐标系xOy中，点P（4，3），OP与x轴正半轴的夹角为α，则tanα的值为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：
过P作PN⊥x轴于N，PM⊥y轴于M，则∠PMO＝∠PNO＝90°，
∵x轴⊥y轴，
∴∠MON＝∠PMO＝∠PNO＝90°，
∴四边形MONP是矩形，
∴PM＝ON，PN＝OM，
∵P（4，3），
∴ON＝PM＝4，PN＝3，
∴tanα＝＝，
故选：C．
二、填空题（共10小题）
11．轮船从B处以每小时50海里的速度沿南偏东30°方向匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏东75°方向上，轮船航行半小时到达C处，在观测灯塔A北偏东60°方向上，则C处与灯塔A的距离是 25 海里．
【解答】解：根据题意，得∠1＝∠2＝30°，
∵∠ACD＝60°，
∴∠ACB＝30°+60°＝90°，
∴∠CBA＝75°﹣30°＝45°，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∵BC＝50×0.5＝25，
∴AC＝BC＝25（海里）．
故答案为：25．
12．如图，在8×4的矩形网格中，每个小正方形的边长都是1，若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上，则tan∠ACB的值为 ．
【解答】解：由图形知：tan∠ACB＝＝，
故答案为：．
13．在直角三角形ABC中，若2AB＝AC，则cosC＝ 或 ．
【解答】解：若∠B＝90°，设AB＝x，则AC＝2x，所以BC＝＝x，所以cosC＝＝＝；
若∠A＝90°，设AB＝x，则AC＝2x，所以BC＝＝x，所以cosC＝＝＝；
综上所述，cosC的值为或．
故答案为或．
14．如图，人字梯AB，AC的长都为2米，当α＝50°时，人字梯顶端离地面的高度AD是 1.5 米（结果精确到0.1m．参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）．
【解答】解：∵sinα＝，
∴AD＝AC sinα≈2×0.77≈1.5m，
故答案为：1.5
15．如图，一人乘雪橇沿坡比1：的斜坡笔直滑下72米，那么他下降的高度为 36 米．
【解答】解：因为坡度比为1：，即tanα＝，
∴α＝30°．
则其下降的高度＝72×sin30°＝36（米）．
16．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则tanB的值为 ．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，
∴sinA＝＝，
设a为3k，则c为5k，
根据勾股定理可得：b＝4k，
∴tanB＝＝，
故答案为：．
17．如图，在热气球C上测得两建筑物A、B底部的俯角分别为30°和60°．如果这时气球的垂直高度CD为90米．且点A、D、B在同一直线上，则建筑物A、B间的距离为 120 米．
【解答】解：在直角△ACD中，∠A＝30°，tanA＝，
∴AD＝CD＝90（米）；
同理，BD＝CD＝30（米），
则AB＝AD+BD＝120（米）．
故答案是：120．
18．如图，A，B，C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长均为1，则tan∠BAC的值为 1 ．
【解答】解：连接BC，
由网格可得AB＝BC＝＝，AC＝＝，
∴AB2+BC2＝AC2，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴∠BAC＝45°，
则tan∠BAC＝1，
故答案为：1．
19．在△ABC中，∠A、∠B为锐角，且|tanA﹣1|+（﹣cosB）2＝0，则∠C＝ 75 °．
【解答】解：由题意得，tanA＝1，cosB＝，
则∠A＝45°，∠B＝60°，
则∠C＝180°﹣45°﹣60°＝75°．
故答案为：75．
20．已知：实常数a、b、c、d同时满足下列两个等式：①asinθ+bcosθ﹣c＝0；②acosθ﹣bsinθ+d＝0（其中θ为任意锐角），则a、b、c、d之间的关系式是： a2+b2＝c2+d2 ．
【解答】解：由①得 asinθ+bcosθ＝c，
两边平方，a2sin2θ+b2cos2θ+2absinθcosθ＝c2③
由②得 acosθ﹣bsinθ＝﹣d，
两边平方，a2cos2θ+b2sin2θ﹣2absinθcosθ＝d2④
③+④得
a2（sin2θ+cos2θ）+b2（sin2θ+cos2θ）＝c2+d2
∴a2+b2＝c2+d2．
故答案为：a2+b2＝c2+d2．
三、解答题（共10小题）
21．计算：3tan30°+cos245°﹣2sin60°．
【解答】解：3tan30°+cos245°﹣2sin60°
＝
＝
＝．
22．某品牌太阳能热水器的实物图和横断面示意图如图所示．已知真空集热管DE与支架CB所在直线相交于点O，且OB＝OE；支架BC与水平线AD垂直．AC＝40cm，∠ADE＝30°，DE＝190cm，另一支架AB与水平线夹角∠BAD＝65°，求OB的长度（结果精确到1cm；温馨提示：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14）
【解答】解：设OE＝OB＝2xcm，
∴OD＝DE+OE＝190+2x，
∵∠ADE＝30°，
∴OC＝OD＝95+x，
∴BC＝OC﹣OB＝95+x﹣2x＝95﹣x，
∵tan∠BAD＝，
∴2.14＝，
解得：x≈9.4cm，
∴OB＝2x≈19cm．
23．在“停课不停学”期间，小明用电脑在线上课，图1是他的电脑液晶显示器的侧面图，显示屏AB可以绕O点旋转一定角度．研究表明：当眼睛E与显示屏顶端A在同一水平线上，且望向显示器屏幕形成一个18°俯角（即望向屏幕中心P的视线EP与水平线EA的夹角∠AEP）时，对保护眼睛比较好，而且显示屏顶端A与底座C的连线AC与水平线CD垂直时（如图2）时，观看屏幕最舒适，此时测得∠BCD＝30°，∠APE＝90°，液晶显示屏的宽AB为32cm．
（1）求眼睛E与显示屏顶端A的水平距离AE；（结果精确到1cm）
（2）求显示屏顶端A与底座C的距离AC．（结果精确到1cm）
（参考数据：sin18°≈0.3，cos18°≈0.9，≈1.4，≈1.7）
【解答】解：（1）由已知得AP＝BP＝AB＝16cm，
在Rt△APE中，
∵sin∠AEP＝，
∴AE＝＝≈≈53（cm），
答：眼睛E与显示屏顶端A的水平距离AE约为53cm；
（2）如图，过点B作BF⊥AC于点F，
∵∠EAB+∠BAF＝90°，∠EAB+∠AEP＝90°，
∴∠BAF＝∠AEP＝18°，
在Rt△ABF中，
AF＝AB cos∠BAF＝32×cos18°≈32×0.9≈28.8（cm），
BF＝AB sin∠BAF＝32×sin18°≈32×0.3≈9.6（cm），
∵BF∥CD，
∴∠CBF＝∠BCD＝30°，
∴CF＝BF tan∠CBF＝9.6×tan30°＝9.6×≈5.44（cm），
∴AC＝AF+CF＝28.8+5.44≈34（cm）．
答：显示屏顶端A与底座C的距离AC约为34cm．
24．已知．在△ABC中，BC＝AC，∠BCA＝135°，求tanA的值．
【解答】解：过B点作BD⊥AC交AC的延长线于D点，
则∠BCD＝45，
∴BD＝CD＝BC，
设AC＝k，则BD＝CD＝k，AD＝2k，
tanA＝＝．
25．计算：
（1）2sin30°+3cos60°﹣4tan45°
（2）+tan260°
【解答】解：（1）原式＝
＝
＝；
（2）原式＝+（）2
＝+3
＝．
26．如图，放置在水平桌面上的台灯的灯臂AB长为30cm，灯罩BC长为20cm，底座厚度为2cm，灯臂与底座构成的∠BAD＝60°．使用发现，光线最佳时灯罩BC与水平线所成的角为30°，此时灯罩顶端C到桌面的高度CE是多少cm？（结果精确到0.1cm，参考数据：≈1.732）
【解答】解：过点B作BF⊥CD于点F，作BG⊥AD于点G，
∵CE⊥AD，BF⊥CD，BG⊥AD，
∴四边形BFDG矩形，
∴BG＝FD
在Rt△BCF中，∠CBF＝30°，
∴CF＝BC sin30°＝20×＝10（cm），
在Rt△ABG中，∠BAG＝60°，
∴BG＝AB sin60°＝30×＝15（cm）．
∴CE＝CF+FD+DE＝10+15+2
＝12+15≈37.98≈38.0（cm）．
答：此时灯罩顶端C到桌面的高度CE约是38.0cm．
27．某高速公路建设中，需要确定隧道AB的长度．已知在离地面1800m高度C处的飞机上，测量人员测得正前方A，B两点处的俯角分别为60°和45°（即∠DCA＝60°，∠DCB＝45°）．求隧道AB的长．（结果保留根号）
【解答】解：由题意得∠CAO＝60°，∠CBO＝45°，
∵OA＝1800×tan30°＝1800×＝600，OB＝OC＝1800，
∴AB＝（1800﹣600）（m）．
答：隧道AB的长为（1800﹣600）m．
28．为了丰富学生的文化生活，学校利用假期组织学生到红色文化基地A和人工智能科技馆C参观学习如图，学校在点B处，A位于学校的东北方向，C位于学校南偏东30°方向，C在A的南偏西15°方向（30+30）km处．学生分成两组，第一组前往A地，第二组前往C地，两组同学同时从学校出发，第一组乘客车，速度是40km/h，第二组乘公交车，速度是30km/h，两组同学到达目的地分别用了多长时间？哪组同学先到达目的地？请说明理由（结果保留根号）．
【解答】解：作BD⊥AC于D．
依题意得，
∠BAE＝45°，∠ABC＝105°，∠CAE＝15°，
∴∠BAC＝30°，
∴∠ACB＝45°．
在Rt△BCD中，∠BDC＝90°，∠ACB＝45°，
∴∠CBD＝45°，
∴∠CBD＝∠DCB，
∴BD＝CD，
设BD＝x，则CD＝x，
在Rt△ABD中，∠BAC＝30°，
∴AB＝2BD＝2x，tan30°＝，
∴，
∴AD＝x，
在Rt△BDC中，∠BDC＝90°，∠DCB＝45°，
∴sin∠DCB＝，
∴BC＝x，
∵CD+AD＝30+30，
∴x+，
∴x＝30，
∴AB＝2x＝60，BC＝，
第一组用时：60÷40＝1.5（h）；第二组用时：30（h），
∵＜1.5，
∴第二组先到达目的地，
答：第一组用时1.5小时，第二组用时小时，第二组先到达目的地．
29．速滑运动受到许多年轻人的喜爱，如图，梯形BCDG是某速滑场馆建造的速滑台，已知CD∥EG，高DG为4米，且坡面BC的坡度为1：1．后来为了提高安全性，决定降低坡度，改造后的新坡面AC的坡度为1：．
（1）求新坡面AC的坡角度数；
（2）原坡面底部BG的正前方10米（EB的长）处是护墙EF，为保证安全，体育管理部门规定，坡面底部至少距护墙7米．请问新的设计方案能否通过，试说明理由．（参考数据：≈1.73）
【解答】解：（1）如图，过点C作CH⊥BG，垂足为H，则CH＝DG＝4，
∵新坡面AC的坡度为1：，
∴tan∠CAH＝＝，
∴∠CAH＝30°，即新坡面AC的坡角为30°；
（2）新的设计方案能通过，
∵坡面BC的坡度为1：1，
∴BH＝CH＝4，
∵tan∠CAH＝＝，
∴AH＝CH＝4
∴AB＝AH﹣BH＝4﹣4，
∴AE＝EB﹣AB＝10﹣（4﹣4）＝14﹣4≈7.08＞7，
∴新的设计方案能通过．
30．如图①，②分别是某款篮球架的实物图和示意图，已知支架AB的长为2.3m，支架AB与地面的夹角∠BAC＝70°，BE的长为1.5m，篮板部支架BD与水平支架BE的夹角为46°，BC、DE垂直于地面，求篮板顶端D到地面的距离．（结果保留一位小数，参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，sin46°≈0.72，cos46°≈0.69，tan46°≈1.04）
【解答】解：延长AC、DE交于点F，
则四边形BCFE为矩形，
∴BC＝EF，
在Rt△ABC中，sin∠BAC＝，
∴BC＝AB sin∠BAC≈2.3×0.94＝2.162，
∴EF≈2.162，
在Rt△DBE中，tan∠DBE＝，
∴DE＝BE tan∠DBE≈1.5×1.04＝1.56，
∴DF＝DE+EF＝2.162+1.56≈3.7（m）
答：篮板顶端D到地面的距离约为3.7m．
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一、选择题（共10小题）
1．如图，已知一商场自动扶梯的长l为13米，高度h为5米，自动扶梯与地面所成的夹角为θ，则tanθ的值等于（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝26°，BC＝5．若用科学计算器求边AC的长，则下列按键顺序正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知cosA＞，则锐角∠A的取值范围是（ ）
A．0°＜∠A＜30° B．30°＜∠A＜90° C．0°＜∠A＜60° D．60°＜∠A＜90°
4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，设∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，则（ ）
A．c＝bsinB B．b＝csinB C．a＝btanB D．b＝ctanB
5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinB＝，则tanA的值为（ ）
A． B． C． D．
6．“五一”期间，小明和妈妈到某景区游玩，小明想利用所学的数学知识，估测景区里的观景塔DE的高度．他从点D处的观景塔出来走到点A处．沿着斜坡AB从A点走了8米到达B点，此时回望观景塔，更显气势宏伟．在B点观察到观景塔顶端的仰角为45°且AB⊥BE，再往前走到C处，观察到观景塔顶端的仰角30°，测得BC之间的水平距离BC＝10米，则观景塔的高度DE约为（ ）米．（＝1.41，＝1.73）
A．14 B．15 C．19 D．20
7．如图，为了测量一条河流的宽度，一测量员在河岸边相距200米的P、Q两点分别测定对岸一棵树T的位置，T在P的正北方向，且T在Q的北偏西70°方向，则河宽（PT的长）可以表示为（ ）
A．200tan70°米 B．米
C．200sin 70°米 D．米
8．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，其中《方田》章给出计算弧田面积所用公式为：弧田面积＝（弦×矢+矢2），弧田（如图）是由圆弧和其所对的弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长AB，“矢”等于半径长与圆心O到弦的距离之差．在如图所示的弧田中，“弦”为8，“矢”为3，则cos∠OAB＝（ ）
A． B． C． D．
9．在△ABC中，若|sinA﹣|+（﹣cosB）2＝0，∠A，∠B都是锐角，则∠C的度数是（ ）
A．75° B．90° C．105° D．120°
10．如图，在平面直角坐标系xOy中，点P（4，3），OP与x轴正半轴的夹角为α，则tanα的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（共10小题）
11．轮船从B处以每小时50海里的速度沿南偏东30°方向匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏东75°方向上，轮船航行半小时到达C处，在观测灯塔A北偏东60°方向上，则C处与灯塔A的距离是 海里．
12．如图，在8×4的矩形网格中，每个小正方形的边长都是1，若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上，则tan∠ACB的值为 ．
13．在直角三角形ABC中，若2AB＝AC，则cosC＝ ．
14．如图，人字梯AB，AC的长都为2米，当α＝50°时，人字梯顶端离地面的高度AD是 米（结果精确到0.1m．参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）．
15．如图，一人乘雪橇沿坡比1：的斜坡笔直滑下72米，那么他下降的高度为 米．
16．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则tanB的值为 ．
17．如图，在热气球C上测得两建筑物A、B底部的俯角分别为30°和60°．如果这时气球的垂直高度CD为90米．且点A、D、B在同一直线上，则建筑物A、B间的距离为 米．
18．如图，A，B，C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长均为1，则tan∠BAC的值为 ．
19．在△ABC中，∠A、∠B为锐角，且|tanA﹣1|+（﹣cosB）2＝0，则∠C＝ °．
20．已知：实常数a、b、c、d同时满足下列两个等式：①asinθ+bcosθ﹣c＝0；②acosθ﹣bsinθ+d＝0（其中θ为任意锐角），则a、b、c、d之间的关系式是： ．
三、解答题（共10小题）
21．计算：3tan30°+cos245°﹣2sin60°．
22．某品牌太阳能热水器的实物图和横断面示意图如图所示．已知真空集热管DE与支架CB所在直线相交于点O，且OB＝OE；支架BC与水平线AD垂直．AC＝40cm，∠ADE＝30°，DE＝190cm，另一支架AB与水平线夹角∠BAD＝65°，求OB的长度（结果精确到1cm；温馨提示：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14）
23．在“停课不停学”期间，小明用电脑在线上课，图1是他的电脑液晶显示器的侧面图，显示屏AB可以绕O点旋转一定角度．研究表明：当眼睛E与显示屏顶端A在同一水平线上，且望向显示器屏幕形成一个18°俯角（即望向屏幕中心P的视线EP与水平线EA的夹角∠AEP）时，对保护眼睛比较好，而且显示屏顶端A与底座C的连线AC与水平线CD垂直时（如图2）时，观看屏幕最舒适，此时测得∠BCD＝30°，∠APE＝90°，液晶显示屏的宽AB为32cm．
（1）求眼睛E与显示屏顶端A的水平距离AE；（结果精确到1cm）
（2）求显示屏顶端A与底座C的距离AC．（结果精确到1cm）
（参考数据：sin18°≈0.3，cos18°≈0.9，≈1.4，≈1.7）
24．已知．在△ABC中，BC＝AC，∠BCA＝135°，求tanA的值．
25．计算：
（1）2sin30°+3cos60°﹣4tan45°
（2）+tan260°
26．如图，放置在水平桌面上的台灯的灯臂AB长为30cm，灯罩BC长为20cm，底座厚度为2cm，灯臂与底座构成的∠BAD＝60°．使用发现，光线最佳时灯罩BC与水平线所成的角为30°，此时灯罩顶端C到桌面的高度CE是多少cm？（结果精确到0.1cm，参考数据：≈1.732）
27．某高速公路建设中，需要确定隧道AB的长度．已知在离地面1800m高度C处的飞机上，测量人员测得正前方A，B两点处的俯角分别为60°和45°（即∠DCA＝60°，∠DCB＝45°）．求隧道AB的长．（结果保留根号）
28．为了丰富学生的文化生活，学校利用假期组织学生到红色文化基地A和人工智能科技馆C参观学习如图，学校在点B处，A位于学校的东北方向，C位于学校南偏东30°方向，C在A的南偏西15°方向（30+30）km处．学生分成两组，第一组前往A地，第二组前往C地，两组同学同时从学校出发，第一组乘客车，速度是40km/h，第二组乘公交车，速度是30km/h，两组同学到达目的地分别用了多长时间？哪组同学先到达目的地？请说明理由（结果保留根号）．
29．速滑运动受到许多年轻人的喜爱，如图，梯形BCDG是某速滑场馆建造的速滑台，已知CD∥EG，高DG为4米，且坡面BC的坡度为1：1．后来为了提高安全性，决定降低坡度，改造后的新坡面AC的坡度为1：．
（1）求新坡面AC的坡角度数；
（2）原坡面底部BG的正前方10米（EB的长）处是护墙EF，为保证安全，体育管理部门规定，坡面底部至少距护墙7米．请问新的设计方案能否通过，试说明理由．（参考数据：≈1.73）
30．如图①，②分别是某款篮球架的实物图和示意图，已知支架AB的长为2.3m，支架AB与地面的夹角∠BAC＝70°，BE的长为1.5m，篮板部支架BD与水平支架BE的夹角为46°，BC、DE垂直于地面，求篮板顶端D到地面的距离．（结果保留一位小数，参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，sin46°≈0.72，cos46°≈0.69，tan46°≈1.04）
北师大新版九年级（下）《第1章 直角三角形的边角关系》常考题套卷（2）
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题）
1．如图，已知一商场自动扶梯的长l为13米，高度h为5米，自动扶梯与地面所成的夹角为θ，则tanθ的值等于（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：∵商场自动扶梯的长l＝13米，高度h＝5米，
∴m＝＝＝12米，
∴tanθ＝；
故选：A．
2．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝26°，BC＝5．若用科学计算器求边AC的长，则下列按键顺序正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：由tan∠B＝，得
AC＝BC tanB＝5×tan26．
故选：D．
3．已知cosA＞，则锐角∠A的取值范围是（ ）
A．0°＜∠A＜30° B．30°＜∠A＜90° C．0°＜∠A＜60° D．60°＜∠A＜90°
【解答】解：∵cos60°＝，余弦函数随角增大而减小，
∴0°＜∠A＜60°．
故选：C．
4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，设∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，则（ ）
A．c＝bsinB B．b＝csinB C．a＝btanB D．b＝ctanB
【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，
∴sinB＝，即b＝csinB，故A选项不成立，B选项成立；
tanB＝，即b＝atanB，故C选项不成立，D选项不成立．
故选：B．
5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinB＝，则tanA的值为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：由Rt△ABC中，∠C＝90°，sinB＝，得
cosA＝sinB＝．
由sin2A+cos2A＝1，得sinA＝＝，
tanA＝＝＝．
故选：D．
6．“五一”期间，小明和妈妈到某景区游玩，小明想利用所学的数学知识，估测景区里的观景塔DE的高度．他从点D处的观景塔出来走到点A处．沿着斜坡AB从A点走了8米到达B点，此时回望观景塔，更显气势宏伟．在B点观察到观景塔顶端的仰角为45°且AB⊥BE，再往前走到C处，观察到观景塔顶端的仰角30°，测得BC之间的水平距离BC＝10米，则观景塔的高度DE约为（ ）米．（＝1.41，＝1.73）
A．14 B．15 C．19 D．20
【解答】解：作BF⊥DE于F，AH⊥BF于H，
∵∠EBF＝45°，
∴∠ABH＝45°，
∴AH＝BH＝8×＝4，
在Rt△ECF中，tan∠ECF＝，
则CF＝EF，
在Rt△EBF中，∠EBF＝45°，
∴BF＝EF，
由题意得，EF﹣EF＝10，
解得，EF＝5+5，
则DE＝EF+DF＝5+5+4≈19，
故选：C．
7．如图，为了测量一条河流的宽度，一测量员在河岸边相距200米的P、Q两点分别测定对岸一棵树T的位置，T在P的正北方向，且T在Q的北偏西70°方向，则河宽（PT的长）可以表示为（ ）
A．200tan70°米 B．米
C．200sin 70°米 D．米
【解答】解：在Rt△PQT中，
∵∠QPT＝90°，∠PQT＝90°﹣70°＝20°，
∴∠PTQ＝70°，
∴tan70°＝，
∴PT＝＝，
即河宽米，
故选：B．
8．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，其中《方田》章给出计算弧田面积所用公式为：弧田面积＝（弦×矢+矢2），弧田（如图）是由圆弧和其所对的弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长AB，“矢”等于半径长与圆心O到弦的距离之差．在如图所示的弧田中，“弦”为8，“矢”为3，则cos∠OAB＝（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：如图，作OH⊥AB于H．
由题意：AB＝8，OA﹣OH＝3，
∵OH⊥AB，
∴AH＝BH＝4，
∵AH2+OH2＝OA2，
∴42＝（OA+OH）（OA﹣OH），
∴OA+OH＝，
∴OA＝，OH＝，
∴cos∠OAB＝＝＝，
故选：B．
9．在△ABC中，若|sinA﹣|+（﹣cosB）2＝0，∠A，∠B都是锐角，则∠C的度数是（ ）
A．75° B．90° C．105° D．120°
【解答】解：∵|sinA﹣|＝0，（﹣cosB）2＝0，
∴sinA﹣＝0，﹣cosB＝0，
∴sinA＝，＝cosB，
∴∠A＝45°，∠B＝30°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝105°．
故选：C．
10．如图，在平面直角坐标系xOy中，点P（4，3），OP与x轴正半轴的夹角为α，则tanα的值为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：
过P作PN⊥x轴于N，PM⊥y轴于M，则∠PMO＝∠PNO＝90°，
∵x轴⊥y轴，
∴∠MON＝∠PMO＝∠PNO＝90°，
∴四边形MONP是矩形，
∴PM＝ON，PN＝OM，
∵P（4，3），
∴ON＝PM＝4，PN＝3，
∴tanα＝＝，
故选：C．
二、填空题（共10小题）
11．轮船从B处以每小时50海里的速度沿南偏东30°方向匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏东75°方向上，轮船航行半小时到达C处，在观测灯塔A北偏东60°方向上，则C处与灯塔A的距离是 25 海里．
【解答】解：根据题意，得∠1＝∠2＝30°，
∵∠ACD＝60°，
∴∠ACB＝30°+60°＝90°，
∴∠CBA＝75°﹣30°＝45°，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∵BC＝50×0.5＝25，
∴AC＝BC＝25（海里）．
故答案为：25．
12．如图，在8×4的矩形网格中，每个小正方形的边长都是1，若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上，则tan∠ACB的值为 ．
【解答】解：由图形知：tan∠ACB＝＝，
故答案为：．
13．在直角三角形ABC中，若2AB＝AC，则cosC＝ 或 ．
【解答】解：若∠B＝90°，设AB＝x，则AC＝2x，所以BC＝＝x，所以cosC＝＝＝；
若∠A＝90°，设AB＝x，则AC＝2x，所以BC＝＝x，所以cosC＝＝＝；
综上所述，cosC的值为或．
故答案为或．
14．如图，人字梯AB，AC的长都为2米，当α＝50°时，人字梯顶端离地面的高度AD是 1.5 米（结果精确到0.1m．参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）．
【解答】解：∵sinα＝，
∴AD＝AC sinα≈2×0.77≈1.5m，
故答案为：1.5
15．如图，一人乘雪橇沿坡比1：的斜坡笔直滑下72米，那么他下降的高度为 36 米．
【解答】解：因为坡度比为1：，即tanα＝，
∴α＝30°．
则其下降的高度＝72×sin30°＝36（米）．
16．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则tanB的值为 ．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，
∴sinA＝＝，
设a为3k，则c为5k，
根据勾股定理可得：b＝4k，
∴tanB＝＝，
故答案为：．
17．如图，在热气球C上测得两建筑物A、B底部的俯角分别为30°和60°．如果这时气球的垂直高度CD为90米．且点A、D、B在同一直线上，则建筑物A、B间的距离为 120 米．
【解答】解：在直角△ACD中，∠A＝30°，tanA＝，
∴AD＝CD＝90（米）；
同理，BD＝CD＝30（米），
则AB＝AD+BD＝120（米）．
故答案是：120．
18．如图，A，B，C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长均为1，则tan∠BAC的值为 1 ．
【解答】解：连接BC，
由网格可得AB＝BC＝＝，AC＝＝，
∴AB2+BC2＝AC2，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴∠BAC＝45°，
则tan∠BAC＝1，
故答案为：1．
19．在△ABC中，∠A、∠B为锐角，且|tanA﹣1|+（﹣cosB）2＝0，则∠C＝ 75 °．
【解答】解：由题意得，tanA＝1，cosB＝，
则∠A＝45°，∠B＝60°，
则∠C＝180°﹣45°﹣60°＝75°．
故答案为：75．
20．已知：实常数a、b、c、d同时满足下列两个等式：①asinθ+bcosθ﹣c＝0；②acosθ﹣bsinθ+d＝0（其中θ为任意锐角），则a、b、c、d之间的关系式是： a2+b2＝c2+d2 ．
【解答】解：由①得 asinθ+bcosθ＝c，
两边平方，a2sin2θ+b2cos2θ+2absinθcosθ＝c2③
由②得 acosθ﹣bsinθ＝﹣d，
两边平方，a2cos2θ+b2sin2θ﹣2absinθcosθ＝d2④
③+④得
a2（sin2θ+cos2θ）+b2（sin2θ+cos2θ）＝c2+d2
∴a2+b2＝c2+d2．
故答案为：a2+b2＝c2+d2．
三、解答题（共10小题）
21．计算：3tan30°+cos245°﹣2sin60°．
【解答】解：3tan30°+cos245°﹣2sin60°
＝
＝
＝．
22．某品牌太阳能热水器的实物图和横断面示意图如图所示．已知真空集热管DE与支架CB所在直线相交于点O，且OB＝OE；支架BC与水平线AD垂直．AC＝40cm，∠ADE＝30°，DE＝190cm，另一支架AB与水平线夹角∠BAD＝65°，求OB的长度（结果精确到1cm；温馨提示：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14）
【解答】解：设OE＝OB＝2xcm，
∴OD＝DE+OE＝190+2x，
∵∠ADE＝30°，
∴OC＝OD＝95+x，
∴BC＝OC﹣OB＝95+x﹣2x＝95﹣x，
∵tan∠BAD＝，
∴2.14＝，
解得：x≈9.4cm，
∴OB＝2x≈19cm．
23．在“停课不停学”期间，小明用电脑在线上课，图1是他的电脑液晶显示器的侧面图，显示屏AB可以绕O点旋转一定角度．研究表明：当眼睛E与显示屏顶端A在同一水平线上，且望向显示器屏幕形成一个18°俯角（即望向屏幕中心P的视线EP与水平线EA的夹角∠AEP）时，对保护眼睛比较好，而且显示屏顶端A与底座C的连线AC与水平线CD垂直时（如图2）时，观看屏幕最舒适，此时测得∠BCD＝30°，∠APE＝90°，液晶显示屏的宽AB为32cm．
（1）求眼睛E与显示屏顶端A的水平距离AE；（结果精确到1cm）
（2）求显示屏顶端A与底座C的距离AC．（结果精确到1cm）
（参考数据：sin18°≈0.3，cos18°≈0.9，≈1.4，≈1.7）
【解答】解：（1）由已知得AP＝BP＝AB＝16cm，
在Rt△APE中，
∵sin∠AEP＝，
∴AE＝＝≈≈53（cm），
答：眼睛E与显示屏顶端A的水平距离AE约为53cm；
（2）如图，过点B作BF⊥AC于点F，
∵∠EAB+∠BAF＝90°，∠EAB+∠AEP＝90°，
∴∠BAF＝∠AEP＝18°，
在Rt△ABF中，
AF＝AB cos∠BAF＝32×cos18°≈32×0.9≈28.8（cm），
BF＝AB sin∠BAF＝32×sin18°≈32×0.3≈9.6（cm），
∵BF∥CD，
∴∠CBF＝∠BCD＝30°，
∴CF＝BF tan∠CBF＝9.6×tan30°＝9.6×≈5.44（cm），
∴AC＝AF+CF＝28.8+5.44≈34（cm）．
答：显示屏顶端A与底座C的距离AC约为34cm．
24．已知．在△ABC中，BC＝AC，∠BCA＝135°，求tanA的值．
【解答】解：过B点作BD⊥AC交AC的延长线于D点，
则∠BCD＝45，
∴BD＝CD＝BC，
设AC＝k，则BD＝CD＝k，AD＝2k，
tanA＝＝．
25．计算：
（1）2sin30°+3cos60°﹣4tan45°
（2）+tan260°
【解答】解：（1）原式＝
＝
＝；
（2）原式＝+（）2
＝+3
＝．
26．如图，放置在水平桌面上的台灯的灯臂AB长为30cm，灯罩BC长为20cm，底座厚度为2cm，灯臂与底座构成的∠BAD＝60°．使用发现，光线最佳时灯罩BC与水平线所成的角为30°，此时灯罩顶端C到桌面的高度CE是多少cm？（结果精确到0.1cm，参考数据：≈1.732）
【解答】解：过点B作BF⊥CD于点F，作BG⊥AD于点G，
∵CE⊥AD，BF⊥CD，BG⊥AD，
∴四边形BFDG矩形，
∴BG＝FD
在Rt△BCF中，∠CBF＝30°，
∴CF＝BC sin30°＝20×＝10（cm），
在Rt△ABG中，∠BAG＝60°，
∴BG＝AB sin60°＝30×＝15（cm）．
∴CE＝CF+FD+DE＝10+15+2
＝12+15≈37.98≈38.0（cm）．
答：此时灯罩顶端C到桌面的高度CE约是38.0cm．
27．某高速公路建设中，需要确定隧道AB的长度．已知在离地面1800m高度C处的飞机上，测量人员测得正前方A，B两点处的俯角分别为60°和45°（即∠DCA＝60°，∠DCB＝45°）．求隧道AB的长．（结果保留根号）
【解答】解：由题意得∠CAO＝60°，∠CBO＝45°，
∵OA＝1800×tan30°＝1800×＝600，OB＝OC＝1800，
∴AB＝（1800﹣600）（m）．
答：隧道AB的长为（1800﹣600）m．
28．为了丰富学生的文化生活，学校利用假期组织学生到红色文化基地A和人工智能科技馆C参观学习如图，学校在点B处，A位于学校的东北方向，C位于学校南偏东30°方向，C在A的南偏西15°方向（30+30）km处．学生分成两组，第一组前往A地，第二组前往C地，两组同学同时从学校出发，第一组乘客车，速度是40km/h，第二组乘公交车，速度是30km/h，两组同学到达目的地分别用了多长时间？哪组同学先到达目的地？请说明理由（结果保留根号）．
【解答】解：作BD⊥AC于D．
依题意得，
∠BAE＝45°，∠ABC＝105°，∠CAE＝15°，
∴∠BAC＝30°，
∴∠ACB＝45°．
在Rt△BCD中，∠BDC＝90°，∠ACB＝45°，
∴∠CBD＝45°，
∴∠CBD＝∠DCB，
∴BD＝CD，
设BD＝x，则CD＝x，
在Rt△ABD中，∠BAC＝30°，
∴AB＝2BD＝2x，tan30°＝，
∴，
∴AD＝x，
在Rt△BDC中，∠BDC＝90°，∠DCB＝45°，
∴sin∠DCB＝，
∴BC＝x，
∵CD+AD＝30+30，
∴x+，
∴x＝30，
∴AB＝2x＝60，BC＝，
第一组用时：60÷40＝1.5（h）；第二组用时：30（h），
∵＜1.5，
∴第二组先到达目的地，
答：第一组用时1.5小时，第二组用时小时，第二组先到达目的地．
29．速滑运动受到许多年轻人的喜爱，如图，梯形BCDG是某速滑场馆建造的速滑台，已知CD∥EG，高DG为4米，且坡面BC的坡度为1：1．后来为了提高安全性，决定降低坡度，改造后的新坡面AC的坡度为1：．
（1）求新坡面AC的坡角度数；
（2）原坡面底部BG的正前方10米（EB的长）处是护墙EF，为保证安全，体育管理部门规定，坡面底部至少距护墙7米．请问新的设计方案能否通过，试说明理由．（参考数据：≈1.73）
【解答】解：（1）如图，过点C作CH⊥BG，垂足为H，则CH＝DG＝4，
∵新坡面AC的坡度为1：，
∴tan∠CAH＝＝，
∴∠CAH＝30°，即新坡面AC的坡角为30°；
（2）新的设计方案能通过，
∵坡面BC的坡度为1：1，
∴BH＝CH＝4，
∵tan∠CAH＝＝，
∴AH＝CH＝4
∴AB＝AH﹣BH＝4﹣4，
∴AE＝EB﹣AB＝10﹣（4﹣4）＝14﹣4≈7.08＞7，
∴新的设计方案能通过．
30．如图①，②分别是某款篮球架的实物图和示意图，已知支架AB的长为2.3m，支架AB与地面的夹角∠BAC＝70°，BE的长为1.5m，篮板部支架BD与水平支架BE的夹角为46°，BC、DE垂直于地面，求篮板顶端D到地面的距离．（结果保留一位小数，参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，sin46°≈0.72，cos46°≈0.69，tan46°≈1.04）
【解答】解：延长AC、DE交于点F，
则四边形BCFE为矩形，
∴BC＝EF，
在Rt△ABC中，sin∠BAC＝，
∴BC＝AB sin∠BAC≈2.3×0.94＝2.162，
∴EF≈2.162，
在Rt△DBE中，tan∠DBE＝，
∴DE＝BE tan∠DBE≈1.5×1.04＝1.56，
∴DF＝DE+EF＝2.162+1.56≈3.7（m）
答：篮板顶端D到地面的距离约为3.7m．
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